Teoria intuitiva de conjuntos

Teoria intuitiva de conjuntos.................................... 1 Relação binária............................................ 10 Lista 3................................................. 15 Teoria intuitiva de conjuntos A teoria dos conjuntos é uma linguagem que é perfeitamente adequada para descrever e explicar todos os tipos de estruturas matemáticas; toda a matemática pode ser descrita na teoria dos conjuntos. Embora seja possível desenvolver a teoria de conjuntos de maneira axiomática, como foi feito por Ernest Zermelo (1908) e Abraham Fraenkel (1922). A abordagem aqui é intuitiva e será suficiente para nossos propósitos. Conjunto: um conjunto é um conceito primitivo, que informalmente pode ser entendido como uma coleção de entidades distintas, chamadas de elementos do conjunto. De fato, essa tentativa de definir conjuntos é circular pois usa o termo coleção que é quase sinônimo de conjunto. Assumimos que todos entendem a concepção intuitiva de conjuntos. Discorreremos sobre algumas propriedades que caracterizam o conceito de conjuntos. Eventualmente, é conveniente fixar um conjunto universo U donde são tomados os elementos que definem um conjunto, chamaremos U de universo do discurso. Usamos as letras maiúsculas do início do alfabeto A, B, C,... para denotar conjuntos. Pertinência: Dizemos que um elemento x pertence a um conjunto A se x é um elemento de A. O predicado x A é verdadeiro se x é elemento de A e x A denota não(x A). Vazio: conjunto vazio. Há um conjunto especial sem elementos chamado de conjunto vazio; o símbolo denota o Igualdade de conjuntos: Dois conjuntos A e B são iguais se têm os mesmos elementos. Descrição: Da igualdade de conjuntos podemos inferir que descrever todos os elementos de um conjunto é suficiente para defini-lo. Podemos descrever um conjunto de diversas formas. Se um conjunto tem poucos elementos, podemos listá-los entre chaves { }. Por exemplo, o conjunto do dígitos 1

primos é formado pelos números inteiros 2, 3, 5 e 7 e escrevemos {2, 3, 5}. Quando os conjuntos têm muitos elementos não é viável escrever todos seus elementos e uma solução comum, mas que só usamos quando o contexto não dá margem a ambiguidade sobre seu significado, é o uso de reticências (... ). Por exemplo, o conjunto dos naturais menores que 2.015 é descrito por {0, 1,..., 2.014}; o conjunto dos naturais pares {0, 2, 4, 6,... }. Podemos especificar um conjunto através de uma ou mais propriedade de seus elementos e, nesse caso, usamos a notação {a U: P(a)} ou mesmo {a: P(a)} quando o universo está subentendido, em que a é uma variável ligada ao universo do discurso U e P(a) uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa dependendo do valor de a, o conjunto é formado por aqueles valores que têm a propriedade, ou seja, pelos a U tais que P(a) é verdadeiro. Por exemplo, {x : x 2 2} = [ 2, 2]. Existem alguns conjuntos de números que são muito usados em matemática e têm notações convencionais bem estabelecidas:,, e denotam, respectivamente, os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais. Ademais + def == {x : x > 0} + def == {x : x > 0} + def == {x : x > 0} def == {x : x 0} def == {x : x 0} def == {x : x 0} Inclusão: Para um determinado universo U, o conjunto A é subconjunto de um conjunto B, fato denotado por A B, se todo elemento de A pertence a B, ou seja, ( a U)(a A a B). Se A não é subconjunto de B denotamos A B, A B não (( a U)(a A a B)) ( a U)não(a A a B) ( a U)(a A ou a B) Observemos que A = B A B e B A. e, assim, A B A B ou B A. Teorema 1. Para qualquer conjunto A, A. 2

Demonstração. Para provar que A precisamos provar que para todo a, a a A. Mas como a hipótese a é falsa, a implicação é verdadeira. Usaremos a notação A B com o mesmo significado de A B e, usaremos A B para expressar A B e A B. Operações União: A B denota o conjunto dos elementos x do universo que pertencem a A ou a B A B = {x U: x A ou x B} Interseção: A B denota o conjunto dos elementos x do universo que pertencem a A e a B A B = {x U: x A e x B} A e B são disjuntos se A B =. Notemos que, para conuntos A e B, A B A A B pois x A B x A e x A x A B. Diferença: A \ B denota o conjunto dos elementos x do universo que pertencem a A e não a B A \ B = {x U: x A e x B}. Diferença simétrica: A B denota o conjunto dos elementos x do universo que pertencem exclusivamente a A ou a B, não a ambos A B = {x U: x A B e x A B} Complemento: Se A U, o símbolo A U denota complemento de com relação ao universo U, A U = U \ A = {x U: x A} e se não há perigo de confusão (ambiguidade) usamos simplesmente A. Algumas referências usam a notação A C para denotar A. Exercício 2. Se A = [0, 3) e B = [2, 7) são intervalos da reta, determine 1. A B 2. A 3. A \ B 4. A B 5. A B 6. B \ A. Propriedades das operações em conjuntos: Deixamos para o leitor a verificação das seguintes propriedades de conjuntos 3

Leis de identidade Leis distributivas A U = A A = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Leis de dominação Leis comutativas A U = U A = Leis de idempotência A A = A A A = A A B = B A A B = B A Leis associativas A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Leis do inverso Duplo complemento A A = U A A = A = A Leis de De Morgan A B = A B A B = A B Leis de absorção A (A B) = A A (A B) = A Prova de uma das leis de De Morgan. Sejam A e B conjuntos e vamos provar que A B = A B. Para provar essa igualdade, precisamos provar que (i) A B A B e (ii) A B A B. Para provar (i), seja x A B x A B x A B por definição de complemento não(x A B) por definição de não(x A ou x B) por definição de não(x A) e não(x B) por De Morgan (proposicional) x A e x B por definição de complemento x A B por definição de Portanto A B A B. 4

Para provar (ii) basta notar que a recíproca de todas as implicações no argumento acima são verdadeiras, portanto A B A B. Das duas inclusões segue o teorema. Exemplo 3. Podemos simplificar (A B) C B usando as propriedades acima (A B) C B = ((A B) C) B De Morgan = ((A B) C) B duplo complemento = (A B) (C B) associativa = (A B) (B C) comutativa = ((A B) B) C associativa = B C absorção União e interseção com mais de dois conjuntos Sejam A 0, A 1, A 2,... conjuntos 1. 2. 3. 4. n i=1 A i def == {x U: x A i para algum i {1,..., n}}; A i = i 1 n i=1 i=1 A i def == {x U: x A i para algum inteiro i 1}; A i def == {x U: x A i para todo i {1,..., n}}; A i = i 1 i=1 A i def == {x U: x A i para todo inteiro i 1}. Conjunto das partes 2 A denota o conjunto formado por todos os subconjuntos de A, isto é, B 2 A B A conjunto das partes de A. Exercício 4. Descreva o conjunto 2. Algumas referências usam (A) ou P(A). Essa notação que adotamos se explica na próxima seção. 5

Cardinalidade Uma enumeração do conjunto A, caso exista, é uma bijeção f: {1, 2,..., n} A, para algum n. Desse modo, A = {f(1), f(2),..., f(n)} e dizemos que A tem n elementos. Observemos que se g: {1, 2,..., m} A é uma bijeção então m = n (prove). Assim, definimos que a cardinalidade de A é n e denotamos esse fato por A = n. Ademais, A = 0 se e só se A =. Nesses dois casos, A vazio ou existe uma bijeção com {1, 2,..., n}, dizemos que A é finito. Se A não é finito então A é infinito. O conjunto dos naturais não é finito. De fato, se houver uma bijeção f: {1, 2,..., n} então tomamos m = f(1) + f(2) + + f(n) e percebemos que m pertence à imagem de f No caso de conjuntos infinitos não se pode falar em quantidade de elementos. Podemos, no entanto, comparar as cardinalidades. Os conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade, e escrevemos A = B, se existe uma bijeção f: A B. Ademais, por abuso de notação, escrevemos A B se existe f: A B injetiva. Também, escrevemos A < B se A B e A B. O famoso Teorema de Schröder Bernstein estabelece que se A B e B A então A = B (esse fato não é óbvio no caso infinito). Exemplo 5. Alguns exemplos importantes são: 1. = ; 2. = ; 3. < ; 4. = I para qualquer intervalo I, I ; 5. 2 = ; 6. 2 =. Teorema 6. =. Demonstração. Definimos a função f: dada por 2z, se z 0 f(z) = 2( z) 1, se z < 0. Dado n, se n é par então n = 2z para algum z, portanto f(z) = n; senão n é ímpar, n = 2z 1 para algum z +, portanto f( z) = 2( ( z)) 1 = n. Assim f é sobrejetora. Agora, se f(z 1 ) = f(z 2 ) então 2z 1 = 2z 2 ou 2( z 1 ) + 1 = 2( z 2 ) 1 e em ambos os casos z 1 = z 2. Portanto a função é bijetora. O seguinte teorema mostra que sempre há um conjunto maior com respeito a alguma cardinalidade. Teorema 7 (Teorema de Cantor). Para todo conjunto A, A < 2 A. 6

2 A. Em outras palavras, existe uma função injetiva mas não existe uma função sobrejetiva de A para Demonstração. Se A = então A = 0 < 2 A = { } = 1. Seja A um conjunto não vazio. A função f: A 2 A a {a} é injetiva, portanto A 2 A. Pra mostrar que A 2 A provaremos que não há sobrejeção g: A 2 A. Suponhamos que g: A 2 A é sobrejetiva. Para todo a A, g(a) A. Definamos B def == {a A: a g(a)}. B A e g sobrejetiva implica que B = g(b) para algum b. Daí b B b g(b), pela definição do conjunto B, também, b B b g(b), uma contradição. Isso completa a prova. NO caso finito conseguimos um resultado masi preciso a respeito dessas cardinalidades. A notação 2 A para o conjunto das partes de A é inspirada no fato de que 2 A = 2 A para qualquer A finito. Teorema 8. Todo conjunto A de cardinalidade n tem 2 n subconjuntos distintos. Demonstração. Seja A um conjunto de cardinalidade n. Se n = 0 então A = é o único subconjunto dele mesmo e 2 0 = 1. Se n > 1 então existe uma bijeção f: {1, 2,..., n} A. Como A = {f(1), f(2), f(3),..., f(n)}, cada subconjunto B A corresponde a uma, e só uma, sequência b(b) = (b 1, b 2,..., b n ) {0, 1} n dada por b i = 1 f(i) B, para cada i {1, 2,..., n}, ou seja b: 2 A {0, 1} n B b(b) assim definida é bijetiva, de modo que 2 A = {0, 1} n = 2 n (prove usando Princípio da Indução). Enumerável: o conjunto A é dito enumerável se é finito ou se tem a mesma cardinalidade de, isto é A = de modo que A = {f(0), f(1), f(2),... }., e são enumeráveis. não é enumerável. Contínuo: o conjunto A é dito contínuo se A =. 7

Considerações a respeito do exemplo 5: usando o Teorema de Schröder Bernstein podemos mostrar de modo fácil algumas das igualdades. Por exemplo, claramente há uma função injetiva f: pois, logo. Para mostrar que consideremos os racionais não-nulo dados pelas frações da forma p, p e q, mdc(p, q) = 1 q agora, definimos g: por g(0) = 0 e ( ) p 2 p 3 q, se p > 0 g = q 5 p 3 q, se p < 0 que é injetiva (verifique). É possível exibir um bijeção entre e mas isso é bastante trabalhoso. O item 3 do exemplo tem a famosa demonstração de Cantor por diagonalização. Como, temos logo precisamos mostrar que. Suponha que exista f: (0, 1) bijetiva, então podemos enumerar (todos) os elementos do intervalo f(0) = 0,d 0,0 d 0,1 d 0,2 d 0,3 d 0,4... d 0,n... f(1) = 0,d 1,0 d 1,1 d 1,2 d 1,3 d 1,4... d 1,n... f(2) = 0,d 2,0 d 2,1 d 2,2 d 2,3 d 2,4... d 2,n.... f(n) = 0,d n,0 d n,1 d n,2 d n,3 d n,4... d n,n... com d i,j {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Consideremos o número real. = 0,d 0 d 1 d 2 d 3... d n... com d i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} \ {0, 9, d i,i } ( i ). Esse número pertence ao intervalo (0, 1) pois d i 0, logo é diferente de 0 = 0,00000..., e d i 9 logo é diferente de 1 = 0,9999.... Ademais, f(i) pois d i d i,i para todo n, uma contradição. Portanto, não existe f: (0, 1) bijetiva, tampouco f: bijetiva. Do item 4, temos que = (0, 1), nos itens 5 e 6 basta mostrarmos que (0, 1) (0, 1) (0, 1) e que 2 (0, 1). No primeiro caso, um ponto no quadrado (0, 1) (0, 1) é da forma (x, y) com x = 0,a 1 a 2 a 3... e y = 0,b 1 b 2 b 3..., e uma função injetiva sobre (0, 1) é dada quando mapeamos tal ponto em 0,a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3... de (0, 1). No segundo caso, um subconjunto B de pode ser representado por uma sequência binária infinita b 0 b 1 b 2... em que b i = 1 i B para todo i. Essa sequência é mapeada na representação binária 0,b 0 b 1 b 2... de um real do intervalo (0, 1); tal função é injetora (verifique). Para = I com I um intervalo de comprimento finito, em particular o caso (0, 1), deixamos a seguinte figura que representa uma bijeção f cuja interpretação e formalização fica a cargo do leitor. 8

x 1x2 I x 3 x 4 f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) f(x 4 ) Partição O conjunto {A 1, A 2,..., A n } é uma partição (finita) do conjunto A se seus elementos são subconjuntos não-vazio de A, disjuntos e a união deles é A, isto é, 1. A i A para todo i; 2. i j (j i A i A j = ) 3. n i=1 A i = A. Exemplo 9. Sejam R 0, R 1 e R 2 subconjuntos de definidos por R i = {n: n dividido por 3 deixa resto i} {R 0, R 1, R 2 } é uma partição de. Produto cartesiano Denotamos por (a, b) um par ordenado de elementos, no qual a é o primeiro elemento e b é o segundo elemento. Kuratowski definiu par ordenado em termos de conjunto como (a, b) def == {{a}, {a, b}}. Daí é claro que um par ordenado é diferente de um conjunto de dois elementos, pois a ordem é importante (por exemplo, o par (1, 2) é diferente do par (2, 1), verifique usando a definição acima). Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d (deduza esse fato da definição dada acima). A B denota o conjunto dos pares ordenados com o primeiro elemento em A e o segundo em B A B = {(a, b): a A e b B}. Como no produto cartesiano os pares são ordenados, temos que A B B A (exceto quando A = B ou A = ou B = ). Uma maneira de representar produtos cartesianos que envolvem conjuntos pequenos é chamada de diagrama de árvore. Por exemplo, no caso A = {2, 3, 4} e B = {4, 5}, o produto cartesiano é representado pela árvore 9

2 3 4 (2, 4) (2, 5) (3, 4) (3, 5) (4, 4) (4, 5) Na raiz temos uma ramificação para cada elemento na primeira coordenada, em cada ramo temos uma ramificação para cada elemento na segunda coordenada. No fimde cada ramo da árvore há um elemento do produto cartesiano. Relações A e B são conjuntos. Uma relação binária R de A para B é um conjunto R A B. Uma relação binária R sobre A é um conjunto de pares ordenados de elementos de A, em outras palavras, é um subconjunto R A A. Notação: Escrevemos a R b com o significado de (a, b) R. Escrevemos a R b com o de (a, b) R. Exemplo 10. São relações 1. < é uma relação binária e (2, 3) <, mas usamos 2 < 3. 2. + + é uma relação binária e (2, 4), mas usamos 2 4. 3. 2 2 é uma relação binária e ({1, 2}, {1, 2, 3}), mas usamos {1, 2} {1, 2, 3}. Notação: Para uma relação genérica, usamos símbolos como,,, ao invés de R. Propriedades de uma relação: das seguintes propriedades: uma relação binária sobre um conjunto A pode ou não ter uma reflexiva para todo a A, a a; irreflexiva para todo a A, a a; simétrica para todo a A, para todo b A, se a b então b a; antisimétrica para todo a A, para todo b A, se a b e b a então b = a; transitiva para todo a A, para todo b A, para todo c A, se a b e b c então a c. Exemplo 11. Em a relação x y se, e só se, x y < 1 é reflexiva, simétrica e transitiva.x 10

Exercício 12. Quais dessas propriedades têm as relações do exemplo 10. Exercício 13. A seguir, considere A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3} e classifique, quanto as propriedades acima, as relações sobre A e sobre B. 1. R 1 = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)}. 2. R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}. 3. R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 3)}. 4. R 4 = {(1, 1), (2, 3), (3, 3)}. 5. R 5 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}. Relações de equivalência Uma relação é de equivalência se for reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo 14. São exemplos de relações de equivalência 1. = é uma relação de equivalência em. 2. não é uma relação de equivalência em. 3. Semelhança de matriz é uma relação de equivalência sobre o conjuntos de todas as matrizes quadradas de ordem n de números reais. 4. (mod 3) é a relação dada pelos pares de inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por 3, é de equivalência. Classe de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto X e a X [a] def == {b X: b a} é o subconjunto de X formado por todos os elementos equivalentes a a, chamado de classe de equivalência de a. O elemento dentro dos colchetes é chamado de representante da classe. Por transitividade, qualquer elemento da classe pode ser seu representante. Seja b X com b a. Para todo c [a] vale c a, portanto, c b, logo c [b]. Reciprocamente, se c [b] então c [a], por argumento análogo. Assim [a] = [b]. Também, se [a] = [b] então de a [a] temos a [b], portanto a b. Com isso provamos a b [a] = [b]. (1) 11

O que podemos dizer no caso [a] [b]? Imediatamente, por (1) que a b. Para qualquer c X, se c a então b c, caso contrário teríamos uma contradição pela transitividade, de modo que [a] [b] =. Concluindo, dos parágrafos precedentes temos que para as classes de equivalência vale um dos casos: para quaisquer a, b X 1. [a] = [b], ou 2. [a] [b] =. O conjunto quociente de X pela relação de equivalência é o conjunto das classes de equivalência da relação X/ def == {[a]: a X}. Teorema 15. Se é uma relação de equivalência sobre o conjunto X então X/ é uma partição de X. Demonstração. Exercício. Exemplo 16. No caso de exemplo 9 R 0 = [0] = {..., 9, 6, 3, 0, 3, 6, 9, 12, 15,... } R 1 = [1] = {..., 8, 5, 2, 1, 4, 7, 10, 13, 16,... } R 2 = [2] = {..., 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 14, 17,... } Observemos que [0] = [3] = [6]. Reciprocamente, Teorema 17. Se A é uma partição do conjunto não vazio X, então a relação definida por a b se, e só se, existe A A, a A e b A é uma relação de equivalência. Demonstração. Sejam A, X e como no enunciado e vamos provar que é uma relação binária reflexiva, simétrica e transitiva. Para todo a X, a A para algum A A, pois A é partição; da definição temos a a, logo a relação é reflexiva. Se a b então a A e b A, para algum A A, mas também, b a. Logo a relação é simétrica. Finalmente, se a b então a A e b A, para algum A A, e se b c então b B e c B, para algum B A. Portanto b A B. Como A é partição A B = ou A = B. Vale a segunda opção. De a, c A temos a c. Logo a relação é transitiva. 12

Por exemplo, {R 0, R 1, R 2 } é a partição de dada no exemplo 9. Definimos sobre por a b se existe i {0, 1, 2} tal que a, b R i Relações de ordem Uma relação sobre um conjuto A é uma relação de ordem se essa for reflexiva, antissimétrica e transitiva. Exemplo 18. é uma relação de ordem sobre 2 e é uma relação de ordem sobre. Há uma diferença importante entre as duas relações de ordem do exemplo anterior, na primeira,, pode haver elementos incomparáveis, por exemplo, os conjuntos {1, 2} e {2, 3} são incomparáveis {1, 2} {2, 3} e {2, 3} {1, 2} enquanto que quaisquer dois números inteiros x e y são comparáveis x y ou y x. Se em A há elementos incomparáveis sob a relação de ordem então (A, ) é uma ordem parcial ou, conjunto parcialmente ordenado. Caso contrário (A, ) é uma ordem total ou, conjunto totalmente ordenado. Exemplo 19. (2 A, ), (, ) e ( +, ) são ordens parciais, somente (, ) é total. é, (A, ) é bem-ordenado se é uma ordem total e todo subconjunto não vazio de A tem mínimo, isto S A (S ( m S, a S(m a) )) Boa ordem é o que permite se provar coisas por indução sobre os naturais: Suponha que se P vale para todo n < k, então P vale para k. Com isso, podemos mostrar que P vale para todo k. 13

Notação a b significa a b e a b. Teorema 20 (Princípio da Indução para conjuntos bem-ordenados). Seja (A, ) bem-ordenado e P um predicado sobre A. Se para todo y A ( ) x A(x y P(x)) P(y) então para todo a A, P(a). Demonstração. A prova é por contradição. Suponha que para todo y A ( x A(x y P(x)) ) P(y) (2) e assuma que existe a A, não P(a). Defina S = {a A: não P(a)} que, por hipótese é não vazio. Seja m o menor elemento de S com respeito a ordem. Então, para todo x m vale P(x). Por (2), P(m) é verdadeiro, uma contradição. Exemplo 21. 14

3ª Lista de Matemática Discreta Conjuntos 1. Seja A = {1, {1}, {2}}. Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? a) { }; b) ; c) { }; d) = { }; e) { } {, { }}; f) { } {, { }}; g) { } = {, { }}; h) 1 A; i) {1} A; j) {2} A; k) {1} A; l) {2} A; m) {{1}} A; n) {{2}} A; o) {2} A; 2. Prove cada uma das propriedades das operações de conjunto. 3. Use as definições ou as propriedades das operações para escrever uma dedução para: a) A A B; b) B A B; c) A B A; d) A B B; e) B = (B A) (B A); f) A B = B A; g) A A = ; h) A B = A B. 4. Simplifique as expressões abaixo usando as propriedades de operações em conjuntos a) A (B \ A); b) (A B) (A B C D) (A B); c) (A \ B) (A B); d) A B (A B C). 5. Enuncie e prove as leis de De Morgan no caso de união e interseção com mais de dois conjuntos. 6. Prove que A e B são disjuntos se, e somente se, A B = A B. 7. Escreva o conjunto das partes de a) {1, 2, 3}; b) {{1}, {2}, {3}}. c) {{1, 2}, {3}}. 8. Seja o conjunto dos números inteiros. Para cada i {0, 1, 2} denote por R i o subconjunto dos números inteiros que deixam resto i quando divididos por 3. Prove que {R 0, R 1, R 2 } é uma partição de. 15

9. Seja q um número inteiro e positivo. Para cada i {0, 1,..., q 1} denote por R i o subconjunto dos números inteiros que deixam resto i quando divididos por q. Prove que {R 0, R 1,..., R q 1 } é uma partição de. 10. Sejam U um conjunto, E U e {A 1, A 2,..., A n } uma partição de U. Prove que E = n (A i E) i=1 11. Sejam A 1, A 2,..., A n conjuntos finitos. Prove que n A i = i=1 n A i A i A j + A i A j A k + + i=1 ( 1) k 1 1 i<j n 1 i 1 <i 2 < <i k n 1 i<j<k n A i1 A i2 A ik + + ( 1) n 1 A 1 A 2 A n 12. Sejam A 1, A 2,..., A n conjuntos finitos. Prove que A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n (Dica: use o princípio da indução finita) 13. Seja A U tal que 2 A = n. Determine 2 B se a) B = A {x} para algum x U \ A; b) B = A {x, y} para algum x, y U \ A; c) B = A {x 1, x 2,..., x k } para x 1, x 2,..., x k U \ A. 14. Mostre que o conjunto dos inteiros positivos ímpares tem a mesma cardinalidade que. 15. Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir. No caso de ser falsa, apresente um contra-exemplo. a) se A e B são infinitos então A B é infinito; b) se B é infinito A B então A é infinito; c) se B é finito A B então A é finito; d) se A é finito A B então B é finito. 16. Prove que acrescentar um novo elemento a um conjunto finito resulta num conjunto finito. 17. Prove que remover um elemento de um conjunto infinito resulta num conjunto infinito 16

18. Prove que todo conjunto infinito contem um subconjunto infinito enumerável. 19. Prove que todo subconjunto de um conjunto finito também é finito. 20. Prove que todo conjunto infinito contém um subconjunto próprio de mesma cardinalidade. 21. Sejam A, B, C e D conjuntos não-vazios. Prove a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (B C) A = (B A) (C A) d) (B C) A = (B A) (C A) e) A = f) A B C D A C e B D. 22. Dê um exemplo de uma relação no conjunto {1, 2, 3, 4} que seja a) reflexiva, simétrica e não transitiva; b) não reflexiva, simétrica e transitiva; c) reflexiva, antissimétrica e não transitiva. 23. Explique o que está errado na seguinte demonstração sobre uma relação binária R sobre A: Teorema. Se R é uma relação simétrica e transitiva então R é uma relação reflexiva. Demonstração. Seja x um elemento qualquer de A. Para todo y, se x R y então y R x, pois a relação é simétrica. Se x R y e y R x, então x R x pela transitividade. Portanto, R é reflexiva. 24. Considere a relação Z definida por (a, b)z(n, m) se, e só se a + m = b + n Prove que Z é uma relação de equivalência. 25. Seja m > 1 inteiro. Dois inteiros a e b são congruentes módulo m se m b a. Mostre que congruência módulo m é uma relação de equivalência. Determine as classes de equivalência e o conjunto quociente dos inteiros pela relação de equivalência. 26. Defina em a relação a b se e só se b = a ou b = a. Determine se a relação é de equivalência e, caso seja, determine as classes de equivalência. 27. Mostre que a relação nos inteiros não é de equivalência. 17

28. Seja (A, ) e (B, ) duas ordens totais. Definimos em A B a seguinte relação binária (a, b) (c, d) se a c (i.e., a c e a c) ou a = c e b b. Prove que (A B, ) é uma ordem total. Essa ordem é conhecida como lexicográfica. 29. Ordene os seguintes elementos de de acordo com a ordem lexicográfica: (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 4), (3, 5), (2, 4), (4, 4), (4, 1). 30. Um elemento b A da ordem parcial (A, ) é maximal se para todo a A, b a a = b, ou seja não existe a A com b a. Determine os elementos maximais de ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, ) e de (2 {1,2,3}, ). 31. Baseado no exercício anterior de uma definição para elemento minimal de uma ordem parcial e determine os elementos minimais de ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, ) e de (2 {1,2,3}, ). 32. Prove que se numa ordem parcial (A, ) há maior elemento então ele é único. 33. Numa ordem parcial (A, ) dizemos que C A é uma cadeia se os elementos de C são comparáveis entre si. Dizemos que C é uma anti-cadeia se os elementos de C são incomparáveis entre si. Determine as cadeias e as anti-cadeias de (2 {1,2,3}, ). 34. Prove que numa ordem parcial finita e não vazia há elementos maximal e minimal. 35. O diagrama de Hasse de uma ordem parcial (A, ) é uma representação gráfica dessa ordem. Nela os elementos do conjunto são ligados por arestas e a está ligado com b se a b e não existe c tal que a c b, ainda se a b então b aparece (verticalmente) acima de a no diagrama. O seguinte diagrama representa (2 {1,2,3}, ) {1, 2, 3} {2, 3} {1, 3} {1, 2} {3} {2} {1} 18

Desenhe o diagrama de Hasse de ({1, 2, 4, 5, 12, 20}, ) 36. Uma linearização (ou ordenação topológica) de uma ordem parcial (A, ) é uma sequência a 1, a 2,..., a n com todos os elemento de A que é compatível com, isto é, se i < j então a i a j, ou a i e a j são incomparáveis. Uma linearização de (2 {1,2,3}, ) é, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} Escreva outras duas linearizações possíveis para (2 {1,2,3}, ). 37. Seja S um conjunto de tarefas e uma relação de ordem, de modo que s t significa que s deve ser realizada antes de t. Uma linearização corresponde a uma sequência de realização de tarefas que é compatível com a ordem. Encontre uma ordem de tarefas para um projeto de software cuja ordem é representada por 19