Objetivo Geral: Determinar a aceleração da gravidade local a partir de medidas de periodo de oscilação de um pêndulo simples. Objetivos específicos: Teoria 1. Obter experimentalmente a equação geral para o período de oscilação de um pêndulo; 2. Estudar o movimento de um pêndulo, verificando a relação entre o período e o comprimento do fio. 3. Observar a variação do período de oscilação de um pêndulo simples, em função do ângulo θ (ângulo inicial de lançamento). 4. Construir gráficos a partir dos dados experimentais. 5. Determinar a aceleração da gravidade local a partir dos gráficos. Um pêndulo simples se define como uma massa m suspensa por um fio inextensível, de comprimento L com massa desprezível em relação ao valor de m. Se a massa é deslocada para uma posição (ângulo que o fio faz com a vertical, que deve ser menor que 1 radiano) e então abandonada (velocidade inicial zero), o pêndulo começa a oscilar. O caminho percorrido pela massa suspensa é chamado de arco. O período de oscilação, T, é o tempo necessário para a massa passar duas vezes consecutivas pelo mesmo ponto, movendo-se na mesma direção, isto é, o tempo que a massa leva para sair de um ponto e voltar ao mesmo ponto percorrendo o mesmo arco. O pêndulo descreve uma trajetória circular, um arco de circunferência de raio L. Estudaremos o movimento do pêndulo segundo a direção radial e tangencial. Na ausência de atritos, as forças que agem sobre a partícula de massa m são apenas duas: Seu peso, mg, vertical para baixo e a ação do fio, a tração T, de direção radial e sentido indicado na Figura 1. Na figura, as componentes da força peso para as direções radial (vetor verde) e tangencial (vetor vermelho) são dadas por e respectivamente. 1
Figura 1: Esquema e diagrama de corpo livre de um pêndulo simples. Agora podemos aplicar a segunda lei de Newton para calcular cada componente da aceleração da massa. No caso da direção radial, notamos que, onde é a aceleração centrípeta. Para a direção tangencial, temos que Lembrando que as leis de Newton são aplicáveis em referenciais inerciais e que a relação entre velocidade linear e angular,, onde nesse caso R = L (comprimento do fio), podemos reescrever a aceleração radial como sendo. Desta forma, a equação de movimento na coordenada radial tem a forma Usando séries de Taylor, podemos escrever a função como 2
Quando o ângulo de oscilação do pêndulo é pequeno ( radiano), podemos aproximar a função considerando. Dessa forma, o pêndulo descreverá oscilações harmônicas descritas pela equação diferencial: cuja solução é, sendo a freqüência definida como. Uma vez que a frequência angular é ω = 2 π / T, o período de oscilação do pêndulo é dado por Assim, o period uma função exclusiva do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade no local. O conhecimento do período e do comprimento do pêndulo permite calcular o valor da aceleração da gravidade no laboratório através da expressão acima, na medida em que sejam válidas as aproximações assumidas na dedução dessa expressão. Aparelho experimental: Massa pendular. Fio de suspensão (barbante). Cronômetro. Trena Transferidor Procedimento. 1. Ajuste o comprimento do fio do pêndulo de modo que tenha uma medida prédeterminada da ponta do fio ao centro de massa da massa pendular; 2. Para a realização do experimento, desloca-se a massa pendular da posição de equilíbrio, até um ângulo máximo,, obedecendo a relação de que este ângulo não deve ser maior do que um radiano (15 graus); 3. Após ter deslocado a massa e determinado uma posição inicial de lançamento, se solta a massa e marca-se o tempo de 10 oscilações completas, repetindo esta operação 3 vezes para cada comprimento L do fio; 4. Marque na tabela os valores de L e o respectivo período médio T. 3
5. Faça uma medida do periodo considerando um ângulo maior de um radiano. 6. Repeta os procedimento considerando 5 comprimentos do fio diferentes. Análise de Resultados 1. No laboratório: a. Faça um gráfico de T 2 vs. L. Verifique que as duas grandezas seguem uma relação linear. Do gráfico, obtenha a equação da reta e calcule o valor da aceleração da gravidade. 2. No relatório oficial: a. A partir da tabela construa os gráficos T vs. L (período em função do comprimento do fio); Use como valor de T, a média das três medidas realizadas. b. A partir dos dados da tabela construa os gráficos T 2 vs. L (período 2 em função do comprimento do fio); Confeccione os gráficos no computador, utilizando o software Microsoft Origin (qualquer versão) e compare com os gráficos confeccionados manualmente; c. Obtenha a equação analítica (via regressão linear) da reta obtida na linearização do gráfico do item anterior e trace a reta ajustada (y = ax+b); d. Compare a medida da aceleração gravitacional obtida experimentalmente em sala de aula (aceleração determinada pela equação do período utilizando os dados experimentais) com o valor tabelado e determine o desvio percentual. http://www.lsanz.prof.ufu.br/fb2e/dadosuberlandiaecomprimentosdeonda. pdf e. Discuta os desvios encontrados entre os valores de g (valor obtido em sala de aula com o da literatura); f. Compare o valor da média dos periodos para angulos pequenos com aquele obtido considerando angulos maiores do que um radiano. Bibliografia [1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Fundamentos de Física Vol.1, 3ª Edição LTC Editora - (1998); [2] H. M. Nussenzveig Curso de Física Básica 1 Mecânica 3ª Edição Edgard Blücher Ltda (1996) 4
Anexos 5