0.6 J 0 J 1 0.4 J 2 J 3 0.2 0 0.2 0 2 4 6 8 10 Universidade Federal do Rio de Janeiro EEE 335 Eletromagnetismo II Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima
Sobre as notações Vetores em negrito nos slides! Sistema SI! Coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas! Operador nabla para simplificar notação de rotacional divergente e gradiente
Operador Nabla r Não é um vetor mas pode ser tratado como tal r =ˆx @ @x +ŷ @ @y +ẑ @ @z em coordenadas cartesianas rf =ˆx @f @x +ŷ @f @y +ẑ @f @z gradiente r F = @F x @x + @F y @y + @F z @z r F =det 2 4 ˆx ŷ ẑ @ @x @ @y @ @z F x F y F z 3 divergente 5 rotacional
Operador Nabla r Equação de Laplace de um escalar r 2 f = @2 f @x 2 + @2 f @y 2 + @2 f @z 2 Equação de Laplace de um vetor r 2 F =ˆx @2 F x @x 2 +ŷ @2 F y @y 2 +ẑ @2 F z @z 2 em outros sistemas de! coordenadas pode ficar bem estranho rotacional de um rotacional (importante para ondas) r (r F) =r(r F) r 2 F
Equações de Maxwell Equações Equações de Maxwell de Maxwell tam Eletricidade e gnetismo! Juntam Eletricidade Juntam Eletricidade e e Magnetismo! Magnetismo! mitiram o desenvolvimento Permitiram Permitiram o desenvolvimento o desenvolvimento de motores, de motores geradores e geradores elétricos e da transmissão elétricos! de energia! motores e geradores ricos! Generaliza Generaliza Leis de Faraday a Lei de e Faraday e Gauss! de Gauss! eraliza a Lei de Faraday e Gauss! Inclui as Inclue correntes as correntes de de deslocamento! deslocamento! lue as correntes de locamento! tem validade tem validade limitada limitada, a acima dimensões de acima 0,1 mmde 0,1 mm validade limitada, acima 0,1 mm
Formulações das Eq. Maxwell Equações diferenciais envolvendo rotacional, divergente, gradiente! melhor para meios semi-infinitos! usa transformada de Fourier ou Laplace para a solução! Envolvendo integrais de superfície, linha e volume! melhor quando as dimensões do problema são conhecidas
Formulações das Eq. Maxwell Formulações das Equações de Maxwell Tensão induzida por um campo magnético variante no Tensão induzida por um campo magnético variante no tempo tempo Na eletrostática a tensão resultante é nula Tensão
Formulações das Equações de Maxwell Formulações das Eq. Maxwell Tensão induzida por um campo magnético variante no tempo! Aplicando o teorema de Stokes = B = µh
Lei de Faraday para Sistemas Móveis Gerador elementar Lei de Faraday para Sistemas Móveis I v = E n d` = @ @t ZZ B ds Gerador Elementar ` S N S
Corrente de Deslocamento Corrente de Deslocamento Contribuição de Maxwell para determinar o comportamento concreto de elementos de circuitos em Contribuição de Maxwell para determinar o comportamento das correntes alternadas corrente alternada ANTES DEPOIS Da equação de continuidade da carga r H = J + @D @t Tem comportamento similar às correntes de condução
Corrente de Deslocamento Contribuição de Maxwell para determinar o comportamento das correntes alternadas ANTES DEPOIS r H = J + @D @t Da equação de continuidade da carga Tem comportamento similar às correntes de condução
Equações de Maxwell Formulação Diferencial r D = r B =0 r E = @B r H = J + @D @t @t Corrente de Condução J c = E Corrente de Convecção J cv = v Corrente de Deslocamento D = "E
Equações de Maxwell no Domínio da Frequência Todas as variações temporais passam a ser representadas a partir de exponenciais complexas! E (x, y, z, t)! E (x, y, z,!) d dt! j! Z! 1 j! E(t) =< [(E r + je i )exp(j!t)] = E r cos!t E i sin!t
Equações de Maxwell Domínio da Frequência Equações diferenciais viram equações algébricas r E = " r H =0 r E = j!µh r H = J f +( + j!") E Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo magnético 1 r (r E) =( j!µ + j! ) E r (r E)+r 2 E = j!µ( + j! ) E 0 2
Equações de Maxwell Domínio da Frequência Supondo meio sem cargas e fontes e resolvendo para o campo elétrico r r H = j!µ( + j! ) H r H =0 r 2 H = 2 H
Equações de Maxwell Formulação Integral I ZZZ ZZ D ds = dv B ds =0 I S V ZZ S E n d` = j!µ H ds ` I ZZ S ZZ H n d` = J ds + j!" E ds ` S S Prefere-se a formulação diferencial no domínio da frequência! A gente não gosta tanto assim da matemática!!
Domínio da Frequência & Fasores Transformadas de Fourier & Laplace! Frequência real ou frequência complexa!!