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Capítulo 4 Movimento em duas e três dimensões
Posição e Deslocamento Posição A posição de uma partícula pode ser descrita por um vetor posição em relação a uma origem. Deslocamento O deslocamento de uma partícula é a variação do vetor posição.
Exemplo: Movimento bidimensional
Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula sofre um deslocamento r em um intervalo de tempo t, a velocidade média é. Como velocidade média
Velocidade Média e Velocidade Instantânea A velocidade instantânea é o limite quando t tende a zero. Como
Exemplo: Velocidade bidimensional
Aceleração Média e Aceleração Instantânea Usando uma definição semelhante à da velocidade média, aceleração média e fazendo t tender a zero, a aceleração tende para o valor da aceleração instantânea, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Movimento bidimensional de um coelho aceleração
Movimento de um Projétil (Movimento Balístico) Projétil é qualquer partícula que se move em um plano vertical com uma velocidade inicial v 0 e com aceleração de queda livre sempre voltada para baixo. Exemplos esportivos: Futebol Tênis Basquetebol Voleibol Golfe
A velocidade inicial do projétil é onde O Movimento Horizontal é Uniforme O Movimento Vertical é Uniformemente Variado
Análise do Movimento Balístico Uma vez que: e Movimento Horizontal: Aceleração 0 Movimento Vertical: Aceleração g
Equação da Trajetória Podemos obter a equação para a trajetória da partícula eliminando a variável t entre as equações da posição de modo a escrever y(x). Fazendo x 0 = y 0 = 0, temos Equação da trajetória
Alcance horizontal, na ausência de forças externas O alcance horizontal R de um projétil é a distância percorrida até o projétil voltar à altura de onde foi lançado. As equações das componentes x e y da trajetória são: R Fazendo x 0 = 0; y 0 = 0; x = R e y = 0; temos Eliminando t, obtemos: Alcance horizontal
O alcance horizontal R será máximo quando: logo O alcance horizontal R é máximo para um ângulo de lançamento de 45.
Exemplo: Movimento balístico
Exemplo: Movimento balístico (continuação)
Movimento Circular Uniforme
Movimento Circular Uniforme Uma partícula está em movimento circular uniforme se ela descreve um arco de círculo em sua trajetória com velocidade escalar constante. Quando a direção da velocidade da partícula muda, existe uma aceleração!!! ACELERAÇÃO CENTRÍPETA aceleração centrípeta Onde v é a velocidade da partícula e r é o raio da circunferência.
Demonstração de que a = v 2 /r Temos então Substituindo (t) no vetor posição, podemos calcular a velocidade O módulo da velocidade será dado por
Para a aceleração temos O módulo da aceleração será dado por Como, temos Módulo da aceleração centrípeta
A expressão mostra que a aceleração centrípeta é um vetor antiparalelo ao vetor radial que localiza a partícula, sendo assim, podemos concluir que a aceleração sempre aponta para o centro da trajetória. Se o movimento circular for variado, também teremos uma aceleração tangencial que modifica o módulo e/ou sentido da velocidade, ao passo que aceleração centrípeta modifica apenas a direção da mesma. Dessa forma a aceleração total será a composição das duas. onde
Demonstração alternativa de que a = v 2 /r Como
Exemplo: pilotos de caça fazendo curvas Como não conhecemos o valor do raio R, vamos eliminar R nas equações de a e T, o que nos dá onde v é o módulo (constante) da velocidade durante a curva. Supomos que a curva é feita em movimento circular uniforme. Nesse caso, a aceleração do piloto é centrípeta e o módulo da aceleração é dado por a =v 2 /R. Além disso, o tempo T para descrever uma revolução completa é T =2 R/v Para determinar o período T do movimento, observamos que a velocidade final é o negativo da velocidade inicial. Isso significa que o avião terminou a curva do lado oposto da circunferência e, portanto, completou meia-volta em 24,0 s, o que nos dá um período T = 48,0 s. Substituindo os valores de v e T na equação de a, obtemos
Movimento Relativo em uma Dimensão A velocidade de uma partícula depende do referencialdo observador. Suponha que Alexandre (A) está na origem do referencial A (como na Fig. 4-18), observando o carro P (a partícula ) passar. Suponha que Bárbara (B) está na origem do referencial B e está dirigindo na estrada com velocidade constante, também observando o carro P. Suponha que ambos meçam a posição do carro em um dado momento. Nesse caso, Aqui, x PA é a posição de P medida por A; x PB é a posição de P medida por B; x BA é a posição de B medida por A.
Movimento Relativo em uma Dimensão v BA é a velocidade com que o sistema B se move em relação ao sistema A. Logo, Para encontrar as velocidades, temos Aqui, v PA é a posição de P medida por A; v PB é a posição de P medida por B; v BA é posição de B medida por A. Uma vez que v BA = cte, temos Logo, o sistema B é um sistema de referencia inercial
Exemplo: Movimento relativo
Movimento Relativo em Duas ou Três Dimensões A e B, os dois observadores, estão observando P, a partícula, em seus referenciais. B está se movendo com velocidade constante em relação a A, enquanto os eixos correspondentes dos dois referenciais permanecem paralelos. r PA é a posição de P no referencial A, etc. A conclusão é a seguinte: Sendo, temos
Exemplo: Movimento relativo em duas dimensões