Plataorma Spar Um exemplo adicional do uso dos modos normais não lineares para o entendimento do comportamento dinâmico não linear de estruturas oshore é a análise das vibrações de plataormas do tipo spar. A plataorma do tipo spar clássica consiste basicamente de um grande casco cilíndrico com sistemas de amarração e risers (Chakrabarti, 00. De acordo com Koo e coautores (004, a principal razão para uso de cascos grandes é que, devido ao seu calado proundo, os movimentos de aundamento (heave e aragem (pitch são pequenos o suiciente para permitir a instalação de risers rígidos com árvores de natal secas. Outra característica marcante das plataormas do tipo spar é que os períodos naturais de aundamento e aragem dessas estruturas são relativamente longos. Isso decorre da geometria da estrutura com uma pequena área de lutuação quando comparada ao grande volume submerso da estrutura. Assim, em geral, as plataormas do tipo spar não são excitadas verticalmente. Contudo, de acordo com Rho e Choi (00, a resposta do movimento de aundamento cresce de modo drástico na ressonância quando acoplamentos entre esses movimentos e os de aragem são induzidos pela vibração da plataorma. Além desses enômenos, as condições severas do ambiente marítimo demandam uma análise não linear da vibração de plataormas oshore do tipo spar. Neste capítulo, a análise não linear é realizada por meio do uso dos modos normais não lineares de vibração... Formulação A abordagem clássica na engenharia de estruturas oshore é usar as equações de movimento de corpos rígidos para modelar o comportamento das estruturas lutuantes (Ma e Patel, 00. A dinâmica dos corpos rígidos lutuantes é governada por seis equações de movimento, uma para cada um dos seis possíveis graus de liberdade da estrutura. Sendo três graus de liberdade utilizados para descrição das translações: x avanço (surge, x deriva (sway e x
07 aundamento (heave; e outros três utilizados para descrição das rotações: x 4 jogo (roll, x aragem (pitch e x 6 guinada (yaw. Os seis graus de liberdade do modelo de corpo rígido para a plataorma spar são mostrados na Figura - (a. O modelo ísico utilizado para o tipo clássico de plataorma spar é um cilindro longo (Jingrui e coautores, 00. Aqui não se consideram os risers e sistemas de ancoragem da plataorma na análise da vibração da plataorma. A coniguração do modelo é mostrada na Figura - (b e as deinições dos parâmetros utilizados na modelagem da plataorma são mostradas na Tabela -. No Apêndice B apresenta-se um glossário dos termos técnicos e características de estruturas oshore aqui utilizadas. Em decorrência da coniguração simétrica da plataorma, da importância dos movimentos de aundamento e aragem da estrutura para a operação segura dos sistemas de risers e ancoragem, e também devido aos enômenos de ressonância interna e externa associados a esses graus de liberdade, somente esses dois movimentos são analisados aqui. Esse procedimento é comum na literatura relacionada ao assunto (Ma e Patel, 00; Rho e Choi, 00; Koo et al., 004; Jingrui et. al, 00 e Li et. al., 0. De acordo com princípio de D Alembert e a segunda lei de Newton as (a (b Figura - Modelo da plataorma tipo spar : (a seis graus de liberdade; (b principais parâmetros e dimensões.
08 Parâmetro Altura da lâmina de água Diâmetro Calado Borda livre Peso total Metacentro Centro de empuxo Centro de gravidade Ponto de quilha Distância entre K e G Distância entre K e B Altura metacêntrica Símbolo H w D D H b P M c B G K KG KB GM Tabela - Principais parâmetros da plataorma spar. equações acopladas para vibração orçada amortecida que governam os movimentos de aundamento e aragem são (Chakrabarti, 00: ( + A x& + C x& + R ( x x F ( t & ; (- m, = ( + A x& + C x& + R ( x x F ( t & ; (- I, = onde m, A, C, R e F denotam a massa da plataorma, a massa adicionada na direção de x, o coeiciente de amortecimento para o movimento de aundamento, as orças restauradoras e orças externas na direção z. Já os coeicientes I, A, C, R e F na eq. (- representam respectivamente o momento de inércia em torno do eixo y, a massa adicionada relacionada ao movimento de aragem, o coeiciente de amortecimento de aragem, os momentos restauradores e os momentos devidos à ação de orças externas em torno do eixo y. Os pontos sobre as variáveis representam suas derivadas em relação ao tempo t. Em alguns casos, a rigidez hidrostática pode ser vista como uma constante resultante do equilíbrio estático, contudo, de acordo com Li e coautores (0, o movimento de aundamento é sempre acompanhado por movimentos de aragem quando a plataorma é excitada por ondas. O resultado direto desse ato é que as orças e momentos restauradores são dependentes do tempo, uma vez que a rigidez hidrostática se modiica com o movimento global da estrutura em vibração. Esse comportamento leva a um problema de excitação paramétrica, ou
09 seja, os coeicientes dos termos das orças hidrostáticas são dependentes do tempo. As orças e momentos restauradores aqui utilizados são os propostos por Jingrui e coautores (00 e são resultados de modelos e protótipos experimentais. De acordo com essa modelagem, a orça restauradora na direção z e o momento restaurador em torno do eixo y podem ser escritos, respectivamente, como: R H ρ w w, ; (- g ( x, x = ga x x ( x t η R ( x, x = Vw GMx xx + η ( x, t x ; (-4 onde ρ w e g são respectivamente a massa especíica da água e aceleração da gravidade; A w é a área de lutuação (região horizontal ormada pela interseção do casco da plataorma na altura da linha de água com a superície; H g é a distância entre o centro de gravidade e a superície de água; η é o peril de onda e V w é o volume total de água deslocado pela estrutura. A área de lutuação da plataorma, e o volume total de água deslocada são deinidos pelas seguintes expressões, respectivamente: π 4 D A w = ; w w V = A D (- onde D é o diâmetro e D é o calado do casco da plataorma. O peril de onda é dado pela teoria de ondas planas, eq. (4-49, que, para ondas de período muito longo como as consideradas na análise, se reduz a (Jingrui et al., 00: η ( x t η cos t, 0 = ω (-6 onde η 0 e ω são respectivamente a amplitude e a requência da onda. O momento de inércia da plataorma spar, I, é igual a: [ D + l ( ] m I = + k yy (-7 onde k yy é o raio de giração e l o comprimento do casco da plataorma. Os coeicientes da massa adicionada para o aundamento e a aragem são dados respectivamente por (Jingrui et al., 00: A = πρw ; A = πρ wd KG + ( D KG (-8 D [ ]
0 O momento e a orça externos são descritos por unções periódicas dadas pelas expressões: F = K ( ω η cos( ω ; F K ( ω η cos( ω ; 0 t = (-9 0 t onde K e K são as amplitudes (dependentes da requência da onda - ω da orça e momento externos, respectivamente. A dependência entre as amplitudes das orças generalizadas e a requência da onda, de acordo com Jingrui e coautores (00, é dada por meio das curvas mostradas na Figura - (a e (b, correspondentes ao resultado da interpolação polinomial dos resultados de testes experimentais e expressa pelas seguintes equações: 7 6 4 K = (,ω + 4,967ω 4,40ω +,898ω 0, 9ω + 0,4 0,0ω + 6 0 ω 0,0 ; (-0 7 6 4 K = ( 9,804ω + 0,6ω 06,08ω + 79,ω 40, 6ω 4,7ω + 8,684ω,8 0 (- Da divisão das equações de movimento (- e (- pelos coeicientes dos termos de aceleração e utilizando-se as expressões de (- a (-9, obtém-se as seguintes equações de movimento para a plataorma spar : (a (b Figura - Amplitudes das orças generalizadas externas: (a orça de aundamento; (b momento de aragem.
( ωt k ( ω cos( ω ; && x + µ x& + ω0 x ax bη 0 cos = t && x ( ωt k ( ω ( ωt + µ x& + ω x a x x + a x η cos cos 0 0 = (- (- Os coeicientes das equações (- e (- são deinidos a seguir. Os coeicientes de amortecimento são expressos por: µ = C = ω ξ 0 ( m + A ( m + A ; C ω ξ µ = = (-4 0 ( I + A ( I + A, onde ξ e ξ são os atores de amortecimento respectivamente na direção do aundamento e da aragem e ω 0 e ω 0 são as requências naturais para os movimentos de aundamento e aragem, deinidas pelas seguintes expressões: ω = ρ +ga w w 0 m A ; V GM ω 0 = w (- I + A Os coeicientes dos termos não lineares da orça e momento restauradores são dados por: a ga H w w g = ρ ( m + A ; w w b ( ; = ρ w a m + A ( I + A ga Os coeicientes da orça e momento externos são: K K ( ( ω ω = ; K ( m + A V = (-6 K ( ω ω = (-7 I + A As equações (- e (- descrevem um problema de excitação paramétrica, já que apresentam termos harmônicos como coeicientes nas equações dierenciais de movimento... Modos normais lineares A linearização das equações de movimento (- e (- resulta no seguinte sistema de equações: & x + ω x 0 ; & x + ω x 0 (-8 0 = 0 = O sistema linear é desacoplado e possui dois autovetores distintos (modos normais lineares: Φ = (,000; 0,000 T e Φ = (0,000;,000 T associados aos dois autovalores, ω 0 e ω 0, (requências de vibração, consideradas inicialmente não proporcionais deinidos pelas equações (-.
.. Modos normais não lineares O método assintótico é utilizado para obtenção dos modos normais não lineares, de acordo com a abordagem baseada na deinição das variedades invariantes. Escolhe-se inicialmente o grau de liberdade relacionado ao movimento de aragem e sua velocidade como par mestre das variedades invariantes: x = u, x & = v (-9 Utilizando-se o par mestre deinido por (-9 investiga-se, primeiramente, a existência de modos normais similares. Desse modo identiica-se a existência de um modo similar cuja constante de proporcionalidade é igual a: ou seja: c = 0 (-0 x =, x& 0 (- 0 = A restrição dada pela eq. (-0 indica a existência de um modo desacoplado na direção do movimento de aundamento da plataorma. A substituição da eq. (-0 na versão não orçada e não amortecida da eq. (- resulta no seguinte oscilador modal: u& + ω u 0 (- 0 = O oscilador resultante do modo normal similar é igual ao resultante da análise modal linear, dado pela eq. (-8, constituindo assim um modo similar puramente linear. Não se obtém modos não similares isicamente consistentes usando-se o par mestre deinido por (-9. Isto indica que isicamente pode existir um movimento puramente vertical sem rotação, sendo este movimento descrito, dentro das hipóteses da ormulação adotada por uma equação linear. A próxima tentativa é escolher o movimento de aragem e sua velocidade como par mestre: x = u, x & = v (- As unções de restrição resultantes para o primeiro modo são iguais a:
x = P u ( v ( a a ( ω0 ω0 ω ( ω 4ω ( a a, = u + u v 0 0 0 ω0 0 0 (, v e para o segundo modo, tem-se: x = P u ( v ( a a ( uv ω 4ω ( ω 4ω (-4 x& = Q u = v + (- 0 ( a a ( ω0 ω0 ω ( ω 4ω 0 ( a a, = u + u v 0 0 0 ω0 0 0 (, v ( a a ( uv ω 4ω ( ω 4ω (-6 x& = Q u = v + (-7 0 Observa-se das equações (-4 a (-7 que a dierença entre as unções de restrição para os dois modos está apenas no sinal da parte linear dessas relações, sendo positivo para o primeiro modo (modo em ase e negativo para o segundo (modo ora de ase. Observa-se também que, no caso de ressonância interna : (x :x, os coeicientes dos termos não lineares resultam em singularidades, indicando assim, que a abordagem baseada nas variedades invariantes não pode ser utilizada nesses casos e que a análise deve ser eita utilizando-se um multimodo (incluindo ambos x e x como pares mestres, o que corresponde às equações originais de movimento (- e (- e não constitui uma redução de ordem do problema. As singularidades ocorrem nos termos cujo grau de não linearidade corresponde ao tipo de ressonância interna existente no sistema (: no caso do exemplo atual. Esse ato é um resultado direto da violação da propriedade de invariância das variedades invariantes causada pela ressonância interna. Esse exemplo ilustra a propriedade vantajosa da redução modal que utiliza os modos normais não lineares, principalmente para sistemas com um grande número de graus de liberdade. Nesse caso as ressonâncias internas não precisam ser conhecidas a priori, pois serão detectadas na expansão das unções de restrição por meio de singularidades nos termos não lineares, cujos graus são correspondentes a essas eventuais ressonâncias internas. Os osciladores modais são obtidos pela substituição das unções de restrição (- a (-7 na equação de movimento correspondente ao grau de liberdade de aragem, resultando para, respectivamente, o primeiro e segundo modos nas seguintes equações: 0
4 u&& + ω 0 u&& + ω 0 u a u a ω 0 u + a u a ( a a ( ω0 ω0 ω ( ω 4ω 0 ( a a ( ω 4ω 0 uu = a ω 0 0 a 0 & 0 0 ( a a ( ω0 ω0 ω ( ω 4ω 0 ( a a ( ω 4ω 0 uu = 0 0 & 0 0 u u + (-8 + (-9 Ambos os osciladores modais (-8 e (-9 apresentam termos não lineares quadráticos e cúbicos, sendo que o sinal do coeiciente do termo quadrático é positivo para o primeiro modo e negativo para o segundo modo. Já os termos cúbicos têm o sinal dependente dos valores dos coeicientes dos termos das orças restauradoras. A redução modal obtida com as equações (-8 e (-9 permite um tratamento mais simples da análise de vibração da estrutura nos modos correspondentes. Essa análise é objeto das próximas seções. A validade das superícies calculadas pelo método assintótico equações (-4 e (- é agora analisada com base no procedimento de Galerkin apresentado na seção.4. para obtenção das equações de restrição do primeiro modo. Para a amplitude oram utilizadas duas unções polinomiais no domíno a [ 0, ]rad, de acordo com a não linearidade das equações modais (Pesheck et al., 00a: a L ( a = 6 ; a0 a a L + ( a = 4 (-0 a0 a0 Para o ângulo de ase oram utilizados os três primeiros harmônicos no domínio φ [ 0, π ]rad. Os resultados da aplicação do método para o primeiro modo são: P ( a, φ = 7,7a cosφ ; (- = ( 0,446 + 0,69 cosφ + 0,89 cos φ + 0,48cos φ + ( 0,0 0,97 cosφ 0,404 cos φ + 0,7cos φ a Q( a, φ a (-
Os resultados para ambos os modos são praticamente coincidentes uma vez que somente o sinal do coeiciente linear das unções de restrição é oposto para cada um dos modos, assim são mostrados apenas os resultados para o primeiro modo. As variedades invariantes para o primeiro modo representadas pelas equações (- e (- são mostradas na Figura - junto com as mesmas superícies calculadas pelo método assintótico equações (-4 e (-. As variáveis das equações de restrição obtidas pelo método assintótico oram transormadas em coordenadas polares utilizando-se as expressões (-6. Observa-se nas Figura - (a e (b que, quanto maior a amplitude, maior a dierença entre as superícies modais obtidas por ambos os métodos, o que se justiica pela validade local dos métodos assintóticos, cujo domínio só pode ser determinado posteriormente à obtenção das variedades invariantes, comparandoas à solução numérica do sistema original de equações de movimento. O método baseado no procedimento de Galerkin tem seu domínio de validade deinido a priori. Utiliza-se também o procedimento numérico apresentado na seção..0 para obtenção das variedades invariantes do primerio modo. As equações de movimento oram integradas utilizando as seguintes condições iniciais: x (0 = 0,4 ; x& (0 = 0, 000 ; x (0 = 0, 00 ; x& (0 = 0, 000 (- As condições iniciais (- oram deinidas com ajuda das equações de restrição obtidas pelo método assintótico. Para se obterem variedades invariantes mais precisas podem ser utilizadas as unções de restrição obtidas pelo método de Galerkin o que resulta em: x (0 = 0,7; x& (0 = 0, 000 ; x (0 = 0, 00 ; x& (0 = 0, 000 (-4 As variedades invariantes obtidas pelo procedimento numérico, para as condições iniciais (- e (-4, são mostradas junto das superícies modais obtidas pelo método assintótico na Figura -4, onde se observa uma boa correspondência entre elas no domínio das variáveis deinido pelas condições iniciais utilizadas.
6 (a (b Figura - Equações de restrição para o primeiro e segundo modos comparação entre os métodos baseado no procedimento de Galerkin e assintótico: (a deslocamentos; (b velocidades. (a (b Figura -4 Equações de restrição para o primeiro e segundo modos comparação entre o procedimento numérico e o método assintótico: (a deslocamentos; (b velocidade..4. Resposta no tempo A análise numérica utilizada tem por base os parâmetros numéricos sugeridos por Jingrui e coautores (00, esses valores estão listados na Tabela -. Para esse exemplo numérico os valores das requências naturais de aundamento e aragem são respectivamente ω 0 =0,8 rad/s e ω 0 =0,60 rad/s. Os resultados da integração numérica das equações originais de movimento para o primeiro modo e segundo modo são apresentados na Figura -. Observase da Figura - (a que ambos os modos são não similares, ou seja, se apresentam como curvas e não retas no espaço de coniguração. Observa-se também, de acordo com a Figura - (b e a Figura - (c que o primeiro modo apresenta
7 solução para os movimentos de aundamento e aragem em ase, enquanto para o segundo modo esses movimentos estão ora de ase. Ambos os modos, nesse exemplo, podem ser vistos como uma continuação dos modos normais lineares, seguindo, portanto, a Deinição (Seção.., uma vez que as variedades invariantes são tangentes aos hiperplanos gerados pelos modos normais lineares do sistema. O problema apresenta dois modos não similares e um modo similar essencialmente linear, ou seja, resulta num oscilador modal linear expresso pela eq. (-... Relação requência-amplitude Utiliza-se o método do balanço harmônico para obtenção das relações entre requência e amplitude para os dois modos normais não lineares da plataorma. De acordo com o tipo de não linearidade observada nos osciladores modais (-8 e (-9, assume-se a seguinte solução harmônica: u ( t X X cos( ωt = (- + Utilizando-se as relações trigonométricas do Anexo I, obtém-se para o primeiro modo o seguinte sistema algébrico de equações não lineares em termos das amplitudes e requência do movimento: X 0,007X 0,00X 0,44X 0, 6XX 0,04Ω X X = 0 ; (-6 Parâmetro Símbolo Valor Altura da lâmina de água H w 08,000 m Diâmetro D 74,400 m Calado D 98,00 m Borda livre H b,00 m Peso total P 4,00 kn Massa especíica da água ρ w 999,000 kg/m Distância entre K e G KG 89,000 m Distância entre K e B KB 99,00 m Altura metacêntrica GM 0,00 m Tabela - Parâmetros do exemplo numérico da plataorma spar.
8 (b (a Figura - Resposta no tempo para os modos normais não lineares, c.i. :(0,00; 0,000; 0,0; 0,000: (a x x x ; (b x x t; (c x x t. (c Ω,000 + 0,0X + 0,4X + 0,08X + 0,0Ω X = 0; (-7 onde Ω é um parâmetro adimensional de requência deinido como: ω 0 Para o segundo modo obtém-se: ω Ω = (-8 X + 0,007X + 0,00X 0,44X 0, 6XX 0,04Ω X X = 0 ; (-9 Ω,000 0,0X + 0,4X + 0,08X + 0,0Ω X = 0 (-40 A dierença entre o sistema de equações (-6 e (-7 para o primeiro modo e o sistema de equações (-9 e (-40 para o segundo modo está apenas nos sinais invertidos nos coeicientes provenientes dos termos de não linearidade quadrática. Como a magnitude desses coeicientes é pequena se comparada com os coeicientes provenientes dos termos cúbicos, as curvas de ressonância mostradas nas Figura -6 (a e (b, onde X * =X + X, se mostram bastantes semelhantes para ambos os modos. Assim também o eeito da assimetria
9 provocado pelos termos quadráticos é desprezível nessas curvas. Observa-se um alto grau de não linearidade das curvas de ressonância para ambos os modos com o sistema apresentando orte perda de rigidez. Alguns pontos obtidos da integração direta das equações originais de movimento são também mostrados nas Figura -6 (a e (b como solução de reerência. Utiliza-se o método numérico com as equações levemente amortecidas apresentado na seção.. para obtenção da solução de reerência. A comparação entre a solução de reerência e a solução utilizando-se o modelo reduzido obtido por meio dos modos normais não lineares mostra uma boa correspondência até amplitudes de movimento menores que rad, o que já corresponde a oscilações de grande amplitude, revelando desse modo a validade das aproximações usadas no processo de derivação das expressões (-4 a (-7. A precisão da solução aproximada representada pela eq. (- pode ser estudada adicionando-se mais harmônicos à série, de acordo com o tipo de não linearidade das equações. Utilizam-se, assim, as seguintes aproximações com respectivamente três e quatro termos: u u ( t X + X ( ωt X cos( ωt = cos + (-4 ( t X + X ( ωt + X cos( ωt X cos( ωt = cos + 4 (-4 As curvas utilizando-se as expressões (-, (-4 e (-4 são mostradas na Figura -7 (a. Observa-se que a contribuição dos harmônicos adicionais é insigniicante na obtenção das curvas requência-amplitude para o exemplo considerado. Estuda-se, a seguir, a inluência dos termos não lineares retidos nas equações dos osciladores modais (-8 e (-9. Os resultados obtidos considerando-se somente até os termos quadráticos e, a seguir, incluindo a não linearidade cúbica, são mostrados na Figura -7 (b e comparados com a solução de reerência. Observa-se a relevância dos termos de não linearidade cúbica na obtenção de um modelo reduzido preciso. Isso acontece mesmo que ainda os termos cúbicos estejam incompletos nas equações dos osciladores modais, já que nas expansões polinomiais para obtenção das equações de restrição oram utilizados somente termos quadráticos. Os termos cúbicos sorem alterações no caso de aproximações de ordens mais elevadas para as variedades invariantes. A importância da inclusão dos termos cúbicos se deve ao ato, conorme observação
0 de Pesheck (000, de que a contribuição dos modos escravos incide nos termos cúbicos do oscilador não linear, no caso da presença de não linearidades quadráticas. Desse modo, os termos cúbicos, mesmo que imprecisos, são responsáveis pela descrição adequada da dinâmica do sistema pelo modelo de ordem reduzida. Com base nesses resultados utiliza-se nas análises das seções subsequentes o modelo reduzido com não linearidades quadráticas e cúbicas, expresso pelas equações dos osciladores modais (-8 e (-9. Quanto às expansões, utilizadas (a (b Figura -6 Curvas requência-amplitude: (a primeiro modo; (b segundo modo. (a (b Figura -7 Estudo de convergência das curvas de requência-amplitude: (a eeito do número de termos na expansão da solução; (b eeito da não linearidade do oscilador modal.
para aproximação de soluções periódicas, é sempre adotada a expressão dada pela eq. (-, acrescida de um harmônico senoidal no caso da presença de amortecimento..6. Espaço de ase O domínio de validade das expansões polinomiais também pode ser determinado comparando-se as órbitas dos movimentos correspondentes aos modos normais não lineares nos planos de ase obtidos da integração direta das equações originais de movimento e dos osciladores modais. Como no caso das curvas de ressonância, os planos de ase para ambos os modos são praticamente idênticos, e, portanto somente um deles é mostrado na Figura -8. Observa-se uma boa concordância entre as soluções de reerência e a solução do modelo de ordem reduzida dentro dos limites isicamente aceitáveis de oscilações. Assim como nas curvas de ressonância, a correspondência entre ambos os resultados se mantem com boa precisão até amplitudes de movimento menores que rad..7. Vibração orçada Ainda que as equações de movimento do modelo utilizado para a plataorma spar consistam de uma excitação paramétrica, é comum que se utilize a análise de vibração orçada harmônica como ase preliminar no estudo da dinâmica não linear do problema (Hann e Benaroya, 000b. Essa ase preliminar permite a obtenção de conhecimentos básicos sobre o comportamento do sistema quando em vibração orçada, muito adequada na ase inicial de projeto. Desse modo os termos de excitação paramétrica das equações (- e (- são desprezados nessa seção. Como na análise aqui realizada a amplitude da orça externa é pequena quando comparada as amplitudes do movimento, pode-se utilizar os modos normais obtidos na análise da vibração livre para dedução de um modelo reduzido orçado (Wang, 008, obtido pela inserção da orça harmônica externa nos osciladores modais (-8 e (-9, o que resulta em:
Figura -8 Espaço de ase para o primeiro e segundo modo, (linhas contínuas solução de reerência; linhas pontilhadas modelo reduzido. u&& + ω 0 u&& + ω 0 ( a a ( ω0 ω0 ω ( ω 4ω a u + µ u& a u u ( a a ( ω 4ω 0 a uu& = k ω 0 0 0 0 0 ( ω cos( ωt ( a a ( ω0 ω0 ω ( ω 4ω a u + µ u& + a u u ( a a ( ω 4ω 0 a uu& = k ω 0 0 0 0 0 ( ω cos( ωt + + (-4 (-44 A análise da dinâmica orçada dos osciladores (-4 e (-44 é mais simples que a análise direta do sistema original de equações. As curvas de ressonância, diagramas de biurcação e estabilidade são obtidos nas próximas seções utilizando-se os valores numéricos da Tabela -..7.. Curvas de ressonância As curvas de ressonância para vibração orçada amortecida de ambos os modos são obtidas pelos métodos do balanço harmônico e do comprimento de arco, utilizando-se a seguinte expressão: u ( t X + X ( t X sen( ωt = (-4 cos ω + As curvas são muito semelhantes para ambos os modos e os eeitos do amortecimento e da amplitude da onda são mostrados respectivamente na Figura
-9 (a e na Figura -9 (b, onde X*= X +(X + X / e ξ =ξ. Ambas as iguras mostram o eeito do salto dinâmico, exibindo trechos de soluções estáveis e instáveis. O salto dinâmico sore uma inluência acentuada do ator de amortecimento, como se observa na Figura -9 (a, desaparecendo na medida em que se aumentam os valores de amortecimento, sendo que nessas regiões a solução se aproxima da resposta linear. Já a Figura -9 (b mostra a inluência do valor da amplitude de onda. Essa inluência tem a sua relevância limitada à região da ressonância. A precisão do modelo reduzido obtido pelo uso dos modos normais não lineares pode ser veriicada comparando-se as curvas de ressonância obtidas pela aplicação do método do balanço harmônico ao sistema original de equações (- e (-, assumida como solução de reerência, para as curvas obtidas por meio da aplicação do método do balanço harmônico para o oscilador modal, eq. (-4 e (-44. Os resultados para η 0 =4,000 m e ξ=0,00 são mostrados na Figura -0, onde se utilizam para ambos os graus de liberdade do sistema original de equações aproximações iguais à expressa pela eq. (-4. Os resultados, assim como no caso da vibração livre, apresentam uma boa aproximação até amplitudes da ordem de rad..7.. Diagramas de biurcação Os diagramas de biurcação para ambos os modos são mostrados em termos das rotações e velocidades rotacionais nas Figura - (a e Figura - (b, respectivamente, onde Γ é um parâmetro adimensional de amplitude da carga deinido como: K Γ = K ( ω η0 η0 = ( ω 4,000 4, 000 (-46 Os diagramas da Figura - mostram uma biurcação tridente supercrítica, onde uma solução inicial estável biurca (para Γ =,0 dando origem a três soluções: duas estáveis (P e P e uma instável (P. Continuando-se a aumentar o parâmetro de carga, todas as soluções tornam-se instáveis. A Figura - mostra os planos de ase e as seções de Poincaré para cada um dos pontos indicados na Figura -, cujas coordenadas estão listadas na Tabela -. Todas as órbitas
4 (a (b Figura -9 Curvas de ressonância primeiro e segundo modos: (a Eeito do amortecimento; (b Eeito da onda. Ramos estáveis linhas contínuas; ramos instáveis linhas tracejadas. Figura -0 Curvas de ressonância primeiro e segundo modos. Comparação entre modelo reduzido e solução numérica do sistema original. Ramos estáveis linhas contínuas; ramos instáveis linhas tracejadas. obtidas são elípticas, correspondendo a soluções periódicas de período igual ao da orça, uma vez que a seção de Poincaré se reduz a um ponto.
.7.. Estabilidade Além das curvas de ressonância e diagramas de biurcação, a estabilidade da solução dos modelos reduzidos obtidos pelo uso dos modos normais não lineares pode ser estudada utilizando-se os diagramas de estabilidade para a equação de Mathieu. O domínio de estabilidade da solução em termos dos parâmetros de requência Ω e amplitude X * para ambos os modos é dado por: 0,0 0,04X + Ω Ω * 4 0,0X 4 Ω * 4 0,0ξ + Ω > 0 (-47 As curvas mostrando os limites das regiões estáveis e instáveis para alguns valores de amortecimento ξ são mostradas na Figura - (a, onde se observa que a inluência do amortecimento é bastante acentuada na região de ressonância e menos relevante em outras regiões. Combinando-se as equações algébricas do método do balanço harmônico, utilizando-se a expressão (-4 e a equação da ronteira de estabilidade (-47, pode-se obter a ronteira de estabilidade em termos do parâmetro de carga Γ e requência Ω. Os resultados são mostrados na Figura - (b..8. Excitação paramétrica Pela inclusão de um grau de liberdade ictício representando a carga externa, a vibração orçada paramétrica da estrutura é analisada utilizando-se o conceito de multimodo. Para isso consideram-se os seguintes pares mestres: x = ; x = ; cos u e as seguintes expansões modais: & v ( ω t = u ; sen ( ωt = v ω (-48 (, v, u v = a u + a v + a u + a u v + a v + a u + x = P u, 4 a v a u + a4 u v + a v + a uu + a uv + a vu + a4 + v v (-49 & (, v, u v = b u + b v + b u + b u v + b v + b u + x = Q u, 4 b v + b u + b4 u v + b v + b uu + b uv + b vu + b4 v v (-0
6 Utilizando-se os valores numéricos da Tabela - e um valor de requência adimensional (Ω igual a 0,70 e uma amplitude de onda (η 0 igual a 4,000 m, são obtidas as seguintes unções de restrição modais para o primeiro modo: P = u + 7,6u +,9v +,68cos( 0,70t+ 0,7cos (0,70t,46 sin ( 0,70t 4,74u cos( 0,70t +,9v sin( 0, 70t (- 4,0sin( 0,70t 4,08cos(0,70t ( 0,70t 0,64 cos(0,70tsin(0,70 Q = v 40,690u v v,4u sin + t (- Substituindo-se as equações (- e (- na eq. (-, obtém-se para o primeiro modo o oscilador não linear com coeicientes variáveis: u & + 0,u + 0,ξ u& 0,00u 0,04cos(0,70t u 0, 04u 0,00sin 0,6sin ( 0,70t u 0,40uu& 0,00cos ( 0, 70t u ( 0,70t uu& + 0,09 cos( 0,70t u = 0,0cos( 0, 70t (- Para o segundo modo, as unções de restrição são iguais a: P = u + 7,0u + 0,7v +,68cos( 0, 70t+,7 cos (0,70t +,46 sin 0,70t 6,06u cos 0, 70t ( ( + 0 ( 0, 7,44v sin 70t ; (-4 4,0sin( 0,70t,479cos(0,70t ( 0,70t 0,64cos(0,70tsin(0,70 Q = v 40,6u v v,766u sin + t (- Substituindo-se as equações (-4 e (- na eq. (-, obtém-se para o segundo modo o seguinte oscilador não linear: u & + 0,u + 0,ξ u& 0.00u 0,04cos(0,70t u 0, 04u 0,00sin 0,74sin ( 0.70t u 0,47uu& 0,00cos ( 0, 70t u ( 0,70t uu& + 0,00 cos( 0,70t u = 0,00 cos( 0, 70t (-6 As equações dos osciladores não lineares para os dois modos são praticamente idênticas, com pequenas dierenças nos valores dos coeicientes de alguns dos termos não lineares. Essas dierenças são desprezíveis nos diagramas e resultados obtidos a partir dos modelos reduzidos. Portanto, somente os resultados para o primeiro modo são mostrados nesta seção.
7 (a (b Figura - Diagrama de biurcação primeiro e segundo modos: (a rotações; (b velocidades rotacionais. Ramos estáveis linhas contínuas; Ramos instáveis linhas tracejadas. Figura - Órbitas no plano de ase e seções de Poincaré para os pontos da Figura - Ponto Γ u (rad v (rad/s P,70 -,648 0,06 P,70 -,869 0,0 P,70 -,67 0,04 Tabela - Coordenadas dos pontos dos diagramas de biurcação da Figura -.
8 Figura - Inluência do amortecimento no diagrama de estabilidade de Mathieu para o primeiro e o segundo modo: (a amplitude x requência; (b Γ x Ω (ξ=0,00. As equações de restrição dadas pelas equações (- e (- dependem do tempo e variam harmonicamente com a requência da onda, com um período igual a T =π/ω. As Figura -4 (a e Figura -4 (b mostram a variação das seções das equações de restrição para respectivamente deslocamentos e velocidades ao longo de um período. Observa-se uma grande variação da orma e magnitude das seções com o tempo em relação à seção obtida com o modo não orçado (vibração livre. Desse modo, mesmo com amplitudes de carga externa pequenas, o uso das variedades invariantes obtidas na vibração livre para o estudo da vibração orçada paramétrica pode conduzir a resultados discrepantes quando comparados àqueles obtidos pelo uso dos modos orçados. As unções de restrição também dependem da requência da onda; essa dependência pode ser vista nas seções mostradas na Figura - (a e na Figura - (b. Observa-se também que a inluência da requência da onda é grande sobre a orma e magnitude das equações de restrição, principalmente nas regiões de saltos dinâmicos, próximos à ressonância (Ω=0,70.
9 (a (b Figura -4 Variação das unções de restrição com o tempo vibração paramétrica: (a deslocamentos seção v=0; (b velocidades seção u=0. A inluência da amplitude da onda sobre a orma e magnitude das unções de restrição é mostrada nas Figura -6 (a e Figura -6 (b. Observa-se que comparada aos parâmetros de requência e à variação no tempo, a amplitude da onda tem menor inluência sobre a orma das seções, entretanto, quanto maior o valor da amplitude da onda, maior a dierença entre os valores das unções de restrição obtidos com o modo orçado e o modo não orçado..8.. Resposta no tempo A resposta no tempo, obtida pela integração direta dos osciladores modais é utilizada para comparação entre as respostas dos modelos reduzidos obtidos para vibração orçada harmônica e paramétrica usando-se alguns valores de requência de onda. Os valores de Ω iguais a 0,00; 0,70 e,00 oram utilizados e os resultados são mostrados respectivamente nas Figura -7, Figura -8 e Figura -9. Observa-se que, próximo à ressonância, a dierença entre as soluções considerando ou não os termos de excitação paramétrica nas equações de movimento é maior.
0 (a (b Figura - Variação das unções de restrição com a requência da onda vibração paramétrica: (a deslocamentos seção v=0; (b velocidades seção u=0. (a (b Figura -6 Variação das unções de restrição com a amplitude da onda vibração paramétrica: (a deslocamentos seção v=0; (b velocidades seção u=0. A comparação entre a solução obtida pelo modelo reduzido orçado e as equações originais de movimento é mostrada na Figura -0. Para Ω=0,00, ξ=0,00 e η=4,000 a Figura -0 mostra boa concordância entre o modelo reduzido e o sistema completo de equações originais do sistema. Já para valores próximos à região de ressonância (Ω=0,80, a Figura - mostra que a concordância diminui com o aumento do tempo, ainda que as amplitudes do movimentos sejam as mesmas para ambos os resultados.
(a (b Figura -7 Resposta no tempo Ω=0,00: (a rotações; (b velocidades rotacionais. (a (b Figura -8 Resposta no tempo Ω=0,70: (a rotações; (b velocidades rotacionais. (a (b Figura -9 Resposta no tempo Ω=,00. (a rotações; (b velocidades rotacionais.
(a (b Figura -0 Resposta no tempo comparação modelo reduzido e sistema completo de equações: (a rotações; (b velocidades rotacionais. (a (b Figura - Resposta no tempo comparação modelo reduzido e sistema completo de equações na região de ressonância: (a rotações; (b velocidades rotacionais..8.. Estabilidade As equações (- e (-6 não podem ser analiticamente transormadas em equações de Mathieu, por isso a ronteira de estabilidade deve ser construída
numericamente, utilizando-se os pontos de perda de estabilidade para vários valores de requência de onda. Os resultados dessa análise numérica da estabilidade da solução podem ser vistos na Figura - e na Figura -, onde as regiões instáveis estão abaixo da curva, e as estáveis acima dessa. Observam-se nas Figura - e Figura - algumas descontinuidades nos resultados. Essas descontinuidades advêm da inclusão do grau de liberdade adicional reerente à carga externa nas variedades invariantes para obtenção dos multimodos. A adição desse grau de liberdade ictício az com que as ressonâncias externas sejam tratadas pelo método como ressonância interna, ou seja, violando a condição de invariância das variedades invariantes. Desse modo, essas ressonâncias internas ictícias azem com que os coeicientes nas expansões (-49 e (-0 resultem em singularidades. Em unção do grau de não linearidade considerado na análise, as singularidades na expansão surgem nas relações : e : entre a requência da carga externa e dos graus de liberdade da plataorma (aundamento e aragem. Apesar dessa limitação a análise pode ser empregada na vizinhança da ressonância como mostram a Figura - e a Figura -. Figura - Fronteira de estabilidade, parâmetro de controle - amplitude das rotações e velocidades rotacionais (ξ=0,00.
4 Figura - Fronteira de estabilidade, parâmetro de controle - amplitude da orça externa (ξ=0,00.