O Teorema de P. Hall

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA O Teorema de P. all Rafael Bezerra dos Santos Disciplina: Seminário III - Tópicos Especiais em Teoria de Grupos Prof. Ana Cristina Vieira Belo orizonte Novembro de 2010

2 O Teorema de P. all Apresentação de Resultados Em todo o texto, G representará um grupo finito. O objetivo deste seminário é apresentar um teorema do tipo Sylow para grupos. Relembrando: Teorema 1 (Teorema de Sylow). Seja G um grupo. Se G = p α m, p primo, α 1, mdc(p, m) = 1, então: (i) Existe G tal que = p β, para todo β [1, α]; (ii) Seja Syl p (G) = {P G : P = p α }. Se n p = Syl p (G) então n p m e n p 1 (mod p); (iii) Dados P, Q Syl p (G), existe g G tal que P g = Q. (iv) Se P é um p subgrupo de G, então existe S Syl p (G) tal que P S. Definição 1. Seja um conjunto de primos. Dizemos que um grupo G é um grupo se todo primo p que divide a ordem de G pertence a. Do Teorema de Lagrange vem que se G é um grupo então todo subgrupo de G é um grupo. Indicaremos o conjunto dos primos que dividem a ordem de G por (G). A partir de agora, é um subconjunto qualquer de (G) e o seu complementar em (G). Definição 2. Seja G. Dizemos que é um S subgrupo de G se: (i) é um grupo; (ii) se q é um primo que divide [G : ] então q. O item (ii) da definição acima é equivalente a mdc(, [G : ]) = 1. Os S subgrupos de um grupo G são chamados também de subgrupos de all. Se = {p}, então um S subgrupo de um grupo G é um p subgrupo de Sylow. Sejam E, C e D as seguintes proposições sobre um grupo G: E : G possui no mínimo um S subgrupo.

3 C : G satisfaz E e quaisquer dois S subgrupos de G são conjugados em G. D : G satisfaz C e todo subgrupo de G está contido em algum S subgrupo de G. Uma condição suficiente para um grupo G satisfazer D é chamado de um D teorema. Logo, o Teorema de Sylow é um D teorema, ou seja, Teorema 2 (D1 - Sylow). Se p é um número primo, então todo grupo finito satisfaz D p. Um dos primeiros D -teorema é devido a Schur. Teorema 3 (D2 - Schur). Se G possui um S subgrupo abeliano normal, então G satisfaz D. O nosso objetivo é demonstrar o seguinte teorema, devido a P. all. Teorema 4 (D3 - P. all - 1928). Se G é solúvel, então G satisfaz D para todo. É válida, também, a recíproca do Teorema de all: Teorema 5. Se G satisfaz E então G é solúvel. Após o Teorema de all, vários outros D teoremas foram demonstrados. Um deles merece destaque pela simplicidade. Em 1954,. Wielandt demonstrou o seguinte Teorema 6 (D4 - Wielandt). Se G possui um S subgrupo nilpotente, então G satisfaz D. Em 2006, Revin e Vdovin demonstraram o seguinte D Teorema: Teorema 7 (D5 - Revin-Vdovin). Seja K um subgrupo normal de um grupo G. G satisfaz D se, e somente se, K e G/K satisfazem D. A seguir, vamos demonstrar alguns resultados sobre grupos. Proposição 1. Sejam um S subgrupo de G e ϕ : G G um homomorfismo. Então: (i) ϕ() é um S subgrupo de ϕ(g); (ii) ϕ(g) é um grupo se, e somente se, G = N, onde N = ker(ϕ).

4 Demonstração: (i) Se G então ϕ() ϕ(g). Logo, [ϕ(g) : ϕ()] [G : ]. Como [G : ], [ϕ(g) : ϕ()] e como ϕ(), vem que ϕ() é um S subgrupo de ϕ(g). (ii) ( ) Suponha que G = N. Então ϕ(g) = ϕ(n) = ϕ()ϕ(n) = ϕ(). Como ϕ() é um S subgrupo de ϕ(g), vem que ϕ(g) é um grupo. G ( ) Suponha que ϕ(g) seja um grupo. Pelo Teorema do Isomorfismo, N = ϕ(g). Por (i), ϕ() é um S subgrupo de ϕ(g). Logo, como ϕ(g) é um grupo, [ϕ(g) : ϕ()] = 1 e assim, ϕ() = ϕ(g). Desta forma, [G : N] = ϕ() e N. Como é um S subgrupo de G, mdc(, N ) = 1. Logo, N = {1}. Como N G, de N = {1} vem que G = N. Proposição 2. Sejam G um grupo, um S subgrupo de G, N G e K um subgrupo de G. Então: (i) KN N é um subgrupo de G N ; (ii) N N é um S subgrupo de G N e N é um S subgrupo de N. Demonstração: (i) Pelo Teorema do Isomorfismo, KN N = K. Assim, [KN : N] = K N [K : K N]. Logo, KN N Portanto, KN N é um subgrupo de G N. KN é um grupo. Como N G, KN G e assim N G N. G KN N K N K {1}

5 (ii) Por (i), N N G. Pelo Teorema do Isomorfismo, [N : N] = [ : N]. N Como [G : ], [G : N]. Portanto, N N é um S subgrupo de G N. Também, [N : N]. Como N, vem que N é um S subgrupo de N. G N N N {1} E Teoremas Sabemos que dado um grupo G, nem sempre existe um S subgrupo. Por exemplo, sabemos que A 5 não possui um {2, 5} subgrupo. Porém, temos alguns teoremas que garantem a existência de S subgrupos. Estes teoremas são chamados de E teoremas. Um E teorema clássico é o E teorema de Schur. Teorema 8 (E1 - Schur). Se G possui um S subgrupo normal, então G satisfaz E. Teorema 9 (E2). Se K é um subgrupo normal de G tal que K satisfaz C e G/K satisfaz E, então G satisfaz E. Demonstração: Suponha que K satisfaz C e G K satisfaz E. Seja T um S subgrupo de K e N G (T ) = N. Para todo x G, T x é um S subgrupo de K. Como K satisfaz C, existe y K tal que T x = T y. Logo, xy 1 N e assim NK = G. Agora, pelo Teorema N do Isomorfismo, N K = NK K = G K. Como G K satisfaz E N, N K satisfaz E e assim

existe K N, S N subgrupo de N K. Consideremos K N. Temos que T T T e K N é um S subgrupo de T T. Logo, pelo Teorema 8, T satisfaz E. Logo, existe U T, S subgrupo de T. Nestas condições, U é um S subgrupo de G. K G K N T {1} N U 6 Recentemente (maio/2010), Revin e Vdovin demonstraram um novo E teorema em função da série de composição de um grupo. Sejam A, B e subgrupos de um grupo G tais que B A e considere o subgrupo N (A/B). Se x N (A/B), x induz um automorfismo de A/B por Ba Bx 1 ax. Assim, existe um homomorfismo ϕ : N (A/B) Aut(A/B). A imagem de N (A/B) via ϕ denotamos por Aut (A/B) e é chamado de grupo dos automorfismos induzidos de A/B. Teorema 10 (E3 - Revin-Vdovin). Seja {1} = G 0 < G 1 < < G n = G a série de composição de um grupo finito G. As seguintes afirmações são equivalentes: (i) Aut G (G i /G i 1 ) satisfaz E, para todo i [1, n]; (ii) G satisfaz E. Demonstração: Veja [10].

7 O D Teorema de P. all Teorema 11. Seja G um grupo solúvel. Se (G), então: (1) G possui no mínimo um S subgrupo; (2) Todos os S subgrupos de G são conjugados; (3) Todo subgrupo de G está contido em algum S subgrupo de G. Precisaremos de alguns resultados: Lema 1. Seja N um subgrupo normal minimal de algum grupo G e assuma que N é finito e solúvel. Então N é um p grupo abeliano elementar para algum p. Demonstração: Seja N um subgrupo normal mininal, finito e solúvel de G. Como N é solúvel, N N e como N é característico em N, N G. Pela minimalidade de N, N = {1} e assim N é abeliano. Seja p um divisor primo da ordem de N e seja S = {x N : x p = 1}. Pelo Teorema de Cauchy, S e S N. Como N é abeliano, S N. Também, não é difícil ver que S é característico em N. Logo, S G. Novamente, pela minimalidade de N, S = N. Portanto, N é um p grupo abeliano elementar. Lema 2 (Argumento de Frattini). Seja N um subgrupo normal de um grupo G, com N finito e seja P Syl p (N). Então G = N G (P )N. Demonstração: Seja g G. Se P Syl p (N), então P g Syl p (N), já que N G. Pelo Teorema de Sylow, todos os p subgrupos de Sylow de N são conjugados. Logo, existe n N tal que P gn = P. Desta forma, gn = m N G (P ) e, assim, g = mn 1. Como g foi escolhido de forma arbitrária, vem que G = N G (P )N. Lema 3. Seja G um grupo e sejam e K subgrupos de G. Se e K são conjugados em G então N G () e N G (K) são conjugados em G. Teorema 12 (Schur-Zassenhaus (caso solúvel)). Seja M um subgrupo normal de G, G um grupo solúvel, e suponha que mdc( M, [G : M]) = 1. Então existe um subgrupo de G tal que M = {1} e G = M.

8 Demonstração: A demonstração é por indução na ordem de G. Se M = G, tomamos = {1}. Logo, podemos assumir que M < G e que G > 1. Como G é solúvel, G/M é solúvel. Seja N/M um subgrupo normal minimal de G/M. Pelo Lema 1, N/M é um p grupo abeliano elementar, para algum p. Seja P Syl p (N). Como M N, P M N e com essa escolha, N = P M. Seja X = N G (P ). Pelo Lema 2, G = XN. Logo, G = XN = XP M = XM. Como G é solúvel, X é solúvel. Também, pelo Teorema do X Isomorfismo, X M = XM M = G. Desta forma, X M X, [G : M] = [X : X M] M e como mdc( M, [G : M]) = 1, mdc( X M, [X : X M]) = 1. Logo, pela hipótese de indução, as condições do teorema são válidas para X. Temos dois casos a considerar: 1 o caso) X < G Pela hipótese de indução, existe < X tal que (X M) = {1} e X = (X M). Mas G = XM. Logo, G = (X M)M = M e (X M) = ( X) M = M = {1}. 2 o caso) X = G Neste caso, P G e [G : P ] < G. Como G é solúvel, G/P é solúvel. Também, MP P G [ P. Pelo Teorema do Isomorfismo, MP M G = P P M. Agora, P : MP ] = [ ] [ M G P : M [G : P ] [G : M] G = = P M [M : P M] [P : P M] e assim P : MP ] [G : M]. Da mesma P forma, [MP : P ] = [M : P M] = M e assim [MP : P ] M. Logo, ( P M MP [ G mdc ; P P : MP ]) = 1. Pela hipótese de indução, existe P P < G MP tal que P P P = G P e MP P P = { 1}. Deste modo, G = MP = M, já que P e MP = P implica que (M ) M P. Basta então mostrar que M P = {1}. Como mdc( M, [G : M]) = 1 e P Syl p (G) então mdc( M, P ) = 1. De fato, como p [G : M], p M. Logo, P M = {1} implica que M = {1}, o que demonstra o teorema. Demonstração: (Teorema 11) (1) A demonstração é por indução na ordem de G. Se G = 1, não há nada o que demonstrar. Suponha então que G > 1 e seja M um subgrupo normal minimal de G.

9 Como G é solúvel, G/M é solúvel. Também, [G : M] < G. Logo, pela hipótese de indução, existe M < G M, M um S subgrupo de G. Observe que [G : ] = [G/M : M /M]. Pelo Lema 1, M é um p grupo abeliano elementar de G. Desta forma, = p α [ : M]. Temos dois casos a considerar: 1 o caso) p Neste caso, não há nada o que demonstrar, pois [ : M] e [G : ]. Logo, é um S subgrupo de G. 2 o caso) p Se p, então mdc( M, [ : M]) = 1. Logo, pelo Teorema 12, existe K < tal que K M = {1} e = KM. Pelo Teorema do Isomorfismo, KM M = M K = K M = K. Neste caso, K é um S subgrupo de G. Isto demonstra (1). Para a demonstração de (2) e (3), para simplificar a notação, escreveremos G = mn, com mdc(m, n) = 1. A demonstração é por indução na ordem de G. Se G 5, então o teorema é válido trivialmente. Então, podemos supor que G > 5. Dividiremos a demonstração em dois casos: 1 o caso) G possui um subgrupo normal tal que n não divide a ordem de, com = m 1 n 1, m 1 m, n 1 n. (2) Sejam B, C subgrupos de G tais que B = C = m. Como G, B e C são subgrupos de G. Logo, B = k mn = G. Também, k m 1 n 1 m, já que B = B B 1. Como mdc(m 1, n) = 1, existem inteiros x, y tais que xm 1 + yn = 1. Logo (m 1 n 1 m)x + (m 1 n 1 n)y = mn 1. Desta forma, k mn 1. Pelo Teorema de Lagrange, m k e m 1 n 1 k. Como mdc(m, n) = 1, mn 1 k. Logo, k = mn 1. Da mesma forma, C = mn 1. Desta forma, B e C são subgrupos de G, ambos de ordem m. Logo, pela hipótese de indução, são conjugados em G. Logo, para algum m 1 x G, x 1 (B/) x = C/. Segue então que x 1 (B)x = C e consequentemente B x e C são subgrupos de C de ordem m e, pela hipótese de indução, são conjugados em C. Assim, B e C são conjugados em G.

10 G B m m C m 1 m 1 B C m 1 m 1 B C n 1 n 1 {1} (3) Seja K um subgrupo de G de ordem k que divide m. Pelo Teorema do Isomorfismo, K = K K tem ordem que divide k. Como K < G, sua ordem também divide [G : ]. Como mdc(k, n) = 1, [K : ] m/m 1. Logo, pela hipótese de indução, existe um subgrupo A G de G de ordem m/m 1 que contém K. É claro que K < A. Como A = mn 1 < mn, novamente, pela hipótese de indução, K está contido em algum subgrupo de A de ordem m, e, consequentemente, K está contido em algum subgrupo de G de ordem m. 2 o caso) Todo subgrupo normal próprio de G tem ordem divisível por n. Convém aqui fazer uma observação. Se é um subgrupo normal minimal de G, sendo G solúvel, é um p grupo abeliano elementar (Lema 1). Como n, vem que n = p r. Logo, Syl p (G). Como G, é o único subgrupo normal minimal de G. Assim, todo subgrupo normal não-trivial de G contém. (2) Seja K um subgrupo normal de G tal que K é um subgrupo normal minimal de G. Como G é solúvel, K é um q grupo abeliano elementar. Assim, [K : ] = qs, (p q, q primo) e K = p r q s. Sejam S Syl q (K) e M = N G (S). Afirmação: M = m. De fato, como K, S < K. Como S = {1}, S = S = p r q s = K. Assim, K = S. Como K G e S < K, então S x K x = K, para todo x G. Logo, todo conjugado de S em G está contido em K. Como S Syl q (K), todos estes subgrupos já são conjugados em K. Seja N = N K (S). O número c de conjugados de S em G é [G : M] = [K : N]. Como S N K e K = S N K, vem que K = N

11 e assim c = [K : N] = [N : N] = [ : N]. Vamos mostrar que N = {1} (se N = {1}, c = = p r M = G [G : M] 1 = mp r /p r = m). Suponha, por absurdo, que x 1 e seja x N. Como K = S, k = hs. Vamos mostrar que x Z(K). Temos que s(x 1 s 1 x) S, já que x N = N K (S). Mas (sx 1 s 1 )x, já que x e G. Portanto xsx 1 s 1 S = {1}. Logo, xs = sx. Mas é abeliano e x. Então xk = x(hs) = (xh)s = (hx)s = h(xs) = h(sx) = kx. Logo, x Z(K), isto é, N Z(K). Agora, Z(K) é característico em K e K G. Assim, Z(K) G. Se Z(K) {1}, então Z(K). Como K = S então S K. Logo, S é o único q subgrupo de Sylow de K, e assim, característico em K. Como K G, S G. Mas isto implica que S. Absurdo. Portanto Z(K) = {1} e a afirmação está provada. G M K q s N S p r q s {1} Seja B um subgrupo de G de ordem m. Então BK G. Temos que m BK e p r q s BK. Como mdc(m, p) = 1, vem que p r m BK. Mas p r m = G. Portanto, G G = BK. Consequentemente, K = BK K B = B K. Com isso, B K = qs. Pelo Teorema de Sylow, B K e S são conjugados em K. Como B K B, B está contido em N G (B K). Pelo Lema 3, N G (B K) e N G (S) = M são conjugados em G. Assim, N G (B K) = m. Mas B = m. Logo, B = N G (B K) e portanto B e M são conjugados. (3) Seja D um subgrupo de G tal que D = k m. Seja M como em (2) e como na observação ( M = m e = p r ). Então D = {1} e assim D = D = kp r. Como M = {1}, vem que G = M. Assim M(D) = G e M D = k. Escrevendo

12 M D = M, temos que, por (2) M e D são conjugados em D, logo, em G. Assim, existe g G tal que (M ) g = D. Como M < M, D está contido em M g, um subgrupo de ordem m. Recíproca do Teorema de P. all A seguir, vamos iniciar a demonstração da recíproca do Teorema de P. all. Com este teorema, P. all conseguiu caracterizar os grupos solúveis através da existência de S p subgrupos em um grupo G. Lema 4. Se e K são subgrupos de um grupo G tal que mdc([g : ], [G : K]) = 1, então: (i) [G : K] = [G : ][G : K]; (ii) G = K. Demonstração: Escreva g = G, m = [G : ], n = [G : K] e a = K. Então, existem inteiros positivos h, k tais que = ah e K = ak. Assim, g = ahm = akn, o que implica que hm = kn. Como mdc(m, n) = 1, vem que h = nr e k = mr para algum inteiro r. Com isso, g = amnr. Por outro lado, g = G K = K K 1 = amnr 2. Isto força r = 1 e assim K = amn = g. Logo, K = G. Também, [G : K] = mn = [G : ][G : K], o que demonstra o lema. Teorema 13. Se um grupo G possui três subgrupos solúveis cujos indíces são dois a dois relativamente primos, então G é solúvel. Demonstração: Sejam 1, 2 e 3 subgrupos solúveis de um grupo G. Podemos supor que i {1}, 1 i 3, pois, se, por exemplo, 1 = {1}, então [G : 1 ] = G. Como [G : 2 ] é relativamente primo com G, vem que 2 = G e assim G é solúvel. Sejam M um subgrupo normal minimal de 1. Pelo Lema 1, M é um p grupo abeliano elementar.

13 Como mdc([g : 2 ], [G : 3 ]) = 1, podemos supor que p não divide [G : 2 ]. Neste caso, 2 contém um p subgrupo de Sylow de G. Seja P 1 Syl p ( 1 ). Assim, P 1 x 2, para algum x G. Podemos supor, sem perda de generalidade, que P 1 2. Mas, como M 1, M está contido em todo p subgrupo de Sylow de 1. Logo, M 1 2. Pelo Lema 4, G = 1 2. Assim, se g G, g = h 1 h 2 e M g = M h 2 2. Mas isto implica que o fecho normal K de M em G está contido em 2. Como 2 é solúvel, K é solúvel. Com isso, os subgrupos K i /K de G/K estão nas condições do teorema. Por indução, G/K é solúvel. Portanto, G é solúvel. Observe que a hipótese do grupo G possuir três subgrupos solúveis cujos índices são dois a dois relativamente primos é essencial. De fato, considere A 5, A 5 = 2 2 3 5. A 5 possui um 5 subgrupo de Sylow e um subgrupo de ordem 12, cujos índices são relativamente primos, mas A 5 não é solúvel. Teorema 14 (P. all). Um grupo G é solúvel se, e somente se, G possui um S p subgrupo para todo primo p. Demonstração: Seja G = p α 1 1 p αn n, com p i p j se i j. Podemos supor que n > 2, já que se n = 1, G é um p 1 grupo e assim solúvel; se n = 2, o Teorema de Burnside garante que G é solúvel. Seja i um S p i subgrupo de G, 1 i n, que existe, por hipótese. Como [G : i ] = p α i i, basta mostrar que cada i é solúvel. Assim, o resultado segue do Teorema 13. A demonstração é por indução na ordem de G. Pelo Lema 4, 1 j é um S subgrupo de G, com = (G) {p 1, p j }. Logo, 1 j é um S p j subgrupo de 1, 2 j n. Pela hipótese de indução, 1 é solúvel. Da mesma forma, prova-se que cada i é solúvel e assim, o teorema está demonstrado.

14 Referências Bibliográficas [1] Gorenstein, Daniel. Finite Groups. Chelsea Publishing Company. 1980. [2] all, P. A characteristic property of soluble groups. J. London Math. Soc. vol. 12. (1937). 198-200. [3] all, P. A note on soluble groups. J. London Math. Soc. vol. 3 (1928). 98-105. [4] all, P. Theorems like Sylow s. Proc. London Math. Soc., 6, N22 (1956), 286-304. [5] ungerford, Thomas. Algebra. Springer-Verlag. 1974 [6] Isaacs, I. Martin. Algebra - A Graduate Course. Brooks. 1994. [7] Suzuki, Michio. Group Theory I. Springer-Verlag. 1982. [8] Suzuki, Michio. Group Theory II. Springer-Verlag. 1986. [9] Vdovin, E. P., Revin, D. O. A conjugacy criterion for all subgroups in finite groups. Siberian Mathematical Journal. Volume 51, Number 3, 402-409. [10] Vdovin, E. P., Revin, D. O. An existence criterion for all subgroups of finite groups. Journal of Group Theory. Pre-print. [11] Vdovin, E. P., Revin, D. O. all subgroups of finite groups. Ischia Group Theory 2004: Proceedings of a Conference in honour of Marcel erzog, Contemporary Mathematics, AMS, 2006, v. 402, 229-265