Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na nona edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site da Olimpíada, a partir das 20 horas de 04/06/2012 (terça-feira). www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada
RASCUNHO
01. Se a área do retângulo dado é 12m 2, qual é a área da figura sombreada? a) 3m 2 b) 4 m 2 c) 5m 2 d) 6m 2 e) 8m 2 02. Qual é o menor número possível de filhos em uma família, se cada um dos filhos tiver, pelo menos, um irmão e uma irmã? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 03. Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. No quadrado mágico a seguir, o valor de x é: 1 14 x 26 13 a) 25 b) 27 c) 23 d) 20 e) 22 04. Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 amarelas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1preta. Ana Lítica retirou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar a respeito dessas 3 bolas que: a) são da mesma cor. d) uma é branca e duas são vermelhas. b) são vermelhas. e) pelo menos uma é vermelha. c) uma é vermelha e duas são brancas. 05. Os 61 aprovados em um concurso, cujas notas foram todas distintas, foram distribuídos em duas turmas, de acordo com a nota obtida no concurso: os 31 primeiros foram colocados na turma A e os 30 seguintes na turma B. As médias das duas turmas no concurso foram calculadas. Depois, no entanto, decidiu-se passar o último colocado da turma A para a turma B. Com isso: a) As médias de ambas as turmas melhoraram. b) A média da turma A piorou, mas a da B melhorou. c) A média da turma A melhorou, mas a da B piorou. d) As médias de ambas as turmas pioraram. e) As médias das turmas podem melhorar ou piorar, dependendo das notas dos candidatos. 06. Zé da Álgebra agrupou seis dos seguintes números 9 ; 0 ; 5 ; 5 ; 4 ; 1 ; 3 em grupos de dois de modo que a soma dos números de cada grupo seja a mesma. Neste processo houve um número que ficou de fora. Qual foi esse número? a) 5 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5 x 2012 y 2012 07. Se x + y = 0 e x 0, então é igual a: a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 2012 e) x y
08. O numerador e o denominador de uma fração são números inteiros negativos. O numerador é maior que o denominador em uma unidade. Qual das seguintes afirmações é verdadeira? a) A fração é um número positivo e menor do que 1. b) A fração é um número entre -1 e 0. c) A fração é um número menor do que -1. d) A fração é um número maior do que 1. e) Não é possível determinar se a fracção é um número positivo ou negativo. 09. Na ilha dos verazes e mentirosos, 25 pessoas esperam numa fila. Todo mundo, exceto a primeira pessoa da fila, diz que a pessoa da frente é um mentiroso. O primeiro da fila disse que todos atrás dele são mentirosos. Quantos mentirosos há na fila? (os verazes sempre dizem a verdade, ao passo que os mentirosos sempre falam mentira) a) 0 b) 12 c) 13 d) 24 e) impossível determinar 10. Outro dia ganhei 250 reais, incluindo o pagamento de horas extras. O salário (sem horas extras) excede em 200 reais o que recebi pelas horas extras. Qual é o meu salário sem horas extras? a) 200 reais b) 200 reais c) 175 reais d) 225 reais e) 180 reais ^ 11. Um triângulo tem um ângulo ABC = 68 o. As três bissetrizes internas dos ângulos desse triângulo foram traçadas na figura. Qual é a medida do ângulo AIC? ^ a) 120º b) 124º c) 128º d) 132º e) 136º 12. Numa Competição Matemática são propostos cinco problemas. Uma vez que os problemas têm diferentes níveis de dificuldade, não existem dois problemas com a mesma pontuação (a pontuação é sempre atribuída em números inteiros não negativos). Zé da Álgebra resolveu corretamente os cinco problemas e obteve um total de 10 pontos pelos dois problemas de menor pontuação e obteve 18 pontos pelos dois problemas de maior pontuação. Qual foi a pontuação total de Zé da Álgebra? a) 30 b) 32 c) 34 d) 35 e) 40 13. O sólido representado tem 6 faces triangulares, com um número em cada vértice. A soma dos números dos vértices em cada face é igual para todas as faces. Os números 1 e 5, conforme figura, são dois dos cinco números dos vértices. Qual é a soma desses cinco números? a) 17 b) 24 c) 9 d) 18 e) 12 14. Chico das Contas pensou num número de três algarismos e noutro de dois algarismos. Determine a soma desses números sabendo que a diferença entre eles é igual a 989. a) 1000 b) 1001 c) 1009 d) 1010 e) 2012 15. Zé da Álgebra escreveu uma sequência de números tal que cada número, a partir do terceiro, era a soma dos dois números anteriores na sequência. O quarto número era 6 e o sexto número era 15. Qual era o sétimo número dessa sequência? a) 9 b) 16 c) 21 d) 22 e) 24
16. Observe as multiplicações a seguir: 12 345 679 x 18 = 222 222 222 12 345 679 x 27 = 333 333 333 12 345 679 x 54 = 666 666 666 Para obter 999 999 999 devemos multiplicar 12 345 679 por: a) 29 b) 99 c) 72 d) 81 e) 41 17. Chico das Contas escreveu os numeros 3, 4 e mais dois números desconhecidos numa tabela de 2 x 2 casas. Sabe-se que as somas dos números nas linhas são 5 e 10 e a soma dos números de uma das colunas e igual a 9. O maior dos números desconhecidos é: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 3 18. Num relógio digital, que marca de 0:00 até 23:59, quantas vezes por dia o mostrador apresenta todos os algarismos iguais? a) 10 b) 6 c) 9 d) 7 e) 8 19. Cada um dos lados do octógono regular, desenhado ao lado, mede 2 cm. Qual a diferença entre a área da região hachurada e a área não hachurada? a) 2 b) 0 cm 2 c) 2cm 2 d) 2 2 cm 2 e) ( 2 + 1) cm 2 20. Se os números naturais são colocados em colunas, como se mostra abaixo, debaixo de que letra aparecerá o número 2012? A B C D E F G L I 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 19 20 21...... a) F b) B c) C d) L e) I 21. Maicon Binatória quer colocar dois algarismos nos espaços livres de 2 8 de modo que o número obtido seja divisível por 3. Quantas possibilidades existem? a) 29 b) 33 c) 19 d) 20 e) 30 22. Uma tabela contém 21 colunas numeradas de 1 a 21 e 33 linhas numeradas de 1 a 33. Apagamos as linhas cujos números não são múltiplos de 3 e também as colunas cujo número é par. Quantas casas da tabela original restam? a) 110 b) 121 c) 115,5 d) 119 e) 242
23. A figura mostra-nos uma circunferência de diâmetro AB. O ponto D de coordenadas (0,d) pertence à circunferência. Qual o valor de d? a) 3 b) 2 3 c) 4 d) 5 e) 6 ^ ^ 24. No interior do triângulo ABC toma se um ponto E tal que AE = BE e AB = EC. Se ABE = ECA = x; EAC ^ ^ = 2x e EBC = 5x, determine o valor de x. a) 20 o b) 12 o c) 18 o d) 15 o e) 10 o 25. Na figura abaixo existem quatro quadrados superpostos de lados 11, 9, 7 e 5 cm. Qual a diferença que existe entre a soma das áreas cinzas e a soma das áreas pretas? a) 64 b) 60 c) 55 d) 50 e) 45
GABARITO - Nível 2 01) D 02) C 03) B 04) E 05) A 06) E 07) C 08) A 09) C 10) D 11) B 12) D 13) A 14) C 15) E 16) D 17) B 18) E 19) B 20) E 21) B 22) B 23) C 24) D 25) A