Lista de Exercícios 1

Lista de Exercícios 1 MAT 01169 - Cálculo Numérico 2 de Agosto de 2015 As respostas de alguns exercícios estão no final da lista. Exercício 1. Converta para binário os números abaixo: (a) (102) 10 = (b) (123) 10 = (c) (1/4) 10 = (d) (1/8) 10 = (e) (1/32) 10 = (f) (1/4 + 1/8 + 1/64) 10 = (g) (102.125) 10 = (h) (102.390625) 10 = (i) (1/3) 10 = (j) (0.1) 10 = Exercício 2. Converta para decimal os números abaixo: (a) (1) 2 = (b) (1000000) 2 = (c) (1111111) 2 = (d) (1010101) 2 = (e) (0.1) 2 = (f) (0.0000001) 2 = (g) (0.1010101) 2 = (h) (0.1111111) 2 = (i) (1111.1111) 2 = (j) (1010101.1010101) 2 = (k) (1111111.1111111) 2 = Exercício 3. Usando apenas 3 bits, quantos números inteiros positivos podem ser representados? Represente todos eles. Qual o menor valor e o maior valor representável. Exercício 4. Usando apenas 3 bits, quantos números inteiros positivos e negativos podem ser representados usando notação sinal-módulo? Represente todos eles. Qual o menor valor e o maior valor representável. 1

Exercício 5. Usando apenas 3 bits, quantos números inteiros positivos e negativos podem ser representados usando notação complemento-2? Represente todos eles. Qual o menor valor e o maior valor representável. Exercício 6. Usando 8 bits, represente em binário os números inteiros: (a) x = (53) 10 usando a notação sinal-e-módulo; (b) x = ( 53) 10 usando a notação sinal-e-módulo; (c) x = (53) 10 usando a notação complemento-2; (d) x = ( 53) 10 usando a notação complemento-2; (e) x = (53) 10 usando a notação complemento-2; (f) x = ( 53) 10 usando a notação complemento-2; Exercício 7. Sabendo que x = (1001001) 2 está representado usando sinal-e-módulo, converta x para decimal. Sabendo que y = (1001001) 2 está representado usando complemento-2, converta y para decimal. Exercício 8. Descubra fazendo uma sequência de operações o valor de MINR, MAXR e ϵ = epsilon de máquina de sua calculadora. Estime o valor de p, M e E. Exercício 9. Sabendo que E = (10001001) 2 é o expoente inteiro de um número, converta E para decimal e obtenha os expoentes mínimo E MIN e máximo E MAX nas máquinas abaixo: (a) Máquina A: notação sinal e módulo; (b) Máquina B: notação complemento-2; (c) Máquina C: notação com deslocamento e BIAS=127; (d) Máquina D: notação com deslocamento e BIAS=31; Exercício 10. Sejam os números reais x 1 = (1) 10, x 2 = ( 1) 10, x 3 = (2) 10, x 4 = (19/3) 10, x 5 = ϵ = epsilon de máquina, x 6 = MINR, x 7 = MAXR. Represente estes números nas seguintes máquinas: (a) Máquina de ponto flutuante F (β, E, M ) = F (2, 8, 7) com BIAS=127. (b) Máquina de ponto flutuante F (β, M, E MIN, E MAX ) = F (2, 5, 30, 31). (c) Máquina de ponto flutuante F (β, M, E MIN, E MAX ) = F (2, 5, 15, 46). Exercício 11. Considere uma máquina F (2, 7, 8) (BIAS=32). Se b = +(1.1111111) 2 (00000110), quem são a e c na sequência..., a, b, c,... (os números representáveis imediatamente antes e depois de b. Exercício 12. Sendo x = (1/3) 10. Calcule o erro absoluto, o erro relativo e o DIGSE se representarmos x por x 1 = 0.3, x 2 = 0.33, x 3 = 0.333, x 4 = 0.3333, x 5 = 0.33333, x 6 = 0.33334. Qual sua conclusão a partir dos valores calculados. Exercício 13. Sendo x = (2/3) 10. Calcule o erro absoluto, o erro relativo e o DIGSE se representarmos x por x 5 = 0.66666, x 6 = 0.66667. Qual sua conclusão a partir dos valores calculados. 2

Exercício 14. Sendo x = (1000/3) 10. Calcule o erro absoluto, o erro relativo e o DIGSE se representarmos x por x 1 = 300, x 5 = 333.33, x 6 = 333.34. Qual sua conclusão a partir dos valores calculados. Exercício 15. Estime o erro de arredondamento por corte e por adição ao representarmos x = (1.10101010101010...) 2 usando: (a) uma máquina de 16 bits F (2, 7, 8) (com 1 bit extra para o sinal da mantissa). (b) uma máquina de 32 bits F (2, 23, 8) (com 1 bit extra para o sinal da mantissa). (c) uma máquina de 64 bits F (2, 53, 10) (com 1 bit extra para o sinal da mantissa). Exercício 16. Sabendo que numa máquina F (2, 7, 8) temos p = M + 1 = 8. Qual o valor de ϵ =epsilon de máquina? Realize as seguintes operações nessa máquina: ϵ = 2 p+1 = 2 7 (a) 1 ϵ = (b) 1 (ϵ/2) = (c) 1 (2 ϵ) = (d) (2 ϵ) = (e) (1/2 ϵ) = (f) (1 (2 ϵ))/2 = (g) 2 18 2 9 = (h) 2 18 2 10 = (i) 2 18 2 11 = (j) (1 ϵ) ϵ 2 = (k) 1 ϵ ϵ 2 = (l) ((1 ϵ/2) ϵ/2) ϵ/2 = (m) 1 (ϵ/2 ϵ/2 ϵ/2) = Exercício 17. Sugira como calcular as expressões abaixo sem perdas de dígitos significativos: (a) x 4 + 4 2 (b) x + 1 x 2 + 1 (c) log x 1 Exercício 18. Defina número de condicionamento para funções. Calcule o número de condicionamento das funções abaixo e indique para quais valores de x a função é mal-condicionada (nesse exercício encontre): (a) f(x) = x (b) f(x) = x 4 (c) f(x) = sin x (d) f(x) = 1 x 1 (e) f(x) = sin x (f) f(x) = x x x 2 2x+2 3

Exercício 19. Pode-se aproximar o valor da raiz de um número R resolvendo a equação x = R, que é igual a resolver a equação x 2 R = 0. Aproxime o valor de 2 calculando a raiz da equação f(x) = x 2 2, utilizando o método da bissecção. Exercício 20. Utilize o método da bissecção para calcular o valor de x = 5. Exercício 21. Utilize o método da bissecção para calcular o valor de x = 3 2. Exercício 22. Forneça 3 intervalos entre [0, 10] de tamanho 1 que contém uma raiz da equação f(x) = sin(x + 1). Exercício 23. Calcule as duas raízes da função f(x) = x 4 3x + 1 no intervalo [0, 2], utilizando o método da bissecção. Exercício 24. Calcule as duas raízes da função f(x) = x 4 3x + 1 no intervalo [0, 2], utilizando o método da posição falsa. Exercício 25. Calcule uma raiz da função f(x) = x 4 3x + 1 no intervalo [0, 2], utilizando o método de Newton com valor inicial igual a x 0 = 0. Exercício 26. Calcule uma raiz da função f(x) = x 4 3x + 1 no intervalo [0, 2], utilizando o método de Newton com valor inicial igual a x 0 = 2. Exercício 27. Calcule uma intersecção entre as curvas g(x) = sin(x) e h(x) = cos(x) no intervalo [0, 5]. Utilize o método da bissecção, da posição falsa e de Newton. Exercício 28. Considere as funções g(x) = x + 1 e h(x) = e x. Faça um gráfico das duas curvas para obter estimativas para a intersecção entre as duas curvas (dica: existem três intersecções e cuidado com o módulo dentro da raiz). Utilize o método de Newton para estimar uma raiz não nula de g(x) h(x) = 0 com 3 dígitos significativos corretos. Exercício 29. Para a função do exercício anterior, utilize o método da bissecção realizando 3 iterações para estimar a outra raiz. Qual o erro relativo máximo na sua aproximação da raiz? Exercício 30. Utilize manipulações algébricas para mostrar que cada uma das funções a seguir tem um ponto fixo em p precisamente quando f(p) = 0, para f(x) = x 4 + 2x 2 x 3. (a) g 1 (x) = (3 + x 2x 2 ) 1/4 (b) g 2 (x) = (c) g 3 (x) = x+3 x 4 2 x+3 x 2 +2 (d) g 4 (x) = 3x4 +2x 2 +3 4x 3 +4x 1 (e) execute quatro iterações, se possível, em cada uma das funções g definidas. Faça x 0 = 1 e x n+1 = g(x n ) para n = 0, 1, 2, 3. 4

(f) Que funções você acha que fornecerão a melhor aproximação para a solução? Exercício 31. Os quatro métodos a seguir são propostos para se calcular 21 1/3. Ordene-os, com base na velocidade aparente de convergência, assumindo x 0 = 1. (a) x n+1 = 20xn+21/x2 n 21 (b) x n+1 = x n x3 n 21 3x 2 n (c) x n+1 = x n x4 n 21xn (d) x n+1 = 21 x n x 2 n 21 Exercício 32. No Exercício anterior, calcule g (p) em cada caso, onde p = 21 1/3 e compare com os resultados obtidos. Exercício 33. Utilize o método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de 10 2 para x 4 3x 2 3 = 0 em [1, 2]. Utilize p 0 = 1. Exercício 34. Utilize o método de iteração de ponto fixo para determinar uma solução com precisão de 10 2 para x 3 x 1 = 0 em [1, 2]. Utilize p 0 = 1. Exercício 35. O que se pode dizer sobre as raízes do polinômio p(z) = 2z 5 + 3z 4 + 6z 3 + 2z 2 + 32z 2 utilizando (a) teorema do disco, (b) teorema do disco inverso, (c) regra de Descartes, (d) regra de Du Gua, (e) regra da lacuna, (f) cota de Laguerre-Thibault, (g) cota de Fujiwara, (h) cota de Kojima, (i) Cota de Cauchy Exercício 36. O que se pode dizer sobre as raízes do polinômio p(z) = 3z 5 + 2z 4 2z 3 + z 2 + 10z 15 utilizando (a) teorema do disco, (b) teorema do disco inverso, (c) regra de Descartes, (d) regra de Du Gua, (e) regra da lacuna, (f) cota de Laguerre-Thibault, (g) cota de Fujiwara, (h) cota de Kojima, (i) Cota de Cauchy Exercício 37. O que se pode dizer sobre as raízes do polinômio p(z) = z 8 1 (ou seja, as 8 raízes da unidade) utilizando (a) teorema do disco, (b) teorema do disco inverso, (c) regra de Descartes, (d) regra de Du Gua, (e) regra da lacuna, (f) cota de Laguerre-Thibault, (g) cota de Fujiwara, (h) cota de Kojima, (i) Cota de Cauchy Exercício 38. Utilize o método de Horner para calcular a divisão do polinômio p(z) = 2z 5 + 3z 4 + 6z 3 + 2z 2 + 32z 2 pelo monômio (z 3). Exercício 39. Reescreva p(z) = 3z 5 + 2z 4 2z 3 + z 2 + 10z 15 como um polinômio de Taylor em torno de z = 1. Utilizando o polinômio de Taylor, qual o valor de p(1) e p (1)? Exercício 40. Reescreva p(z) = 3z 5 + 2z 4 2z 3 + z 2 + 10z 15 como um polinômio de Taylor em torno de z = 2. Utilizando o polinômio de Taylor, qual o valor de p(2) e p (2)? 5

Exercício 41. Considere o polinômio p(z) = z 4 +z 3 +2z 2 +3z+2 = 0. Sendo o chute inicial para as raízes complexas iguais a z 1,2 = 1±i, teremos que (z z 1 )(z z 2 ) = (z (1+i))(z (1 i)) = z 2 2z+2 = z 2 α 0 z β 0, de onde temos que α 0 = 2 e β 0 = 2. Calcule uma melhor aproximação para o binômio contendo as raízes, ou seja, calcule α 1 e β 1. Calcule depois α 2 e β 2. Respostas: Resposta do Exercício 1: (a) (102) 10 = (1100110) 2 (b) (123) 10 = (1111011) 2 (c) (1/4) 10 = (0.25) 10 = (0.01) 2 (d) (1/8) 10 = (0.125) 10 = (0.001) 2 (e) (1/32) 10 = (0.03125) 10 = (0.00001) 2 (f) (1/4 + 1/8 + 1/64) 10 = (0.390625) 10 = (0.011001) 2 (g) (102.125) 10 = (1100110.001) 2 (h) (102.390625) 10 = (110110.01101) 2 (i) (1/3) 10 = (0.010101010101...) 2 = (0.01010101) 2 (j) (0.1) 10 = (0.0001100110011...) 2 = (0.0001100110011) 2 Resposta do Exercício 2: (a) (1) 2 = (1) 10 (b) (1000000) 2 = (64) 10 (c) (1111111) 2 = (64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) 10 = (127) 10 (d) (1010101) 2 = (64 + 16 + 4 + 1) 10 = (85) 10 (e) (0.1) 2 = (1/2) 10 = (0.5) 10 (f) (0.0000001) 2 = (2 7 ) 10 = (0.0078125) 10 (g) (0.1010101) 2 = (2 1 + 2 3 + 2 5 + 2 7 ) 10 = (0.6640625) 10 (h) (0.1111111) 2 = (0.9921875) 10 (i) (1111.1111) 2 = (15.9375) 10 (j) (1010101.1010101) 2 = (1010101.1010101) 10 (k) (1111111.1111111) 2 = (127.9921875) 10 Resposta do Exercício 3: Podem ser representados 8 números. (000) 2 = (0) 10,..., (111) 2 = (7) 10 Resposta do Exercício 4: Podem ser representados 8 números. (111) 2 = ( 3) 10,..., (100) 2 = ( 0) 10,(000) 2 = (+0) 10,..., (011) 2 = (+3) 10, Resposta do Exercício 5: Podem ser representados 8 números. (100) 2 = ( 4) 10,..., (111) 2 = ( 1) 10,(000) 2 = (0) 10,..., (011) 2 = (3) 10, 6

Resposta do Exercício 6: (a) x = (53) 10 usando a notação sinal-e-módulo; x = 00110101 ou x = +0110101 (b) x = ( 53) 10 usando a notação sinal-e-módulo; x = 10110101 ou x = 0110101 (c) x = (53) 10 usando a notação complemento-2; x = 00110101 (d) x = ( 53) 10 usando a notação complemento-2; x = 11001011 (e) x = (53) 10 usando a notação complemento-2; x = 10110100 (f) x = ( 53) 10 usando a notação complemento-2; x = 01001010 Resposta do Exercício 7: x = ( 9) 10, y = ( 55) 10. Resposta do Exercício 9: (a) Máquina A: notação sinal e módulo; E = ( 9) 10, E MIN = (11111111) 2 = ( 127) 10, E MAX = (01111111) 2 = (127) 10. (b) Máquina B: notação complemento-2; E = ( 119) 10, E MIN = (10000000) 2 = ( 128) 10, E MAX = (01111111) 2 = (127) 10. (c) Máquina C: notação com deslocamento e BIAS=127; E = (10) 10, E MIN = (00000001) 2 = ( 126) 10, E MAX = (11111110) 2 = (127) 10. (Lembre que (00000000) e (11111111) são reservados para zero e infinito ou NaN.) (d) Máquina D: notação com deslocamento e BIAS=31; E = (106) 10, E MIN = (00000001) 2 = ( 30) 10, E MAX = (01111111) 2 = (223) 10. Resposta do Exercício 10: (a) Máquina de ponto flutuante F (β, E, M ) = F (2, 8, 7) com BIAS=127. x 1 = (+1.0000000) 2 01111111 2 BIAS = (0 01111111 0000000), x 2 = ( 1.0000000) 2 01111111 2 BIAS = (1 01111111 0000000), x 3 = (+1.0000000) 2 10000000 2 BIAS = (0 10000000 0000000), x 4 = (+1.1001010) 2 10000001 2 BIAS = (0 10000001 1001010), x 5 = (+1.0000000) 2 01111000 2 BIAS = (0 01111000 0000000), x 6 = (+1.0000000) 2 00000001 2 BIAS = (0 00000001 0000000), x 7 = (+1.1111111) 2 11111110 2 BIAS = (0 11111110 1111111) (b) Máquina de ponto flutuante F (β, M, E MIN, E MAX ) = F (2, 5, 30, 31). Nesta máquina, 1 BIAS = 30, implicando BIAS = 31. x 1 = (+1.00000) 2 011111 2 BIAS = (0 011111 00000), x 2 = ( 1.00000) 2 011111 2 BIAS = (1 011111 00000), x 3 = (+1.00000) 2 100000 2 BIAS = (0 100000 00000), x 4 = (+1.10010) 2 100001 2 BIAS = (0 100001 10010), x 5 = (+1.00000) 2 011010 2 BIAS = (0 011010 00000), x 6 = (+1.00000) 2 000001 2 BIAS = (0 000001 00000), x 7 = (+1.11111) 2 111110 2 BIAS = (0 111110 11111) 7

(c) Máquina de ponto flutuante F (β, M, E MIN, E MAX ) = F (2, 5, 15, 46). Nesta máquina, 1 BIAS = 15, implicando BIAS = 16. x 1 = (+1.00000) 2 010000 2 BIAS = (0 010000 00000), x 2 = ( 1.00000) 2 010000 2 BIAS = (1 010000 00000), x 3 = (+1.00000) 2 010001 2 BIAS = (0 010001 00000), x 4 = (+1.10010) 2 010010 2 BIAS = (0 010010 10010), x 5 = (+1.00000) 2 001011 2 BIAS = (0 001011 00000), x 6 = (+1.00000) 2 000001 2 BIAS = (0 000001 00000), x 7 = (+1.11111) 2 111110 2 BIAS = (0 111110 11111) Resposta do Exercício 11: a = +(1.1111110) 2 (00000110), c = +(1.0000000) 2 (00000111) Resposta do Exercício 12: x x x x x / x DIGSE 0.3 3.33 10 2 1.0 10 1 1 0.33 3.33 10 3 1.0 10 2 2 0.333 3.33 10 4 1.0 10 3 3 0.3333 3.33 10 5 1.0 10 4 4 0.33333 3.33 10 6 1.0 10 5 5 0.33334 6.66 10 6 2.0 10 5 4.69 Resposta do Exercício 13: x x x x x / x DIGSE 0.6 6.67 10 2 1.0 10 1 1 0.66 6.67 10 3 1.0 10 2 2 0.666 6.67 10 4 1.0 10 3 3 0.6666 6.67 10 5 1.0 10 4 4 0.66666 6.67 10 6 1.0 10 5 5 0.66667 3.33 10 6 5.0 10 6 5.30 Resposta do Exercício 14: x x x x x / x DIGSE 300 3.33 10 1 1.0 10 1 1 330 3.33 10 0 1.0 10 2 2 333 3.33 10 1 1.0 10 3 3 333.3 3.33 10 2 1.0 10 4 4 333.33 3.33 10 3 1.0 10 5 5 333.34 6.66 10 3 2.0 10 5 4.69 Resposta do Exercício 15: a) Como x 1 < x < x 2, onde x 1 = 1.1010101) 2, x 2 = (1.1010110) 2, o erro por corte será E c x 2 x 1 = (0.0000001) 2. O erro por arredondamento será E a E c /2 = (0.00000001) 2 Resposta do Exercício 16: (a) 1 ϵ 1 + 2 7 (b) 1 (ϵ/2) 1 (2 7 /2) 1 (2 8 ) 1 8

(c) 1 (2 ϵ) 1 (2 2 7 ) 1 2 6 1 + 2 6 (d) (2 ϵ) (2 2 7 ) 2 (e) (1/2 ϵ) 2 1 + 2 7 (f) (1 (2 ϵ))/2 (1 2 2 7 )/2 (1 2 6 )/2 (2 1 + 2 7 ) (g) 2 18 2 9 2 18 (1 2 9 ) 2 18 (1) 2 18 (h) 2 18 2 10 2 18 (1 2 8 ) 2 18 (1) 2 18 (i) 2 18 2 11 2 18 (1 2 7 ) 2 18 (1 + 2 7 ) 2 18 + 2 11 (j) (1 ϵ) ϵ 2 (1 + 2 7 ) 2 14 1 + 2 7 (k) 1 (ϵ ϵ 2 ) 1 (2 7 + 2 14 ) 1 + 2 7 (l) ((1 ϵ/2) ϵ/2) ϵ/2 ((1 2 8 ) 2 8 ) 2 8 (1 2 8 ) 2 8 1 2 8 1 (m) 1 (ϵ/2 ϵ/2 ϵ/2) 1 (2 8 2 8 2 8 ) 1 (2 2 8 2 8 ) 1 (2 7 + 2 8 ) 1 + 2 7 Resposta do Exercício 17: (a) x 4 + 4 2 = x 4 x 4 +4+2 (b) x + 1 x 2 + 1 = x x 2 x+1+ x 2 +1 (c) log x 1 = log x 10 Resposta do Exercício 18: As funções abaixo são mal condicionadas quando k f > 10 3 (o valor 10 3 depende da aplicação). (a) f(x) = x, k f = 1 2 (b) f(x) = x 4, k f = 3 (c) f(x) = sin x, k f = (d) f(x) = 1 x 1, k f = x tan x x x 1 (e) f(x) = sin x x, k f = x tan x 1 (f) f(x) = x x 2 2x+2, k 2 x f = 2 x 2 2x+2 Resposta do Exercício 20: Utilize o método da bissecção para f(x) = x 2 5. Um possível intervalo inicial é [2, 3]. Resposta do Exercício 22: Intervalos I 1 = [2, 3], I 2 = [5, 6], I 3 = [8, 9]. Resposta do Exercício 23: x 1 0.338, x 2 1.305. Resposta do Exercício 24: x 1 0.338, x 2 1.305. Resposta do Exercício 27: As intersecções são x 1 0.785, x 2 3.927. 9

Resposta do Exercício 28: x 1 0.796, x 2 1.109. Resposta do Exercício 29: x 1 0.796, x 2 1.109. Resposta do Exercício 30: (a) x 4 = 1.10782, (b) x 4 = 0.987506, (c) x 4 = 1.12364, (d) x 4 = 1.12412 Resposta do Exercício 31: Resposta do Exercício 32: Resposta do Exercício 33: Com g(x) = (3x 2 + 3) 1/4 e x 0 = 1, x 6 = 1.94332. Resposta do Exercício 34: Com g(x) = 1 + 1 x, x 0 = 1, x 4 = 1.324. Resposta do Exercício 35: (a) z 17 (b) z 0.0588 (g) z 4 (h) z 3.7321 (i) z 3.1103 Resposta do Exercício 36: (a) z 6 (b) z 0.6 (g) z 2.7595 (h) z 3.7309 (i) z 1.9245 Resposta do Exercício 37: (a) z 2 (b) z 0.5 (g) z 2 (h) z 1 (i) z 1 10