MATEMÁTICA ELEMENTAR MMC E MDC Proª Joanny Fernandes
Mínimo Múltiplo Comum - MMC Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se mínimo múltiplo comum (MMC) o menor dos seus múltiplos que é comum a todos eles, com exceção do número zero, pois este é o menor dos números naturais e é múltiplo de todos eles.
Os múltiplos de um número natural são todos aqueles que divididos por este número têm zero como o resto da divisão. Por exemplo, 0, 6 e 12 são todos múltiplos de 6, pois qualquer um deles pode ser dividido por 6 em uma divisão exata. Neste caso o quociente da divisão seria respectivamente 0, 1 e 2. Percebe-se portanto, que os múltiplos de um número natural são o resultado do produto deste número por um outro número natural. Já que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito, os múltiplos de um número também são infinitos.
Exemplos Tomemos por exemplo os números naturais 6, 8 e 12. Seus múltiplos são respectivamente: M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30,... } M(8) = { 0, 8, 16, 24, 32, 40,... } M(12)={ 0, 12, 24, 36, 48, 60,... } Reticências, sinal para conjunto infinito
Podemos notar que com exceção do número 0, o número 24 é o menor dos múltiplos comum a todos eles. Temos então que: MMC(6, 8, 12) = 24
Como descobrir o MMC de um conjunto de números? Um prático método para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a decomposição em fatores primos. Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.
Da fatoração destes três números temos: O MMC(6, 8, 12) é o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes. Logo: MMC(6, 8, 12) = 2 3. 3 = 24
Máximo Divisor Comum - MDC Dados dois ou mais números naturais não nulos, denomina-se máximo divisor comum (MDC) o maior número que é divisor de todos eles. Entenda por divisor, um número natural não nulo, que ao dividir um outro número natural, produz uma divisão com resto igual a zero, isto é, produz uma divisão exata.
Com este sentido, o conjunto dos números formados pelos divisores de um número natural qualquer é um conjunto finito. Caso o número 1 seja o único divisor comum a um conjunto de números naturais, dizemos que os números deste conjunto são primos entre si.
Exemplos Analisemos os números naturais 108, 135 e 63. Seus divisores são respectivamente: D(108) = { 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 } D(135) = { 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 } D(63) = { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }
De todos os divisores que cada um dos números possui, o número 9 é o maior deles que é comum a todos os três. Temos então que: MDC(108, 135, 63) = 9
Como descobrir o MDC de um conjunto de números? Um método prático para se determinar o MDC de um grupo de números naturais é a fatoração. Para podermos comparar o resultado obtido pelo método acima e o obtido pela fatoração, vamos utilizar de novo os números 108, 135 e 63 como exemplo.
Da fatoração deles nós temos que: O MDC(108, 135, 63) é o produto dos fatores comuns com os menores expoentes. No caso apenas o fator 3 é comum a todos eles, mas tomemos o 3 2, pois é o que possui o menor expoente. Logo: MDC(108, 135, 63) = 3 2 = 9
Algoritmo de Euclides para determinação do MDC Esse processo é um dos algoritmos mais antigos de que se tem conhecimento (dada cerca de 300 anos a.c) e é uma das maneiras mais simples de se calcular o MDC entre dois números! O procedimento é também conhecido como processo das divisões sucessivas. Vamos agora aprendê-lo!
Para podermos comparar vamos usar como exemplo os mesmos números anteriores, 108 e 135. Montemos um diagrama semelhante ao jogo da velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados. 1. Dividimos o maior pelo menor, o quociente colocamos acima do divisor e o resto abaixo do dividendo. 2. Deslocamos o resto obtido para o espaço a direita do divisor e dividimos novamente obedecendo o passo 1 3. Esse processo será repetido até que cheguemos ao resto 0 4. Quando o resto chegar a zero concluímos que o último divisor será o MDC
Exemplo: calcular MDC de 324 e 252 Algoritmo de Euclides Fatoração
Exercícios Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol - planeta - Lua A, ocorre a cada 18 anos e Sol - planeta - Lua B, ocorre a cada 48 anos. Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B, então o fenômeno se repetirá daqui á: a) 48 anos b) 66 anos c) 96 anos d) 144 anos e) 94 anos
(UNIARARAS- 97) As cidades de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras 9 em 9 messes as de Leme de 12 em 12 messes e a de Conchal de 20 em 20 messes. Se em março de1985 as festas coincidiram, então a próxima coincidência foi em: a- março de 1995 b- março de 1996 c- dezembro de1999 d- março de 2000 e- nunca mais
(PUC 98)Uma editora tem em seu estoque: 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2500 de um livro C. Deseja remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote contenha os três tipos de livros em quantidades iguais e com o maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares que restarão no estoque é: A)1500 B)1600 C)1750 D)2000 E) 2200
Duas tabuas devem ser cortadas em pedaços de mesmo comprimento e de tamanho maior possível. Se uma delas tem 196 centímetros e a outra 140 centímetros, quanto deve medir cada pedaço? a) 96 b) 40 c) 100 d) 28 e) 35