FOLHA 2 Programação Linear : modelação matemática 1. A fábrica de gelados Derretem-se na Boca SARL fabrica 2 qualidades de gelados : de nozes (C) e de frutas (P). A loja encontra-se localizada numa animada área turística de modo que toda a produção é sempre vendida. Um cone de C custa 75$00 e um cone de P custa 60$00. Um cone de C necessita de 4 gr de mistura de frutas e de 2 gr de noz moída. Um cone de P requer 6 gr de mistura de frutas e 1 gr de noz moída. Apenas podem ser produzidas por hora 96 gr de mistura de frutas e 24 gr de noz moída. Quantos cones de cada tipo devem ser fabricados de modo a maximizar a receita em cada hora? Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente. 2. Uma empresa labora em dois processos produtivos, fabricando 2 produtos : P1 e P2. No primeiro processo, 1 Kg de matéria-prima dá origem a 2 unidades de P1 e 1 unidade de P2, gerando 20 g de um resíduo altamente poluente. No segundo processo, com 1 Kg de matéria-prima obtêm-se 1 unidade de P1 e 3 unidades de P2, gerando 10 g do mesmo resíduo. A empresa dispõe de 3 toneladas de matéria-prima e deve satisfazer encomendas de 2000 unidades de P1 e 4000 unidades de P2. Atendendo a que a empresa pretende minimizar a quantidade produzida de resíduo poluente : a) Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente. b) Quais as quantidades de P1 e P2 produzidas em cada processo? c) Qual a quantidade de matéria-prima não utilizada? d) Qual a quantidade total de resíduo poluente produzido? 3. Uma empresa electrónica fabrica 2 tipos de circuitos impressos : A e B. Os do tipo A são vendidos por 4000$00 e os do tipo B por 5000$00. No processo produtivo, ambos os tipos de circuitos passam por 2 máquinas. Na 1ª, os circuitos do tipo A são trabalhados durante 4 horas e os do tipo B durante 5 horas. Na outra, os circuitos passam 4 e 3 horas, respectivamente. A 1ª máquina pode
4 Programação Linear : modelação matemática funcionar durante um máximo de 32 horas, enquanto a outra máquina não pode exceder as 24 horas de funcionamento. A empresa pretende maximizar a receita. Formule matematicamente o problema e resolva-o graficamente. Qual a receita máxima que a empresa pode obter? 4. Devido a alterações de mercado, os preços dos produtos A e B referidos no problema anterior, caíram para 4 e 3 mil escudos, respectivamente. Em simultâneo, modificações no processo produtivo, requeridas por um mais rigoroso controlo de qualidade, levaram à aquisição de uma nova máquina, onde tanto o produto A como o B sofrem alterações durante 1 hora. No entanto, esta máquina não pode funcionar menos de 8 horas semanais. Reformule o problema com as novas condições, representando graficamente a região admissível. 5. Os produtos 1, 2 e 3 são manufacturados passando por 3 operações : A, B e C. Os tempos (em minutos) requeridos por unidade de cada produto, a capacidade diária das operações de fabrico (em minutos/dia) e o lucro por unidade vendida de cada produto (numa dada unidade monetária) são : Operação Tempo por unidade Capacidade Operativa Produto 1 Produto 2 Produto 3 (min/dia) A 1 2 1 430 B 3 0 2 460 C 1 4 0 420 Lucro unitário (u.m.) 3 2 5 Supondo que toda a produção é vendida, formule o problema, de modo a obter um lucro máximo. 6. Um agricultor pode usar 2 tipos de cereais para alimentar as suas galinha (ver tabela seguinte) : Tipo de Unidades nutritivas (Kg/cereal) Custo/Kg cereal cereais Vitamina A Vitamina B Vitamina C (escudos) 1 5 4 2 60 2 7 2 1 350 O número mínimo de unidades nutritivas requeridas por dia é de 8, 15 e 3 para as vitaminas A, B e C, respectivamente. Sabendo que se pretende minimizar o custo da alimentação das galinhas, formule o problema como um de programação linear.
Programação Linear : modelação matemática 5 7. Uma empresa produz 2 tipos de cintos : A e B. As margens brutas unitárias respectivas são de 160$00 e 70$00. Cada cinto do tipo A exige o dobro do tempo necessário à produção dum cinto do tipo B. A empresa pode fabricar diariamente 1 000 cintos do tipo B. A quantidade de cabedal fornecido à empresa é apenas suficiente para fabricar por dia 800 cintos. O cinto do tipo A necessita de uma fivela de luxo e só se dispõe diariamente de 400 destas fivelas. Para o cinto B pode-se dispor diariamente de 700 fivelas. Apresente a formulação matemática deste problema de forma a maximizar o lucro diário. 8. Uma empresa possui 3 fábricas onde existe capacidade de produção em excesso. Todas as fábricas estão aptas a produzir um novo produto e a direcção decidiu usar desta forma alguma da capacidade disponível. Este novo produto pode ser fabricado em 3 tamanhos : grande (G), médio (M) e pequeno (P). Estes dão um lucro unitário de 42, 36 e 30 contos, respectivamente. As fábricas 1, 2 e 3 têm capacidade em excesso para produzir diariamente 750, 900 e 450 unidades deste produto, respectivamente, independentemente dos tamanhos ou combinações de tamanhos. O espaço de armazenamento disponível impõe uma limitação na produção do novo produto. As fábricas 1, 2 e 3 têm, respectivamente, 13000, 12000 e 5000 m 2 de espaço de armazenamento disponível por um dia de produção. Cada unidade dos produtos G, M e P produzida por dia necessita de 20, 15 e 12 m 2, respectivamente. As previsões de vendas indicam que podem ser vendidas diariamente 900, 1 200 e 750 unidades dos produtos G, M e P, respectivamente. Para manter uma força de trabalho uniforme nas fábricas e dispor de alguma flexibilidade, a direcção decidiu que as fábricas devem usar a mesma percentagem da sua capacidade em excesso para produzir o novo produto. A direcção pretende saber quanto, de cada tamanho, deve ser produzido em cada fábrica, de modo a maximizar o lucro total. Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, das restrições e da função objectivo. 9. Uma empresa pode produzir 3 produtos. Para o efeito são necessários 3 recursos : serviços técnicos (ST), mão-de-obra (MO) e serviços de administração (SA). A tabela seguinte apresenta os requerimentos de cada um dos recursos para os 3 produtos : Recursos (horas) Lucro unitário Produtos ST MO SA (escudos) 1 1 10 2 10 2 1 4 2 6 3 1 5 6 4
6 Programação Linear : modelação matemática Dispõe-se de 100 horas de ST, 600 horas de MO e 300 horas de SA. A fim de determinar a combinação óptima dos produtos que maximizam o lucro total, formule o problema como um de PL. 10. Uma fundição de ferro tem um pedido de uma empresa para produzir no total 1000 Kg de peças de fundição, contendo pelo menos 0.45% de manganês e entre 3.25% e 5.50% de silício. Como estas peças representam uma encomenda especial, não existem na fundição peças adequadas, pelo que terão de ser necessariamente produzidas. As peças serão vendidas por 450 escudos/kg. A fundição tem disponíveis 3 tipos de ferro fusa em quantidades praticamente ilimitadas, e com as seguintes propriedades : Tipo de ferro fusa A B C Silício 4% 1% 0.6% Manganês 0.45% 0.5% 0.4% Note-se ainda que no processo de produção, pode ser adicionado directamente manganês ao metal fundido. Os custos dos vários componentes são : Ferro fusa tipo A : 21 000$00/tonelada Ferro fusa tipo B : 25 000$00/tonelada Ferro fusa tipo C : 15 000$00/tonelada Manganês : 8 000$00/Kg Derreter 1 Kg de ferro fusa tem um custo de 5$00. Pretende-se determinar um plano de produção que maximize o lucro total. Para tal, formule o problema como um de PL (não o resolva). 11. Uma fundição recebeu uma encomenda de 2 000 kgs de uma liga metálica que deve possuir as seguintes características : pelo menos 60% do seu peso em cobre e não mais de 30% do seu peso em níquel. A liga pode ser obtida directamente a partir de cobre e níquel adquiridos no mercado ou a partir de sucatas provenientes da produção de outras ligas que contêm aqueles metais. Os dados técnico-económicos relevantes são os seguintes : Composição dos materiais (%) Disponibilidades Preço Materiais a utilizar Níquel Cobre Outros kgs u.m./kg Sucatas Liga A 25 70 5 1 000 30 Liga B 40 50 10 1 500 24
Programação Linear : modelação matemática 7 Puros Níquel 100 ilimitada 10 Cobre 100 ilimitada 48 Miscelânea 100 ilimitada 4 Sabendo que a fundição pretende minimizar o custo da liga metálica, construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, restrições e função objectivo. 12. Uma família possui 500 mil m 2 de terra e tem 5 mil contos em fundos disponíveis para investimento. Os membros da família podem produzir um total de 3 500 pessoas hora de trabalho durante os meses de Inverno e 4 000 pessoas hora durante o Verão. Se parte destas pessoas hora não for necessária, os membros mais novos da família podem usá-la para trabalhar nas quintas vizinhas, por 800 escudos/hora no Inverno e 1 000 escudos/hora no Verão. As receitas, em dinheiro, podem ser obtidas através de 3 colheitas e da criação de 2 tipos de animais : vacas leiteiras e galinhas. Para as colheitas, não são necessários investimentos. Cada vaca requer um investimento de 200 mil escudos e cada galinha custa 1500 escudos. Cada vaca necessita de 6 mil m 2 de terra, 100 pessoas hora de trabalho durante o Inverno e 50 pessoas hora durante o Verão. Cada vaca produz uma receita anual líquida para a família de 165 mil escudos, enquanto cada galinha gera 850 escudos. Cada galinha necessita de 0.6 pessoas hora de trabalho durante o Inverno e 0.3 pessoas hora durante o Verão, não sendo necessário o uso de terra. O galinheiro pode albergar um máximo de 3000 galinhas, enquanto o tamanho de estábulo limita o número de vacas a 32. Os valores estimados de pessoas hora e de receita por m2 de terra plantado, em cada uma das 3 colheitas são : Soja Milho Aveia Pessoas hora no Inverno 20 35 10 Pessoas hora no Verão 50 75 40 Receita anual líquida (escudos) 1 000 1 500 750 A família pretende determinar qual a superfície de terra que deve ser plantada em cada uma das colheitas, e quantas vacas e galinhas devem ser adquiridas para maximizar a receita líquida anual. Construa um modelo matemático de PL para o problema, explicitando o significado das variáveis de decisão, das restrições e da função objectivo.
8 Programação Linear : modelação matemática 13. Um fabricante de papel produz 3 tipos de papel : pesado (P) a um lucro de 6 u.m. por T, médio (M) a um lucro de 4 u.m. por T e fino (F) a um lucro de 5 u.m. por T. Para produzir 1 tonelada de P são consumidas 2 T de pasta e 2 unidades de energia eléctrica; para produzir 1 T de M aqueles valores valem, respectivamente, 1 e 2, e para a produção de 1 T de F os valores 1 e 5, respectivamente. O fabricante dispõe, semanalmente de 30 T de pasta e de 40 unidades de energia eléctrica. Pretende-se determinar o esquema de fabrico óptimo, isto é, a solução que maximiza o lucro total. Para o efeito, formule o problema como um modelo de PL. 14. Um estudante que toma as suas refeições diárias numa cantina universitária, tem à sua disposição, num determinado dia, 5 menus completos e variados (3 para o almoço e 2 para o jantar) cujos preços (em escudos) são apresentados na tabela seguinte : Almoço Jantar Menu 1 Menu 2 Menu 3 Menu 1 Menu 2 250 300 330 200 350 Após ter determinado o total de substâncias nutritivas (proteínas e vitaminas) contido em cada um desses menus, obteve os valores seguintes : Almoço Jantar Menu 1 Menu 2 Menu 3 Menu 1 Menu 2 Proteínas (gr) 16 20 25 15 25 Vitaminas (mg) 20 15 12 10 5 Por outro lado, os requerimentos totais (almoço e jantar) de proteínas e vitaminas exigidos pelo estudante para a sua alimentação nesse dia são respectivamente 35 gr e 0.02 gr. Qual o esquema de alimentação que o estudante deve adoptar por forma a obter um custo mínimo de alimentação para esse dia específico? (isto é, qual o menu que ele deve escolher para o almoço e qual deve escolher para o jantar?) Formule o problema como um de PL. 15. Um industrial têxtil pode fabricar 2 tipos de tecido (A e B), para o que necessita de 4 tipos de fio (1, 2, 3 e 4). Assim, para fabricar 1 unidade de medida (u.m.) do tecido A, são necessários 4 Kgs de fio 1, 3 Kgs de fio 2, 6 Kgx de fio 3 e 1 Kg de fio 4. Para fabricar 1 u.m. de tecido B, são necessários 2 Kgs de fio 1, 8 Kgs de fio 2, 1 Kg de fio 3 e 3 Kgs de fio 4. O custo (em unidades monetárias U.M.) por Kg de fio, é dado na tabela seguinte : Fio 1 2 3 4 Custo 10 12 11 13
Programação Linear : modelação matemática 9 O preço de venda por unidade de medida de tecido é de 250 U.M. para o tecido A e de 300 U.M. para o tecido B. Sabendo que o industrial só dispõe de 200 000 U.M. para investir na compra de fio e que o fornecedor de fio só pode garantir a entrega de 8 000 Kgs do fio 2, que quantidades devem ser fabricadas de tecido A e de tecido B, por forma a maximizar o quantitativo recebido pela venda (supõe-se garantida a venda total da produção)? Formule (não resolva) o problema como um de PL. 16. Uma fábrica de objectos de mármore produz 4 tipos de objectos : jarras (J), cinzeiros (C), formas livres (FL) e estátuas (E). Para cada objecto são necessárias as seguintes horas : Secção Produtos J C FL E Disponibi lidades Corte 30 5 45 60 300 Cinzelagem 20 8 60 30 180 Polimento 0 20 0 120 300 Lucro unitário (u.m.) 280 40 500 510 Formule este problema como um de PL, sabendo que se pretende maximizar o lucro total.