Física I Guia de Estudos P1 Poli USP
1. Introdução: Vetores Olar! Primeiramente, boa sorte na semana de provas! Essa primeira prova de física é a que tem mais conteúdo parecido com o que é visto no ensino médio. Então, grande parte do que foi aprendido pode e deve ser usado nessa prova sem problemas. Uma das atenções que se deve ter na hora da prova é com a notação vetorial. Isso é uma das maiores mudanças na hora de apresentar uma resposta. Lembrese, uma grandeza vetorial é a que precisa de direção, sentido e intensidade. Então, se a gente quisesse expressar a força (F ) de, por exemplo, como seria? Veja algumas tentativas e erros abaixo: Notação F = F = F = Está certo? ERRADO INCOMPLETO CORRETO Provavelmente algumas dúvidas devem vir dessa tabela. Por que colocar umas barrinhas de módulo torna a notação escalar correta, mas incompleta? E o que diabos é esse? A notação de módulo do vetor, na física, significa intensidade da grandeza vetorial física. Ela é sempre acompanhada de um número e unidade de medida. Por mais que o módulo descreva uma parte importante do vetor, ele não expressa sua direção e sentido. Por isso, essa notação não é a mais completa. 1
Quanto a esse, fórmulas, conteúdos e as novidades da física do ensino médio para a faculdade veremos nas páginas seguintes desse resumo. Bora lá? 2. Sistemas de Coordenadas e Versores Você deve ter percebido que ainda não começamos a falar de física, né? É porque essa primeira parte é importante fazer sempre que trabalharmos com grandezas vetoriais nos exercícios. Um dos passos iniciais mais importantes é verificar se há um sistema de coordenadas descrito no exercício. Caso não haja, é importante que você adote o seu próprio. Ok, mas o que é um sistema de coordenadas? É um recurso matemático usado para localizar objetos no espaço. Uma das mais conhecidas é a coordenada cartesiana. Ela é usada principalmente para movimentos retilíneos. Para adotar um sistema de coordenadas cartesianos, é preciso: 1- Escolher um ponto no espaço para ser a origem. Geralmente, colocamos a origem no centro do corpo no início do movimento estudado. 2- Adotar dois versores e ortogonais entre si (representado pelos eixos x e y no desenho). É importante que um deles seja paralelo à direção do movimento. Um versor é um vetor com módulo 1 ( = ). Eles são (literalmente) nossa base para escrever qualquer vetor no plano. 2
Vamos pegar o exemplo de um corpo no plano inclinado abaixo: O primeiro passo é escolher a origem. Como dito, costumamos escolher no centro do corpo no início do movimento: Agora, precisamos adotar os versores. Para isso, um deles deve ser paralelo ao movimento. Assumindo que esse bloco anda no plano, colocaremos o versor (representado pelo eixo x) paralelo ao plano, e o versor (representado pelo eixo y), nosso sistema de coordenadas teria a seguinte cara: 3
3. Notação Vetorial Além de localizar objetos no espaço, o sistema de coordenadas nos ajuda a expressar grandezas vetoriais. Isso vem dos dois versores que adotamos, que podem escrever qualquer vetor no espaço. Nesse caso, suponha um vetor v de módulo m/ : Nesse caso vamos ter três elementos importantes para escrever nosso vetor: 1- O módulo, indicando a intensidade do vetor; 2- A direção, representada pelo versor; 3- O sentido, sento representado pelo sinal. Este será positivo caso aponte no mesmo sentido do versor, e negativo caso o sentido seja oposto. No nosso exemplo, o vetor v de módulo aponta na mesma direção e sentido de, sendo então: v = m/ Em outro exemplo, com o vetor de mesmo módulo: 4
Agora, o vetor v de módulo 5 aponta na mesma direção de, mas com sentido oposto, sendo então: v = m/ E por fim, em um caso que esse vetor não aponta para nenhum dos dois versores: Nesse caso, vamos precisar fazer uma decomposição do vetor em vetores paralelos aos versores: O vetor v pode ser escrito como: 5
v = v + v Ficando: v = v + v Já que a componente em x aponta em sentido contrário a e a componente em y aponta no mesmo sentido de. Por fim, usando a geometria, temos: v = [ cos θ + sin θ ] m/ Ufa, acho que de vetores basta. Vamos agora praticar o crossover épico do que sabemos do ensino médio com o nosso novo conhecimento de vetores. Exercício 1 Vetores em Dinâmica P1 2017 Um livro de massa está conectado por um fio de massa desprezível à uma caneca de massa m c, conforme a figura abaixo. É dado um empurrão ligeiro no livro e ele passa a se movimentar com velocidade inicial v i, na direção indicada na figura, sobre o plano inclinado. 6
Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético é μ c, responda o que se pede, colocando suas respostas em função das grandezas v i,, m c, g (que corresponde à aceleração da gravidade), θ e μ c : a. Defina um sistema de coordenadas apropriado para o problema e desenhe um diagrama das forças que atuam sobre o livro no instante em que ele começa a se movimentar. b. Determine o vetor aceleração do livro, utilizando como referência o sistema de coordenadas definido no item anterior. c. Determine o vetor deslocamento do livro, considerando sua posição final como a posição mais alta atingida pelo livro. 4. Cinemática Vetorial Abram alas para a física, finalmente! Agora vamos falar de cinemática, que estuda o movimento de um corpo sem considerar suas causas. As fórmulas de movimento uniforme e movimento uniformemente variado irão aparecer e devem ser usadas (como visto no item c. do exercício anterior). Mas agora temos uma novidade. Para descrever o movimento em um plano, usamos o que chamamos de vetor posição ( ). Sabendo a forma como ele varia no tempo, também conseguimos calcular velocidade e aceleração. Mas antes, o que é o vetor posição? Para isso, imagine um sistema de coordenadas já definido e um ponto que fica se mexendo no espaço. 7
O vetor posição é um vetor que liga a origem ao objeto estudado. Ou seja: Esse vetor pode ser escrito através das coordenadas p, p do ponto : = p + p 8
O mais interessante é quando a gente possui a equação do espaço pelo tempo das coordenadas. Assim, podemos escrever o vetor posição em função do tempo. = + E definir o vetor velocidade do corpo estudado, como sendo a derivada do vetor posição no tempo: v = Para derivar esse vetor no tempo, derivamos as coordenadas no tempo: v = + O vetor aceleração é a derivada de v no tempo: a = v Os tipos mais comuns de função que costumam aparecer em problemas são os polinômios. Então, para esse primeiro momento, saiba bem como derivar polinômio. 5. Vetores Relativos É comum aparecer o conceito de alguns vetores relativos em exercícios. 9
Eles basicamente são uma mudança de referencial. Para isso, imagine dois objetos 1 e 2 se mexendo por aí no espaço. Queremos saber que tipo de movimento o objeto 2 faz na visão de 1. Para isso, transformamos o objeto 1 em origem móvel, mantemos os versores e criamos o vetor posição de 2 relativo a 1 ( ). Este vetor é definido como: 10
= Analogamente, para o vetor velocidade relativa: v = v v = E também para o vetor aceleração relativa: a = a a = v Ufa! Enfim, algumas derivadas tiveram que aparecer. No início elas parecem meio medonhas e tals, mas são praticamente inofensivas. Exercício 2 Cinemática Vetorial P1 2015 (Adaptada) Duas partículas estão restritas a mover-se no plano. O movimento destas partículas é descrita pelas funções = + +, = +, = + e = +, onde a posição é medida em metros e o tempo em segundos. Considere a direção na horizontal e na vertical a. Determine os vetores posição e de cara partícula e o vetor posição relativa b. Para =, faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição e e do vetor posição relativa. Determine a distância entre as partículas. c. Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem. d. Determine a velocidade relativa v no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem. 11
Exercício 3 Vetores Relativos P1 2017R Um carro desce livremente por uma ladeira íngreme, com inclinação de, sem atrito. O motorista vê uma esfera cair livremente. Qual a aceleração relativa da esfera, no referencial do motorista, em termos da aceleração gravitacional? Dica: aceleração da esfera no referencial da ladeira a e = g Dado: sin = cos = / a. g g b. g + g c. g d. g g + g e. g + g 12
5. Balística Ou, como muitos conhecem, lançamento oblíquo. É basicamente um movimento composto por uma componente horizontal em movimento uniforme e uma componente vertical sofrendo a aceleração da gravidade. O mais importante nesse tipo de exercício é lembrar: 1- Que o tempo de subida é igual ao tempo de queda; 2- No topo, a velocidade vertical é nula; Assim, com esses pequenos lembretes, conseguimos deduzir algumas fórmulas, como o tempo de voo (T), a altura máxima (H) e o alcance horizontal (D). Para uma partícula lançada a velocidade v, a um ângulo θ com a horizontal em um local com gravidade g, temos: T = v sin θ g H = v sin θ g 13
D = v sin θ cos θ g Exercício 4 Balística P1 2017R Um jogador de futebol quer lançar a bola para ele mesmo, de forma que ela encubra os adversários e ele a recupere mais à frente. Considerando que a altura máxima do lançamento é de 5 m, e a velocidade máxima do jogador é de 8 m/s, que distância ele vai percorrer até recuperar a bola? a. m b. m c. m d. m e. m 6. Movimento Circular No movimento circular, temos alguns análogos. O ângulo θ, por exemplo, é parecido com a posição, por exemplo. Enquanto é a distância relativa à origem, θ é o ângulo de um objeto em relação a um eixo de referência. 14
E da mesma forma, temos análogos para a velocidade e aceleração, sendo eles a velocidade angular ω : ω = θ A aceleração angular α : α = ω Sendo também necessário saber como derivar nesses casos. Mais uma vez, em geral, pede-se derivadas de polinômios. Mas, no movimento circular não é só isso. Temos também a expressão geral da aceleração em coordenadas polares. Essas coordenadas são um pouco diferentes das cartesianas e serão estudadas melhor em Cálculo III. O mais importante é saber dos versores dessas coordenadas, o θ e r. Um deles aponta na direção radial ( r), ou seja, aponta do centro para fora da circunferência, enquanto o outro aponta na direção tangencial ( θ), que é ortogonal ao r e aponta para o sentido anti-horário: 15
Dito isso, podemos afirmar que a aceleração possuirá uma componente tangencial (tan) e outra centrípeta (cp), do tipo: a = αr θ ta ω R r cp Exercício 5 Cinemática do Movimento Circular P1 2017 (Adaptado) Uma partícula descreve uma trajetória circular de raio m, com uma posição angular variando de acordo com a expressão θ =, com θ medido em radianos e em segundos. A aceleração da partícula no instante =, em termos dos versores polares θ e r (ou θ e ) é: Escolha uma alternativa: a. θ r b. θ c. θ 16
d. e. r 7. Dinâmica De todos os conteúdos, é o que mais se parece com o ensino médio. A mecânica estudada no curso é a Newtoniana, possuindo as seguintes leis: 1ª Lei: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele 2ª Lei: F = ma 3ª Lei: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos. Dessa forma, entende-se que força é a ação de algum agente externo sobre um corpo ou sistema que pode mudar seu movimento em direção, sentido e intensidade. As forças mais importantes são: Peso: Força que um planeta, com aceleração da gravidade g, aplica em um corpo. Tem fórmula = mg; Normal: É a força de reação que uma superfície aplica sobre um corpo. Sua direção é sempre perpendicular à superfície (por isso o nome normal); 17
Atrito: É uma força de resistência ao movimento que aparece devido à rugosidade dos materiais. Tem o estágio estático, que possui módulo máximo de F at = μ e e tem o estágio cinético, possuindo módulo F at = μ c de mesma direção da superfície de contato e sentido oposto à velocidade; Resistência do ar: É uma força de resistência ao movimento que aparece devido à atmosfera. Ela só aparece quando o corpo se mexe no meio que há o fluído, e possui mesma direção da velocidade, mas sentido oposto; Tração: Força que uma corda aplica nas extremidades quando tensionada. Para fios ideais (massa desprezível e inextensível), as forças nas extremidades são nulas; Molas: Possui força restauradora que faz com que a mola volte ao seu estado normal. Possui módulo F e = k l (Lei de Hooke). Estratégia em Exercícios de Dinâmica: 1- Faça o diagrama de forças; 2- Defina um sistema de coordenadas; 3- Aplique a 2ª Lei de Newton para cada corpo no sistema; 4- Interpretar o movimento e aplicar as condições de contorno (chão rígido). Exercício 6 Aplicação das Leis de Newton P1 2015 A figura abaixo representa dois blocos 1 e 2, de massa m = kg e m = kg, respectivamente, em contato e apoiados sobre uma superfície 18
lisa sem atrito. Uma força F = é aplicada ao bloco 1 empurrando todo o conjunto. Assinale a alternativa que contém a magnitude (módulo) das forças de contato exercidas pelo bloco 1 sobre o bloco 2 (F ) e pelo bloco 2 sobre o bloco 1 (F ). Escolha uma alternativa: a. F = e F = b. F = e F = c. F = e F = d. F = e F = e. F = e F = Exercício 7 Polias e Grandezas Físicas P1 2015 A figura abaixo mostra um esquema de polias ideais que sustentam os blocos 1 e 2 de massas m e m. Sabe-se que o bloco de massa m movimenta-se para cima com velocidade v constante. Sobre as grandezas físicas associadas a esse sistema, podemos afirmar: 19
Escolha uma alternativa: a. T > T b. T > m g c. a = a = e m > m d. v > v e. m = m Exercício 8 - Plano Inclinado e Polias P1 2014 Considere o sistema com plano inclinado envolvendo polias esquematizado na figura abaixo. Não considere atrito. Assuma também que a massa das polias e dos fios são desprezíveis em comparação às massas m e m dos blocos 1 e 2, respectivamente. Além disso, os fios não se esticam ou se deformam, em geral. Note que a polia que sustenta o bloco 2 está conectada ao fio ligado ao bloco 1 e, assim, essa polia não está fixa. 20
a. Esboce o diagrama das forças envolvidas, escreva a relação entre as diferentes tensões nos fios, e expresse a Segunda Lei de Newton para cada caso. b. Demonstre a relação entre a aceleração a do bloco 1 e a aceleração a do bloco 2. c. Encontre o valor do ângulo α no qual a muda de sinal. d. Obtenha a expressão geral para a e. Calcule o valor a nos limites e. 21
Gabarito: 1. a. Sugestão: b. a = Mg μ c c s θ+si θ + c g M+ c c. = v i M+ c Mg μ c c s θ+si θ + c g 2. a. = [ + + + ], = [ + + + ], = [ + + ] b. 22
= c. Apenas t = 1 s d. v = [ + ] 3. Alternativa a. 4. Alternativa a. 5. Alternativa a. 6. Alternativa b. 7. Alternativa e. 8. a. 23
T m g sin α = m a m g T = m a T T = b. a = a c. α = arcsin d. a = m si α g m 4m m + e. Quando : a = g sin α. Quando : a = g 24