Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos 29.04.200 12.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na sua folha de respostas, indique claramente a versão do teste. A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas aos itens de escolha múltipla com zero pontos. Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Página 1
Formulário Comprimento de um arco de circunferência α < ( α amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; < raio) Áreas de figuras planas Losango: Trapézio: H3+19+6 7+39< H3+19+6 7/9< F+=/ 7+39< F+=/ 7/9< E6>?<+ Polígono regular: Semiperímetro Apótema α < Sector circular: em radianos, do ângulo ao centro Áreas de superfícies Área lateral de um cone: 1 < 1 ( < raio da base; 1 geratriz) (α amplitude, ; < raio) 1 Área de uma superfície esférica: % < ( < raio) Volumes Pirâmide: " $ Cone: " $ Esfera: % Área da base Altura Área da base Altura $ $ 1 < ( < raio ) Trigonometria sen Ð+,Ñ œ sen + Þ cos, sen, Þ cos + cos Ð+,Ñ œ cos + Þ cos, sen + Þ sen, tg Ð+,Ñ œ Complexos tg + tg, " tg + Þ tg, 3-3= ) œ 3-3= Ð ) Ñ Probabilidades. œ : ÞÞÞÞ : " " " " 5 œ É. : ÞÞÞÞ. : Se \ é RÐ. ß 5Ñ, então: T Ð. 5 \. 5 Ñ!,')( T Ð. 5 \. 5 Ñ!,*&%& T Ð. $ 5 \. $ 5 Ñ!,**($ Regras de derivação Ð? @Ñ œ? @ Ð?Þ@Ñ œ? Þ @? Þ @ ˆ?? Þ @? Þ @ @ @ œ " Ð? Ñ œ Þ? Þ? Ð Ñ Ð sen?ñ œ? Þ cos? Ð cos?ñ œ? Þ sen?? Ð tg?ñ œ cos??? Ð/ Ñ œ? Þ /?? Ð+ Ñ œ? Þ + Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ? Ð ln?ñ œ?? Ð log +?Ñ œ? Þ ln + Ð+ Ï Ö" Ñ Limites notáveis " Š " œ / Ä! Ä! Ä! Ä sen œ " / " œ " ln Ð "Ñ œ " ln œ! È 3 ) È ) 5 1-3= œ 3-3= ß 5 Ö!ß ÞÞÞß " Ä / : œ Ð: Ñ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Para cada item, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que considera estar correcta. Se apresentar mais do que uma letra, a classificação será de zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. Seja + um número real maior do que ". Indique qual das expressões seguintes é igual a log + $ log + & (A) log $! () log %! (C) log (& (D) log "!! + + + + 2. Na figura está representada parte do gráfico de uma função 0 de domínio Ò!ß Ò " A recta <, de equação C œ, $ é assimptota do gráfico de 0 Seja por 2 a função definida em Ò!ß Ò 2ÐÑ œ 0ÐÑ O gráfico de horizontal. 2 tem uma assimptota Qual das equações seguintes define essa assimptota? " " (A) C œ $ () C œ (C) C œ (D) C œ $ Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
3. Seja 0 uma função de domínio, contínua no intervalo Ò ß Ó Tem-se 0Ð Ñ œ " e 0ÐÑ œ $ Indique qual das expressões seguintes define uma função 1, de domínio, para a qual o Teorema de olzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo Ó ß Ò (A) 1ÐÑ œ 0ÐÑ () 1ÐÑ œ 0ÐÑ (C) 1ÐÑ œ 0ÐÑ (D) 1ÐÑ œ 0ÐÑ 4. Na figura está representado o círculo trigonométrico. Tal como a figura sugere, referencial, U S é a origem do pertence à circunferência, é o ponto de coordenadas Ð"ß!Ñ e V é o ponto de coordenadas Ð "ß!Ñ A amplitude, em radianos, do ângulo T SU & 1 é ( Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo ÒSUVÓ? T (A)!, $* ()!,% (C)!,%' (D)!,%* 5. Lança-se cinco vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja : a probabilidade de, nos cinco lançamentos, sair face 6 exactamente duas vezes. Qual é o valor de : arredondado às centésimas? (A)!," ()!,"' (C)!,$ (D)!,( Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
Grupo II Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Seja H o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. De dois acontecimentos E e F ( E H e F H), de probabilidade não nula, sabe-se que: T ÐEÑ œ T ÐFÑ T ÐE FÑ œ & T ÐE FÑ Determine a probabilidade de acontecer E, sabendo que F aconteceu. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível. 2. Considere o seguinte problema: Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e multiplicam-se os números saídos. Qual é a probabilidade de o produto obtido ser igual a 6? Uma resposta correcta a este problema é $x $ ' $ Numa pequena composição, explique porquê. A sua composição deve incluir: uma referência à Regra de Laplace; uma explicação do número de casos possíveis; uma explicação do número de casos favoráveis. 3. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes. Admita que, > anos depois, o número de peixes existentes no lago é dado aproximadamente por onde 5 0Ð>Ñ œ designa um número real.!!! " 5/!, "$ > 3.1. Determine o valor de 5, supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago. 3.2. Admita agora que 5 œ %. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar cálculos numéricos, resolva o seguinte problema: Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresente o resultado arredondado às unidades. Nota: se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
4. Seja 0 a função de domínio Ò $ß $Ó definida por Ú Ý / " =/ $ Ÿ! 0ÐÑ œ Û Ý Ü ln Ð" $Ñ =/! Ÿ Ÿ $ Na figura está representado o gráfico da função 0 Tal como a figura sugere: E é o ponto do gráfico de 0 de ordenada máxima a abcissa do ponto E é positiva 4.1. Utilizando métodos exclusivamente analíticos, resolva as duas alíneas seguintes: 4.1.1. Determine a abcissa do ponto E. 4.1.2. Mostre que, tal como a figura sugere, 0 é contínua no ponto!. 4.2. Na figura está novamente representado o gráfico de 0, no qual se assinalou um ponto F, no segundo quadrante. A recta < é tangente ao gráfico de 0, no ponto F. Considere o seguinte problema: Determinar a abcissa do ponto, sabendo que a recta tem declive 0,23 F < Traduza este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolva-a graficamente, encontrando assim um valor aproximado da abcissa do ponto F. Pode realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora. Reproduza na sua folha de prova o(s) gráfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente o valor pedido arredondado às centésimas. FIM Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6
COTAÇÕES Grupo I... 50 pontos Cada resposta certa... 10 pontos Cada resposta errada... 0 pontos Cada item não respondido ou anulado... 0 pontos Grupo II... 150 pontos 1.... 25 pontos 2.... 20 pontos 3.... 35 pontos 3.1....15 pontos 3.2....20 pontos 4.... 70 pontos 4.1....45 pontos 4.1.1....20 pontos 4.1.2....25 pontos 4.2....25 pontos TOTAL... 200 pontos Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 7