1 Programa de Engenharia Biomédica Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e Pesquisa de Engenharia - COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ Observações importantes: 1 A prova possui 10 questões. 2 Duração da prova: 4 (quatro) horas. 3 Consulta a dicionários e o uso de calculadoras não são permitidos. 4 Mostre o desenvolvimento de cada questão. 5 Use o verso das folhas se necessário. 6 Peça folhas para rascunho se for necessário. 7 Escreva seu nome em todas as folhas Questões 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Total Notas
2 1 - Em t=0, um corpo de 2g de material radioativo perde massa proporcionalmente ao valor da massa atual, segundo a equação diferencial dm(t) = k m(t), onde k é uma constante negativa. dt a) Encontre a função temporal que descreve a massa em função do tempo. b) Faça um gráfico dessa função no tempo e discuta o que acontece, na resposta temporal, com a variação de k.
3 2 - Determine a solução da equação diferencial x + 9x = 0, x(0) = 0 e x (0) = 2, utilizando a transformada de Laplace. Lembre que a transformada de Laplace de sen(ωt) é ω/(s 2 + ω 2 ).
4 3 - Sejam os vetores a = i + 2j-3k, b=i+2j, c=-i+j Calcule: a) a x b b) b x a c) a x c d) a.c e) (c-a) x 2b
5 4 - Seja a função f(x,y,z) = 2x 2 +3y 2 +z 2. Calcule o vetor normal a essa superfície no ponto P=(2,1,3).
6 5 - Calcule os autovalores e autovetores da matriz [ 5 4 1 2 ].
7 6 - A lemniscata de Bernoulli é obtida a partir da expressão em coordenadas polares r 2 = 2a 2 cos(2θ), variando o ângulo θ de 0 a 2π. O ponto O, pela qual ela passa quatro vezes, chama-se ponto duplo e as tangentes ao mesmo formam com o eixo x os ângulos π/4 e π/4. Observando a figura abaixo, calcule o valor de a e a área total da curva. 120 90 3 60 2 150 1 30 180 0 210 330 240 270 300
8 7 - Em função da elevação do custo de energia elétrica, muitas famílias estão revendo seus consumos domésticos para ajustá-lo e com isso gerar uma economia. Para isto, é importante verificar o consumo médio de equipamentos eletrodomésticos, das lâmpadas, do chuveiro elétrico, etc. Para se ter uma ideia deste consumo, determinar a energia consumida, em unidades de joules, para um período de 30 dias: a) uma lâmpada incandescente de 60 W, a qual funciona 5 horas por dia, em média; b) um forno de micro-ondas, de 900 W, utilizado 10 minutos por dia, em média.
9 8 - A tensão limite de resistência à tração de um material metálico é modelado por uma distribuição normal com média de 35 MPa e desvio-padrão de 2 MPa. a) Qual a probabilidade de que a resistência de um corpo-de-prova seja menor ou igual a 39 MPa? b) Se as especificações exigem que a resistência seja superior a 33 MPa, qual a porcentagem de corpos-de-prova que serão descartados? Consulte a tabela abaixo, sabendo que Zc=(x-x médio )/S, onde S é o desvio padrão.
10 9 - A figura mostra um raio de luz monocromática que se propaga no ar formando um ângulo de 30 com a superfície. Quando o raio passa a incidir no outro meio o ângulo de refração observado é de 60. A partir destas informações calcule: (a) O índice de refração da luz no segundo meio. (b) A velocidade da luz neste meio.
11 10 - Qual o coeficiente de atrito entre um bloco de 10kg e uma superfície horizontal? O bloco alcança a velocidade de 2m/s em um deslocamento de 10m, partindo do repouso. A força horizontal aplicada no bloco é 10N. Considere g=10/s 2 e que o atrito é do tipo seco.