Belos Problemas: Indução e Princípio das Gavetas de Dirichlet Rogério Ricardo Steffenon 1 1 Universidade do Vale do Rio dos Sinos, Email: steffenonenator@gmail.com Neste minicurso serão apresentados e resolvidos alguns belos problemas, cuja solução utiliza argumentos elementares e relativamente simples. Os tópicos principais serão: Indução Matemática e Princípio das Gavetas de Dirichlet. Muitos dos problemas abordados surgem em Olimpíadas de Matemática e podem ser uma boa fonte para professores estimularem seus alunos a estudar Matemática. O texto base é o ebook disponível em http://bit.ly/2j5aw0l Alguns temas que serão abordados: Indução Matemática: torres de Hanói, pesagens de moedas, cobertura de tabuleiro mutilado com L-triminós, problema de Josephus. Sistema binário e cartões mágicos binários, Teorema de Zeckendorf e cartões mágicos de Fibonacci. O Hotel de Hilbert. Jogos de subtração com palitos: NIM, Fibonacci NIM e outros. Princípio das Gavetas de Dirichlet. Segue uma lista de algumas atividades que pretendemos abordar no minicurso. Cartões Mágicos Binários O matemágico escolhe alguém da plateia e pede que essa pessoa pense num número de 1 a 63, sem revelá-lo. Em seguida, são apresentadas as 6 cartelas abaixo e o matemático faz 6 perguntas. O número que você pensou está na primeira cartela? Está na segunda cartela? E assim por diante. Ao final das 6 perguntas o matemágico revela o número que a pessoa pensou. Após realizar a mágica umas duas ou três vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona. Cartões Mágicos Binários 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 2 3 6 7 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31 34 35 38 39 42 43 46 47 50 51 54 55 58 59 62 63 4 5 6 7 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31 36 37 38 39 44 45 46 47 52 53 54 55 60 61 62 63 8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31 40 41 42 43 44 45 46 47 1
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 48 49 50 51 52 53 54 55 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 Sequência de Fibonacci Consideremos a seguinte variação da sequência de Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 2 e F n = F n 1 + F n 2, para n 3. Podemos provar por indução que F 1 + F 3 + + F 2n 1 = F 2n 1 e F 2 + F 4 + + F 2n = F 2n+1 1. Teorema de Zeckendorf: Todo número inteiro positivo pode ser escrito de modo único como soma de termos não consecutivos da sequência F n. Agora o matemágico escolhe alguém da plateia e pede que essa pessoa pense num número de 1 a 120, sem revelá-lo. Em seguida, são apresentadas as 10 cartelas abaixo e o matemático faz até 10 perguntas. O número que você pensou está na primeira cartela? Está na segunda cartela? E assim por diante. Aqui há uma coisa que impressiona mais, pois se o número estiver numa determinada cartela, ele não estará na seguinte e, nesse caso, a quantidade de perguntas pode ser inferior a 10. Ao final das perguntas o matemágico revela o número que a pessoa pensou. Após realizar a mágica umas duas ou três vezes, a plateia deve deduzir o truque utilizado e por que ele sempre funciona. Cartões Mágicos de Fibonacci 1 4 6 9 12 14 17 19 22 25 27 30 33 35 38 40 43 46 48 51 53 56 59 61 64 67 69 72 74 77 80 82 85 88 90 93 95 98 101 103 106 108 111 114 116 119 122 124 2 7 10 15 20 23 28 31 36 41 44 49 54 57 62 65 70 75 78 83 86 91 96 99 104 109 112 117 120 125 130 133 138 143 146 151 154 159 164 172 175 180 185 188 193 198 201 206 2
3 4 11 12 16 17 24 25 32 33 37 38 45 46 50 51 58 59 66 67 71 72 79 80 87 88 92 93 100 101 105 106 113 114 121 122 126 127 134 135 139 140 5 6 7 18 19 20 26 27 28 39 40 41 52 53 54 60 61 62 73 74 75 81 82 83 94 95 96 107 108 109 115 116 117 128 129 130 141 142 143 149 150 151 8 9 10 11 12 29 30 31 32 42 43 44 45 46 63 64 65 66 67 84 85 86 87 88 97 98 99 100 101 118 119 120 121 122 131 132 133 134 135 152 153 154 13 14 15 16 17 18 19 20 47 48 49 50 51 52 53 54 68 69 70 71 72 73 74 75 102 103 104 105 106 107 108 109 136 137 138 139 140 141 142 143 157 158 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 165 166 167 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 199 200 201 202 203 204 205 206 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 Jogos de subtração com palitos NIM versão clássica Temos k pilhas com n 1, n 2,..., n k palitos em cada uma delas e dois jogadores E e D. Os dois jogam alternadamente e, em cada jogada, aquele que estiver na sua vez pode retirar quantos palitos quiser (pelo menos um) de apenas uma pilha. Ganha quem retirar o último palito. 3
Para esse jogo define-se a Soma Nim e o Teorema de Bouton (1901) dá a estratégia vencedora para o jogo: Sejam n um inteiro positivo e duas n-uplas de números inteiros (a 1,..., a n ) e (b 1,..., b n ). Definimos a soma nim como sendo (a 1 a 2 a 3 a n ) 2 (b 1 b 2 b 3 b n ) 2 = (c 1 c 2 c 3 c n ) 2, onde somamos coordenada a coordenada módulo 2: c i = a i + b i (mod 2). Por exemplo, (26) 10 (14) 10 = (11010) 2 (01110) 2 = (10100) 2 = (20) 10. Teorema de Bouton 1901 Um jogo que tem k pilhas de tamanhos n 1, n 2,..., n k é posição perdedora se, e só se, n 1 n 2 n k = 0. NIM Binário Seja N um inteiro maior do que 2. Arnaldo e Bernaldo disputam o seguinte jogo: há N pedras em uma pilha. Na primeira jogada, feita por Arnaldo, ele deve tirar uma quantidade k de pedras da pilha com 1 k < N. Em seguida, Bernaldo deve retirar uma quantidade de pedras m da pilha com 1 m k, e assim por diante, ou seja, cada jogador, alternadamente, tira uma quantidade de pedras da pilha entre 1 e a mesma quantidade de pedras que seu oponente tirou, inclusive. Ganha o jogador que tirar a última pedra. Para cada valor de N, determine qual jogador garante a vitória, independente de como o outro jogar, e explique qual é a estratégia vencedora para cada caso. Fibonacci NIM Seja N um inteiro maior do que 2. Arnaldo e Bernaldo disputam o seguinte jogo: há N pedras em uma pilha. Na primeira jogada, feita por Arnaldo, ele deve tirar uma quantidade k de pedras da pilha com 1 k < N. Em seguida, Bernaldo deve retirar uma quantidade de pedras m da pilha com 1 m 2k, e assim por diante, ou seja, cada jogador, alternadamente, tira uma quantidade de pedras da pilha entre 1 e o dobro da última quantidade de pedras que seu oponente tirou, inclusive. Ganha o jogador que tirar a última pedra. Para cada valor de N, determine qual jogador garante a vitória, independente de como o outro jogar, e explique qual é a estratégia vencedora para cada caso. Princípio das Gavetas de Dirichlet PGD Apresentaremos o princípio e resolveremos alguns problemas como, por exemplo: (a) Na cidade do Rio de Janeiro há pelo menos duas mulheres com a mesma quantidade de fios de cabelo na cabeça. (b) Se escolhermos mais do que n números do conjunto {1, 2,..., 2n}, então dois deles são primos entre si. (c) Se escolhermos mais do que n números do conjunto {1, 2,..., 2n}, então um deles será múltiplo do outro. (d) Seja a 0 um algarismo no sistema decimal. Todo número natural n tem um mútiplo que se escreve apenas com os algarismos 0 e a. (e) e = 1 0! + 1 1! + 1 + é um número irracional. 2! 4
(f) Se tivermos nove números inteiros positivos que não possuem divisores maiores que cinco, então existem dois cujo produto é um quadrado perfeito. (g) IMO1985 Dado um conjunto M com 1985 inteiros positivos distintos, nenhum dos quais tem divisores primos maiores do que 23, mostre que há 4 elementos em M cujo produto é uma quarta potência. (Resolveremos o problema trocando 1985 por 1537). (h) De qualquer conjunto com 2 n+1 1 números inteiros positivos sempre é possível escolher 2 n elementos tais que a soma destes é divisível por 2 n. (i) Em um torneio de xadrez há 2n + 3 participantes. Cada par de participantes joga exatamente uma partida entre si. Os jogos são arranjados de modo que não haja dois jogos simultâneos e cada participante, após jogar uma partida, fica livre durante as próximas n partidas. Prove que um dos participantes que jogou na primeira partida também vai jogar a última partida. (j) Se p j o j-ésimo número primo, mostre que a soma abaixo é um número irracional. + j=1 1 2 pj = 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 5 + 1 2 7 + (k) Prove que existem 1000 números consecutivos entre os quais há exatamente 144 números primos. (l) O plano foi pintado usando três cores. Prove que existem dois pontos de mesma cor distando exatamente um metro. (Esse problema é impossível para 7 ou mais cores e está em aberto para 4, 5 ou 6 cores). (m) Cada ponto do perímetro de um triângulo equilátero é pintado de uma de duas cores: azul e vermelho. Mostre que é possível escolher três pontos da mesma cor formando um triângulo retângulo. Princípio Probabilístico das Gavetas de Dirichlet ou Problema dos Aniversários Em um grupo de N pessoas, a probabilidade de que haja pelo menos duas que façam aniversário no mesmo dia 365 364 (366 N) e mês é igual a 1 365 N. Referências [1] FERGUSON, T.S. Game Theory. (http://www.math.ucla.edu/ tom/math167.html) [2] MORGADO, A.C.; CARVALHO, J.B.P.; CARVALHO, P.C.P.; FERNANDEZ, P. Análise Combinatória e Probabilidade. 10.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. [3] ROSEN, K. Matemática Discreta e Suas Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2009. [4] SANTOS, J.P.O.; MELLO, M.P.; MURARI, I.T.C. Introdução à Análise Combinatória. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007. [5] STEFFENON, R.R; GUARNIERI, F.M. Belos problemas de matemática: indução e contagem. Rio de Janeiro: SBM, 2016. Disponível em http://bit.ly/2j5aw0l 5