GALILEU E AS NOVAS TECNOLOGIAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS NO ENSINO BÁSICO

GALILEU E AS NOVAS TECNOLOGIAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS NO ENSINO BÁSICO Wanderley Moura Rezende IMUFF Resumo: Este artigo pretende discutir a possibilidade de articular as idéias e ferramentas intelectuais que antecedem o desenvolvimento do cálculo infinitesimal, o espírito científico de Galileu e o uso de novas tecnologias, tendo como meta uma intervenção didática na educação básica no que se refere ao estudo do comportamento variacional das funções polinomiais. UM BREVE HISTÓRICO DO CONCEITO DE FUNÇÃO A origem do conceito de função está relacionada ao estudo das variações quantitativas presentes nos fenômenos naturais. Nesse sentido, pode-se afirmar que a contribuição dos filósofos escolásticos no estudo e tipificação dos movimentos dos corpos foi, sem dúvida, um dos grandes pilares na construção deste conceito. Nicolau de Oresme (133 138), por exemplo, ao estudar o movimento uniformemente acelerado, representou num gráfico a velocidade variando com o tempo da seguinte maneira: marcou instantes de tempo ao longo de uma linha horizontal que ele chamou de longitudes e representou as velocidades em cada tempo por linhas verticais, perpendiculares às longitudes, que ele denominou latitudes. Figura 1- representação gráfica de Nicolau de Oresme Esta representação é duplamente significativa: por um lado mostra duas grandezas relacionadas entre si, variando ao mesmo tempo, e por outro lado ilustra esta variação através de um gráfico. O conceito de função se estabelece, implicitamente, por meio da curva (uma reta) que ilustra que a taxa com que uma grandeza varia em relação a outra é constante. Faltavam ainda alguns ingredientes essenciais para se explicitar o conceito de função, é verdade. Mas tal fato se sucederia nos quatro séculos seguintes. O rompimento definitivo com a maneira aristotélica de explicar os fenômenos naturais veio através de Galileu Galilei (1564-164), que questionou publicamente dois grandes pilares da filosofia cristã: o homem como centro do universo e a física de Aristóteles como modelo para a

ciência. Contrariando Aristóteles, o pensador italiano demonstrou que o peso de um corpo não exerce influência na velocidade da queda livre e, de quebra, enunciou a lei da queda dos corpos no vácuo: o espaço percorrido por um corpo em queda livre é diretamente proporcional ao quadrado do tempo levado para percorrer este espaço. Interessante é observar que Galileu chegou a este resultado sem dispor dos atuais conceitos de derivada e integral (o Cálculo ainda estava para ser inventado ). Estabeleceu a relação funcional entre as grandezas observando apenas que a seqüência de dados obtidos para as medidas do espaço percorrido pelo corpo em queda livre gerava uma progressão aritmética de segunda ordem veja, por exemplo, (Boyer, 1949). No século XVI a Álgebra teve um significativo avanço. François Viète (1540-1603) fez uso, em seus trabalhos de uma vogal, para representar uma quantidade suposta desconhecida ou indeterminada e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados (Boyer, 1991). Surge então o conceito de variável que Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665), e depois Newton e Leibniz, iriam utilizar no estudo de curvas. É verdade, no entanto, que o conceito de função evoluiu no processo histórico de construção do conhecimento matemático: sai, gradativamente, do âmbito do Cálculo, enquanto relação entre quantidades variáveis, para o âmbito da Teoria dos Conjuntos. Tal definição apareceu tão somente no início do século XX e, historicamente, pouco contribuiu para o desenvolvimento do conhecimento matemático em sentido amplo. O CAMPO PEDAGÓGICO Pesquisas na área de ensino de Cálculo têm sustentado que o conceito de função tem sido uma das principais fontes de obstáculos epistemológicos para a aprendizagem dos conceitos básicos desta disciplina. Sierpinska (1987), Cabral (1998) e Rezende (003a) são alguns exemplos dessas pesquisas. Tal fato é um forte indicador de que o ensino de funções na educação básica não vem cumprindo bem a sua missão. De fato, uma forte evidência disso são as dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos estudantes na resolução de problemas de taxas relacionadas e problemas de otimização. Cabral (1998), analisando, por exemplo, o universo de respostas dadas pelos estudantes a alguns desses tipos de problemas, identifica quatro níveis de significação: o aritmético, o algébrico, o funcional e o diferencial, identificando entre eles uma hierarquia de natureza epistemológica. Segundo a pesquisadora, em situações problema dessa natureza, os dois primeiros níveis de significação são os mais comuns. Os alunos não conseguem definitivamente enxergar as quantidades variáveis envolvidas no problema nem tampouco a relação funcional entre elas: O difícil mesmo é encontrar

a função respondem os estudantes. Identificar o que varia, e em função de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução desse tipo de questão. Em outro contexto, Botelho (005) e Souza Sá (005), ao realizarem um mapeamento de como o ensino de funções polinomiais de primeiro e de segundo graus e de funções exponenciais e logarítmicas é desenvolvido em alguns livros didáticos do ensino básico de matemática, constataram a predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função. Fala-se, por exemplo, em injetividade ou sobrejetividade, mas não em crescimento ou decrescimento da função, ou melhor, em quanto e como cresce/decresce o valor de uma função em relação à sua variável independente. Discutem-se (caso existam) os zeros da função, mas não os seus pontos críticos, que são, em verdade, os seus pontos ótimos. A noção de função é, desse modo, estabelecida não no contexto da variabilidade, mas, em termos de uma correspondência estática entre os valores das variáveis x e y. O gráfico da função é, em geral, plotado através de uma tabela de valores notáveis. A curvatura das curvas que compõem o gráfico da função é, em geral, induzida pelo acréscimo de mais pontos. Assim, pode-se dizer, com base nos resultados de Botelho (005) e Souza Sá (005), que é desse modo, em termos da correspondência (x,f(x)), que se estabelece a noção de função em alguns dos principais livros didáticos do ensino básico nacional. Esta idéia não está errada conceitualmente, ao contrário, ela representa a forma como Dirichlet (1837) conceituou a noção de função: Uma função y(x) é dada se temos qualquer regra que associe um valor definido y a cada x em um certo conjunto de pontos (apud Rüthing, 1984). No entanto, tal interpretação do conceito de função, caracterizada pelo seu formato algébrico, se encontra na contra-mão da história do Cálculo e da sua própria evolução histórica. Segundo Caraça (1948), o conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso Universo. Portanto saber que a variação de uma grandeza depende da variação da outra é um aspecto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna incompleto do ponto de vista epistemológico, se não conseguimos dar qualidade e quantificar este processo de variação. Assim, para o bem do ensino de funções reais na educação básica, precisamos restabelecer a sua origem histórica. Precisamos recuperar os escolásticos, que ao matematizarem o conceito de função, viam nele um instrumento que permitia estabelecer uma tipificação da variação de uma grandeza em relação a outra(s) variável(veis). Nesse sentido, o estudo da variabilidade das funções reais torna-se imprescindível. Mas, surge então a questão atual de nossa pesquisa (Rezende, 003b): como tornar isto possível no ensino básico sem a presença do conceito de derivada, usualmente apresentada em uma disciplina inicial de Cálculo do ensino superior?

O ESTUDO DA VARIABILIDADE DA FUNÇÃO POLINOMIAL Ao que parece a resposta para a nossa questão está em Galileu. O cientista italiano também não dispunha do conceito de derivada e nem por isso deixou de reconhecer a relação funcional existente entre a posição de um objeto em queda livre e o tempo decorrido para a sua realização. Tudo que o grande mestre possuía como ferramenta matemática para resolver o problema, o nosso aluno do ensino médio, em geral, também dispõe. É só uma questão de organização e uma rearticulação dos conteúdos já ensinados, procurando dar evidência ao estudo do comportamento variacional das funções reais. Cabe destacar ainda que o nosso aluno dispõe hoje de uma ferramenta poderosíssima para a interpretação e análise de dados: o computador. Vejamos então uma ilustração dessa possibilidade. Um exemplo: o corpo em queda livre Suponha que a tabela 1 a seguir nos forneça as medidas da posição de um objeto em queda livre de uma experiência já realizada em um laboratório (Galileu, por exemplo, nos forneceu esses dados, cabe a nós, matemáticos, interpretar esses dados!). Mais precisamente, a tabela apresenta, uma vez escolhido o intervalo de tempo dt (variável livre), a medida da posição s (em metros) no instante inicial t=0, no instante 0+dt, até o instante 0+10dt (em segundos) e, por acréscimo, nos fornece os cálculos do deslocamento ou variação da posição ( s) definida por s[, ] = s ( t + dt ) - s ( t ) (quarta linha da tabela), da variação do deslocamento ou variação segunda da posição ( s) t t+ dt definida por s [, ] = s( t + dt) - s( t) (quinta linha da tabela), da variação terceira da t t+ dt posição ( 3 s) definida por 3 t t+ dt s[, ] = s ( t + dt ) - s ( t ) (sexta linha da tabela), em cada intervalo [t,t+dt]. dt 1 t 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 s 0 4,9 19,6 44,1 78,4 1,5 176,4 40,1 313,6 396,9 490 s 4,9 14,7 4,5 34,3 44,1 53,9 63,7 73,5 83,3 93,1 s 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 3 s 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabela 1: tabela que fornece os valores de s, s, s e 3 s, para dt = 1 segundo Por simples observação, pode-se verificar que a seqüência de valores de s é uma progressão aritmética de razão 9,8. As terceira e quarta linhas da tabela formam seqüências constantes: s = 9,8 e 3 s = 0.

Note que se escolhêssemos dt = 0,5, o nosso Galileu (a planilha eletrônica pré-programada), que também é versátil e eficiente, realizaria quase que instantaneamente uma simulação da experiência e nos forneceria as medidas e os cálculos para os novos intervalos de tempo. dt 0,5 t 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 s 0,000 1,5 4,900 11,05 19,600 30,65 44,100 60,05 78,400 99,5 1,500 s 1,5 3,675 6,15 8,575 11,05 13,475 15,95 18,375 0,85 3,75 s,45,45,45,45,45,45,45,45,45 3 s 0 0 0 0 0 0 0 0 Tabela : tabela que fornece os valores de s, s, s e 3 s, para dt = 0,5 segundo Novamente a tabela manteria alguns padrões. Com efeito, s, neste caso, é uma progressão aritmética de razão,45 ( s =,45). Poderíamos repetir a experiência, quantas vezes fossem necessário, para outros valores de dt, até que Heureca! A relação funcional entre as variáveis s e t é de tal modo que s é uma progressão aritmética. Um boa escolha para modelarmos este problema seria a função quadrática s( t) = c + bt + at. De fato, a expressão do deslocamento s [t,t+dt] para esta função real tem a forma de um polinômio de grau um em t: s [t,t+dt] = s(t + dt) s(t) = b(dt) + a(dt) +a(dt)t Como dt está fixado, k = b(dt) + a(dt) e λ = a(dt) são constantes. Re-escrevendo s [t,t+dt], obtemos s = k + λt, o que implica que s é uma progressão aritmética de razão igual a s [t,t+dt] = s(t + dt) s(t) = k + λ(t+dt) k λt = λdt. Assim, para determinarmos os parâmetros a, b e c da função bastaria observarmos que: Para dt = 1, λdt = 9,8 = adt a = (9,8) / 0 = s(0) = c 4,9 = s(1) = b + 4,9 b = 0. 9,8 Logo a função procurada é s( t) = t. Generalizando a idéia Note que o estudo que fizemos pode ser generalizado para qualquer função polinomial. Considere uma função polinomial de grau n, 0 1 p( x) = a + a x + a x... + a x, e x1, x,..., x i,... uma progressão aritmética de razão não nula. É fácil demonstrar, por meio de cálculos algébricos elementares, que: n n 1 A tabela foi construída em uma planilha eletrônica.

para uma função polinomial de grau 1 (n = 1), a seqüência p( x1 ), p( x),..., p( x i ),... é uma progressão aritmética de razão p[ x, x ] = p( x ) p( x ) não nula; 1 1 para uma função polinomial de grau (n =, como no nosso exemplo), a seqüência p[ x, x ], p [ x, x ],..., p[ x x ],... é uma progressão aritmética de razão 1 3 i 1, i p[ x, x ] = p[ x, x ] p[ x, x ] não nula; 3 3 1 e de modo geral, para uma função polinomial de grau k (n = k), k 1 p[ x x ] 1,, k k k 1 k 1 p [ x, 1], k x..., p k + [ x 1, ],... é uma progressão aritmética de razão i xi k k 1 k 1 p[ x, x ] = p[ x, x ] p[ x, x ] não nula. k k + 1 k k + 1 k 1 k se f : Em verdade, na resolução do exemplo anterior utilizamos tacitamente o seguinte resultado: R R é contínua, de tal modo que a seqüência f[ x, x ], f[ x, x ],..., forma uma progressão aritmética de razão f[ x, x ] = f[ x, x ] f[ x, x ] não nula para qualquer progressão aritmética 3 3 1 x1, x,..., x i,... de razão não nula, então f é uma função quadrática. Uma demonstração para esta proposição pode ser encontrada em (Lima et alii, 001). Esta caracterização pode ser estendida para as funções polinomiais de grau n, isto é, podemos caracterizar uma função polinomial de grau n como sendo a função contínua f : 1 3 R R que transforma toda progressão aritmética não-constante x1, x,..., x n,... em uma progressão artimética de ordem n não degenerada y1 = f ( x1 ), y = f ( x),..., y n = f ( x n ),.... Foge ao escopo deste artigo, fazer esta demonstração. Cabe ressaltar aqui que também não é objetivo deste artigo incentivar que o professor realize tal procedimento em sala de aula com seus alunos. Acreditamos que certos fatos podem e devem ser ignorados em determinados níveis de ensino. O rigor é uma função da maturidade matemática e cognitiva do aluno. A noção intuitiva de continuidade pode estar associada, por exemplo, à alegoria de Euler, isto é, uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico sem tirar o lápis do papel. Essa noção intuitiva, apesar de imprecisa, é legítima do ponto de vista histórico e faz parte, sem dúvida, do discurso docente de um curso inicial de Cálculo. Outra observação que deve ser feita é que este artigo destina-se ao docente do ensino básico e não ao seu aluno. Caberá uma reflexão sobre conteúdo discutido neste artigo para que se possam implementar efetivamente as idéias aqui sugeridas. Procedimento análogo ao apresentado aqui para as funções polinomiais pode ser adotado para as funções exponenciais e logarítmicas. Santos (008) vem estudando, em sua monografia de especialização, uma proposta para o estudo do comportamento variacional desta família de funções. No caso da função exponencial, por exemplo, a regularidade se apresenta na razão entre a variação da função no intervalo e o seu valor no início do intervalo.

CONSIDERAÇÕES FINAIS A proposta sugerida neste artigo tem como referência as funções polinomiais e funções exponenciais e logarítmicas. O cerne da proposta consiste em fazer uso do conhecimento adquirido dos estudantes, as progressões aritméticas e progressões geométricas, como ferramenta diagnóstico do comportamento variacionais das funções em destaque. As noções de continuidade e diferenciabilidade são introduzidas de forma intuitiva e alegórica ( alegoria de Euler para a continuidade e a alegoria da suavidade para o conceito de diferenciabilidade) e a passagem do nível discreto para o nível contínuo faz-se por meio de ferramenta computacional (planilhas eletrônicas). É verdade que o campo real continua escondido no ambiente computacional das planilhas eletrônicas. Mas também era assim na época de Galileu (antes da invenção do Cálculo) ou mesmo de Euler (depois da invenção do Cálculo) os números irracionais eram tratados como números nebulosos, e, mesmo assim, a invenção do Cálculo sobreviveu a este obstáculo epistemológico. Acredita-se que por meio do controle arbitrário das variáveis livres das tabelas (dx, ou mesmo os coeficientes das funções em questão), previamente programadas, o estudante possa inferir e verificar padrões numéricos das funções citadas, tantas vezes quantas forem necessárias. Uma vez observada as regularidades, o estudante precisa ser estimulado a enunciar proposições e demonstrálas, por meio de cálculos algébricos, e com o auxílio do professor (como, por exemplo, aqueles que foram feitos no exemplo do corpo em queda livre). Fazer o exercício da generalização é um importante exercício do próprio pensamento matemático. E ao fazer os cálculos algébricos para um dx arbitrário (racional ou irracional), o aluno estará exercitando não só o modo de pensar matemático com estará realizando a passagem do nível discreto para o nível contínuo de suas observações. Esta proposta pode ser estendida para o estudo de outras famílias de funções reais. Estudar o comportamento variacional das funções faz-se urgente e necessário. Precisamos, conforme já afirmamos neste artigo, resgatar o conceito de função no ensino médio do universo algébrico para o âmbito do Cálculo. Não basta sabermos que determinada função é crescente ou decrescente em um intervalo, mas precisamos, sobretudo, quantificar essa variação para que possamos dar qualidade ao seu estudo. Os problemas do cotidiano ou das ciências que podem ser resolvidos matematicamente em geral não trazem fórmulas em seus enunciados. Trazem sim quantidades variáveis como tempo, lucro, temperatura, peso, população, demanda, preço ou qualquer outra grandeza. Não existem grandes vantagens em saber apenas que o preço da gasolina vai subir ou que as taxas de juros no varejo caíram. O exercício da cidadania, cada vez mais complexo nos dias de hoje,

envolve também o conhecimento sobre como e o quanto variam as grandezas presentes em problemas que nos são apresentados em nossa vida cotidiana. Que o espírito crítico de Galileu esteja presente! Que a capacidade de simulação e de cálculo das novas tecnologias (computadores, softwares computacionais, sensores, etc) estejam presentes! Resgatar o estudo da variabilidade das funções reais no ensino básico é, sobretudo, um compromisso com o verdadeiro sentido do conceito de função. Referências Botelho, L. M. L. (005) Funções Polinomiais na Educação Básica: Uma Proposta. Monografia de Pósgradução. Niterói: UFF. Boyer, C. B. História da Matemática. (1991) a edição. Tradução de Elza Gomide de título original. S. Paulo: Edgard Blucher. Boyer, C. B. (1949) The History of the Calculus and its Conceptual Development. New York: Dover Publications Inc. Cabral, T. C. B. (1998) Contribuições da Psicanálise à Educação Matemática: A Lógica da Intervenção nos Processos de Aprendizagem. Tese de Doutorado. São Paulo: USP. Caraça, B. de J. (1948) Conceitos Fundamentais da Matemática. 9 a edição. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora. Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. (001) A Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática. v. 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática. Rezende, W. M. (003a) O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológica. Tese de Doutorado. São Paulo: USP. Rezende, W. M. (003b) Uma Proposta Didática de Emersão das Idéias Fundamentais do Cálculo no Ensino Básico. Projeto de Pesquisa. Niterói: UFF. Rüthing, D. (1984) Some Definitions of The Concept of Function from Joh. Bernoulli to N. Bourbaki. The Mathematical Intelligencer, v. 6, (4), pp. 7-77. Santos, F. L. M. (008) Uma Proposta Alternativa para o Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas na Educação Básica. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF. Sierpinska, A. (1987) Humanities Students and Epistemological Obstacles Related to Limits. Educational Studies in Mathematics, 18. pp. 371-397. Souza Sá, S. L. de (005) Um Mapeamento do Ensino de Funções Exponenciais e Logarítmicas no Ensino Básico. Monografia de Pós-gradução. Niterói: UFF.