Problema resolvido 4.2 A peça de máquina de ferro fundido é atendida por um momento M = 3 kn m. Sabendo-se que o módulo de elasticidade E = 165 GPa e desprezando os efeitos dos adoçamentos, determine (a) as tensões máximas de tração e compressão, (b) o raio de curvatura. SOLUÇÃO: Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centroide e momento de inércia. Ȳ = ȳ A A x '= ( Ī +A d 2 ) Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. σ m = Mc Calcular a curvatura 1 ρ = M E
Problema resolvido 4.2 SOLUÇÃO: Baseado na geometria da seção transversal, calcular a localização do centróide e momento de inércia. Area, mm 2 ȳ, mm ȳ A, mm 3 1 20 90=1800 50 90 10 3 2 40 30=1200 20 24 10 3 A=3000 ȳ A=114 10 3 Ȳ = ȳ A 3 A =114 10 =38 mm 3000 x '= (Ī + A d 2 )= ( 1 12 bh3 + A d 2 ) =( 1 12 90 203 +1800 12 2 )+( 1 12 30 403 +1200 18 2 ) =868 10 3 mm 4 = 868 10-9 m 4
Problema resolvido 4.2 Aplicar a fórmula da flexão elástica para encontrar as tensões máximas de tração e compressão. σ m = Mc σ A = M c A 3 kn m 0. 022 m = 868 10 9 m 4 σ B = M c B 3 kn m 0.038 m = 868 10 9 m 4 Calcular a curvatura 1 ρ =M E = 3 kn m (165 GPa ) (868 10-9 m 4 ) σ A =+76.0 MPa σ B = 131.3 MPa 1 ρ =20.95 10 3 m -1 ρ=47.7 m
Flexão de Barras Constituidas de Vários Materiais Considere uma barra composta por dois materiais E 1 e E 2. Deformação normal varia linearmente. ε x = y ρ Tensões normais variam linearmente σ 1 =E 1 ε x = E 1 y ρ σ 2 = E 2 ε x = E 2 y ρ Eixo neutro não passa pelo centroide da sessão composta. As forças que atuam no elemento são: df 1 =σ 1 da= E 1 y ρ σ x = My σ 1 =σ x σ 2 =nσ que: x df 2 = ( ne 1 ) y ρ da df 2 =σ 2 da= E 2 y ρ Definir uma seção transformada de tal forma da = E 1 y ρ (n da ) n= E 2 E 1 da
Problema Resolvido 4.3 SOLUÇÃO: Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão. Avaliar as propriedades da seção transversal da barra transformada. Uma barra feita da união de duas peças de aço (E aço = 203GPa) e latão (E latão = 105 GPa). Determinar a tensão máxima no aço e no latão, quando um momento M= 4,5 KN.m estiver aplicado. Calcular a tensão máxima na seção transformada. Esta é a tensão máxima correta para a parte de latão da barra. Determine a tensão máxima na parte de aço do barra, multiplicando a tensão máxima para a seção transformada pela razão entre os módulos de elasticidade.
Problema Resolvido 4.3 SOLUÇÃO: Transformar a barra em uma seção equivalente feita inteiramente de latão. Calcular o momento de inércia da seção trasformada. = 1 12 b T h3 = 1 12 (0, 567 m ) (0,076 m )3 =2.10 6 m 4 Calcular as tensões máximas (σ latão ) max =σ m (σ aço ) max =nσ m =1, 933 85,5 MPa n= E aço 203 GPa = E latão 105 GPa =1.933 b T =19 mm (1.933)=36.7 mm σ m = M c = (4,5 KN )(0,038m) 2 10 6 m 4 =85,5 MPa (σ latão ) max =85,5 MPa (σ aço ) max =(1,933 )(85,5 MPa)
Vigas de Concreto Armado Vigas de concreto submetida a momentos fletores são reforçadas por barras de aço. As barras de aço resistem à carga de tração abaixo da superfície neutra. A parte superior da viga de concreto resiste à carga de compressão. Na seção transformada, a área transversal do aço, A s, passa a ter a área equivalente na s onde n = E s /E c. Para determinar a localização do eixo neutro, (bx ) x 2 n A s ( d x )=0 1 2 b x2 +n A s x n A s d=0 As tensão normais no concreto e no aço σ x = My σ c =σ x σ s =nσ x
Problema resolvido 4.4 SOLUÇÃO: Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto. Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada. Calcular as tensões máximas no concreto e no aço. A laje de piso de concreto é reforçada com barras de aço 16 mm de diâmetro. O módulo de elasticidade é de 205 GPa para o aço e 25 GPa para o concreto. Com um momento fletor aplicado de 4,5 KN.m a cada 300mm de largura da laje, determinar a tensão máxima no concreto e no aço.
Problema resolvido 4.4 SOLUÇÃO: Transformar em uma seção feita inteiramente de concreto. n= E s 205 GPa = E c 25 GPa =8,2 na s =8,2.(402 mm 2 )=3296 mm 2 Avaliar as propriedades geométricas da seção transformada. 300 x ( x ) 3296 (100 x )=0 x=37,1 mm 2 = 1 3 (300 ) (37,1 )3 +3296 (100 37, 1 ) 2 =18,15. 10 6 mm 4 Calcular as tensões máximas. σ c = Mc 1 σ s =n Mc 2 4500 KN.m 37,1mm = 18,15 10 6 mm 4 (4500 KN. m)(62,9mm) =8,2 18,15 10 6 mm 4 σ c =9,2 MPa σ s =127, 9 MPa
Concentração de Tensão Concentrações de tensão pode ocorrer : nas proximidades dos pontos onde as cargas são aplicadas σ m =K Mc nas proximidades de mudanças abruptas na seção transversal
Deformações Plásticas Para qualquer elemento submetido à flexão pura a tensão varia linearmente com a deformação: ε x = y c ε m Se o elemento é feito de um material elástico linear, a linha neutra passa pelo centroide da seção e σ x = My Para um material com uma curva de tensãodeformação não-linear, a localização da linha neutra é encontrada através da expressão: F x = σ x da =0 M= yσ x da No caso de elemento que possui planos de simetria vertical e horizontal, composto de material caracterizado pela mesma relação tensão-deformação em tração e em compressão a linha neutra coincidirá com a linha de simetria horizontal da seção.
Deformações Plásticas O valor máximo do momento fletor, M l, provoca falha do elemento. Esse valor pode ser determinado quando a tensão máxima é igual à resistência última do material. O módulo de ruptura em flexão, R B, é encontrado a partir de um valor determinado experimentalmente de M l considerando uma distribuição linear fictícia de tensões. R B = M l c R B pode ser usado para determinar o limite de momento fletor, M l, de qualquer elemento feito do mesmo material e com uma seção transversal da mesma forma, mas com dimensões diferentes.
Barras Constituídas de Material Elastoplástico Barra retangular em flexão feita de um material elastoplástico σ x σ E σ m =σ E σ m = Mc M E = c σ Y = momento elástico máximo A medida que o momento fletor M aumenta, as zonas plásticas expandem-se até que, no limite, a deformação é totalmente plástica. M= 3 2 M E( 1 1 3 2 y E ) c y E= metade da espessura do núcleo elástico 2 A medida que y E se aproxima de zero, o momento fletor se aproxima do valor limite. M p = 3 M 2 E = momento plástico k= M p M E = fator de forma (depende apenas da forma da seção)