Teoria Microeconômica IV

Teoria Microeconômica IV Parte 2. O problema Principal-Agente Capitulo I. Ações não observáveis: Perigo Moral 4 Trimestre 2011 Mestrado em Economia V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 1 / 42

Assimetria pós-contratual Assimetria de informação pode não existir ex-ante, mas aparecer depois da assinatura de um contrato entre duas partes Os termos do contrato têm que incorporarem essas assimetrias Um exemplo clássico é a interação entre dois indivíduos um indivíduo, chamado de principal contrata outro indivíduo, chamado de agente para uma tarefa O principal não observe o esforço do agente, somente observa o resultado Como desenhar um contrato de tal maneira que o agente implemente o esforço desejado pelo principal V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 2 / 42

Exemplos Acionistas de uma empresa versus administrador Empresa de seguro versus motorista Banco versus tomador de empréstimo V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 3 / 42

Perigo moral Uma firma (principal) vai contratar um administrador (agente) para uma empreitada O lucro do projeto tem uma distribuição que depende do esforço do agente Seja π R o lucro Um contrato é um esquema de compensação (regra salarial) contingente ao lucro observável w( ) : π w(π) O agente aceita ou não o contrato, sendo que o custo de oportunidade é dado por ū (utilidade de reserva) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 4 / 42

Perigo moral Seja e {e l, e h } o esforço Esforço afeta a probabilidade de sucesso do projeto A distribuição acumulada do lucro condicional ao esforço e é dado por F ( e) : [π, π] [0, 1] Vamos supor que F ( e) admite uma densidade f(π e) > 0 para cada π [π, π] O suporte da distribuição do lucro não é afetado pelo esforço Observação Suponha que existe um nível do lucro π que está no suporte da distribuição somente quando o agente não se esforça Como isso provê informação ao principal, pode-se colocar punições severas o suficiente tal que desestimula o agente a não se esforçar V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 5 / 42

FOSD Hipótese A distribuição F ( e h ) domina estocasticamente em primeira ordem a distribuição F ( e l ), i.e., π [π, π], F (π e h ) F (π e l ) com desigualdade estrita em algum intervalo aberto Π [π, π] V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 6 / 42

FOSD Proposição A distribuição F ( e h ) domina estocasticamente em primeira ordem a distribuição F ( e l ) se e somente se u(π)f(π e h )dπ u(π)f(π e l )dπ para qualquer função u crescente (u 0) Em particular, temos πf(π e h )dπ πf(π e l )dπ V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 7 / 42

Payoffs A firma é neutro ao risco (portfolio bem diversificado) e maximiza (π w(π))f(π e)dπ O agente maximiza uma utilidade esperada com uma Bernoulli (w, e) u(w, e) verificando onde u(w, e) = v(w) g(e) v é estritamente crescente, i.e., v (w) > 0 para cada w, v é concave, i.e., v 0 g(eh ) > g(e l ) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 8 / 42

Esforço first-best Considere um planejador observando o esforço do agente Ele pode decidir como alocar o lucro π entre o agente e o principal, escolhendo transferências verificando τ p + τ a = Id e τ a 0 τ p, τ a : π R 2 Uma alocação é um triplo (e, τ p, τ a ) verificando a condição de participação do agente v(τ a (π))f(π e) g(e) ū Uma alocação (e, τ p, τ a ) é first-best se ela é Pareto ótima V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 9 / 42

Esforço first-best Existe uma alocação na qual o principal tem lucro não negativo se e somente se min πf(π e)dπ v 1 (g(e) + ū) 0 e {e l,e h} Faremos a hipótese que essa condição é satisfeita Proposição Uma alocação (e, τ p, τ a ) é first-best se e somente se e argmax e {el,e h} πf(π e)dπ v 1 (g(e) + ū) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 10 / 42

Principal-agente com esforço observável A firma maximiza (π w(π))f(π e)dπ escolhendo o esforço e {e l, e h } e o esquema w( ) sujeito a restrição de participação do agente (racionalidade individual) v(w(π))f(π e)π g(e) ū (IR) Vamos analisar esse problema em duas etapas 1 Fixamos a escolha do esforço e, e procuramos o melhor esquema w e 2 Escolhemos o melhor esforço V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 11 / 42

Principal-agente com esforço observável Fixando o esforço e, o problema do principal é equivalente a w(π)f(π e)dπ t.q. v(w(π))f(π e)π g(e) ū (P e ) min w( ) Proposição Se w( ) é uma solução de (P e ) então o salário fixo π ŵ pagando o valor esperado ŵ = w(π)f(π e)dπ também é solução de (P e ) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 12 / 42

Principal-agente com esforço observável Proposição No problema principal-agente com esforço observável, o contrato ótimo ofertado pela firma especifica um esforço e e um pagamento constante π ŵ e definido por ŵ e = v 1 (ū + g(e )) onde e é a solução do problema πf(π e)dπ v 1 (ū + g(e)) max e {e l,e h} Esse contrato ótimo é único se v é estritamente concave, i.e., v (π) < 0 para cada π V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 13 / 42

Principal-agente com esforço observável Por causa da observabilidade do esforço, o fato de existirem um agente e um principal, não altera o nível de esforço ótimo em relação ao first-best A firma carrega todo o risco Como a firma é neutro ao risco e o agente é avesso ao risco, isso é socialmente ótimo O contrato da firma implementa o esforço ótimo e providencia um seguro perfeito ao agente V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 14 / 42

Esforço não observável Quando o esforço não é observável, vamos mostrar que existe um conflito entre esforço ótimo e seguro perfeito Vamos analisar em primeiro o caso do agente neutro ao risco Nesse caso específico, o contrato ótimo gera a mesma escolha de esforço e utilidades esperadas para o agente e o principal V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 15 / 42

Agente neutro ao risco Suponha que v(w) = w O esforço ótimo com esforço observável é e solução de πf(π e)dπ g(e) ū max e {e l,e h} O agente recebe a utilidade ū O payoff da firma é πf(π e )dπ g(e ) ū V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 16 / 42

Agente neutro ao risco Proposição No problema de principal e agente com esforço não-observável e agente neutro ao risco, o contrato ótimo induz um mesmo nível de esforço e utilidade esperada para ambos o agente o principal que num modelo com esforço observável Observação Não existe conflito entre risk-sharing e incentivos Isso é porque não importa quem carrega o risco V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 17 / 42

Prova Suponha que o principal oferece o esquema de compensação π w(π) = π α Isso pode ser interpretado como um contrato de vendo O termo α é o preço da firma Se o agente aceita esse contrato, ele escolhe o esforço para maximizar w(π)f(π e)dπ g(e) = πf(π e)dπ α g(e) Dessa forma o agente escolha o mesmo nível de esforço e do que no caso de esforço observável: nível de esforço socialmente ótimo V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 18 / 42

Prova O agente aceita esse contrato se cobrir o custo de oportunidade πf(π e )dπ α g(e ) ū (IR) Seja α verificando a condição (IR) com igualdade Com o contrato π w(π) = π α, o principal obtém o payoff α = πf(π e )dπ g(e ) ū Assim o agente e o principal ganham exatamente o mesmo payoff que teriam se o esforço fosse observável Esse contrato não pode ser melhorado: não tem como obter um payoff maior do que no modelo com esforço observável V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 19 / 42

Agente avesso ao risco O nível de esforço é escolhido pela firma Mas o esforço não é observável Então, os termos do contrato da firma deve induzir o agente a escolher o esforço que maximiza o payoff da firma A escolha do agente deve ser induzida pela firma O risk-sharing ótimo: seria providenciar seguro ao agente Os problemas de incentivos podem ser resolvidos ao custo de colocar o agente no risco V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 20 / 42

Contrato ótimo Para calcular o contrato ótimo do principal, vamos aplicar uma estratégia em duas etapas 1 Para cada esforço e que o principal gostaria de implementar, vamos procurar o esquema de compensação ótimo w(π)f(π e)dπ s.a. min w( ) v(w(π))f(π e)dπ g(e) ū (IR) e e argmax e {e l,e h} v(w(π))f(π e )dπ g(e ) (IC) 2 Analisamos qual é o esforço que maximiza o payoff do principal V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 21 / 42

Implementando e l Basta oferecer um salário fixo mínimo consistente com racionalidade individual π w(π) = ŵ el = v 1 (ū + g(e l )) Como o esforço não afeta o salário, o agente escolha o esforço menos custoso: e l Se o principal oferecesse um salário variável, sua média deveria ser maior que ŵ el Pois o agente é avesso ao risco e deve ser compensado para carregar parte do risco Com média maior, a firma fica pior V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 22 / 42

Implementando e h Procuramos resolver o problema seguinte w(π)f(π e h )dπ s.a. min w( ) v(w(π))f(π e h )dπ g(e h ) ū (IR) e v(w(π))f(π e h )dπ g(e h ) v(w(π))f(π e l )dπ g(e l ) } {{ } } {{ } E[u(w( ), e h ) e h ] E[u(w( ), e l ) e l ] (IC) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 23 / 42

Condições necessárias Lema Se w ( ) é uma solução do problema do principal (contrato ótimo) então a restrição de participação (IR) é ativa, i.e., v(w (π))f(π e h )dπ g(e h ) = ū (IRb) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 24 / 42

Lagrangeano Seja γ 0 o multiplicador de Lagrange da restrição (IR) Seja µ 0 o multiplicador de Lagrange da restrição (IC) Proposição O contrato w ( ) é ótimo se e somente se existem γ 0 e µ 0 tal que w ( ) seja solução de { [ ( min w(π) v(w(π)) γ + µ 1 f(π e )]} l) f(π e h )dπ w( ) f(π e h ) satisfazendo as restrições (IR) e (IC) bem como [ ] µ v(w (π))[f(π e h ) f(π e l )]dπ g(e h ) g(e l ) = 0 e [ γ ] v(w (π))f(π e h )dπ g(e h ) ū = 0 V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 25 / 42

Contrato ótimo Seja (x, π) Φ(x, π) a função Φ(x, π) = x v(x) [ ( γ + µ 1 f(π e )] l) f(π e h ) Lema se e somente se w argmin w( ) Φ(w(π), π)f(π e h )dπ w (π) argmin{φ(x, π) : x R + } V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 26 / 42

Contrato ótimo Quando v satisfaz as condições de Inada lim x 0 v (x) = + e lim x v (x) = 0 temos que se e somente se w (π) argmin{φ(x, π) : x R + } ( 1 v (w (π)) = γ + µ 1 f(π e ) l) f(π e h ) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 27 / 42

Contrato ótimo O contrato w ( ) é ótimo se e somente se existem γ 0 e µ 0 tal que ( 1 v (w (π)) = γ + µ 1 f(π e ) l) f(π e h ) as restrições (IR) e (IC) são satisfeitas bom como [ ] µ v(w (π))[f(π e h ) f(π e l )]dπ g(e h ) g(e l ) = 0 e [ γ ] v(w (π))f(π e h )dπ g(e h ) ū = 0 V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 28 / 42

Contrato ótimo Já vimos que a restrição de participação (IR) é ativa ao equilíbrio, i.e., v(w(π))f(π e h )dπ g(e h ) = ū (IRb) Lema A condição de compatibilidade com incentivos é ativa ao equilíbrio, i.e., v(w (π))f(π e h )dπ g(e h ) = v(w (π))f(π e l )dπ g(e l ) (ICb) Observação Ao equilíbrio os multiplicadores de Lagrange verificam λ > 0 e γ > 0 V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 29 / 42

Contrato ótimo implementando e h Seja ŵ o salário definido por 1 v (ŵ) = γ Isso seria o salário ótimo se esforço não afetasse a distribuição do lucro Temos então w (π) > ŵ se f(π e l ) < f(π e h ) e w (π) < ŵ se f(π e l ) > f(π e h ) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 30 / 42

Contrato ótimo implementando e h O esquema ótimo de compensação tem que incentivar o esforço e h pagando mais os níveis de lucro mais prováveis com esforço e h Paga-se mais quando f(π e l ) < f(π e h ) Paga-se mais nos pontos onde o lucro é mais provável de ser observado sob esforço alto É importante perceber que não é por motivo de inferência estatística Pois o principal sabe que o agente exerce o esforço e h É por razões de incentivos V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 31 / 42

Contrato ótimo implementando e h V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 32 / 42

Contrato ótimo implementando e h V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 33 / 42

Contrato ótimo implementando e h Em geral o esquema de compensação pode não ser uma função monótona do lucro A função w ( ) será monótona se temos monotonicidade da razão de verossimilhança Monotone likelihood ratio π > π = f(π e l ) f(π e h ) > f(π e l) f(π e h ) Milgrom, P. Good news and bad news: Representation theorems and applications Bell Journal of Economics (1981) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 34 / 42

Exemplo Seja u(w) = ln w Suponha que somente três níveis de lucro sejam possíveis π 1 < π 2 < π 3 Temos a seguinte associação entre esforço e probabilidades de cada resultado Prob(π 1 e) Prob(π 2 e) Prob(π 3 e) e l 1/3 1/3 1/3 e h 1/9 5/9 3/9 F (e h ) domina estocasticamente em 1 o ordem F (e l ) F (π 1 e) F (π 2 e) F (π 3 e) e l 1/3 2/3 1 e h 1/9 2/3 1 V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 35 / 42

Contrato ótimo implementando e h Podemos reproduzir as seguintes condições de primeira ordem ( w(π i ) = γ + µ 1 Prob(π ) i e l ) Prob(π i e h ) Temos então w(π 1 ) = γ + µ(1 3) < γ w(π 2 ) = γ + µ(1 3/5) > γ w(π 3 ) = γ A razão de verossimilhança não é monótona V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 36 / 42

Custo para alinhar os incentivos Proposição Quando o esforço não é observável e o principal quer implementar o esforço e h, o contrato ótimo w h: dá ao agente a utilidade esperada ū e envolve um salário esperado E[wh( ) e h ] maior do que o requerido salário fixo ŵ eh quando o esforço é observável Para incentivar o esforço e h o salário tem que variar com o lucro Como o custo de oportunidade é o mesmo: ū O principal tem que pagar um prêmio para o agente aceitar ficar no risco Para implementar o maior esforço, a não observabilidade causa perdas de bem estar V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 37 / 42

Qual esforço implementar? Seja wi ( ) o contrato ótimo implementando o esforço e i, i {L, H} O principal compara o aumento do lucro esperado πf(π e h )dπ πf(π e l )dπ com o custo para implementar o esforço e h wh(π)f(π e h )dπ wl(π)f(π e l )dπ Lembra que o esquema de compensação wl( ) é constante igual ao salário ótimo ŵ el implementando e l quando esforço é observável V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 38 / 42

Qual esforço implementar? Proposição Se o esforço e L é ótimo com esforço observável então e L continua sendo o esforço ótimo para ser implementando quando o esforço não é observável V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 39 / 42

Qual esforço implementar? Suponha que e H é o esforço ótimo a ser implementado quando o esforço é observável Temos então E[π e h ] E[π e l ] ŵ eh ŵ el Para continuar implementando e H com esforço não observável, é preciso colocar o agente no risco e pagar o prêmio E[w h e H ] ŵ eh Existem duas situações se o custo do risco não for muito elevado, ainda é ótimo implementar e h se não, é melhor não tentar alinhar incentivos Nos dois casos, não observabilidade causa perda de bem estar para o principal (o agente sempre recebe o custo de oportunidade ū em utilidade esperada) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 40 / 42

Exemplo 2 Suponha três níveis de esforço e 1 < e 2 < e 3 Custo g(e 1 ) = 0, g(e 2 ) = k e g(e 3 ) = 1, onde k (0, 2/3) Suponha que o lucro possa tomar dois valores possíveis, π = 1 ou π = 1 As distribuições são dadas por Pr(π = 1 e) Pr(π = 1 e) e 1 1/2 1/2 e 2 3/4 1/4 e 3 7/8 1/8 Vamos mostrar que é impossível implementar e 2 qualquer que seja a função v( ) V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 41 / 42

Exemplo 2 As restrições de compatibilidade de incentivo são : e Ou seja, v(w( 1)) + 3v(w(1)) 4 v(w( 1)) + 3v(w(1)) 4 k k v(w( 1)) + v(w(1)) 2 v(w( 1)) + 7v(w(1)) 8 1 v(w( 1)) + v(w(1)) 4k e v(w( 1)) v(w(1)) 8k 8 Somando as duas desigualdades, temos 12k 8, ou k 2/3 V. Filipe Martins-da-Rocha (FGV) Teoria Microeconômica IV 4 o trimestre 2011 42 / 42