Teoria da Medida e Integração (MAT505)

Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência V. Araújo Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 1 Modos de convergência Modos de convergência Neste ponto já conhecemos quatro modos de convergência de uma sequência de funções: ˆ pontual (em todo ponto); ˆ em quase todo ponto; ˆ uniforme; ˆ convergência em L p. Existem mais dois modos de convergência importantes para lidar com funções mensuráveis e vamos apresentá-los aqui; depois veremos inter-relações entre estes modos de convergência. No que segue vamos fixar um espaço de medida (X, A, ) e considerar funções reais. Por vezes será necessário considerar funções na reta real estendida. Em alguns casos veremos brevemente como lidar com funções complexas. Convergência pontual e convergência uniforme Convergência pontual: (ƒ n ) n 1 converge pontualmente para ƒ (ƒ n ƒ) se, para todo ϵ > 0 e todo X, existe N(ϵ, ) N tal que se n N(ϵ, ), então ƒ n ( ) ƒ ( ) < ϵ; Convergência uniforme: (ƒ n ) n 1 converge uniformemente para ƒ (ƒ n ƒ) se, para todo ϵ > 0, existe N(ϵ) N tal que, se n N(ϵ), então ƒ n ( ) ƒ ( ) < ϵ para todo X. 1

Sabemos que convergência uniforme implica convergência pontual; mas que convergência pontual não garante convergência uniforme. Contra-exemplos são bem conhecidos dos cursos de Análise: tome ƒ n : [0, 1] R, n que converge pontualmente para ƒ = 1 {1}, mas não converge uniformemente. Convergência em quase todo ponto Convergência em quase todo ponto: (ƒ n ) n 1 converge q.t.p. para qtp ƒ (ƒ n ƒ) se existe Z A tal que (Z) = 0 tal que para todo ϵ > 0 e todo X \ Z, existe N(ϵ, ) N tal que se n N(ϵ, ), então ƒ n ( ) ƒ ( ) < ϵ; É claro que convergência pontual garante convergência em quase todo ponto, e que a implicação inversa não vale em geral (a não ser que o único conjunto de medida nula seja o vazio: neste caso convergência qtp. e pontual coincidem; ou que o espaço seja formado por número finito de pontos, caso em que a convergência pontual coincide com a convergência uniforme). Convergência em L p Uma sequência (ƒ n ) n 1 em L p = L p (X, A, ) (com 1 p < ) converge em L p L para ƒ (ƒ p n ƒ) se, para todo ϵ > 0, existe N(ϵ) N tal que, se n N(ϵ), então ƒ n ƒ p = ƒ n ƒ p d 1/p < ϵ. Uma sequência (ƒ n ) n 1 em L p é de Cauchy em L p se, para cada ϵ > 0, existe N(ϵ) > 0 tal que, se m, n N(ϵ), então ƒ n ƒ m p = ƒ n ƒ m p d 1/p < ϵ. Já vimos que toda sequência de Cauchy em L p converge para alguma função ƒ de L p. Convergência uniforme e em L p Teorema Se (X) < e (ƒ n ) n 1 é sequência em L p que converge uniformemente para ƒ, então ƒ está em L p e ƒ n converge para ƒ em L p. 2

Demonstração. Sejam ϵ > 0 e N(ϵ) N tais que ƒ n ( ) ƒ ( ) < ϵ para todo n N(ϵ) e X. Se n N(ϵ), então ƒ n ƒ p ϵ p d 1/p = ϵ(x) 1/p e portanto ƒ = ƒ n (ƒ n ƒ ) L p L e ƒ p n Este pode ser falso se X não tiver medida finita (exercício 7.B, Bartle). Mas vale se a sequência é dominada por uma função de L p. Convergência qtp. dominada em L p Teorema Seja (ƒ n ) n 1 é sequência em L p que converge qtp. para ƒ mensurável. Se existe g L p tal que ƒ n ( ) g( ) para todos os X, n 1, então ƒ L p L e ƒ p n Demonstração. Pela hipótese, ƒ p g p <, logo ƒ L p e temos também ƒ n ( ) ƒ p (2g( )) p, -qtp. e 2 p g p L 1. Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada lim ƒ n ƒ p d = lim ƒ n ƒ p d = L 0 e segue que ƒ p n Convergência qtp. limitada em L p Corolário Se (X) < e (ƒ n ) n 1 é sequência em L p que converge qtp. para ƒ mensurável. Se existe constante K tal que ƒ n ( ) K para todos X e n 1, então ƒ L p e ƒ n L p Demonstração. Com (X) < as funções constantes estão em L p e aplicamos o teorema anterior com g K. Vamos agora ver que convergência em L p não garante convergência em quase todo ponto. Convergência L p que não é qtp. Seja X = [0, 1] com A a γ-álgebra de Borel e λ medida de Lebesgue. Consideremos os intervalos [0, 1], [0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1] [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/5], [1/5, 2/5],... e seja ξ n a função característica do n-ésimo intervalo desta lista, e ξ 0. Para n 1 + 2 + + m = m(m + 1)/2, ξ n é uma função característica de um intervalo com medida no máximo 1/ m, logo ξ n ξ p = ξ n ξ p d = ξ m d 1 m 3

e ξ n L p ξ. Porém, fixado qualquer [0, 1], a sequência (ξ n ( )) n 1 tem subsequência constante igual a 1 e outra subsequência constante igual a 0. De fato, para n = 1 + 2 + + m temos que ξ n+1,..., ξ n+m+1 é sequência de funções características de uma família de conjuntos cuja união é X e cuja interseção dois a dois tem medida nula, portanto alguma destas funções vale 1 em e alguma outra vale 0 em. Portanto ξ n ( ) não converge, seja qual for o ponto [0, 1]! Em particular, não converge qtp.. (Notemos que podemos escolher uma subsequência de ξ n ( ) que converge para ξ( ).) 1.1 Conv. em medida Convergência em medida Uma sequência (ƒ n ) n 1 de funções mensuráveis (reais ou complexas) converge em medida para ƒ (ƒ n ƒ) mensurável se, para cada α > 0, se tem que ([ ƒ n ƒ α]) n + 0. Um sequência (ƒ n ) n 1 é de Cauchy em medida se, para cada α > 0, dado ϵ > 0 existe N(ϵ) N tal que para n, m N(ϵ) se tem ([ ƒ n ƒ m α]) < ϵ. Note que se ƒ n n ƒ. ƒ, então [ ƒ n ƒ α] = para todo n suficientemente grande. Portanto, convergência uniforme garante convergência em medida. Convergência em L p garante convergência em medida L Se ƒ p n ƒ então, para cada α > 0, o conjunto E n (α) = [ ƒ n ƒ α] satisfaz ƒ ƒ n p p = ƒ n ƒ p d ƒ n ƒ p d α p (E n (α)) E n (α) e portanto (E n (α)) α p ƒ ƒ n p p n 0. Ou seja, ƒ n Exercício: a sequência ξ n também mostra que uma sequência pode convergir em medida mas não convergir em nenhum ponto!! 4

Convergência em medida e subsequência convergente qtp. Teorema Seja (ƒ n ) n 1 sequência de funções mensuráveis (reais ou complexas) que é de Cauchy em medida. Então existe subsequência que converge -qtp. e em medida para uma função mensurável ƒ. Para provar, seja g k subsequência de ƒ n tal que E k = [ g k+1 g k 2 k ] satisfaz (E k ) < 2 k. Tomando F k = j k E j, então F k A e (F k ) < 2 k+1. Para j k e X \ F k g ( ) g j ( ) g ( ) g 1 ( ) + + g j+1 ( ) g j ( ) 1 2 1 + + 1 2 j < 1 2 j 1 1 2 k 1. Se F = k 1 F k, então (F) = 0 e pelo que vimos (g j ) j 1 converge qtp em X\F. Definimos agora ƒ ( ) = 1 X\F ( ) lim j g j ( ) e obtemos g j ƒ. De fato, pela desigualdade anterior, fazendo vem ƒ ( ) g j ( ) 1 2 j 1 1 2 k 1 para j k e X \ F k. Então g j converge uniformemente para ƒ em X \ F k, ou seja, g j converge para ƒ em quase todo ponto. Para convergência em medida, sejam ϵ, α > 0. Existe k N tal que (F k ) < 2 k+1 < min{ϵ, α}. Para j k obtemos do que já fizemos [ ƒ g j α] [ ƒ g j > 2 k+1 ] F k e assim ([ ƒ g j α]) (F k ) < ϵ para todo j k. Sequências de Cauchy em medida Corolário Seja (ƒ n ) n 1 sequência de funções mensuráveis (reais ou complexas) que é de Cauchy em medida. Então existe função mensurável ƒ para a qual (ƒ n ) converge em medida, e ƒ é unica -qtp.. Já temos ƒ nk ƒ e como ƒ ( ) ƒ n ( ) ƒ ( ) ƒ nk ( ) + ƒ nk ( ) ƒ n ( ) vem ([ ƒ ƒ n α]) ƒ ƒ α nk + ƒ nk 2 ƒ n α 2 5

para qualquer α > 0. Como (ƒ n ) é de Cauchy em medida, isto garante a convergência em medida de ƒ n para ƒ. Para a unicidade: suponhamos que ƒ n ƒ e ƒn g. Novamente porque ƒ ( ) g( ) ƒ ( ) ƒ n ( ) + ƒ n ( ) g( ) segue que ([ ƒ g α]) ƒ ƒ n α + ƒ n g α 2 2 para qualquer α > 0 e qualquer n 1. Fazendo n vem ([ ƒ g α]) = 0 para qualquer α > 0, o que mostra que ƒ = g, qtp.. Convergência dominada em medida e em L p Em geral, convergência em medida não garante convergência em L p (exercício). Mas se acrescentarmos dominação obtemos a convergência em L p. Teorema Seja (ƒ n ) n 1 sequência em L p que converge em medida para ƒ e seja g L p tal que ƒ n g, -qtp.. Então ƒ L p e ƒ n L p Por redução ao absurdo, se (ƒ n ) não convergisse para ƒ em L p, existiria subsequência (g k ) k 1 de (ƒ n ) e ϵ > 0 tal que g k ƒ p > ϵ para todo k 1. Mas então g k ƒ e portanto existe subsequência (h ) 1 de g k que converge -qtp. e em medida para alguma função h. Pela unicidade do limite em medida, h que tem de ser igual a ƒ, - qtp.. Porém, como ƒ n é dominada por g e g L p, então h é dominada L por g e sabemos que h p Mas isto contradiz a escolha de g k tal que g k ƒ p > ϵ para todo k 1, já que h é subsequência de g k. L Esta contradição mostra que ƒ p n ƒ, como no enunciado do Teorema. 1.2 Conv. quase uniforme Convergência quase uniforme 6

Uma sequência (ƒ n ) n 1 de funções é quase uniformemente convergente a uma função mensurável ƒ (ƒ n ƒ) se, para cada δ > 0, q.. existe E δ A com (E δ ) < δ tal que ƒ n converge uniformemente para ƒ em X \ E δ. Uma sequência (ƒ n ) n 1 de funções é quase uniformemente de Cauchy se, para cada δ > 0, existe E δ A com (E δ ) < δ tal que ƒ n é uniformemente convergente em X \ E δ. É claro que convergência uniforme implica convergência quase uniforme, mas o recíproco não é verdadeiro! (Exercício: apresente um exemplo.) Sequência quase uniformente de Cauchy Lema Seja (ƒ n ) n 1 sequência de funções quase uniformemente de Cauchy. q. qtp. Então existe ƒ mensurável tal que ƒ n ƒ e ƒ n Seja E k tal que (E k ) < 2 k e (ƒ n ) é uniformemente convergente em X \ E k. Tomemos F = j k E j tal que (F) < 2 k+1 e (ƒ n ) converge uniformemente em X \ F k X \ E k. Podemos definir g k = 1 X\Fk lim ƒ n. Temos F k+1 F k e F = k F k satisfaz (F) = 0. Portanto se h k, então g h ( ) = g k ( ) para F h. Segue que g k converge pontualmente para uma função ƒ. Além disto, para X \ F k, temos ƒ ( ) = g k ( ) = lim ƒ n ( ) e assim ƒ n converge para ƒ, -qtp.. Falta ver que a convergência é quase uniforme. Fixemos ϵ > 0 e k tão grande que 2 k+1 < ϵ. Então (F k ) < ϵ e ƒ n converge uniformemente para g k em X \ F k, mas g k = ƒ em X \ F k. Isto conclui a prova do lema. Podemos agora relacionar convergência em medida com convergência quase uniforme. Convergência em medida vs. quase uniforme Teorema Se uma sequência (ƒ n ) n 1 converge quase uniformemente para ƒ, então converge em medida. Reciprocamente, se (h n ) n 1 converge em medida para h, então alguma sequência converge quase uniformemente para h. q.. De fato, se ƒ n ƒ e α, ϵ > 0, então existe E ϵ A com (E ϵ ) < ϵ n ƒ. tal que ƒ n 1 X\Eϵ ƒ 1 X\Eϵ. 7

Assim, para n grande o suficiente, [ ƒ n ƒ α] E ϵ e ([ ƒ n ƒ α]) < ϵ, o que mostra que ƒ n Reciprocamente, suponha que h n h. Por resultado anterior, existe subsequência (g k ) de (h n ) que converge -qtp. para uma função g, mas esta convergência é realmente quase uniforme (veja a prova de que convergência em medida garante subsequência convergente qtp.). Como (g k ) converge em medida para g e para h, então h = g, - qtp. e, portanto, (h n ) converge quase uniformemente para h. Ja vimos que convergência quase uniforme garante convergência qtp.. Mas o recíproco é falso em geral (exercício). Mas se (X) <, então podemos obter o resultado seguinte. Convergência qtp. garante convergência quase uniforme Teorema (de Egoroff) Suponha que (X) < e que (ƒ n ) n 1 é sequência de funções mensuráveis que converge -qtp. em X para uma função ƒ. Então ƒ n q.. ƒ e ƒ n A última conclusão é consequência da primeira, como já vimos. q.. Basta então mostrar que ƒ n Modificando ƒ n e ƒ num conjunto de medida nula, podemos assumir que ƒ n ƒ em todo ponto. Para cada m, n N seja E n (m) = k n [ ƒ k ƒ 1/m]. Então E n+1 (m) E n (m) e, como ƒ n ƒ pontualmente, segue que n 1 E n (m) = para cada m 1. Uma vez que (X) <, deduzimos que (E n (m)) n + 0. Para cada δ > 0 seja n m tal que (E nm (m)) < δ2 m e E δ = m 1 E nm (m). Então (E δ ) < δ. Note que se X \ E δ, então X \ E nm (m) e portanto ƒ n ( ) ƒ ( ) < 1/m para todos n n m. Assim ƒ n converge uniformemente para ƒ em X \ E δ, com δ > 0 arbitrariamente escolhido. Resumiremos os resultados provados via algumas tabelas relacionando os diferentes modos de convergência. 1.3 Relações Diagrama de relações entre modos de convergência: caso geral O caso geral em qualquer espaço de medida: 8

quase todo ponto quase uniforme em L p em medida Seta dupla = indica implicação; seta tracejada indica que existe subsequência. Ausência de seta indica que existe contraexemplo. Diagrama de relações entre modos de convergência: espaço de medida finito Nos espaços de medida finita: quase todo ponto quase uniforme em L p em medida As novas implicações são consequência do Teorema de Egoroff. Diagrama de relações entre modos de convergência: com dominação por g L p Assumindo que vale dominação por uma função g L p : quase todo ponto quase uniforme em L p em medida Adicionaram-se três implicações. Exercício: verificar estas implicações e também que, onde não há setas, se pode fornecer um contra-exemplo. (Isto é parte da lista de exercícios do livrotexto de Bartle.) 9

Condições necessárias e suficientes para convergência em L p Teorema (de Vitali) Seja (ƒ n ) n 1 sequência em L p (X, A, ), 1 p <. Então as três condições seguintes são necessárias e suficientes para que ƒ n L p ƒ: 1. ƒ n ƒ; 2. ϵ > 0 E ϵ A, (E ϵ ) < e X\E ϵ ƒ n p d < ϵ p, n 1; 3. ϵ > 0 δ(ϵ) > 0 tal que se E A e (E) < δ(ϵ), então E ƒ n p d < ϵ p, n 1. L Que ƒ p n ƒ implica as três condições é um exercício (da lista de exercícios do livro-texto de Bartle). Prova da suficiência das condições de Vitali Se ϵ > 0 e E ϵ é como na ítem 2, seja F = X \ E ϵ e apliquemos a desigualdade triangular na norma L p a ƒ n ƒ m = (ƒ n ƒ m )1 Eϵ + ƒ n 1 F ƒ m 1 F : para m, n 1 ƒ n ƒ m p E ϵ ƒ n ƒ m p d Tomemos α = ϵ(e ϵ ) 1/p e H n,m = [ ƒ n ƒ m α]. 1/p + ƒ n 1 F p + ƒ m 1 F p. Pelo ítem 1, existe K(ϵ) tal que, se n, m K(ϵ), então (H n,m ) < δ(ϵ), on δ(ϵ) > 0 é dado pelo ítem (3) do enunciado. Aplicamos novamente a desigualdade triangular como antes: escrevemos (ƒ n ƒ m )1 Eϵ = (ƒ n ƒ m )1 Eϵ \H n,m + ƒ n 1 Eϵ H n,m ƒ m 1 Eϵ H n,m para m, n 1 fixados e obtemos a seguinte desigualdade. ƒ n ƒ m p d E ϵ 1/p Usando agora o item 3, deduzimos + 1/p ƒ n ƒ m d p + E ϵ \H n,m 1/p ƒ m p d. E ϵ H n,m E ϵ H n,m ƒ n p d 1/p ƒ n ƒ m d p α(e ϵ ) 1/p + ϵ + ϵ = 3ϵ E ϵ 1/p 10

pela escolha de α, sempre que m, n K(ϵ). Combinando com a desigualdade anterior, obtemos ƒ n ƒ m p 5ϵ e assim (ƒ n ) é de Cauchy em L p, e portanto convergente em L p. Como já sabemos que ƒ n ƒ, então ƒn L p 11