GABARITO IME Física
Questão 01 GABARITO COMENTADO Como mostra a figura acima, a fonte sonora F 1 está presa ao teto por uma haste vertical. Outra fonte sonora F está pendurada, em equilíbrio, por uma mola ideal na fonte F 1. As duas fontes emitem sons de mesma frequência f e em mesma fase. Se, em uma reta horizontal passando pela fonte F, a intensidade do som é máxima no ponto P (primeiro máximo de intensidade), situado a uma distância d de F, determine: a) A frequência f das fontes, em função dos demais parâmetros; b) A equação que expressa a posição vertical da fonte F em função do tempo, a partir do instante em que a fonte F foi liberada, caso a fonte F seja deslocada para baixo por uma força externa até que a intensidade do som seja mínima no ponto P (primeiro mínimo de intensidade) e depois liberada. Dados: d = 1 m; Peso da fonte: F = 10 N; Comprimento da mola relaxada: 90 cm; Constante elástica da mola: 100 N/m; Velocidade do som: 40 m/s; Aceleração da gravidade: 10 m/s ; = 1, 4; 0,11 = 0,.
Solução: A) = 0,9 + x, porém: K x 10 = 100 x P x = 0,1 m Então = 0,9 + 0,1 = 1,0 m Pitágoras y = 1 + 1 y = = 1,4 m Interferência (y 1) = n λ (n = ) B) v 1=λ= f 40 0,4 = f = 850 Hz f Sabemos que v 40 λ= = = f 850 0, 4 m Da interferência sabemos: λ d = n (n = 1) λ d = = 0, m d = x = 0, x= 1, m x = A + 1 A = Amplitude do movimento A = 1, 1 = 0, 44 = 4 0,11 = 0,66 m ( ) y = A cos( ω t +ϕ) k 100 w = = = 10 rad / s m 1 A = 0,66 m ϕ=π Por tanto : y = 0,66 cos(10 t +π) 4
Questão 0 Uma partícula de massa m e com carga elétrica q entra em um campo magnético B, movimentando-se no plano da figura de forma a atingir frontalmente (direção x) um corpo de massa M fixo a uma mola. O campo magnético é ortogonal ao plano da figura e é desligado em um determinado instante durante o movimento da partícula. A partícula colide com o corpo num choque perfeitamente inelástico, de forma a comprimir a mola que estava inicialmente relaxada. Uma lente, representada na figura, é utilizada para amplificar a imagem da mola, permitindo observar na tela a mola em sua compressão máxima decorrente do choque supracitado. Determine: a) O intervalo de tempo durante o qual o campo magnético permaneceu ligado após a entrada da partícula no campo magnético; b) A intensidade do campo magnético; c) A velocidade v da partícula ao entrar no campo magnético, em função dos demais parâmetros; d) A deformação máxima da mola; e e) A distância C entre a mola e a lente, em função dos demais parâmetros. Dados: tamanho da imagem na tela da mola em sua máxima compressão: i = 9 mm; distância entre a lente e a tela: D = 100 mm; distância focal: f = 10 mm; massa da partícula: m = 1 g; massa do corpo inicialmente fixo à mola: M = 9 g; H = 10 m; comprimento da mola relaxada: L = 11 mm; carga da partícula: q = + 5 C; e constante elástica da mola: k = 40 N/mm. Consideração: O plano da figura é ortogonal ao vetor aceleração da gravidade. 5
Solução: Aplicando Gauss 1 1 1 1 1 1 = + = + f p p' f C D ou C = fd (e) D f i p' Como C = p para = e o = 11 x o p 9 100 = x = 10 mm (d) 11 x 10 100 100 10 Na conservação de energia: kx = (m + M)V 40 ( 10 ) = ( 1 + 9) 10 V V = 0 m/s 10 mv + m o = m + M V 1v = 1 + 9 0 v = 00 m/s Na colisão ( ) ( ) ( m + M) ic k v = m D ( m + M) ( ) ( D f) m i f k m + M v = mv Para B = qr 10 00 B = = 5 10 (c) 4 10 T (b) πr Fazendo = v t 4 0π π t = = s (a) 4 00 40 6
Questão 0 O sistema apresentado na figura encontra-se em equilíbrio estático, sendo composto por quatro corpos homogêneos, com seção reta na forma + I M E. O corpo + está totalmente imerso em um líquido e sustentado pela extremidade A de um fio flexível ABC, de peso desprezível, que passa sem atrito por polias fixas ideais. Sabe-se que, no ponto B, o fio forma um ângulo de 90o e sustenta parcialmente o peso do corpo M. Finalmente, na extremidade C, o fio é fixado a uma plataforma rígida de peso desprezível e ponto de apoio O, onde os corpos I M E estão apoiados. Diante do exposto, determine: Enunciado a) a intensidade da força de tração no fio BD; b) a intensidade da força de cada base do corpo M sobre a plataforma. Observação: dimensão das cotas dos corpos + I M E na figura em unidade de comprimento (u.c.); considere fios e polias ideais; e existem dois meios cubos compondo a letra M Dados: aceleração da gravidade: g ; massa específica dos corpos + I M E : ρ ; massa específica do líquido: ρl = ρ/9 ; espessura dos corpos + I M E : 1 u.c. ; e comprimento dos fios DE = DF. 7
Solução: A) M = 0 0 10,5 T + 7ρ gv 6 = 7ρ gv 6 + 6ρ gv 7,5 + ρ gv 9 T = 6ρ vg; como: v = 1uc T = 6ρg No líquido : T = ρ E T = 9ρgv ρgv T = 8ρ gv; como : v = 1uc T 1 + + 1 1 = 8ρg 1 Então : T = T + T T = 10ρg (força no fio BD) BD 1 BD B) O corpo M contribui com um peso igual a ρg e em cada base, teremos: 11ρg TBD Em D : T DE cos 45 = TBD TDE = TBD Com isto : TDEy = T DE cos 45 TDEy = = 5ρg Teremos : N =ρ T N = 11ρg 5ρg 1 DEy N = 6ρg Logo em cada base temos uma força de 6ρg. 8
Questão 04 A figura acima apresenta um circuito elétrico composto por duas baterias iguais e oito resistores. Determine o valor das baterias para que a potência elétrica no resistor R seja igual a 6 W. 1 a Solução: P 6 i = = = A R 1,5 V AB = V 9
Fazendo y r r r 1 = = Ω 6 4 = = Ω 6 8 = = Ω 6 4 Trata-se de uma ponte de Wheatstone equilibrada, então a resistência da ponte. 9 9 81 9 R = 8 = 16 p = Ω 9 9 45 10 + 8 8 10
10 ix = = A 9 10 10 Finalmente: E =, 4. E = 8,0 V a Solução: Primeiramente, aterre a base da bateria, tome os potencias x, y 1 e y como indicado na figura. Logo: y 1 = y, pois o circuito é simétrico. Sendo assim, no resistor de 9 Ω a ddp é nula e, então, a corrente também é nula. Cálculo de x; X 0 ddp no resistor de 1,5 Ω ddp x resistência 1,5 Pot = 6 = x = 1,5 6 = 1,5 1,5 4 x = 1,5 = V, logo no circuito: 11
No nó: Logo: ddp no resistor de Ω: V = + E = Ω i = Ω 5 A Logo: + E = 5 E = 8 V 1
Questão 05 Um pesquisador recebeu a incumbência de projetar um sistema alternativo para o fornecimento de energia elétrica visando ao acionamento de compressores de geladeiras a serem empregadas no estoque de vacinas. De acordo com os dados de projeto, a temperatura ideal de funcionamento da geladeira deve ser 4 o C durante 10 horas de operação contínua, sendo que a mesma possui as seguintes dimensões: 40 cm de altura, 0 cm de largura e 80 cm de profundidade. Após estudo, o pesquisador recomenda que, inicialmente, todas as faces da geladeira sejam recobertas por uma camada de 1,6 cm de espessura de um material isolante, de modo a se ter um melhor funcionamento do dispositivo. Considerando que este projeto visa a atender comunidades remotas localizadas em regiões com alto índice de radiação solar, o pesquisador sugere empregar um painel fotovoltaico que converta a energia solar em energia elétrica. Estudos de viabilidade técnica apontam que a eficiência térmica da geladeira deve ser, no mínimo, igual a 50% do máximo teoricamente admissível. Baseado em uma análise termodinâmica e levando em conta os dados abaixo, verifique se a solução proposta pelo pesquisador é adequada. Dados: Condutividade térmica do material isolante: 0,05 W / m o C; Temperatura ambiente da localidade: 4 o C; Insolação solar média na localidade: 18 MJ/m, em 10 horas de operação contínua; Rendimento do painel fotovoltaico: 10%; Área do painel fotovoltaico: m. Solução: Refrigerador Qf Qf e = = W Q Q e MÁX Q (refrigerador Carnot) = 77 e = = 9,. MÁX 07 77 f Q T f T T f Viabilidade térmica = 50% 9, = 4,6 Calor que flui para geladeira de fora para dentro K A t Q Φ== = espessura t 5 10 1,6 0 1, 6 10 = Q entra 10 60 60 Q entra 6 = 5, 4 10 J 1
O painel fotovoltaico fornece: W = 10% I A W = 0,1 18 10 6 =,6 10 6 J E = 4,6 = Q f Q 6 f, 6 10 = 6 16,6 10 J (rejeitado) Note que o calor rejeitado na eficiência proposta é maior do que o calor extra fornecido pelo fluxo, portanto o processo é viável. Questão 06 Uma fonte de tensão com uma resistência interna, R int, tem as barras B 1 e B condutoras conectadas aos seus terminais A e B, conforme apresentado na Figura 1. A barra B, de 0 m de comprimento, pode mover-se sem atrito sobre as barras B1 e B e inicialmente encontrase em repouso na posição x = 0 m. No instante t = 0, a barra B começa a deslocar-se para a direita, com velocidade v(t) dada pelo gráfico apresentado na Figura. A fonte de tensão possui característica terminal dada pelo gráfico apresentado na Figura, onde I fonte é a corrente fornecida pela fonte de tensão e V AB é a tensão medida entre os seus terminais A e B. 14
Diante do exposto, determine: a) O valor da resistência R int da fonte de tensão (que é desprezível quando comparado com a da barra B ); b) A distância percorrida pela barra B no instante em que a tensão entre suas extremidades for igual a metade da tensão V int ; c) Em que instante de tempo a barra atingirá a distância percorrida no item (b); d) A corrente I fonte no instante calculado no item (c). Dados: resistividades das barras B 1, B e B : ρ = 0,5 Ωm; área da seção transversal das B 1, B e B :,5 mm. Solução: a) Pelo gráfico: int = 50 V V = 50 R I R = Ω AB int V int b) R ρl = = A 6 0,5 0,5 (10 ) 6 = 6 10 Ω V = 5 V = R I A' B' 5 I = 6 10 6 A 15
R 6 ρ L 0,5 L 10 L = R = = = A,5 (10 ) 5 1 5 V 50 I = Rint R1 R R = 6 + + + 10 L + 6 10 0 5 1 = 0, 4L + 6 0, 4 L = 6 L = 15 m 6 = 5 6 6 10 c) A A A 1 = m + 6 = 1 = 4m = 6 = 1 m A1 + A + A ' = 15 + 4 + 6 (t ) = 15 6 (t ) = 9 t =,5 s d) 5 I fonte = µ A 6 16
Questão 07 Enunciado A figura acima mostra um recipiente com paredes transparentes de espessuras desprezíveis. Esse recipiente contém um gás ideal hipotético e é fechado por um êmbolo opaco. Inicialmente, um corpo encontra-se apoiado sobre o êmbolo, em sua extremidade, mantendo todo o sistema em equilíbrio. Uma microcâmera, posicionada no ponto O (interior do recipiente) e direcionada para o ponto A, consegue filmar o ponto B no corpo. O corpo é, então, lançado com velocidade horizontal ν e sem atrito. Após o lançamento do corpo, o gás se expande até que o êmbolo atinja o equilíbrio novamente em um intervalo de tempo desprezível. A temperatura permanece constante durante todo o fenômeno. Determine em quanto tempo, após o lançamento, o corpo voltará a ser filmado pela microcâmera. Observação: o êmbolo tem altura suficiente para permanecer vedando o recipiente durante toda a expansão do gás; considere que o gás obedeça à lei de Gladstone-Dale, que diz que a relação entre seu n 1 índice de refração n e sua densidade ρ é constante e dada pela expressão: = cte. ρ Dados: Altura inicial do ponto B: 90 cm; Altura do ponto A: 0 cm ; Base do recipiente: Quadrado de lado 40 cm ; Massa do corpo = Massa do êmbolo ; Velocidade ν : 1,5 m/s ; Índice de refração do vácuo: 1,0 ; e Aceleração da gravidade: 10 m/s. 17
Solução: Reflexão Total senθ n 0 = L 5 1 = = n 5 0 Expansão Gasosa Isotérmica P 0 0 ( o) V = P V considerando que o meio externo é o vácu m q mq V0 = t t V f = f 0 f V F ( ) V volume duplica Se o volume duplica temos: ρ ρ 0 f m = ; ρ = v ρ0 = m f 0 v0 Então 5 1 n' 1 = ρ 0 ρ = ( n ' 1) 0 1 1 4 = n' 1 n' = 1+ = 18
Final Lei de Shell 5 sen r senθ sen r = L n vácuo n' 1 4 = sen r = 0,8 tg r = 4 4 h tg r = = x 1 h 4 0 gt 0,6 5t = = vt 1,5t 6t 0,6 5t = t 5t + t 0,6 = 0 t 1 = 0,6 s n.c = 0, s 19
Questão 08 A figura acima apresenta uma estrutura em equilíbrio, formada por oito barras AC, BC, AF, CF, CD, DE, DF e EF conectadas por articulações e apoiadas nos pontos A e B. Os apoios A e B impedem as translações nas direções dos eixos x e y. Todas as barras são constituídas por material uniforme e homogêneo e possuem pesos desprezíveis. No ponto D, há uma carga concentrada, paralela à direção do eixo x, da direita para esquerda, de 0 kn, e, no ponto E existe uma carga concentrada, paralela à direção do eixo y, de cima para baixo, de 0 kn. Determine: a) as componentes da reação do apoio A em kn; b) as componentes da reação do apoio B em kn; c) as barras que possuem forças de tração, indicando os módulos destas forças em kn; d) as barras que possuem forças de compressão, indicando os módulos destas forças em kn. Solução: Soma de forças: 0 + A y + B y = 0 0 + A x + B x = 0 Soma dos momentos em relação a B: +0 + 0 17 A y 10 = 0 A y = + 17 = 100 kn Logo: 0 + 100 + B y = 0 B y = 70 kn 0
No ponto B: cos sen 1 FBC θ= B θ= x 1 ; FBC sen θ= By cos θ= 5 1 1 70 1 FBC = ( 70) FBC = = 75,8 kn 1 1 70 1 5 70 5 Logo: Bx = = = 9,16 kn 1 1 1 Logo: 0 + Ax + B = 0 A = 9,16 kn a) x x b) B No ponto A: Ay + AAF + FAC sen θ= 0 Ax + FAC cos θ= 0 9,16 + F 5 AC = 0 F,81 kn 1 AC = 100 + F +,81 1 AF = 0 F 11,98 kn 1 AF = No ponto E: sen 5 FED senβ= 0 β= ; 1 FED cos β+ FEF = 0 cos β= 1 1 1
F ED = 78 kn 1 78 + FEF = 0 FEF = 7 kn 1 No ponto C: FCD cos 45 + FCF + FAC senβ FBC senβ= 0 FCD sen 45 = FAC cos β + FBC cos β 1 1 FCD =,81 + 75,8 FCD = 10,07 kn 1 1 5 5 10,07 + FCF +,81 75,8 = 0 FCF = 71,96 kn 1 1 No ponto D: 0 + FDE cos β FDC sen 45 = 0 FDF + FDE cos θ+ FDC cos 45 = 0 1 0 + 78 10,07 = 0 (ok) 1 5 FDF + 78 + 10,07 = 0 FDF = 11,97 kn 1 c) As barras tracionadas serão: BC, AC, ED, CD Pois todas as barras foram consideradas da forma: Se F > 0 Tração F < 0 Compressão F BC = 75,8 kn F AC =,81 kn F ED = 78,00 kn F CD = 10,07 kn
d) As barras comprimidas serão: AF, EF, DF, CF F AF = 11,98 kn F EF =7,0 kn F DF = 11,97 kn F CF = 71,96 kn Cabe, por fim, ressaltar que foram feitas algumas aproximações na questão, mas que não interferem de modo significativo nas respostas finais.
Questão 09 Uma partícula de carga + Q está presa a um espelho plano que se movimenta ortogonalmente ao plano xy. Em um instante t, onde 0 < t < ½ π, a interseção do espelho com o plano xy encontra-se na reta de equação y = sen(t) x + cos (t). Sabe-se que a coordenada y da partícula vale sempre 1 e que toda a região está sujeita a um campo magnético de coordenadas ( 0, 0, B ). Determine: a) as coordenadas do vetor da força magnética sofrida pela partícula; b) o cosseno do ângulo entre o vetor da força magnética e o plano do espelho; c) as coordenadas do vetor da força magnética refletido no espelho. Solução: a) π Como 0 < t < e y = 1, vem 1 = sen() t xb + cos() t 1 cos t sen t xb ( t) = = = sen t sen t sen t yb ( t) = 1 Vx ( t) = cos t Logo: Vy ( t) = 0 A carga Q move-se horizontalmente para a direita. Como o campo B sai do papel, pela regra do produto vetorial a força F = qv B módulo F = qbcos t será paralela ao eixo y, no sentido negativo, de b) A seta da interseção do espelho com o plano xy é y sen t x = cos t, logo o vetor n dado por (sen t, 1) e representado na figura, é normal à reta. O cosseno do ângulo entre n e F (sen t, 1) (0, qbcos t) 1 é = 1 + sen t ( qbcos t) 1 + sen t 4
O cosseno do ângulo entre a força F e o plano do espelho equivalente ao seno do ângulo cujo cosseno calculamos (ângulos complementares) e portanto vale 1 sen t cos θ= 1 = 1 + sen t 1 + sen t c) O vetor F ', o rebatimento no espelho do vetor F, forma ângulo θ com eixo y (com relação ao semi-eixo negativo). Logo: ' 1 sen t qbsen t Fx = Fsen θ= qbcos t = 1 + sen t 1 + sen t 1 + sen t ' sen t 1 qbcos t Fy = Fcos θ= qbcos t = 1 + sen t 1 + sen t 1 + sen t 5
Questão 10 Um feixe de fótons de frequência f incide obliquamente, fazendo um ângulo θ com a vertical, sobre uma superfície plana especular parcialmente absorvedora. A fração do número de fótons refletidos em relação ao número de fótons incidentes é igual a k (0 < k < 1), o número de fótons por volume no feixe incidente é igual a n. Calcule a pressão exercida pelos fótons sobre a superfície. Dados: constante de Planck: h; e velocidade da Luz: c. Solução: Seja: Nr números de fótons refletidos NABS números de fótons absorvidos Ni números de fótons incidentes Nr + NABS = Ni, DADO: Nr = k Nr = K Ni Ni Nr + NABS = Ni K Ni + NABS = Ni NABS = (1 k) Ni Caso absorvido: O fóton vem com quantidade de movimento dada por: hf p = c p N = pcos θ = hf c cos θ 6
Do feixe: A = A cos θ 1 1 1 Para um fóton: n = = n cos θ= ΔV A cos θ Δx A Δx Para quantidade de movimento: FN Δpn Δpn Δx Δpn P = e F N = = = C A Δt Δx Δt Δx Δp C A Δx Logo:P ABS =nhf cos θ n Logo : P = = Δ p n C n cos θ = C n cos θ hf C Caso refletido: p n = p cos θ ( p cos θ) = p cos θ A única diferença é na quantidade de movimento, que é o dobro. Logo: P ref = nhf cos θ Como a refletora é proporcional a k e a absorvedora a (1 k) em relação ao número de fótons incidentes, podemos concluir que: P = k Pref + (1 k) P ABS P = knhf cos θ + (1 k) nhf cos θ P = (1 + k) nhf cos θ. 7
Comentário de Física A prova envolveu conceitos físicos simples conhecidos pelos candidatos que obtiveram os pontos (credenciais) para a a fase do vestibular do IME. Contudo, os enunciados propostos exigiam, em alguns casos, uma interpretação do fenômeno físico muito além do que é perceptível: a abordagem da questão 7, onde um pequeno deslocamento do ponto luminoso B produziria a passagem de um raio de luz em A, atingindo a microcâmera em O. Após tal visualização o candidato iria de encontro ao conceito de Ângulo Limite. Na questão 4, a geometria do circuito dificultava a solução, e mais uma vez a intepretação de que a transformação ( y) levaria a uma ponte de Wheatstone, que da mesma forma não era de fácil percepção. Notamos, que o vestibular do IME, está encontrando no tripé das resoluções dos problemas da física interpretação, conceituação e cálculo a maior exigência da interpretação do fenômeno. Vejamos por exemplo a questão 8, onde o cálculo das forças utilizando seno e co-seno de triângulo retângulo e projeção de vetores é realmente fácil para um candidato preparado conceitualmente e que por mérito esta na a fase. Mas, novamente, a interpretação de quais forças eram de tração ou compressão nas barras dependia da observação e foi o mais difícil no tempo de prova. Escrever todas as soluções depois de ter um rascunho, em 4 horas, foi outra barreira a ser vencida. Não foi uma prova fácil levando em conta todos os fatores. As abordagens teóricas (conceituais), este ano foram mais fáceis de empregar e reconhecer do que as duas últimas provas. Comparando as questões desta prova podemos dizer que as mais fáceis foram a 1 a e a enquanto as questões 4, 5 e 7 foram as mais difíceis. Equipe de Física Edward Kessy Jhonnes Maurício Noronha Ricardo Luiz 8