LUCIANO CAETANO DO CARMO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL LUCIANO CAETANO DO CARMO DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil Goiânia 005

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Mestrando: Engenheiro Civil Luiano Caetano do Carmo Orientador: Pro.º Dr. Ademir Apareido do Prado Co-orientador: Pro.º Dr. Daniel de Lima Araújo Goiânia 005

LUCIANO CAETANO DO CARMO DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal de Goiás, omo parte dos requisitos para obtenção do titulo de Mestre em Engenharia Civil. Área de onentração : Estruturas e Materiais. Orientador: Pro.º Dr. Ademir Apareido do Prado Co-orientador: Pro.º Dr. Daniel de Lima Araújo Goiânia 005

Dados Internaionais de Catalogação-na-Publiação (CIP) (GPT/BC/UFG) Carmo, Luiano Caetano do. C87d Dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia reorçadas om ibras metálias: análise via método dos elementos initos / Luiano Caetano do Carmo. Goiânia, 005. 188. : il. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal de Goiás, Esola de Engenharia Civil, 005. Bibliograia:. 161. Inlui lista de iguras, de tabelas, de símbolos, de abreviações. Anexo 1. Conreto armado Vigas. Fibras de metal - Vigas 3. Vigas de onreto - Fibras de metal I. Universidade Federal de Goiás. Esola de Engenharia Civil II. Título. CDU: 693.554 Reerênia Bibliográia CARMO, Luiano Caetano do. Dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia reorçadas om ibras metálias: Análise via Método dos Elementos Finitos. 005. 188. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Esola de Engenharia Civil, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 005. Cessão de Direitos Nome do Autor: Luiano Caetano do Carmo Título da Dissertação de Mestrado: Dutilidade de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia reorçadas om ibras metálias: Análise via Método dos Elementos Finitos. Grau/Ano: Mestre/005 É onedida à Universidade Federal de Goiás permissão para reproduzir ópias desta dissertação de mestrado e para emprestar tais ópias somente para propósitos aadêmios e ientíios. O autor reserva outros direitos de publiação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por esrito do autor. Luiano Caetano do Carmo Rua Monte Castelo esq. C/ Rua Maçonaria. Qd.08 Lt.14 Vila Jardim Pompéia CEP: 74685-0 Goiânia /GO Brasil

DUCTILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO CONVENCIONAL E DE ALTA RESISTÊNCIA REFORÇADAS COM FIBRAS METÁLICAS: ANÁLISE VIA MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS LUCIANO CAETANO DO CARMO Dissertação deendida e aprovada em 01 de Abril de 005, pela Bana Examinadora onstituída pelos proessores. Pro.º Dr. Ademir Apareido do Prado (UFG) ORIENTADOR Pro.º Dr. Daniel de Lima Araújo (UFG) CO-ORIENTRADOR Pro. Dr. Magid Elie Khouri (UFG) EXAMINADOR INTERNO Proa. Dra. Sylvia Regina Mesquita de Almeida (UFG) EXAMINADORA INTERNA Pro. Dr. Humberto Breves Coda (EESC/USP) EXAMINADOR EXTERNO

À minha avó, Maria da Coneição, in memorian, amiga, inentivadora e exemplo.

MEUS AGRADECIMENTOS A Deus, por todos os beneíios e oportunidades que me tem onedido. Ao Pro. Dr. Ademir Apareido do Prado, por estar sempre a meu lado, apoiando-me e inentivando-me, durante todas as etapas deste trabalho. Ao Pro. Dr. Daniel de Lima Araújo, pelo apoio, inansável dediação e paiênia, que durante este trabalho eslareeu minhas dúvidas, que não oram pouas, prinipalmente quando as oisas não davam erto. O meu muito obrigado pelas horas trabalhadas no Natal, no Ano Novo e no Carnaval. Eu sei que oi duro!!! Ao proessor Dr. Zenon del Prado, pela amizade e apoio onstante durante toda a exeução deste trabalho. Aos demais proessores do CMEC-UFG pela ormação e pela olaboração para o meu aprendizado. À minha mãe e à minha irmã, duas pessoas maravilhosas que eu amo muito e sempre me inentivaram. aadêmia. Ao meu avô Iray, que sempre esteve do meu lado, em toda minha vida Aos meus grandes amigos Flávio Lima, Tatiana, Rogério Aques, Beatriz, Mário Araújo, Daniela, Luis Enéias, Virgínea, Robson Donizeth e Alie. Estas pessoas maravilhosas que me aompanharam durante todo o tempo dessa jornada me inentivando, sempre dizendo palavras amigas e prinipalmente agüentando as minhas haties Aos amigos do mestrado Carlos Eduardo, Gabriel, Luiana, Magnus, Jadir, Helen, Renata e Paulo Alexandre, om os quais ompartilhei momentos inesqueíveis nesses últimos anos. O mestrado não teria sido o mesmo sem voês. Bons tempos, estes de mestrado!

À seretária do CMEC-UFG, Neuza, por toda atenção orneida aos alunos uidando de ada um omo se osse um ilho. À Roberta Paula, pessoa espeial que nas horas diíeis, om muita paiênia e arinho, sempre oi um ombro amigo, prinipalmente naqueles dias em que tudo pareia não dar erto ou não unionar. trabalho. A todos que, direta ou indiretamente, olaboraram para a realização deste À Coordenação de Apereiçoamento Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio inaneiro. LUCIANO CAETANO DO CARMO ABRIL/005

RESUMO Neste trabalho são realizadas modelagens numérias de vigas de onreto armado exeutadas om onreto onvenional e onreto de alta resistênia, reorçadas ou não om ibras metálias. A modelagem numéria possibilita a análise de diversas variáveis em uma estrutura, om usto reduzido. O objetivo deste trabalho é a veriiação da dutilidade de vigas de onreto armado reorçadas om ibras empregando programas omeriais de elementos initos. Para tanto oi utilizado o programa omerial ANSYS 6.1. A validação das modelagens é realizada através da omparação dos resultados numérios om os obtidos om resultados experimentais da literatura. Esta validação é iniialmente realizada om vigas de onreto onvenional e onreto de alta resistênia, sem a adição de ibras. Durante essa etapa perebeu-se problemas de onvergênia nas malhas mais reinadas das vigas superarmadas e de algumas vigas subarmadas. As malhas menos reinadas apresentaram respostas numérias oerentes om os resultados experimentais. A apliação da metodologia desenvolvida para modelagem de vigas de onreto armado reorçadas om ibras metálias apresentou diiuldades de implementação devido à ausênia de dados sobre a resistênia ao arranamento ibramatriz. Este parâmetro, também utilizado no modelo meânio, oi determinado a partir de retroanálises em ensaios de vigas disponíveis na literatura. Outra diiuldade enontrada oi a limitação do programa ANSYS 6.1 que não onsidera o eeito do amoleimento do onreto após o pio de resistênia à ompressão. Dessa orma, oi deinida uma ruptura onvenional para as vigas, sendo a deormação última à ompressão do onreto om ibras obtida om a utilização de modelos analítios disponíveis na literatura. A dutilidade das vigas é analisada através do índie de dutilidade global. É analisada a inluênia das seguintes variáveis: resistênia à ompressão do onreto, relação de orma das ibras e volume de ibras. Dos resultados, observa-se que é possível aumentar a dutilidade de vigas de onreto de alta resistênia om a adição de ibras metálias. Observa-se também que a dutilidade das vigas é mais sensível ao aumento no volume de ibras que ao aumento no ator de orma das mesmas. Do exemplo analisado onlui-se que a adição de baixos volumes de ibras nas vigas de onreto de alta resistênia já proporiona dutilidade semelhante à de vigas de onreto onvenional om altos volumes de ibras. Palavras-have: onreto reorçado om ibras, modelagem numéria, análise não-linear, dutilidade.

ABSTRACT In this work, inite element analysis o reinored onrete beams, made with both, normal and high strength onrete and with or without addition o steel iber, are arried out. The main advantage o the inite element analysis is the possibility o study several variables in a struture with a smaller ost i ompared to experimental tests. The objetive in this work is to veriy the dutility o iber reinored onrete beams, using the inite element method. In this work, the analysis is arried out using the ommerial inite element sotware ANSYS 6.1. The validation o the inite element analysis is aomplished through the omparison o the numeri results obtained with experimental results o the literature. This validation is aomplished initially with beams o normal onrete and onrete o high strength, without the addition o steel ibers. During the validation, it was notied onvergene problems with the inest meshes with high ratio and some low ratio beams and numerial answers were oherent with the experimental results using gross mesh model. The appliation o the methodology developed or modelling steel iber reinored onrete beams, presents implementation diiulties due to absene o interaial bond stress. This parameter, also used in the mehanial model, was determinated starting rom reverse analysis in tests o available beams in the literature. The analysis was restrited to the limitation o the program ANSYS 6.1, whih that doesn't onsider the eet o sotening o the onrete ater the ompression strength pik. Then, a onventional rupture riteria was deined as being the last strain in ompression or steel iber onrete obtained rom available analytial models in literature. The dutility o beams was analyzed through the index o global dutility. The inluene o the ollowing variables was analyzed: onrete ompressive strength, aspet ratio o iber and iber ontent. It was observed that is possible to inrease the dutility o beams made with high strength onrete due to addition o steel ibers. It was also observed that dutility o the beams is more sensitive to the inrease in the iber ontent that to the inrease in aspet ratio. From the analyzed examples is possible to onlude that the addition o low iber ontent in beams with high strength onrete provides similar dutility to the ones with normal onrete with high iber ontent. Keywords: steel iber reinored onrete, inite element analysis, nonlinear analysis, and dutility.

Sumário Lista de Figuras 10 Lista de Tabelas 14 Lista de Símbolos 16 Símbolos Maiúsulos 16 Símbolos Minúsulos 17 Símbolos Gregos 19 Lista de Abreviações 1 Introdução 3 1.1 Objetivo 5 1. Justiiativa 5 1.3 Estrutura do trabalho 6 Revisão Bibliográia 8.1 Introdução 8. Comportamento Meânio do Conreto om Fibras Metálias 31.3 Modelo meânio para vigas letidas reorçadas om ibras 38.4 Dutilidade de Vigas de Conreto Armado 41.5 Modelagem numéria de vigas reorçadas om ibras metálias 49.6 O Programa ANSYS 68.6.1 Elementos Utilizados 69 3 Modelagem de Vigas de Conreto Armado sem Fibras 74 3.1 Introdução 74 3. Araújo (00) 75

3.3 Ribeiro (1996) 79 3.4 Barbosa (1998), apud Gamino (003) 84 3.5 Considerações sobre as Modelagens Numérias 88 4 Modelagem de Vigas de Conreto Armado om Fibras 91 4.1 Introdução 91 4. Validação da Metodologia de Modelagem de Conreto Reorçado om Fibras 93 4.3 Determinação da Tensão de Arranamento Fibra-Matriz 98 4.4 Comparação dos Momentos Últimos Numério e Meânio 103 4.5 Comparação da Dutilidade Numéria om Valores Experimentais 106 4.6 Considerações Finais 113 5 Análise Paramétria 115 5.1 Introdução 115 5. Modelagem da Viga para a Análise Paramétria 115 5.3 Análise dos Resultados 118 5.4 Considerações Finais 153 6 Conlusão 156 6.1 Proposta para trabalhos uturos 159 7 Reerênias Bibliográias 161 8 Anexo 167 8.1 Introdução 167 8. Superíie de Plastiiação de Tresa e Von Mises 168 8.3 Superíie de Plastiiação de Mohr-Coulomb 171 8.4 Superíie de Plastiiação de Druker-Prager 176 8.5 Superíie de Plastiiação de Chen-Chen 180 8.6 Superíie de Plastiiação de Willam-Warnke 183

Lista de Figuras Figura 1.1 Representação da urvatura da seção transversal para onreto sem ibras e onreto om ibras 4 Figura 1. Curvas Força-Deormação para onreto de alta resistênia om ibras (Aïtin, 000). 4 Figura.1 - Comportamento plástio (Proença, 1988) 9 Figura. - Comportamento Uniaxial do Conreto (Proença, 1988). 30 Figura.3 Curva Tensão-Desloamento no ensaio de arranamento de ibras (Naaman, 1998). 3 Figura.4 Comparação entre as equações para o traçado da urva Tensão-Deormação. 38 Figura.5 Representação do equilíbrio de orças normais atuantes na seção transversal de uma viga reorçada om ibras metálias. 39 Figura.6 Curva Força Desloamento utilizada para a quantiiação da dutilidade global de vigas de onreto armado (Ribeiro, 003). 43 Figura.7 Curva Momento-Curvatura utilizada para a quantiiação da dutilidade loal de vigas de onreto armado (Gamino, 003). 44 Figura.8 Detalhe das vigas 1, e 3 ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003). 45 Figura.9 Detalhe da viga 1-R ensaiada por Ribeiro (1996). 45 Figura.10 Detalhe da viga -A ensaiada por Ribeiro (1996). 46 Figura.11 Detalhe da viga 3-B ensaiada por Ribeiro (1996). 46 Figura.1 - Detalhe das vigas ensaiadas (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). 5 Figura.13 - Elemento de mola-amorteimento COMBIN14 (ANSYS Release 6.1, 000). 5 Figura.14 - Área líquida empregada para alular a quantidade de ibras entre ada elemento inito da seção transversal da viga (Padmarajaiah; Ramaswamy, 00). 55 Figura.15 - Representação teória das ibras metálias no onreto protendido segundo Padmarajaiah e Ramaswamy, (00). 56 Figura.16 - Diagramas σ xε uniaxial equivalente de onretos om ibras para os regimes a) tração; b) ompressão (Simões, 1998). 57 Figura.17 Detalhe da viga ensaiada por Craig (1987). 58 Figura.18 - Detalhe da viga ensaiada sem armadura por Shnütgen; Erdem (001). 59 Figura.19 - Detalhe da viga ensaiada, om armadura por Shnütgen; Erdem (001). 59

Figura.0 - Modelagem das vigas de onreto sem armadura e om ibras no ANSYS segundo Hemmy (00). 60 Figura.1 - Modelagem das vigas de onreto om armadura e om ibras no ANSYS segundo Hemmy (00). 61 Figura. Relação tensão deormação da armadura om enruamento, Hemmy (00). 64 Figura.3 Curva Tensão- Abertura da Fissura obtida da análise reversa (Hemmy, 00). 64 Figura.4 Curva Tensão-Deormação equivalente para o onreto reorçado om ibras metálias, para a malha ina (Hemmy, 00). 65 Figura.5 Relação tensão-deormação itíia pra as ibras de aço para o ANSYS, Hemmy (00). 67 Figura.6 Gráio Força-Desloamento viga sem armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (00). 67 Figura.7 Gráio Força-Desloamento viga om armadura longitudinal de tração, viga experimental e modelagem de Hemmy (00). 68 Figura.8 Elemento de onreto armado 3-D SOLID65 (ANSYS Release 6.1, 000). 70 Figura.9 Peril de Superíie de Ruptura de Willam-Warnke utilizando pelo programa ANSYS (ANSYS Release 6.1, 000). 70 Figura.30 Condição de Resistênia a Ruptura do Conreto (ANSYS Release 6.1, 000). 71 Figura.31 - Elemento de barra 3-D LINK8 (ANSYS Release 6.1, 000). 73 Figura 3.1 Detalhe da Viga V1 ensaiada por Araújo (00). 76 Figura 3. Curva Força-Desloamento da viga V1 ensaiada por Araújo (00). 78 Figura 3.3 Resposta Tensão-Deormação uniaxial do onreto: a) Conreto, b) Willam- Warnke. 78 Figura 3.4 Detalhe da Viga R ensaiada por Ribeiro (1996). 79 Figura 3.5 Detalhe da Viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). 79 Figura 3.6 Detalhe da Viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). 80 Figura 3.7 Curva Força-Desloamento da viga R ensaiada por Ribeiro (1996). 8 Figura 3.8 Curva Força-Desloamento da viga 3A ensaiada por Ribeiro (1996). 83 Figura 3.9 Curva Força-Desloamento da viga 3B ensaiada por Ribeiro (1996). 84 Figura 3.10. Curva Força-Desloamento da viga V1 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (003). 87 Figura 3.11 Curva Força-Desloamento da viga V ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino, (003). 87 Figura 3.1 Curva arga-desloamento, viga V3 ensaiada por Barbosa (1998), apud Gamino (003). 88 Figura 4.1 Gráio Tensão-Deormação do onreto om ibras submetido à tração. 9

Figura 4. Gráio Força-Desloamento da viga sem armadura ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). 95 Figura 4.3 Gráio Força-Desloamento da viga om armadura ensaiada por Shnütgen; Erdem (001). 96 Figura 4.4 Diagrama Carga-Desloamento, da viga ensaiada por Craig, (1987). 98 Figura 4.5 - Detalhe geral das Vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 99 Figura 4.6 Detalhe da malha utilizada na modelagem das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 100 Figura 4.7 Gráios P num Pexp em unção da resistênia ao arranamento da ibra ( τ u ), modelagem das vigas de Ashour et al. (000). 101 Figura 4.8 Curvas Força-Desloamento das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 10 Figura 4.9 Representação da deormada da seção na ruína na viga de onreto armado reorçada om ibra metália. 107 Figura 4.10 Determinação dos índies de dutilidade global da viga ensaiada por Ashour et al. (1999). 109 Figura 5.1 Detalhamento da viga utilizada na análise paramétria. 116 Figura 5. Detalhe da malha utilizada na análise paramétria. 118 Figura 5.3 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d=48. 15 Figura 5.4 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d =65. 17 Figura 5.5 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 40 MPa, l/d =80. 19 Figura 5.6 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d =48. 130 Figura 5.7 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d =65. 131 Figura 5.8 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 70 MPa, l/d = 80. 133 Figura 5.9 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = 48. 135 Figura 5.10 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = 65. 136 Figura 5.11 Curvas Força-Desloamento, vigas om = 100 MPa, l/d = 80. 138 Figura 5.1 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão om Volume de ibras de 0,0%. 140 Figura 5.13 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a 48. 141 Figura 5.14 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a 65. 14 Figura 5.15 Gráios Dutilidade Global x Resistênia à Compressão, relação de orma, l/d, igual a 80. 143 Figura 5.16 Gráios Dutilidade Global x Relação de orma, l/d, om = 40 MPa. _ 144 Figura 5.17 Gráios Dutilidade Global x Relação l/d om = 70 MPa. 145

Figura 5.18 Gráios Dutilidade Global x Relação de orma, l/d, om = 100 MPa. 146 Figura 5.19 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 40 MPa. 147 Figura 5.0 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 70 MPa. 148 Figura 5.1 Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras om = 100 MPa. 150 Figura 5. Comparação das Resistênias à Compressão através dos Gráios Dutilidade Global x Volume de Fibras. 15 Figura 8.1 Superíie de Tresa e Von Mises no plano desviatório (Proença, 1989). _ 169 Figura 8. - Mohr-Coulomb modiiado no sistema σ-τ (Proença, 1988). 17 Figura 8.3 - Círulo de Mohr-Coulomb (Proença, 1989). 173 Figura 8.4 - Representação no plano meridiano r-ξ, (Proença, 1988). 175 Figura 8.5 - Projeção no plano desviatório do hexágono irregular (Proença, 1988). 176 Figura 8.6 - Representação da superíie de Druker-Prager (Proença, 1988). 177 Figura 8.7 Comparação, no plano σ 1 σ, entre os ones de Druker-Prager insritos e irunsritos à pirâmide de Mohr Coulomb (Proença, 1989). 179 Figura 8.8 - Aspeto da superíie de plastiiação num plano meridiano (Proença, 1988). 181 Figura 8.9 - Representação da superíie de Chen-Chen no sistema σ 1 σ (Proença, 1988). 183 Figura 8.10 - Representação no plano anti-esério da superíie de Willam-Warnke (Proença, 1988). 184 Figura 8.11 - Traçado elíptio da superíie de ruptura de 0 θ 60º (Chen, 198). 188 Figura 8.1 - Violação das ondições de onvexidade da superíie (Proença, 1988). 188

Lista de Tabelas Tabela.1 Propriedades ísias e meânias das vigas experimentais utilizadas nas modelagens de Gamino (003). 45 Tabela. Valores dos oeiientes 1 e para a determinação de 1 e, utilizados nas modelagens de Padmarajaiah e Ramaswamy (00). 54 Tabela.3 - Propriedades dos materiais da viga ensaiada por Craig (1987). 58 Tabela.4 Propriedades das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001). 60 Tabela.5 Detalhe das malhas utilizadas nas viga modeladas por Hemmy (00). 63 Tabela 3.1 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Araújo (00). 76 Tabela 3. Detalhamento da malha da viga V1, ensaiada por Araújo (00), otas em m. 77 Tabela 3.3 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Ribeiro (1996). 80 Tabela 3.4 Detalhamento das malhas das vigas R e 3A ensaiadas por Ribeiro (1996), otas em m. 81 Tabela 3.5 Detalhamento das malhas das vigas 3B, ensaiadas por Ribeiro (1996), otas em m. 81 Tabela 3.6 Caraterístias meânias dos materiais aço e onreto utilizados na modelagem das vigas ensaiadas por Barbosa (1998), apud por Gamino (003). 85 Tabela 3.7 Detalhamento da malha utilizada nas vigas 1, e 3, ensaiadas por Barbosa (1998), apud Gamino (003), otas em m. 85 Tabela 3.8 Valores da oesão () e ângulo de atrito (φ) obtidos pelas equações deduzida por Proença (1988) e Chen (198). 86 Tabela 4.1 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Shnütgen; Erdem (001). 94 Tabela 4. Detalhe das malhas utilizadas, na viga ensaiadas por Craig (1987). 97 Tabela 4.3 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Craig (1987). 97 Tabela 4.4 Caraterístias meânias das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 100 Tabela 4.5 Valores usados nas modelagens das vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). 105 Tabela 4.6 Variação dos Momentos Experimentais, Analítios e Numérios, das vigas ensaiada por Ashour et al. (000). 106

Tabela 4.7 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Mansur et al. (199). 110 Tabela 4.8 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Ezeldin; Balaguru; (199). 111 Tabela 4.9 Validação do índie de dutilidade global, µ d, das vigas ensaiada por Ashour et al. (1999), utilizando o ritério de Abdul-Ahad; Aziz (1999). 11 Tabela 4.10 Médias e Desvios Padrões utilizando dos ritérios de parada de Mansur et al. (1999), Ezeldin; Balaguru (199) e Abdul-Ahad; Aziz (1999). 11 Tabela 5.1 Valores das araterístias meânias das vigas utilizadas na análise paramétria. 117 Tabela 5. Comparação dos momentos analítios om os momentos numérios. 119 Tabela 5.3 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de Mansur et al. (1999). 11 Tabela 5.4 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de Ezeldin; Balaguru (199). 1 Tabela 5.5 Resultados obtidos da modelagem das vigas onsiderando o ritério de. Abdul- Ahad; Aziz (1999). 14

Lista de Símbolos Símbolos Maiúsulos A A e A A s C v E E s E s F ult I 1 J J 3 Constante Área da seção transversal do elemento inito de onreto Área da seção transversal da ibra de aço Área da seção transversal da armadura longitudinal de tração Coeiiente de Amorteimento Módulo de elastiidade longitudinal do onreto Módulo de elastiidade longitudinal seante do onreto Módulo de elastiidade longitudinal do aço Força última Primeiro invariante do tensor de tensões Segundo invariante do tensor desviatório de tensões Tereiro invariante do tensor desviatório de tensões [K ] Lei onstitutiva do onreto L Comprimento da viga M n Momento resistente da seção transversal M u,anl. Momento último analítio M u,exp. Momento último experimental M u,num. Momento último numério N e N e Força normal no elemento inito Força normal no elemento inito om a opção rebar

N N e R R RI R s R T T V Vol W Quantidade de ibras por unidade de área da seção transversal de onreto Número de ibras por elemento inito Esorço Normal de Compressão do Conreto Esorço Normal do Conreto Reorçado om Fibras Índie de reorço das ibras Esorço Normal da armadura longitudinal Coeiiente adaptador desendente e minimizador Tensor de tensões Fator de minoração da tensão de tração Volume de Fibras metálias Volume de Fibras metálias Fração, em peso, de ibras adiionadas Símbolos Minúsulos b Largura Coesão do material 1 Coeiiente para a determinação das tensões 1 Coeiiente para a determinação das tensões d d Diâmetro equivalente da ibra de aço Altura útil da seção transversal d Fator de aderênia da ibra om ganho, igual a 0,75 e 1 Proundidade até o bloo de tração, a partir da ibra mais omprimida Função de plastiiação Resistênia última à ompressão para o estado biaxial de ompressão sobreposta na tensão hidrostátia Resistênia última à ompressão para o estado uniaxial de ompressão sobreposta na tensão hidrostátia

b Resistênia à ompressão Resistênia à ompressão biaxial Tensão de ompressão biaxial adimensional b t t,r t,in t,sp t * t, t,r t t u y h k k k l l h l/d r r 0 Resistênia à ompressão do onreto reorçado om ibras Resistênia à tração do onreto Resistênia à tração residual do onreto simples Resistênia inerior à tração do onreto simples Resistênia à tração indireta do onreto Resistênia à tração itíia do onreto reorçado om ibras ou resistênia à tração no onreto om ibras metálias quando surge a primeira issura. Resistênia à tração na lexão do onreto reorçado om ibras Resistênia residual de tração do onreto om ibras Resistênia à tração Tensão de tração adimensional Resistênia última a tração da ibra metália Resistênia ao esoamento da armadura longitudinal Altura total da viga de onreto armado Constante elástia de mola Tensão de isalhamento máxima Constante Comprimento equivalente da ibra metália Comprimento araterístio da issura Relação de orma das ibras metálias Invariante Parâmetro relaionado ao oeiiente k do one de Druker-Prager

w x x b Largura da abertura da issura Atura da linha neutra a partir da ibra mais omprimida Altura da linha neutra a partir da ibra mais omprimida para armadura balaneada Símbolos Gregos α α β β β t δ u δ y ε ε ε,lim ε t ε t,max ε u ε u ε e ε ε p ε s ε s φ Constante positiva relaionada à oesão e ao ângulo de atrito do material Fator de orientação das ibras Coeiiente de transerênia do ortante para issuras ehadas Fator que deine a altura equivalente do bloo de ompressão do onreto reorçado om ibras Coeiiente de transerênia do ortante para issuras abertas Desloamento último no meio do vão Desloamento quando iniia o esoamento da armadura longitudinal de tração no meio do vão Deormação Deormação do onreto Deormação limite espeíia do onreto à ompressão Deormação limite espeíia do onreto à tração Deormação última do onreto om ibras Deormação última do onreto Deormação última do onreto om ibras Deormação elástia do onreto Deormação do onreto reorçado om ibras Deormação plástia do onreto Deormação da armadura longitudinal de tração Deormação espeíia do onreto reorçado om ibras Ângulo, em relação ao eixo y, que deine a direção do taxa de armadura

no elemento SOLID65 φ φ Diâmetro das barras da armadura Ângulo de atrito do material φ Meridiano de ompressão para θ = 60º φ t Meridiano de tração para θ = 0º φ u φ y γ Curvatura da viga relativa ao momento letor último Curvatura da viga relativa ao momento letor orrespondente ao iníio do esoamento do aço da armadura longitudinal de tração Fator que deine a intensidade da tensão de ompressão equivalente para o retângulo de tensão do onreto µ Coeiiente de dutilidade loal µ d Coeiiente de dutilidade global ν θ θ ρ ρ ρ b ρ b0 ρ ρ t ρ σ Coeiiente de Poisson Ângulo, em relação ao eixo x, que deine a direção do taxa de armadura no elemento SOLID65 Ângulo no plano de Nadai Taxa de armadura longitudinal Parâmetro de plastiiação Taxa de armadura balaneada Taxa de armadura balaneada sem armadura de ompressão Taxa de armadura longitudinal de ompressão Taxa de armadura longitudinal de tração Taxa de ibra metália no elemento SOLID65 Tensão normal σ 1 Tensão prinipal na direção 1 σ Tensão prinipal na direção σ 3 Tensão prinipal na direção 3

σ t σ h σ A σ y τ τ 13 τ m τ u ξ Tensão de tração máxima do onreto Tensão hidrostátia Tensão Normal Tensão de esoamento Tensão de isalhamento Tensão de isalhamento Tensão isalhante Tensão de arranamento da ibra metália na matriz a base de imento Invariante

Lista de Abreviações ABNT ACI UFG EESC USP CAR ND rebar Assoiação Brasileira de Normas Ténias Amerian Conrete Institute Universidade Federal de Goiás Esola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo Conreto de Alta Resistênia Número de Divisões Reinoring bar

1 Introdução O aumento nos vãos dos projetos arquitetônios e a neessidade de redução das dimensões das peças estruturais têm inentivado o uso mais reqüente do onreto de alta resistênia (CAR) na onstrução ivil. O seu emprego se justiia pelo ato de o mesmo apresentar uma resistênia à ompressão relativamente alta, maior durabilidade, menor permeabilidade e menor luênia quando omparado ao onreto onvenional o qual possui uma resistênia à ompressão até 50 MPa, segundo a NBR 6118:003 (ABNT, 003). O uso do onreto de alta resistênia, ontudo, apresenta um inonveniente que é a sua ragilidade, não reomendada em projetos estruturais. Não é reomendável a ruptura brusa em peças estruturais. Os elementos estruturais devem ser projetados para que soram grandes deormações e desloamentos antes que oorra o olapso loal ou global da estrutura, pois isso proporiona um aviso prévio antes da ruína (Gamino, 003; Gamino; Barbosa, 003). Elementos estruturais exeutados om onreto de alta resistênia são rágeis e neessitam de um aumento na deormação última do onreto. Estruturas rágeis possuem menor dutilidade. Alguns métodos podem ser utilizados para aumentar a dutilidade das peças de onreto armado exeutadas om onreto de alta resistênia, omo, por exemplo, utilização de armadura dupla, redução do espaçamento dos estribos ou orma dos estribos (Ho et al., 004). Outra orma de aumentar a dutilidade do material é a adição de ibras metálias, sem, é laro, reduzir a resistênia a ompressão do onreto. A Figura 1.1 ilustra o aumento da deormação última de ompressão do onreto na lexão, provoado pela adição de ibras metálias no onreto. Este aumento na deormação proporiona um aumento da urvatura da seção transversal, que oasiona um aumento na dutilidade da peça estrutural.

Capítulo 1 Introdução 4 Figura 1.1 Representação da urvatura da seção transversal para onreto sem ibras e onreto om ibras Segundo Aïtin (000), o aumento da dutilidade do material utilizando ibras metálias está relaionado om o aumento da deormação do onreto promovida pelas ibras, as quais provoam a plastiiação do mesmo. Essa plastiiação az om que oorra uma redistribuindo dos esorços e a manutenção dos mesmos nas vizinhanças de uma possível ruína. Portanto, as ibras metálias proporionam um aumento na energia dissipada e, prinipalmente, um aumento da deormação última do onreto, onorme é mostrado na Figura 1.. Figura 1. Curvas Força-Deormação para onreto de alta resistênia om ibras (Aïtin, 000).

Capítulo 1 Introdução 5 1.1 Objetivo O presente trabalho tem por objetivo veriiar se a adição de ibras metálias ao onreto aumenta a dutilidade de vigas de onreto armado exeutadas om onreto de alta resistênia. Além disso, proura-se veriiar a validade de modelos meânios atualmente existentes na avaliação da resistênia à lexão de vigas de onreto reorçado om ibras. A análise será realizada empregando o programa omerial ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 00) baseado no método dos elementos initos. Pretende-se deinir uma metodologia de modelagem que permita o emprego deste programa na representação do omportamento de vigas de onreto reorçado om ibras quando são empregados modelos elastoplástios pereitos. A análise numéria deverá levar em onsideração as seguintes variáveis: a resistênia do onreto, a quantidade de ibras adiionadas (até um volume de,0%) e a relação de orma das ibras. Serão estudadas apenas ibras om ganhos nas extremidades. 1. Justiiativa A adição de ibras de aço à matriz à base de imento melhora algumas das araterístias do onreto omo, por exemplo, a tenaidade. As ibras de aço proporionam também um aumento da parela resistente ao isalhamento do onreto, tornando possível uma redução no uso de armadura transversal nas peças de onreto armado. Além disso, as ibras metálias proporionam um aumento na dutilidade do onreto de alta resistênia, o que resulta em um aumento das deormações e das lehas da estrutura antes da ruptura, tornando-a dútil e onduzindo a uma ruptura om aviso prévio. A análise empregando uma modelagem numéria, entre outras oisas, possibilita a redução de ensaios em laboratório, reduzindo substanialmente os ustos de pesquisa, e o estudo de um número maior de variáveis para o problema.

Capítulo 1 Introdução 6 1.3 Estrutura do trabalho O presente trabalho está divido em 7 apítulos, organizados da seguinte orma: Capítulo 1: Introdução; Capítulo : Breve revisão sobre plastiidade em estruturas de onreto armado om ênase nos modelos onstitutivos empregados no trabalho. Em seguida, explia-se resumidamente o omportamento do onreto reorçado om ibras metálias e são apresentados os modelos meânios disponíveis na literatura para representação do omportamento à lexão das vigas reorçadas om ibras metálias. De orma suinta, é tratada a obtenção da dutilidade de peças estruturais, numeriamente e experimentalmente. Na seqüênia são apresentadas modelagens numérias de vigas reorçadas om ibras metálias. Ao inal são apresentadas as vantagens e desvantagens do programa ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 00) na modelagem de peças de onreto armado. Capítulo 3: Neste apítulo são realizadas modelagens de vigas de onreto armado onvenional e de alta resistênia, todas sem ibras. Essas modelagens têm o objetivo de validar o modelo numério e as ténias para a sua realização. A validação das modelagens é realizada através da omparação dos gráios de Força-Desloamento om valores publiados em artigos, dissertações ou teses que possuem em seu esopo trabalhos experimentais. As prinipais variáveis analisadas nas modelagens são: tamanho do elemento inito, oesão, ângulo de atrito e módulo de elastiidade longitudinal do onreto. Capítulo 4: São realizadas as modelagens de vigas de onreto armado reorçado om ibras metálias. Iniialmente são reeitas as modelagens de Hemmy (00). Neste trabalho o autor modelou vigas de onreto simples e armado, ambas reorçadas om ibras metálias, empregando programas baseados na meânia da ratura. A validação do modelo numério deste trabalho é realizada através da omparação om valores experimentais de vigas ensaiadas por diversos autores. Em seguida, é veriiada numeriamente, a inluênia da resistênia da matriz de imento na tensão de arranamento das ibras. Esta veriiação se dá utilizando as vigas ensaiadas por Ashour et al. (000). Utilizando as mesmas vigas são, veriiados ainda:

Capítulo 1 Introdução 7 A validade de modelos meânios para a determinação do momento último em vigas reorçadas om ibras, mostrados no Capítulo ; A validade do proesso de determinação da dutilidade de vigas de onreto armado através do índie de dutilidade global. Esta validação torna-se neessária pelo ato de o programa ANSYS Release 6.1 (ANSYS, 00) não representar o eeito do amoleimento do onreto após atingido o pio de resistênia. Capítulo 5: É realizada a análise paramétria de vigas de onreto armado reorçado om ibras metálias. São analisados três valores de resistênia: 40 MPa, 70 MPa e 100 MPa. São onsiderados os seguintes volumes de ibras adiionadas ao onreto: 0,0%; 0,5%, 1,0%, 1,5% e,0%. São onsideradas as seguintes relações de orma (l/d): 48, 65 e 100. Na análise é veriiada a inluênia dessas variáveis no momento último e na dutilidade das vigas. A dutilidade é alulada utilizando três proessos para a determinação do esmagamento do onreto om ibras e o momento último é omparado aos valores obtidos nos modelos meânios. Estes três proessos para a determinação do esmagamento do onreto são denominados ritérios de parada. Capítulo 6: São apresentadas as diiuldades enontradas durante o trabalho e as onlusões. São também sugeridos possíveis temas para trabalhos uturos. Capítulo 7: Reerênias Bibliográias.

Revisão Bibliográia.1 Introdução O onreto é um material om omportamento meânio omplexo, visto que suas propriedades são unção também dos agregados, do imento, da orma de exeução, da orma de soliitação dentre outros. O mesmo é omposto por uma variedade muito grande de materiais dierentes (imento, areia, agregados e água). A oorrênia de miroissuras entre a pasta da matriz à base de imento e os agregados, a presença de água e a grande quantidade de poros avoreem, durante o arregamento, a oorrênia de issuras, que são as prinipais responsáveis pelo omportamento não linear do onreto (Pimenta; Silva, 003). Para a análise numéria do onreto armado é neessário o onheimento do omportamento do onreto tanto na tração quanto na ompressão. Em ambos os asos, essa representação é possível através de modelos onstitutivos baseados na teoria da plastiidade (Proença, 1988; Chen, 198). A teoria da plastiidade oi undamentada para a análise de materiais metálios. Então, azendo uma análise do omportamento do onreto, após uma situação de argadesaga-arga, onorme a Figura.1, é possível veriiar nitidamente duas regiões distintas (Proença, 1988). A primeira região é limitada superiormente por uma tensão de esoamento ( σ y ), araterizando o inal do regime elástio linear. Nesta primeira etapa, para suessivas situações de arga e desarga, umprindo ilos ompletos de tensão, o aminho perorrido é o mesmo, sem o apareimento de deormações residuais. A segunda região é araterizada omo regime plástio. Neste regime, representado na Figura.1a, é evideniado quando o orpo está soliitado por um nível de tensão σ > σ, o desarregamento não se dá mais pelo mesmo aminho perorrido no A y

Capítulo Revisão Bibliográia 9 arregamento, mas por um trajetória aproximadamente paralela ao do regime elástio. No nível nulo de tensão, oorre o surgimento de uma deormação residual denominada de deormação plástia. Conlui-se então que a deormação total, orrespondente ao nível de tensão σ A, é omposta de uma parela elástia, reuperável, e outra plástia, irreuperável. Prosseguindo om uma nova etapa de arga, o aminho perorrido é novamente linear, estendendo-se até um ponto B ao qual orresponde uma tensão maior que σ y. A partir daí a tendênia da urva é a de atingir a mesma região que seria deinida se o arregamento tivesse sido ontínuo, sem a primeira desarga. Nessa nova etapa de arga, a tensão de esoamento ( σ ) tem um novo valor deinido em unção do y apareimento da deormação plástia anterior. Esse enômeno é hamado de enruamento. O omportamento real é, por motivos de simpliiação da análise teória, idealizado pela orma mostrada na Figura.1b. Despreza-se o ilo de histerese apresentado a partir da suessão de arga-desarga-arga no regime plástio e admite-se que na nova situação de arga o regime elástio linear estenda-se até o nível de tensão σ A. (a) (b) Figura.1 - Comportamento plástio (Proença, 1988) A utilização de modelos plástios na modelagem de peças de onreto vem sendo utilizada omo uma orma simpliiada, pois a teoria da plastiidade não inorpora todas as araterístias do onreto após a issuração. Daí a neessidade de inorporar ao modelo plástio as teorias que onsiderem a issuração do onreto.

Capítulo Revisão Bibliográia 30 Para que se possam reproduzir os enômenos isolados do onreto, de tal modo que proporione resultados numérios satisatórios, é neessário levar em onta que na ompressão e na tração o onreto apresenta omportamentos distintos. A hipótese básia onsiste em desprezar o regime de amoleimento. O onreto na ompressão é onsiderado omo um material de omportamento elastoplástio om endureimento e dutilidade limitada. Na tração admite-se que o mesmo apresente ragilidade ao inal do regime elástio linear. A Figura. ilustra o omportamento uniaxial do onreto. Na tração o regime elastoplástio é limitado por uma tensão máxima. Já na ompressão, a prinipal araterístia é a dutilidade limitada por uma deormação máxima. Figura. - Comportamento Uniaxial do Conreto (Proença, 1988). A plastiiação observada no onreto em ompressão, por exemplo, no aso uniaxial para tensões entre 30% e 75% da tensão máxima de ompressão, é o resultado de um proesso de miroissuração (superação da oesão interna por eeito da tensão de isalhamento). Na tração, adotando o ritério da máxima tensão, a ruptura se dá por separação segundo uma superíie uja normal tem direção oinidente om a direção da maior tensão prinipal de tração. Nessa situação, arateriza-se uma perda na apaidade de arga do material através da redução total da tensão normal assoiada ao plano de ruptura. Na ompressão, por outro lado, a ruptura oorre om base no ritério da máxima

Capítulo Revisão Bibliográia 31 deormação por ompressão e reebe a denominação de esmagamento. O onreto nesta situação perde todas as suas araterístias de resistênia no ponto onsiderado. Deve-se observar que, nos asos unidimensionais, a ruptura aqui oneituada pode representar de modo bastante aproximado o enômeno ísio real. Nas situações de duas ou três dimensões, deve-se riar ritérios que representem o omportamento real. O mais utilizado é deinir superíies de plastiiação e ruptura no espaço das tensões prinipais e ompara-las om as resultantes de tensões atuantes na estrutura. No aso da ompressão, as superíies desritas no espaço das tensões deverão ser assoiadas a um ritério de deormação máxima para onigurar eetivamente a ruptura. Esse ritério é representado pela hamada superíie de esmagamento desrita no espaço das deormações. Uma hipótese adiional, reqüentemente utilizada para simpliiar a deinição das superíies, é a de admitir que o enruamento do onreto seja do tipo isótropo. Nessas ondições, suessivas superíies de plastiiação terão a mesma orma da superíie iniial de plastiiação, porém maior. Para mais inormações sobre modelos de plastiiação no onreto sugere-se onsultar, por exemplo, os trabalhos de Chen (198), Proença (1988) e Proença (1989). Em anexo a este trabalho é apresentada uma revisão suinta dos prinipais modelos de plastiiação que oram utilizados neste trabalho.. Comportamento Meânio do Conreto om Fibras Metálias Segundo Araújo (00) e Chunxiang; Patnaikuni (1999), a adição de ibras urtas ao onreto melhora a dutilidade, a resistênia ao impato, a resistênia à adiga, o ontrole de issuração, o omportamento pós-issuração e, em alguns asos, a resistênia à tração. Algumas dessas vantagens são sensíveis à quantidade e ao tipo de ibras adiionadas. As ibras, em quantidade, omprimento e ormato adequado, podem inorporar deormações plástias signiiativas à matriz, melhorando seu emprego na onstrução ivil, já que se pode alterar o omportamento pós-issuração e tornar menos brusa a ruptura do material.

Capítulo Revisão Bibliográia 3 A presença desontínua das ibras az om que oorra um obstáulo ao desenvolvimento das issuras. Quando as ibras intereptam o apareimento das miroissuras que surgem durante o endureimento da pasta, as ibras impedem sua progressão e evitam o apareimento prematuro das miroissuras. Na mistura endureida, a abertura e o omprimento das issuras também tornam-se menores. O meanismo básio do reorço devido as ibras deve-se à dierença na apaidade de deormação das ibras e da matriz. Iniialmente, ambas deormam-se onjuntamente até a ruptura da matriz quando a orça resistida pela matriz é transerida para as ibras. A idealização deste omportamento baseia-se na transerênia de tensões de aderênia entre a ibra e a matriz junto às issuras. Portanto, ele depende das propriedades da ibra e da matriz e, prinipalmente, da tensão de aderênia na interae entre elas. Segundo Naaman (1998) e Araújo (00) as ibras om ganhos nas extremidades possuem uma maior resistênia ao arranamento do que as ibras lisas e retas. As ibras lisas e retas perdem a aderênia rapidamente om o iníio do esorregamento da ibra. As ibras que possuem ganhos nas extremidades tendem a retiiar o ganho antes que oorra o esorregamento. Estas ibras proporionam um aumento muito grande na energia dissipada durante o ensaio de arranamento, Figura.3. Figura.3 Curva Tensão-Desloamento no ensaio de arranamento de ibras (Naaman, 1998).

Capítulo Revisão Bibliográia 33 Com relação ao aumento da resistênia à ompressão do onreto, as ibras raramente proporionam um aumento superior a 5%. Nas apliações usuais, a quantia é normalmente limitada a 0,75% (60 kg/m³). Para essa quantia de ibras, o aumento da resistênia a ompressão pode ser desprezado. Apenas quando a quantidade de ibra é maior que 1,5% (10 kg/m³) espera-se um aumento na resistênia. Em muitos asos, a resistênia pode até ser menor do que a do onreto sem a adição de ibras, uma vez que oorre a inorporação de vazios ao onreto quando as ibras são adiionadas (Araújo, 00). Para onretos onvenionais, as ibras podem trazer uma ontribuição na dutilidade. A adição de 0,75% (60 k/m³) de ibras de aço om ganhos nas extremidades é suiiente para proporionar uma boa dutilidade ao material, enquanto que para onretos de alta resistênia é neessário a adição de 1,5% (10 kg/m³) para proporionar uma dutilidade semelhante. Conorme Araújo (00), o ator de orma e a relação de orma, l/d, inluem na dutilidade do onreto à ompressão. Para as ibras lisas, o aumento do ator de orma resulta em um aumento da dutilidade do onreto, sendo seu limite deinido pela apaidade de misturá-las ao onreto. As ibras om ganhos nas extremidades proporionam maior apaidade de absorção de energia ao onreto que as ibras lisas. Nesse aso, o ator de orma também é importante, entretanto não é tão signiiativo quanto nas ibras lisas. Diversos autores trazem equações que tentam mostrar o omportamento à ompressão do onreto reorçado om ibras, inluindo o ramo de amoleimento do onreto ( strain sotening ). Neste trabalho são apresentadas, de orma resumida, algumas equações desenvolvidas para representar a urva Tensão-Deormação do onreto om ibras e que são utilizadas na determinação da dutilidade das vigas de onreto armado. São apresentadas apenas urvas desenvolvidas para ibras metálias om ganho nas extremidades, que é o tipo analisado neste trabalho. Ezeldin; Balaguru (199) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 35 MPa a 85 MPa. Foram empregadas ibras om atores de orma de 60, 75 e 100. O volume máximo de ibras adiionadas oi de 0,75% (60 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo:

Capítulo Revisão Bibliográia 34 σ = ε β ε,lim ε β 1+ ε,lim β (.1 ) onde: 3 β = + 1,55 para V = 0% (. ) 3,4 0, 96 ( ) β = 1,093 + 0,713 RI para V < 0,75% (.3 ) ε = 0,00 0, 000446RI (.4 ), lim + RI l = W é o índie de reorço de ibras d Nestas equações (.1) a (.4), é a resistênia do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão (deormação máxima), e l é o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. O parâmetro W é a ração, em peso, de ibras adiionadas, que pode ser relaionada, de orma aproximada, om o volume de ibras por W 7850 = 400 V, onde V é o volume de ibras adiionadas. Hsu; Hsu (1994) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 6 MPa a 88 MPa. Foram empregadas ibras metálias om ator de orma de 60. O volume máximo de ibras adiionadas oi de 1,0% (80 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo: σ nβ = nβ 1+ x nβ para 0 x x (.5 ) d σ ( 0,7( x x ) ) 0,8 d = 0,6e para x > xd (.6 ) onde:

Capítulo Revisão Bibliográia 35 x ε ε = (.7 ),lim 1 β = para onreto sem ibra (.8 ) 1 ε E,lim 3 β = + C para onretos om ibras (.9 ) A ( V ) 3 + 8, 501 A 1,717 e C 0,6 V +, 74 (.10 ) = =, lim = a1 + C1 ε para onreto om ibra (.11 ) E = a para onreto om ibra (.1 ) + C ε, lim = 0,00 e E = 4700 para onreto sem ibra (.13 ) Nestas equações, x d é a deormação, da urva tensão-deormação no ramo desendente, orrespondente à tensão de 0,6, é a resistênia a ompressão do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão, E o módulo de elastiidade tangente iniial, e V o volume de ibras adiionadas. Os parâmetros n, a 1, a, C 1 e C são deinidos pelos autores em unção da resistênia do onreto e do volume de ibras adiionadas. Mansur et al. (1999) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 70 MPa a 10 MPa. Foram empregadas ibras metálias om ator de orma de 60. O volume máximo de ibras adiionadas oi de 1,5% (10 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo: σ = ε β ε,lim ε β 1+ ε,lim β para ε ε, lim (.14 )

Capítulo Revisão Bibliográia 36 σ ε k1β ε,lim = para ε kβ > ε, lim (.15 ) ε k1β 1+ ε,lim onde: 1 β = (.16 ) 1 ε E,lim k 3 50 = 1 +, V 1 5,5 l d (.17 ) 1,3 50 k = 1 0, 11 V l d 1, 1 (.18 ) l 0,35 ε, lim = 0,00050 + 0, 0000007 V d (.19 ) E 1 3 ( 400V ) = 10300 (MPa) (.0 ) Nestas equações, é a resistênia a ompressão do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão, E o módulo de elastiidade tangenial iniial, V é o volume de ibras adiionadas, l é o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. Barros; Figueiras (1999) estudaram onretos om resistênia à ompressão variando de 30 MPa a 60 MPa. Foram empregadas ibras metálias om atores de orma de 60 e 75. O volume de ibras adiionadas oi de 0,75% (60 kg/m³). A equação que ornee a tensão no material em unção de sua deormação oi deinida omo:

Capítulo Revisão Bibliográia 37 σ = ( 1 p q) ε ε ε + q ε,lim,lim ε + p ε,lim ( 1 q )/ p (.1 ) onde: q E E s = 1 p, 0 < + q < 1 1 q p, > 0 p (. ) ε = 0,00 + 0, 000 para l/d = 60 (.3 ),lim W ε = 0,00 + 0, 0006 para l/d = 75 (.4 ),lim W 0,394W p = 1 0,919e para l/d = 60 (.5 ) 0,144 W p = 1 0,7e para l/d = 75 (.6 ) Nestas equações, é a resistênia do onreto (MPa), ε, lim a deormação orrespondente à tensão, l é o omprimento e d o diâmetro equivalente das ibras, respetivamente. O parâmetro W é a ração, em peso, de ibras adiionadas, que pode ser relaionada, de orma aproximada, om o volume de ibras por W o volume de ibras adiionadas. 7850 = 400 V, onde V é A Figura.4 apresenta as urvas Tensão-Deormação para representar as equações mostradas. Conorme Araújo (00), em onretos onvenionais utilizando porentagens ineriores a 3% não oorre aumento signiiativo na resistênia à tração. Em onretos de alta resistênia, ontudo, a melhor aderênia entre a ibra e a matriz pode proporionar aumentos de até 00% na resistênia à tração.