BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 11 de dezembro de 2017 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 1 / 58
Avisos Site da disciplina: I http://www.decom.ufop.br/marco/ Lista de e-mails: I bcc204@googlegroups.com Para solicitar acesso: I http://groups.google.com/group/bcc204 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 2 / 58
Conteúdo 1 Caminhos e Ciclos Hamiltonianos 2 Grafos Hamiltonianos e Semi-Hamiltonianos Caracterização 3 Caminhos e Ciclos Eulerianos 4 Grafos Euleriano e Semi-Euleriano Caracterização 5 Algoritmo de Hierholzer 6 Algoritmo de Fleury Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 3 / 58
Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Histórico Em 1856, Thomas Penyngton Kirkman, listado entre os dez mais importantes matemáticos britânicos do séc. 19, escreveu um trabalho que examinava as condições de existência de ciclos que não repetissem vértices ou arestas, desenvolvidos sobre certos tipos de sólidos. Especificamente, seu trabalho se concentrava em poliedros simples e examinava um caso semelhante ao apresentado na figura. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 4 / 58
Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Histórico Kirkman havia se deparado com o problema de encontrar um ciclo em um grafo que passasse por todos os vértices sem admitir vértices repetidos. Dentre os diversos tipos possíveis ciclos em grafos, este é um dos de maior importância, tanto sob o aspecto teórico quanto sob o aspecto da aplicação em problemas reais. Historicamente, estes ciclos são denominados Hamiltonianos, devido a William Rowan Hamilton (matemático, físico e astrônomo irlandês), que, em 1957 propôs um jogo que denominou Around the World. Ojogoerafeitosobreumdodecaedro,emquecadavérticeestavaassociadoa uma cidade importante na época. O desafio consistia em encontrar uma rota através dos vértices do dodecaedro que iniciasse e terminasse na mesma cidade, sem repetir uma cidade sequer. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 5 / 58
Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Around the World. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 6 / 58
Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Around the World. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 7 / 58
Caminhos e Ciclos Hamiltonianos Grafo que representa o jogo, uma solução e um ciclo hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 8 / 58
Grafos Hamiltoniano e Semi-Hamiltoniano Caminho Hamiltoniano Um caminho hamiltoniano é um caminho que passa por cada vértice de um grafo exatamente uma vez. Ciclo Hamiltoniano Um ciclo hamiltoniano é um caminho hamiltoniano que retorna ao vértice inicial. Grafo Hamiltoniano Um grafo é dito hamiltoniano se possui um ciclo hamiltoniano. Grafo Semi-Hamiltoniano Um grafo é dito semi-hamiltoniano se possui um caminho hamiltoniano. Claramente, um grafo hamiltoniano é também semi-hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 9 / 58
Grafos Hamiltoniano e Semi-Hamiltoniano Grafo hamiltoniano, grafo não hamiltoniano e caminho hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 10 / 58
Caracterização Insuficiente Não se conhece uma condição necessária e suficiente trivial para a existência de um ciclo hamiltoniano em um grafo. Teorema de Dirac, 1952 Um grafo G =(V, A) com n 3ed(x) n/2 paratodox 2 V éhamiltoniano. Teorema de Ore, 1961 Uma condição suficiente para que um grafo seja hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n. Teorema de Bondy & Chvátal, 1976 Se o Fecho Hamiltoniano de G for um grafo completo, então G será hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 11 / 58
O Fecho Hamiltoniano - (G) Construção O Fecho Hamiltoniano de um grafo G, (G), éografoobtidoapartirdeg do seguinte modo: sucessivamente são adicionadas arestas entre pares de vértice u e v não adjacentes cuja soma dos graus seja pelo menos n, atéqueemalgum momento tais pares não existam mais. Exercício Tente usar usar o teorema de Bondy & Chvátal para o grafo C 4. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 12 / 58
Ciclos Hamiltonianos: Uso dos Teoremas Indique quais grafos satisfazem Dirac, Ore e Bondy & Chvátal Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 13 / 58
Caracterização Karp, 1972 Oproblemadedecisãoassociadoàdeterminaçãodeciclosecaminhosemgrafos sem propriedades peculiares é NP-Completo. Mais Resultados Decidir de se um grafo é hamiltoniano é NP-Completo mesmo que o grafo: I Seja planar (Garey et al, 1976); I Possua um caminho hamiltoniano conhecido (Papadimitriou & Steiglitz, 1976). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 14 / 58
Ciclos Propriedade Todo grafo Hamiltoniano com n-vértices é constituído por um C n emaisalgumas arestas. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 15 / 58
Todo Grafo 2-conexo é Hamiltoniano? Cola Um grafo 2-conexo ou biconectado é um grafo em que a remoção de um único vértice qualquer não o torna desconectado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 16 / 58
Todo Grafo 2-conexo é Hamiltoniano? Cola Um grafo 2-conexo ou biconectado é um grafo em que a remoção de um único vértice qualquer não o torna desconectado. Propriedade Insuficiente Todo grafo hamiltoniano é 2-conexo, mas nem todo grafo 2-conexo é hamiltoniano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 16 / 58
Caminhos e Ciclos Eulerianos Histórico Supostamente, a teoria dos grafos nasceu associada à solução e modelagem de um problema de ciclos. Diz-se que Euler, por ocasião de uma visita à cidade de Königsberg, durante o século XVIII, foi apresentado a um desafio não resolvido por ninguém. Durante a solução do problema, Euler teria lançado os fundamentos da teoria dos grafos. O problema tratava de um rio (Pregolya) que atravessava a cidade de Königsberg (atual Kaliningrado), formando duas ilhas. As ilhas e as margens eram ligadas por sete pontes. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 17 / 58
Caminhos e Ciclos Eulerianos Plano de Königsberg, modelo e grafo associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 18 / 58
Caminhos e Ciclos Eulerianos Questão ApartirdealgumpontodacidadedeKönigsbergépossívelfazerumacaminhada que atravesse todas as pontes da cidade uma única vez e retorna ao ponto inicial? Euler Estudando este problema, Euler demonstrou, com o auxílio do grafo da figura anterior, que o percurso pretendido é impossível. Em virtude do resultado obtido por Euler, os percursos que passam por todas as arestas de um grafo, sem repetí-las, são denominados Eulerianos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 19 / 58
Caminhos e Ciclos Eulerianos Curiosidade Desde os tempos de Euler (portanto, há mais de três séculos), Königsberg passou por várias transformações, entre elas, duas modificações na disposição de suas sete pontes. Ainda assim, o percurso continua impossível. Plano de Kaliningrado (séc. XXI), modelo e grafo associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 20 / 58
Caminhos e Ciclos Eulerianos Curiosidade Temos uma Königsberg Brasileira! Euler não visitou o centro de Recife-PE, mas lá ocorre a mesma situação de impossibilidade de obter um ciclo euleriano. Centro de Recife com suas 8 pontes (séc. XXI) e grafo associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 21 / 58
Grafos Euleriano e Semi-Euleriano Caminho Euleriano Um caminho euleriano é um caminho que passa por cada aresta de um grafo exatamente uma vez. Ciclo Euleriano Um ciclo euleriano é um caminho euleriano que começa e termina no mesmo vértice. Grafo Euleriano Um grafo é dito euleriano se possui um ciclo euleriano. Grafo Semi-Euleriano Um grafo é dito semi-euleriano se possui um caminho euleriano. Claramente, um grafo euleriano é também semi-euleriano. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 22 / 58
Caminhos e Ciclos Eulerianos Grafo semi-euleriano e caminho associado. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 23 / 58
Caracterização Suficiente Considerando G um grafo conectado, então: I (Teorema de Euler) G é euleriano se e somente se todos os seus vértices possuírem grau par; I G não é euleriano se e somente se existem dois ou mais vértices de grau ímpar; I G é semi-euleriano se e somente se existem exatamente dois vértices de grau ímpar. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 24 / 58
Algoritmos Hierholzer e Fleury Adeterminaçãodacomposiçãodecicloseulerianospodeserrealizadaemtempo determinístico polinomial. Estudaremos dois agoritmos, que partem do princípio que o grafo é euleriano, ou seja, obedecem ao Teorema de Euler. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 25 / 58
Algoritmo de Hierholzer Princípio OalgoritmodeHierholzer, propostoem1873,foiumdosprimeirosatratarciclos eulerianos. Aidéiaé,apartirdeumvérticequalquer,percorrerarestasatéretornaraovértice inicial. Porém, desta forma, pode ser obtido um ciclo que não inclua todas as arestas do grafo. Enquanto houver um vértice que possui arestas ainda não exploradas, comece um caminho neste vértice e tente voltar a ele, usando somente arestas ainda não percorridas. Utiliza o conceito de grafo reduzido, ou seja,remove arestas e vértices do grafo original à medida em que os insere na solução. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 26 / 58
Algoritmo de Hierholzer Terminologia I C: conjuntodasarestasquedefinemumcicloeulerianonografo; I A 1 :conjuntodearestasdografog ainda não percorridas; I K: graforeduzidocriadoapartirdeg, porém,k =(V, A 1 ); I H: conjuntodearestasquedefinemumciclonografok; I \: subtraçãodeconjuntos; I [: uniãodeconjuntos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 27 / 58
Algoritmo de Hierholzer Entrada: Grafo G =(V, A) 1 Escolha qualquer vértice v 2 V ; 2 Construa um ciclo C a partir do vértice v, percorrendo as arestas de G de maneira aleatória; 3 A 1 A \ C; 4 K (V, A 1 ); 5 enquanto A 1 6= ; faça 6 Escolha um vértice v tal que d(v)>0 e v 2 C; 7 Construa um ciclo H a partir do vértice v, percorrendo as arestas de K de maneira aleatória; 8 A 1 A 1 \ H; 9 C H [ C; 10 H ;; 11 fim Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 28 / 58
Algoritmo de Hierholzer Complexidade O algoritmo de Hierholzer pode ser implementado em O(m) caso sejam utilizadas listas duplamente encadeadas para: I Implementar a lista de adjacências de cada vértice; I Implementar os ciclos C e H; I Implementar uma lista L que contém os vértices de C com grau maior que zero no grafo reduzido. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 29 / 58
Exemplo Grafo G. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 30 / 58
Exemplo C = {c, f, g, i, h, a, b}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 31 / 58
Exemplo Grafo K na primeira iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 32 / 58
Exemplo H = {a, c, g, c, e, h, d}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 33 / 58
Exemplo C = {c, f, g, i, h, a, c, g, c, e, h, d, a, b}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 34 / 58
Exemplo Grafo K na segunda iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 35 / 58
Exemplo H = {d, b, e, f, i, e}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 36 / 58
Exemplo C = {c, f, g, i, h, a, c, g, c, e, h, d, b, e, f, i, e, d, a, b, c}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 37 / 58
Algoritmo de Fleury Princípio OalgoritmodeFleury, propostoem1883,tambémutilizaumgraforeduzido induzido pelas arestas ainda não marcadas pelo algoritmo. Inicialmente todas as arestas estão não marcadas, e, a partir de um vértice aleatório, uma aresta que obedeça a regra da ponte éescolhidaparaserpercorrida einseridanociclo. Regra da Ponte Se uma aresta {v, w} éumapontenograforeduzido,então{v, w} sódeveser escolhida pelo algoritmo de Fleury caso não haja outra opção. Terminologia I C: conjuntodasarestasquedefinemumcicloeulerianonografo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 38 / 58
Algoritmo de Fleury Entrada: Grafo G =(V, A) 1 Escolha qualquer vértice v 2 V ; 2 C {v}; 3 repita 4 Escolha uma aresta {v, w} não marcada usando a regra da ponte; 5 Atravessar {v, w}; 6 C C [{w}; 7 Marcar {v, w}; 8 v w; 9 até que todas as arestas estejam marcadas; 10 C C [{v}; Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 39 / 58
Algoritmo de Fleury Complexidade I O(m) remoções de arestas; I O(m) para detecção de pontes (usando um algoritmo ingênuo); I Resultando em complexidade O(m 2 ). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 40 / 58
Exemplo Grafo G. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 41 / 58
Exemplo (v, w) =(d, g). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 42 / 58
Exemplo (v, w) =(g, c). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 43 / 58
Exemplo Grafo reduzido na terceira iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 44 / 58
Exemplo (v, w) =(c, g). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 45 / 58
Exemplo Grafo reduzido na quarta iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 46 / 58
Exemplo (v, w) =(g, f ). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 47 / 58
Exemplo (v, w) =(f, c). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 48 / 58
Exemplo Grafo reduzido na sexta iteração. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 49 / 58
Exemplo (v, w) =(c, b). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 50 / 58
Exercício Dado o grafo reduzido, termine a execução do algoritmo. Grafo reduzido. C = {d, g, c, g, f, c, b} Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 51 / 58
Exemplo C = {d, g, c, g, f, c, b, a, d, e, b, d}. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 52 / 58
Exercício Quais dos grafos abaixo são semi-eulerianos? Encontre o caminho euleriano quando posssível. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 53 / 58
Euleriano? Hamiltoniano? (1/2) Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 54 / 58
Euleriano? Hamiltoniano? (2/2) Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 55 / 58
Exercícios 1 Mostre que um grafo Euleriano não possui uma ponte 1. 2 Mostre que os grafos correspondentes aos 5 sólidos platônicos são hamiltonianos. Quais são eulerianos? 1 Aresta que se removida desconecta o grafo Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 56 / 58
Exercício Épossívelarranjaraspeçasdeumdominóemumpercursofechado? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 57 / 58
Dúvidas? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 11 de dezembro de 2017 58 / 58