Dinâmica Estrutural Múltiplos Graus de Liberdade Equações de Movimento e Soluções Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net DEMEC/UFPE 2014.1
Equações de Movimento Para sistemas não amortecidos e sem forças externas Esta equação descreve o problema de vibração livre para um sistema com múltiplos graus de liberdade.
Equações de Movimento Sabe-se que para vibração livre, a solução tem a forma Isto significa que a razão entre quaisquer duas coordenadas é constante!
Equações de Movimento A forma da configuração do sistema não se altera, apenas a amplitude! Este vetor é um modo de vibração do sistema.
Equações de Movimento Solução Inserindo a resposta na equação de movimento
Equações de Movimento Solução Isolando as funções do tempo
Equações de Movimento Solução Como os lados da equação são funções de coisas diferentes, tem que ser igual a uma constante.
Equações de Movimento Solução Na forma matricial Supondo uma forma específica para a solução
Equações de Movimento Solução Todas as coordenadas executam movimento harmônico; Mesma frequência e mesmo ângulo de fase; A frequência não é arbitrária! Deve obedecer às equações de movimento;
Equações de Movimento Solução Este sistema tem solução apenas se o determinante da matriz de coeficientes for não nulo! ω é uma frequencia natural do sistema
Equações de Movimento Solução A equação característica é um polinômio de grau n com n soluções; As raízes são reais e positivas quando as matrizes de massa e rigidez são positiva definidas; As raízes quadradas das raízes do polinômio característico são as frequências naturais; As frequências naturais são normalmente distintas, mas podem se repetir; A frequência mais baixa é a frequência fundamental;
Equações de Movimento Solução IMPORTANTE: Exceto para problemas de pequeno porte, com 2 ou 3 graus de liberdade, escrever explicitamente e calcular as raízes do polinômio característico é impraticável computacionalmente.
Solução do Problema de Autovalores Eq. de movimento para o sistema não amortecido
Solução do Problema de Autovalores Pré-multiplicando pelo inverso da matriz de rigidez Matriz Dinâmica
Solução do Problema de Autovalores Para que o sistema tenha solução não trivial, o determinante característico tem que ser não nulo. Para problemas de grande porte, isto dever ser resolvido com algum algoritmo específico para cálculo de autovalores.
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Equações de Movimento Para vibração livre
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Problema de Autovalor A matriz dinâmica é com
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Problema de Autovalor Assim: e
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Problema de Autovalor Como temos com
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Resolvendo a equação característica:
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Para cada frequência natural, resolvemos os modos normais
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Primeiro modo:
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução O sistema é homogêneo, com três equações e três incógnitas; Tem solução não trivial, pois seu determinante é não nulo! A ideia é exprimir duas incógnitas em função da remanescente;
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução No caso cuja solução é e o primeiro modo normal é então
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Segundo modo
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Segundo modo
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Terceiro modo
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Terceiro modo
Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução
Ortogonalidade dos Modos Normais Considerando uma frequência natural e seu modo normal Para um outro par Pré multiplicando pelo outro modo, transposto
Ortogonalidade dos Modos Normais Subtraindo as equações como as frequências naturais são diferentes e também
Ortogonalidade dos Modos Normais Os modos normais são ortogonais em relação às matrizes de massa e rigidez.