TP501 Processos Estocásticos

P501 Processos Estocásticos Prof. Dr. Dayan Adionel Guimarães Motivação A natureza aleatória de muitos fenômenos observados em Engenharia se manifesta temporal ou espacialmente. Uma família de variáveis aleatórias que se manifesta desta maneira recebe o nome de processo estocástico ou simplesmente processo aleatório. Deste ponto em diante no nosso curso utilizaremos dos conceitos já estudados para caracterizar e analisar processos aleatórios comumente encontrados em problemas de telecomunicações. Prof. Dayan Adionel Guimarães

Referências Guimarães, D. A.. Digital ransmission: A Simulation-Aided Introduction with VisSim/Comm. Berlin-Heidelberg, Germany: Springer-Verlag, Inc., December 009. Ynoguti, Carlos Alberto. Probabilidade, Estatística e Processos Estocásticos, Apostila: Inatel, 011. Leon-Garcia, Alberto. Probability and Random Processes for ElectricalEngineering, nd Edition:Addison-Wesley, 1994. Scott Miller, Scott and Childers, Donald. Probability and Random Processes With Applications to Signal Processing and Communications, nd Edition: Elsevier, 004. Prof. Dayan Adionel Guimarães 3 Processo aleatório definição Seja, como exemplo, um sinal aleatório de tensão ou corrente e o conjunto de suas possíveis realizações (t, ζ 1 )... (t, ζ 4 ). Aum conjunto como este denomina-se processo estocástico (t). A cada uma das realizações citadas dá-se o nome de função amostra x(t) do processo (t). Se amostrarmos (t) em, por exemplo, t 1 e t, o conjunto de amostras comporá as variáveis aleatórias (t 1 ) 1 e (t ) com valores x 1 e x. ( t, ζ1) ( t, ζ) ( t, ζ3) ( t, ζ4) ( t ) 1 1 ( t) t1 t t t t t Prof. Dayan Adionel Guimarães 4

Processo aleatório observações Um processo aleatório (p.a.) é um conjunto de variáveis aleatórias indexadas temporal ou espacialmente. Se o índice é discreto tem-se um p.a. discreto; se o índice é contínuo tem-se um p.a. contínuo. Os possíveis valores do p.a. também podem ser discretos ou contínuos. em-se então 4 combinações. No caso de uma v.a. o resultado de cada experimento é um número chamado amostra. Para um processo estocástico o resultado de cada experimento é uma forma de onda chamada função amostra. O número de formas de onda no conjunto pode ser finito ou infinito. Prof. Dayan Adionel Guimarães 5 Processo aleatório exemplo A saída de um gerador de sinais binários em um período de 0 a 10 é um conjunto com 10 formas de onda (há incerteza sobre a realização do p.a., não sobre a forma de onda em si): ( t, ζ 1 ) ( t, ζ ) ( t, ζ 3 ) ( t, ζ 4 ) t t t t Prof. Dayan Adionel Guimarães 6

Processo aleatório estacionário Um p.a. é dito estacionário se possuir estatísticas independentes do instante de tempo em que a observação do processo se inicia. Isto significa que se um p.a. é dividido em um certo número de seções, estas seções exibirão propriedades estatísticas idênticas. Normalmente um p.a. estacionário origina-se de fenômenos físicos estáveis, como na maior parte dos casos em elecomunicações. Prof. Dayan Adionel Guimarães 7 P.a. estacionário no sentido restrito (1) Seja um p.a. (t) iniciado em t =. Sejam (t 1 ), (t ),..., (t k ) as v.a. obtidas pela observação do p.a. (t) nos instantes t 1, t,..., t k. Agora suponha que todos os instantes de observação sejam deslocados de τ, gerando o conjunto de v.a. (t 1 + τ), (t + τ),..., (t k + τ). O p.a. (t) é dito estacionário no sentido restrito (Strict-Sense Stationary, SSS) se as FDCs conjuntas satisfazem a: F ( x,..., x ) F ( x,..., x ) ( t + τ),..., ( t + τ) 1 k = ( t ),..., ( t ) 1 k 1 k 1 k Prof. Dayan Adionel Guimarães 8

P.a. estacionário no sentido restrito () A FDC conjunta de primeira ordem de um p.a. estacionário no sentido restrito independe do tempo: F ( x) = F ( x) = F ( x) para todot e ( t) ( t+τ) τ A FDC conjunta de segunda ordem de um p.a. estacionário no sentido restrito depende somente da diferença entre os instantes de observação, não do valor específico destes instantes: F ( x, x ) = F ( x, x ) paratodo t et ( t ), ( t ) 1 (0), ( t t ) 1 1 1 1 Prof. Dayan Adionel Guimarães 9 Exemplo de probabilidade de um evento conjunto Seja determinar a probabilidade de se obter uma função amostra x(t) de um p.a. (t) que passe pelas janelas de amplitude mostradas na figura ao lado. Isto equivale a se determinar a probabilidade do evento conjunto A={a i < (t i ) b i }, i=1,,3. Em termos da FDC conjunta tem-se: P[ A] = F ( b, b, b ) F ( a, a, a ) ( t ), ( t ), ( t ) 1 3 ( t ), ( t ), ( t ) 1 3 1 3 1 3 Prof. Dayan Adionel Guimarães 10

Exemplo de um p.a. estacionário Se o p.a. (t) do slide anterior for estacionário no sentido restrito, a probabilidade do seu conjunto de funções amostra passar pelas janelas de amplitude na parte (a) da figura ao lado é igual à probabilidade do conjunto de funções amostra passar pelas janelas de amplitude na parte (b) desta figura. Prof. Dayan Adionel Guimarães 11 Estatísticas de primeira ordem podem não ser suficientes O p.a. Y(t) ao lado é simplesmente o p.a. (t) comprimido no tempo. Ambos têm a mesma FDP (de primeira ordem), mas Y(t) tem componentes de freqüência mais elevadas. Como podemos levar isso em conta nas estatísticas do processo? (t) Y(t) Estatísticas de segunda ordem podem resolver o problema, especialmente a função de auto-correlação... Prof. Dayan Adionel Guimarães 1

Média e função de auto-correlação de um p.a. Amédia de um p.a. (t)observado no instante t é: µ ( t) E[ ( t)] xf ( x) dx Para um p.a. estacionário do sentido restrito, a média independe de t: A função de auto-correlação de um p.a. (t) é o valor esperado do produto de duas v.a. (t 1 ) e (t ), obtidas pela observação do p.a. nos instantes e t 1 e t, respectivamente: ( t) Para um p.a. estacionário no sentido restrito: = = µ ( t) = µ para todo t R ( t, t ) E[ ( t ) ( t )] x x f ( x, x ) dx dx = = 1 1 1 ( t1), ( t) 1 1 R ( t, t ) = R ( t t ) para todo t e t 1 1 1 Prof. Dayan Adionel Guimarães 13 Propriedades da função de auto-correlação Por simplicidade de notação vamos escrever R ( τ) = E[ ( t + τ) ( t)]. A função de auto-correlação é par: R ( τ) = R ( τ) O seu máximo valor ocorre em τ = 0, ou seja: R ( τ) R (0) O valor quadrático médio do p.a. é dado por: E t R [ ( )] = (0) Quanto mais rapidamente um p.a. varia, mais rapidamente sua função de autocorrelação decrescerá. P.a. com flutuações lentas P.a. com flutuações rápidas Prof. Dayan Adionel Guimarães 14

Função de auto-covariância de um p.a. A função de auto-covariância de um p.a. (t) é a covariância das v.a. (t 1 ) e (t ), obtidas pela observação do p.a. nos instantes t 1 e t, respectivamente. Pode ser interpretada como a função de auto-correlação do processo centralizado: {[ ][ ]} K ( t, t ) = E ( t ) µ ( t ) ( t ) µ ( t ) = R ( t, t ) µ ( t ) µ ( t ) 1 1 1 1 1 Para um p.a. estacionário do sentido restrito, a função de autocovariância vale: K ( t, t ) = R ( t t ) µ 1 1 Prof. Dayan Adionel Guimarães 15 Função de auto-correlação exemplo (1) A função amostra x(t) ao lado pertence ao p.a. (t) referente a uma seqüência binária aleatória tal que: bit 1 +A, bit0 A. Os pulsos não são sincronizados: o instante de início t d do primeiro bit completo pode estar entre 0 e com FDP uniforme. Bits consecutivos têm valores 0 ou 1 igualmente prováveis E[(t)] = 0, e cada bit tem seu valor independente de qualquer valor anterior ou posterior. Vamos determinar a função de auto-correlação do p.a. (t)... Prof. Dayan Adionel Guimarães 16

Função de auto-correlação exemplo () Solução: inicialmente vamos considerar t k t i. Neste caso ( t e k) ( t i ) ocorrem em diferentes intervalos de pulso e são, portanto, independentes: E[ ( t ) ( t)] = E[ ( t )] E[ ( t)] = 0, t t k i k i k i Agora vamos considerar t k t i <, com t i < t k. Neste caso ( t e vão k) ( t i ) ocorrer no mesmo intervalo de pulso somente se t d < t k t i. Então: A, td < tk ti E[ ( tk) ( ti) td] = 0, caso contrário Para descondicionar aplicamos a Lei da Esperança otal: E[] = E[E( Y)] Prof. Dayan Adionel Guimarães 17 Função de auto-correlação exemplo (3) Realizando a média sobre todos os possíveis valores de t d, obtemos: t [ ( ) ( )] k t i t ( ) k t A t i k ti E tk ti = A f t 1 0 d d dtd = dtd = A 0 E finalmente, com τ = t k t i : R Lei da Esperança otal: E[] = E[E( Y)] τ A 1 ( τ) =, τ < 0, τ Prof. Dayan Adionel Guimarães 18

P.a. estacionário no sentido amplo O teste de estacionariedade no sentido restrito envolve a verificação de independência temporal das estatísticas de n-ésima ordem do processo em questão, n. Na prática muitas vezes é suficiente verificar se as estatísticas de primeira e de segunda ordem não variam com o tempo. Um processo aleatório cuja média independe do tempo e a função de auto-correlação depende somente da diferença entre os instantes de observação, não do valor específico destes instantes, é denominado p.a. estacionário no sentido amplo (Wide-Sense Stationary, WSS), ou simplesmente estacionário. Prof. Dayan Adionel Guimarães 19 Processos aleatórios ergódicos (1) As médias de um p.a. são, por definição, médias estatísticas tomadas através do processo, ou seja, operando no conjunto de funções amostra. Para os processos ergódicos, as médias estatísticas podem ser obtidas por meio de medias temporais (ou espaciais) realizadas a partir de uma única Estocásticos função amostra. Em telecomunicações os processos aleatórios podem ser considerados, em sua maioria, ergódicos. WSS SSS Ergódicos Prof. Dayan Adionel Guimarães 0

Processos aleatórios ergódicos () Para um processo ergódico (t), considere um intervalo de observação de uma de suas funções amostra, x(t). A média e a função de auto-correlação podem ser determinadas temporalmente pelas médias amostrais: 1 / µ ( ) = x( t) dt / [ µ ] = µ { [ µ ]} lim ( ) lim var ( ) = 0 1 / R( τ, ) = x( t ) x( t) dt + τ / [ R τ ] = R { [ R τ ]} lim (, ) ( τ) lim var (, ) = 0 Prof. Dayan Adionel Guimarães 1 Processos aleatórios ergódicos (3) minutos minutos Prof. Dayan Adionel Guimarães

Funções de correlação cruzada para p.a. estacionários As funções de correlação cruzada para os processos (t) e Y(t) são: R ( τ) = E[ ( t) Y( t + τ)] e R ( τ) = E[ Y( t) ( t + τ)] Y Uma forma usual de representação das propriedades de correlação envolvendo dois processos aleatórios é a matriz de correlação: R( τ) RY( τ) R( τ) = RY( τ) RY( τ) Y Prof. Dayan Adionel Guimarães 3 Processos descorrelacionados e ortogonais Prof. Dayan Adionel Guimarães 4

Processamento de Sinais Aleatórios Motivação No estudo de sistemas de comunicação é comum encontrarmos problemas que envolvem a passagem de sinais aleatórios por sistemas lineares, tais como filtros de transmissão e recepção, multiplicadores, integradores, etc. Neste capítulo utilizaremos de forma combinada os conceitos sobre processos aleatórios e sobre sistemas lineares, objetivando caracterizar os processos aleatórios de entrada e de saída de um sistema linear. Prof. Dayan Adionel Guimarães 6

Notação e principais médias Sistema linear invariante no tempo. Y( t) = ( t) h( t) = h( u) ( t u) du = ( u) h( t u) du µ ( t) = E[ Y( t)] = h( u) E[ ( t u)] du = h( u) µ ( t u) du Y Se o processo ( t) é estacionário, RY( t, τ) = E[ Y( t) Y( t + τ)] = E h( u) ( t u) du h( v) ( t + τ v) dv = h( u) h( v) E[ ( t u) ( t + τ v)] dudv se ( t) é estacionário, Resposta ao impulso µ = µ h( t) dt = µ H(0) Y R ( t, τ) = R ( τ) = h( u) h( v) R ( τ v + u) dudv Y Y Prof. Dayan Adionel Guimarães 7 Densidade espectral de potência (1) A densidade espectral de potência (DEP) S ( f) descreve como a potência de um sinal (aleatório ou determinístico) (t) se distribui na freqüência e, por esta razão, é medida em watts/hertz (W/Hz). A densidade espectral de potência e a função de auto-correlação de um p.a. estacionário formam um par na transformada de Fourier, ou seja: jπ fτ S( f) = R( τ) e d τ jπ fτ R( τ) = S( f) e df Prof. Dayan Adionel Guimarães 8

Densidade espectral de potência () Algumas propriedades da DEP: O valor quadrático médio de um p.a. é dado pela área sob a curva de densidade espectral de potência: S f df R E t ( ) = (0) = [ ( )] A densidade espectral de potência é uma função par: S ( f) = S ( f) Prof. Dayan Adionel Guimarães 9 Densidade espectral de potência (3) Exemplo 1: retornemos ao exemplo referente a uma seqüência binária aleatória, apresentado no Capítulo 8, de onde obtivemos: R τ A 1, τ < ( τ) = 0, τ De uma tabela de transformada de Fourier podemos obter: t < 0, t ransformada 1, t de Fourier sin ( π f) ( π f) Prof. Dayan Adionel Guimarães 30

Densidade espectral de potência (4) Então, a DEP de uma seqüência aleatória de pulsos de duração e amplitudes {± A} será: A [ τ ] S ( f) = I R ( ) = sin ( π f) ( π f) = A sinc ( f) S ( f) em escala logarítmica (dbm/hz, por exemplo). Estime E[ (t)] por meio da área sob S ( f) e compare com R (0). Prof. Dayan Adionel Guimarães 31 Densidade espectral de potência (5) O valor de S ( f) encontrado no exemplo anterior pode ser escrito envolvendo a densidade espectral de energia (DEE) de um pulso g(t) retangular, de amplitude A e duração, ou seja: S G( f) g( f) ( f) = = E A sinc ( f) = Este resultado pode ser generalizado: uma onda binária aleatória na qual os bits 1 e 0 são representados por pulsos +g(t) e g(t), respectivamente, tem DEP S ( f) dada pela divisão da DEE E g (f) do pulso formatador g(t) pela duração do pulso,. Prof. Dayan Adionel Guimarães 3

Densidade espectral de potência (6) Exemplo : uma situação que ocorre tipicamente em sistemas de comunicação é o processo de modulação de uma portadora por um sinal de informação aleatório, conforme abaixo: Y( t) = ( t)cos( π f t + Θ) onde Y(t) é o p.a. modulado, (t) é o p.a. modulador associado à informação e cos(πf c t + Θ) é o p.a. correspondente à portadora de freqüência f c e fase aleatória Θ uniformemente distribuída em (0,π]. Seja determinar a DEP do sinal modulado Y(t) a partir do conhecimento da DEP do sinal modulador (t). c Prof. Dayan Adionel Guimarães 33 Densidade espectral de potência (7) Inicialmente identificamos que o sinal modulador (t) é independente da fase da portadora, Θ. Então podemos escrever: R ( τ) = E[ Y( t) Y( t + τ)] Y = E[ ( t)cos( π f t + Θ ) ( t + τ)cos(π f t + π f τ + Θ)] c c c = E[ ( t) ( t + τ)] E[cos( π f t + Θ )cos(π f t + π f τ + Θ)] c c c Usando a identidade cos(α)cos(β)=½cos(α β)+½cos(α+β), tem-se: R ( τ) = R ( τ) E[cos( π f τ) + cos(4π f t + π f τ + Θ)] 1 Y c c c = 1 R ( τ)cos( π f τ) c Prof. Dayan Adionel Guimarães 34

Densidade espectral de potência (8) omando a transformada de Fourier de ambos os lados e sabendo que a transformada de um produto de funções no tempo é a convolução das correspondentes transformadas, tem-se: { [ δ δ ]} [ S ( f f ) S ( f f )] S ( f) = S ( f) ( f f ) + ( f + f ) 1 1 1 Y c c = + + 1 4 c c De acordo com este resultado, para determinarmos a DEP de um sinal modulado Y(t) basta replicar a DEP S ( f) do sinal modulador (t) em torno de ± f c e multiplicar o resultado por ¼. Prof. Dayan Adionel Guimarães 35 Exercício Seja um p.a. estacionário Z(t) = Acos(πf c t + Θ), correspondente a uma portadora co-senoidal de amplitude A, freqüência f c e fase aleatória Θ uniformemente distribuída em (0, π]. Pede-se: a) Determine e esboce a função de auto-correlação R Z (τ). b) Determine e esboce a densidade espectral de potência S Z ( f). c) Sendo Z(t) independente de um outro p.a. qualquer (t), determine a função de auto-correlação de Y(t) = (t)z(t). d) Determine S Y (f), a densidade espectral de potência de Y(t), comparandoa com o resultado obtido no exemplo considerado anteriormente. e) Esboce S Y (f), considerando que (t) é uma seqüência aleatória de pulsos equiprováveis de duração e amplitudes {±1}. Prof. Dayan Adionel Guimarães 36

Estimando a DEP de um p.a. ergódico (1) Por dificuldade de tratamento matemático, algumas vezes temos que nos contentar com estimativas da DEP obtidas pela observação de uma função amostra do processo aleatório em um intervalo : 1 S( f) = lim E ( f, ) onde (f,) é a magnitude da transformada de Fourier de uma função amostra janelada (observada em segundos). Na prática diferentes formas de janelamento e diferentes formas de média (alisamento smoothing) são empregadas. A seguir temos um exemplo de como o aplicativo VisSim/Comm trata esta questão... Prof. Dayan Adionel Guimarães 37 Estimando a DEP de um p.a. ergódico () ela do VisSim/Comm para o experimento EstimaçãoDEP.vsm Prof. Dayan Adionel Guimarães 38

DEP na entrada e na saída de um sistema linear Prof. Dayan Adionel Guimarães 39 Funções de correlação cruzada para p.a. estacionários As funções de correlação cruzada para os processos (t) e Y(t) são: R ( τ) = E[ ( t) Y( t + τ)] e R ( τ) = E[ Y( t) ( t + τ)] Y Uma forma usual de representação das propriedades de correlação envolvendo dois processos aleatórios é a matriz de correlação: R( τ) RY( τ) R( τ) = RY( τ) RY( τ) Y Prof. Dayan Adionel Guimarães 40

Processos descorrelacionados e ortogonais Prof. Dayan Adionel Guimarães 41 Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários (1) Embora tendo significado menos intuitivo que a DEP de um único p.a., as densidades espectrais cruzadas estabelecem uma certa dependência entre as componentes de freqüência de processos (t) e Y(t) quaisquer. Elas são definidas por: ( ) ( ) j f π τ e ( ) ( ) j π f τ Y = Y Y = Y S f R τ e dτ S f R τ e dτ Um exemplo pode melhor ilustrar uma aplicação do conhecimento das densidades espectrais cruzadas... Prof. Dayan Adionel Guimarães 4

Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários () Exemplo: suponha que os processos (t) e Y(t) têm média nula e são individualmente estacionários. Seja o p.a. Z(t) = (t) + Y(t), para o qual deseja-se determinar a densidade espectral de potência. R ( τ) = E[ Z( t) Z( t + τ)] Z = E{[ ( t) + Y( t)][ ( t + τ) + Y( t + τ)]} = E[ ( t) ( t + τ)] + E[ ( t) Y( t + τ)] + E[ Y( t) ( t + τ)] + E[ Y( t) Y( t + τ)] = R ( τ) + R ( τ) + R ( τ) + R ( τ) Y Y Y omando a transformada de Fourier de ambos os lados, tem-se: S ( f) = S ( f) + S ( f) + S ( f) + S ( f) Z Y Y Y Prof. Dayan Adionel Guimarães 43 Densidades espectrais cruzadas para p.a. estacionários (3) Desse resultado concluímos que as densidades espectrais cruzadas S Y (f) e S Y (f) representam as componentes de freqüência que precisam ser adicionadas ao par de DEPs dos processos (t) e Y(t) para que a DEP da soma Z(t)=(t)+Y(t) seja obtida: S ( f) = S ( f) + S ( f) + S ( f) + S ( f) Z Y Y Y Observe que se os processos (t) e Y(t) forem ortogonais as correlações cruzadas serão nulas e, neste caso, teremos: S ( f) = S ( f) + S ( f) Z Y Prof. Dayan Adionel Guimarães 44

Relações úteis entre densidades espectrais e correlações A figura a seguir ilustra as relações entre as densidades espectrais simples e cruzadas e as correspondentes funções de auto-correlação e de correlação cruzada. Prof. Dayan Adionel Guimarães 45 Processo aleatório Gaussiano Seja uma variável aleatória Y definida a partir de uma relação funcional linear com um processo aleatório (t), conforme abaixo, onde g(t) é uma função qualquer e é um intervalo de observação arbitrário. Y = 0 g( t) ( t) dt Se a v.a. Y é Gaussiana para qualquer função g(t) e intervalo de tempo na relação funcional acima, dizemos que o p.a. (t) é Gaussiano. Prof. Dayan Adionel Guimarães 46

Filtragem de um p.a. Gaussiano (1) no slide 4. Prof. Dayan Adionel Guimarães 47 Filtragem de um p.a. Gaussiano () Exemplo 1: em receptores de sistemas de comunicação é usual que seja inserido logo na entrada um filtro, chamado filtro de recepção, cujo objetivo é reduzir a influência do ruído na recuperação da informação transmitida. Como veremos mais adiante, este ruído é normalmente um p.a. Gaussiano. Portanto, na saída do filtro de recepção teremos também um p.a. Gaussiano, o que nos permitirá, de forma simples, analisar matematicamente o comportamento do sinal a partir do qual recuperaremos a informação. Prof. Dayan Adionel Guimarães 48

Filtragem de um p.a. Gaussiano (3) Exemplo a: vimos ao final do Cap. 3 um exemplo de um sistema de comunicação móvel no qual a magnitude R(t) e a fase Θ(t) do desvanecimento no canal variam aleatoriamente com distribuição de Rayleigh e Uniforme, respectivamente. Podemos então definir um Processo Gaussiano Complexo R(t)e jθ(t), no qual a parte real (t) e a parte imaginária Y(t) são p.a. Gaussianos. al processo pode ser obtido por meio de: = + Θ ( t) = arctan [ Y( t) ( t) ] R( t) ( t) Y ( t) Prof. Dayan Adionel Guimarães 49 Filtragem de um p.a. Gaussiano (4) Exemplo b: se quisermos gerar este p.a. Gaussiano complexo, com o atributo de permitir o ajuste da velocidade de variação do desvanecimento, podemos implementar o esquema do slide seguinte. Nele, filtros controlam a taxa de variação dos processos Gaussianos componentes e, assim, controlam a taxa de variação da magnitude e da fase do desvanecimento. A freqüência de corte desses filtros é diretamente proporcional à velocidade relativa entre transmissor e receptor que se deseja simular. Prof. Dayan Adionel Guimarães 50

Filtragem de um p.a. Gaussiano (5) Veja experimento PAgaussCplx.vsm Numa simulação, (t) e Y(t) poderiam ser gerados por Box-Muller, por exemplo. R(t) para alta freqüência de corte dos filtros. R(t) para baixa freqüência de corte dos filtros. Prof. Dayan Adionel Guimarães 51 Processo aleatório Gaussiano definição alternativa x =[x 1, x,..., x k ]. µ é o vetor de médias: µ =[µ 1, µ,..., µ k ], µ i = E[(t i )], i=1,,..., k. C é a matriz de covariâncias de ordem k k e elementos C i,j = C (t i, t j ) = C (t j t i )=E{[(t j ) µ j ][(t i ) µ i ]}, i, j=1,,..., k. C 1 é a matriz inversa da matriz de covariâncias. C é o determinante da matriz de covariâncias. Exercício: determine as FDPs dos processos Gaussianos para k=1 e k=. Prof. Dayan Adionel Guimarães 5

Ruído Em sistemas de comunicação damos o nome de ruído a qualquer sinal aleatório indesejado que comprometa a transmissão e o processamento de recepção da informação. Dentre os tipos mais comuns destacam-se o ruído impulsivo e o ruído térmico. Daremos mais atenção ao ruído térmico, devido à sua presença em todos os sistemas de comunicação. O ruído impulsivo, embora menos freqüente, pode ser muito danoso, por exemplo, em sistemas de recepção de V Digital. O ruído térmico é o grande limitador de desempenho de um sistema de comunicação, principalmente quando a intensidade do sinal recebido é pequena (baixa relação sinal-ruído). Prof. Dayan Adionel Guimarães 53 Ruído érmico (1) Causado pelo movimento aleatório dos elétrons em um condutor qualquer. O valor quadrático médio de tensão V N do ruído térmico nos terminais de um resistor, medido na banda de f Hertz, é: E[V N ]=4kR fvolts onde k é a constante de Boltzmann (1,38 10 3 J/K), é a temperatura absoluta, em K, e R é a resistência em Ω. Equivalente de hévenin Prof. Dayan Adionel Guimarães 54

Ruído érmico () Sendo grande o número de elétrons em um resistor, com movimentos aleatórios independentes, o teorema do limite central indica que o ruído térmico é Gaussiano de média nula. Na condição de máxima transferência de potência a carga deve ter resistência igual a R. Neste caso a potência média de ruído térmico disponível sobre esta carga será: N ( E[ VN] ) ( 4kR f ) = = = k f R R watts Prof. Dayan Adionel Guimarães 55 Ruído Branco (1) Em sistemas de comunicação o ruído térmico tem a forma idealizada que diz que sua densidade espectral de potência é constante para qualquer freqüência. Daí o nome ruído branco. O p.a. ruído branco W(t), de função amostra w(t), tem densidade espectral bilateral (componentes em f + ): N S f = 0 W( ) W/Hz onde N 0 = k e é a densidade de potência de ruído produzida na entrada do receptor de um sistema de comunicação cuja temperatura equivalente de ruído é e. Prof. Dayan Adionel Guimarães 56

Ruído Branco () A temperatura equivalente de ruído é a temperatura a que um resistor deve ser submetido para que, ao conectá-lo à entrada de uma versão sem ruído do sistema, produza a mesma potência média de ruído que aquela produzida por todas as fontes de ruído do sistema real. Perceba que e depende somente dos parâmetros e componentes do sistema. O ruído branco se manifesta de forma aditiva ao contaminar um sinal e, por esta razão, poderá ser denominado daqui em diante de ruído aditivo Gaussiano branco (AWGN Additive White Gaussian Noise). Prof. Dayan Adionel Guimarães 57 Ruído Branco (3) Como a densidade espectral de potência e a função de autocorrelação de um processo aleatório se relacionam através da transformada de Fourier, para o ruído branco temos que: N N S f R τ δ τ 0 0 W( ) = W( ) = ( ) Prof. Dayan Adionel Guimarães 58

Ruído Branco (4) Perceba que o ruído branco é a última palavra em termos de aleatoriedade, ou seja, duas amostras de W(t) tomadas em instantes diferentes, não importando o quão próximas estejam no tempo, têm correlação nula. O ruído branco é um modelo idealizado fisicamente irrealizável, pois sua potência média é infinita. Entretanto, sempre que a largura de faixa de ruído for significativamente maior que a largura de faixa do sistema sob análise poderemos modelar o ruído como branco. Prof. Dayan Adionel Guimarães 59 Ruído Branco filtrado (1) Seja o ruído branco W(t) aplicado a um filtro passa-baixas ideal de banda B Hz e de magnitude da resposta em freqüência unitária. A DEP do ruído N(t) de saída será então: S N N B 0 N0, B < f < B RN( τ) = exp( j π fτ) df ( f) = B 0, f > B = N0Bsinc( Bτ) Prof. Dayan Adionel Guimarães 60

Ruído Branco filtrado () Sendo W(t) um p.a. Gaussiano, N(t) também o será. Se N(t) é amostrado a B amostras por segundo, tais amostras serão Gaussianas, descorrelacionadas, terão variância igual a N 0 B, terão média nula e serão estatisticamente independentes. w(t) n(t) W(t) h(t) N(t) Prof. Dayan Adionel Guimarães 61 Largura de faixa equivalente de ruído (1) Em grande parte dos problemas em sistemas de comunicação precisamos considerar o ruído como sendo branco na faixa de operação do sistema, mas muitas vezes tal sistema não pode ser considerado com tendo resposta em freqüência ideal (banda B Hz e H( f) =1). A solução consiste em considerar o ruído como sendo branco numa largura de faixa equivalente de ruído. Isto é feito substituindo-se a resposta em freqüência do filtro ou sistema por uma resposta ideal de tal forma que ambas produzam e mesma potência média de ruído em suas saídas. Prof. Dayan Adionel Guimarães 6

Largura de faixa equivalente de ruído () Considere as respostas dos filtros real e ideal mostradas na figura: Resposta ideal Resposta real H(f) Potência média de ruído de saída do filtro real: N 0 N = H( f) df = N0 H( f) df 0 N0 Para o mesmo ruído conectado ao filtro ideal teremos N = H (0)B A largura de faixa equivalente de ruído será: B = 0 H( f) df H (0) Prof. Dayan Adionel Guimarães 63 Correlação entre W(t)e cos(πf c t) (1) Seja o ruído branco W(t) aplicado a um CORRELAOR que efetua a correlação entre W(t) e uma portadora co-senoidal: Correlator Amostras de N(t) em t=. ( ) ( )cos( π ) 0 c N = W t f t dt Então N() é uma v.a. Gaussiana com média E[N()] = 0 e variância: ( ( ) [ ( )]) = E N E N σ Prof. Dayan Adionel Guimarães 64

Correlação entre W(t)e cos(πf c t) () Desenvolvendo obtemos: onde Então: ( ) ( )cos( ) π 0 c σ = E W t f t dt = E W( t)cos( π f ) ( )cos( ) 0 0 ct W u π fcu dtdu = = 0 0 0 0 E[ W( t) W( u)]cos( π f t)cos( π f u) dtdu R ( t, u)cos( π f t)cos( π f u) dtdu W c c N R t u δ t u 0 W(, ) = ( ) N σ = δ π π 0 0 0 ( t u)cos( fct)cos( fcu) dtdu c c Prof. Dayan Adionel Guimarães 65 Correlação entre W(t)e cos(πf c t) (3) A propriedade sifiting (ou sampling) da função δ(t) diz que: Então: = N x( t) δ( t t ) dt = x( t ) 0 0 = ( t u)cos( f t)cos( f u) dtdu 0 σ δ π π N 0 0 0 cos ( π ) 0 c 0 cos(4 π f ) 0 ct dt N0 1 1 N0 f t dt = + = + N σ = 0 onde, por aproximação, admitiu-se que a freqüência da onda co-senoidal é um múltiplo inteiro de 1/. c c Prof. Dayan Adionel Guimarães 66

Estudos dirigidos 1) Por meio de um estudo no livro HAYKIN, Simon, Communication Systems, 4 th Edition, John Wiley and Sons, Inc.: New York, USA, 001, pp. 64-69, faça uma dissertação sobre o modelo de ruído de faixa estreita nas suas representações em fase e em quadratura (in-phase and quadrature) e em envoltória e fase (envelope and phase). ) Realize uma pesquisa que permita que você obtenha detalhes sobre um modelo estatístico de ruído impulsivo para aplicações em projeto e testes de sistemas de radiodifusão de V Digital. Prof. Dayan Adionel Guimarães 67