Mecânica 1 Resumo e Exercícios P3
Conceitos 1. Dinâmica do Ponto 2. Dinâmica do Corpo Rígido 1. Dinâmica do Ponto a. Quantidade de Movimento Linear Vetorial Instantânea Q = m v b. Quantidade de Movimento Angular K ' = P O Q K ' = P O mv c. Segunda Lei de Newton d. Impulso F = Q = m a I = 23 Fdt 24 I = Q 1
e. Trabalho τ = 83 Fdr 84 = mvdv = Fvdt Não há trabalho se a força for ortogonal à trajetória f. Energia Cinética (T) T = m v: 2 τ = Τ g. Trabalho da Força Peso τ = mg (z @ z 3 ) 2
h. Trabalho da Força Elástica τ = K 2 (x @ : x C : ) 2. Dinâmica do Corpo Rígido a. Momento de Inércia Mede a dificuldade de rotacionar um corpo ao redor de um eixo, assim como a massa inercial mede a dificuldade de transladar um corpo Para massas pontuais: I D = r : m 3
Momento de Inércia Polar: I EE = (y : + z : )dm I HH = (x : + z : )dm I II = (x : + y : )dm I EE + I HH + I II = 2 I @ No caso plano: I II = I @ I EE + I HH = I @ Para um corpo rígido: I D = r : dm i. Onde r é a distância do eixo ao baricentro do corpo 4
Teorema dos Eixos Paralelos: b. Produto de Inércia Dificuldade de rotacionar ao redor de um plano I EH = XY dm I EI = XZ dm I HI = YZ dm 5
Quais casos o produto de inércia zera? i. Se um dos planos (XY, XZ ou YZ) é um plano de simetria, então o produto de inércia em relação aos dois outros planos é nulo No caso plano, XY é plano de simetria, logo I EI e I HI serão nulos ii. Se o corpo possui um eixo de simetria, ou seja, todo plano que o contém é plano de simetria, então: I EI = I HI = I EH = 0. Estes, calculados em relação ao baricentro. Teorema dos Eixos Paralelos: 6
c. Matriz de Inércia d. Teorema do Movimento do Baricentro R = R PQ2 PQ2 M ' = M ' m a S = R PQ2 i. m = massa do corpo ii. a U = aceleração do baricentro do corpo iii. R def = somátorio das forças externas aplicadas no corpo e. Teorema da Quantidade de Movimento Angular (TQMA ou TMA) Para o caso plano: i. ω = ωk, ou seja, só gira ao redor do eixo Z ii. I EI = I HI = 0 7
K @ = m G O V ' + I II ωk Derivando... K @ = m V S V ' + m G O a ' + I II ωk K @ = m V S V ' + M ' PQ2 Logo: i. Apenas para o caso plano M ' PQ2 = m G O a ' + I II ωk f. Teorema da Energia Cinética Para corpos rígidos: Τ = T p T 4 = τ PQ2 T = 1 2 m v @ : + m v @ ω G O + 1 2 ω 2 CQr I ' rqr ω rqc i. O resultado é o mesmo para qualquer ponto, logo, vamos escolher pontos que facilitem as contas Casos especiais: i. O é um ponto fixo, ou seja, v @ = 0 T = 1 2 ω 2 CQr I ' rqr ω rqc 8
ii. O = G T = 1 2 m v @ : + 1 2 ω 2 CQr I ' rqr ω rqc iii. Translação pura (ω = 0) T = 1 2 m v @ : iv. Caso plano T = 1 2 m v @ : + m v @ ωk G O + 1 2 ω: I II g. Cálculo do Trabalho Só realizam trabalho forças na direção do deslocamento: τ = F d cos θ Força Normal: τ t = 0 i. Pois é ortogonal à trajetória Força de Atrito: i. Sem escorregamento à τ pu2 = 0 ii. Com escorregamento à τ pu2 < 0 9
Trabalho do Momento: τ = M θ 10
3. Exercícios 1) (Exercício 1, Prova 3, 2015 Poli) Duas barras esbeltas e homogêneas AB e BO, cada uma com massa m e comprimento L, estão soldadas fazendo uma peça em forma de L, conforme mostrado na figura. Pedem-se: a) Calcule o momento de inércia Jz e o produto de inércia Jzy dessa peça; b) Calcule o momento de inércia Jz dessa peça, em relação ao eixo z paralelo a z e que passa pelo ponto D. 11
2) (Exercício 2, Prova 3, 2015 Poli) Duas barras uniformes, cada uma de massa m e comprimento L, estão articuladas em B como mostra a figura. Este sistema está num plano vertical, o ponto D da barra BD pode escorregar sem atrito no plano horizontal, e o ponto A da barra AB está preso por uma articulação externa. Desloca-se levemente o ponto D para a esquerda, soltando-o em seguida, fazendo com que o sistema entre em movimento. Para o instante em que o ponto D estiver exatamente abaixo de A, pedem-se, em função dos dados: a) Construa os diagramas de corpo livre das barras AB e BD; b) Obtenha a relação entre os vetores rotação ω yz e ω z{ ; c) Obtenha a expressão da velocidade v { do ponto D. 12
3) (Exercício 3, Prova 3, 2006 Poli) Um disco de massa m, raio R e centro G rola sem escorregar em um plano inclinado, como indicado na figura. O disco é tracionado por um fio inextensível, de massa desprezível, que está conectado a um corpo B de massa m. No instante inicial, o sistema está em repouso e h = 0. Sabendo que a polia com centro C tem massa desprezível, pedem-se: a) A energia cinética do sistema; b) A velocidade v z e a aceleração a z do bloco em função de h; c) A tração T no fio e as componentes normal e tangencial da força de contato no disco. 13
4) (Exercício 1, Prova 3, 2016 Poli) Um bloco de massa m z escorrega sobre o plano horizontal com coeficiente de atrito μ. O bloco está ligado a um cabo ideal cuja extremidade está presa na polia de massa m ~ e raio R, cujo centro C é vinculado ao solo por meio de articulação sem atrito. No instante inicial, quando o sistema está em repouso, é aplicado um momento de binário M (constante) na polia de centro C, suficiente para acelerar o bloco. Sabe-se que a origem de x é tal que x = 0 para θ = 0. a) Determine a energia cinética do sistema em função da velocidade angular ω = θ da polia de centro C; b) Determine velocidade angular ω da polia de centro C em função de θ. 14
5) (Exercício 1, Prova 3, 2013 Poli) O sólido é composto por três barras homogêneas de mesma massa m, mesmo comprimento a e diâmetro desprezível, soldadas entre si no formato mostrado na figura. A barra AB é paralela ao eixo Oy. Usando o sistema de coordenadas Oxyz, determine: a) O momento de inércia J 'I do sólido; b) O produto de inércia J 'EH do sólido. 15
Gabarito: 1) 2) a. J I = : r ; J IH = :. b. J Iƒ = m : r + 2a: al. a. b. ω yz = ω z{ = ω = ωk. 3) c. v { = ı. a. E Š4 = Œ mv z :. b. v : z = Ž (1 sin α); a Œ z = : (1 sin α) Œ c. T = (3 + 2 sin α);f Œ u2 = (1 sin α); N = mg cos α. Œ 16
4) a. E = (m ~ + 2m z ). 5) b. ω = ( ) ( : ) θ. a. I 'I = Œu r. b. I 'EH = u :. 17