UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UFCG CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA CCT DEPARTAMENTO DE FÍSICA DF MECÂNICA GERAL II Projeto de Mecânica Análogos Elétricos Professor : Rômulo Alunos: Manuella Martins do Nascimento Felipe Queiroga Macedo Raphael Borges Felipe Souto Soares Márcio Aguiar Campina Grande-PB Junho de 2011
1. INTRODUÇÃO Como as equações diferenciais que regem o comportamento de tensões e correntes em um sistema elétrico são semelhantes às equações que modelam um sistema mecânico, podemos fazer uma equivalência entre seus componentes, gerando assim um análogo. 2. OBJETIVO Modelar um sistema elétrico para simular um oscilador massa-mola amortecido, animado por um braço mecânico. 3. MATERIAL UTILIZADO Indutor de 10mH; Capacitor de 1nF; Resistor de 100ohm; Gerador de Sinais; Osciloscópio; Multímetro; Protoboard. 4. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO Para fazermos a analogia entre os dois sistemas, foi preciso analisar as equações diferencias características de cada um. Para isso desenvolvemos as mesmas a partir da força resultante e da lei de Kirchhoff, no sistema mecânico e elétrico, respectivamente. Como podemos observar na Figura 1, o sistema mecânico quando animado pelo braço para o lado direito, apresenta uma força resultando como vista na Equação 1, considerando a referência positiva para a direita e para cima. Figura 1
= + F Equação 1 Isolando a força do braço no lado direito da equação e dividindo toda a equação pela massa m, temos: + + = Equação 2 Analisando agora a equação gerada pela Lei de Kirchhoff das tensões no circuito RLC série como o da Figura 2, temos: Figura 2 + + = () Equação 3 Fazendo a analogia: = x A Equação 3 se torna: + + = () Dividindo tudo por Lλ, temos: + + = ()/ Equação 4 Comparando as equações 2 e 4, obtivemos que: = e = = /
Portanto, encontramos as analogias: L = m, R = b, C = 1/K Assim, temos o indutor representando a massa da partícula, o resistor representando o amortecedor, o capacitor representando a mola, e a fonte representando o braço de força, formando então o análogo elétrico do sistema mecânico. A unidade do fator λ que relaciona os análogos pode ser encontrada pela equação abaixo: = () Portanto: = () e [λ] = [Coulomb]/[metro] Além disso, o circuito deve obedecer a relação abaixo: β = obtida através da aplicação da transformada de Laplace na equação característica do circuito RLC e resolvendo-a. Observe abaixo: ()+()+ 1 ()=() Q(s)( ++ )=().: Q(s) = V(s)/( ++ ) Encontrando os pólos da resposta em freqüência ()= () equação ( ++ ) = 0, temos: = 4 () resolvendo a = 2 ± (/2 ) 1/ A partir disto, temos que este circuito pode ser um análogo elétrico, desde que o termo dentro da raiz seja menor do que zero, pois o circuito deve ser subamortecido, para simular um oscilador massa-mola.
5. RESULTADOS OBTIDOS A partir dos cálculos mostrados no desenvolvimento teórico, e obedecendo à relação apresentada, montamos o circuito equivalente utilizando um gerador de sinais, um resistor de 100 ohm, um capacitor de 1nF, e um indutor de 1mH. Com esses elementos, obtivemos: β = = Por meio do gerador de sinais, submetemos o circuito a uma tensão senoidal de 0.2V de pico, e analisamos as respostas de cada elemento do circuito para a freqüência de ressonância, para uma freqüência dez vezes maior do que a de ressonância, e para uma freqüência dez vezes menor do que a de ressonância. Calculando a freqüência de ressonância para tais elementos temos: = = = =316227 / serão: E as freqüências de um décimo e dez vezes denotadas w1 e w2, respectivamente, = =31622,7 / e = 10 =3162270 / Calculando as tensões previstas nos elementos teremos, para : Para : Para : Vindutor = 6,32 V Fase = 90º, Vcapacitor = 6,32 V Fase = -90º, Vresistor = 0,2 V Fase = 0º, Vindutor = 2 mv Fase 180º, Vcapacitor = 0,2 V Fase 0º, V resistor = 0,6 mv Fase 90º, Vindutor = 0,2 V Fase 0º, Vcapacitor = 2 mv Fase -180º, Vresistor = 0,6 mv Fase 90º, Todos os resultados esperados foram confirmados experimentalmente como pode ser visto no vídeo feito com a montagem do circuito. Podemos observar claramente o fenômeno da ressonância em um sistema elétrico, análogo à ressonância em um sistema mecânico, quando em tal freqüência
vemos as amplitudes das tensões aumentando bastante em relação às amplitudes observadas em outras freqüências. Mesmo quando animamos o circuito com freqüências maiores do que a de ressonância não obtemos amplitudes maiores do que as obtidas na ressonância porque nela temos uma transferência de energia o mais eficiente possível, e portanto o sistema vibra/oscila em amplitudes máximas só limitadas pelos atritos de amortecimento (resistor/amortecedor). 6. CONCLUSÃO Podemos observar, por meio dos resultados obtidos e esperados, que o circuito RLC série montado, é de fato um análogo de um oscilador massa-mola amortecido, animado por um braço mecânico, e, portanto, o experimento atingiu seu objetivo. Levando em consideração o fato de que estamos trabalhando com componentes reais e aparelhos de medição nem sempre precisos, podemos desconsiderar os erros nos resultados experimentais em relação aos resultados esperados, e concluir que o experimento foi realizado com sucesso.