MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado

MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 1. Comportamento do Betão Estrutural Notações f resistência do material f c tensão de rotura do betão à compressão f ct - tensão de rotura do betão à tracção E c módulo de elasticidade do betão f y tensão de cedência do aço f u tensão de rotura do aço E s módulo de elasticidade do aço 1.1. ELEMENTO DE BETÃO SEM INCLUSÃO DE ARMADURAS Considere-se a viga de betão simples ilustrada na figura seguinte, bem como os diagramas de esforços correspondentes a uma carga pontual genérica P aplicada a meio vão. P 0.50 5.00 0.20 P/2 P/2 DEV P/2 (+) (-) P/2 DMF (+) PL/4 MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 1

Como se pode verificar, o maior momento flector ocorre a meio vão, estando esta secção sujeita ao seguinte diagrama de tensões normais. σ2 h/2 h/2 G M y σ1 Tensões: σ = M y I ; σ máx = M w em que w = I y máx (módulo de flexão) (para uma secção rectangular, w = b h3 12 2 h = b h2 6 ) Para um determinado nível de carga P ocorrerá a fendilhação da secção de meio vão (por ser a secção mais esforçada) e, consequentemente a rotura da viga. Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e cargadeslocamento que ilustram o comportamento da viga de betão simples desde o início do carregamento até à rotura (rotura frágil). a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento M P EI (rigidez de flexão) 1/ R δ Este comportamento resulta da lei de comportamento do material betão: MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 2

σ fc (20 a 80 MPa) Índice c concrete Ec ( 30 GPa) fct (2 a 5 MPa) 3.5 ε f c tensão de rotura do betão à compressão f ct tensão de rotura do betão à tracção E c módulo de elasticidade do betão Através da análise da relação constitutiva do betão pode concluir-se que este é um material que possui uma boa resistência à compressão e uma baixa resistência à tracção (da ordem de 1/10 a 1/15 da resistência à compressão). Cálculo do momento de fendilhação Admite-se f ct = 2.0 MPa σ = M w = M v I e w = bh2 6 (para uma secção rectangular) Deste modo, o momento de fendilhação pode ser calculado pela expressão: M cr = f ct w = 2 10 3 0.20 0.502 6 = 16.7 knm A carga P que provoca o início da fendilhação está associada ao momento de fendilhação podendo ser calculada através da seguinte relação: M cr = PL 4 P = 4M cr L = 4 16.7 5 = 13.4 kn Conclusão: Uma viga de betão simples não explora a capacidade resistente do material em compressão, e está associada a uma baixa capacidade de carga (condicionada pela fendilhação) e a uma rotura frágil. Solução: Introduzir um material com boa resistência à tracção nas regiões onde é necessário Betão armado (betão +armadura) MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 3

1.2. ELEMENTO DE BETÃO ARMADO Armadura: material dúctil com bom comportamento quer à tracção quer à compressão σ (200 a 800 MPa) fu fy Índice s steel Índice y yeld (cedência) Es ( 200 GPa) f y + f y - 2.5 a 10% ε fy A introdução deste elemento no betão permite melhorar consideravelmente o comportamento deste material, dado que, após a fendilhação, as tensões de tracção passam a ser resistidas pela armadura. Na figura seguinte podem observar-se os diagramas momentos-curvaturas e cargadeslocamento que ilustram o comportamento da viga de betão armado desde o início do carregamento até à rotura. a) Diagrama momento-curvatura b) Diagrama carga-deslocamento M Mcr I II P (1) (2) (3) (1) - fendilhação do betão (2) - cedência das armaduras (3) - rotura 1/ R δ MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 4

1.3. CÁLCULO DAS TENSÕES NUMA SECÇÃO APÓS FENDILHAÇÃO Considere-se a seguinte secção de betão armado. Admite-se: d 0.50 A s = 10.0 cm 2 d = 0.45 m (altura útil da armadura) E c = 30 GPa 0.20 E s = 200 GPa (i) Cálculo da quantidade mínima de armadura a adoptar por forma a resistir às tensões de tracção, após a fendilhação do betão Fc F s F ct A s, min f yk b h 2 1 2 f ct Fct h/2 A s, min 0.2 0.5 4 2 10 3 1 400 10 3 104 = 1.25 cm 2 b fct (antes de fendilhar) (ii) Cálculo do estado de tensão na secção imediatamente após a fendilhação do betão Hipóteses consideradas: O betão não resiste à tracção As secções mantêm-se planas após a fendilhação εc σc LN x d (-) (Fc) z M cr (+) εs σs (Fs) b MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 5

Cálculo da posição da linha neutra Através da determinação do centro de gravidade da secção homogeneizada, x = A i x i A i = bx x/2 + A s E s /E c d bx + A s E s /E c x bx + A s E s E c = bx x 2 + A s E s E c d bx 2 + A s E s E x = bx2 c 2 + A s E s E c d bx 2 2 = A s E s E c (d - x) (equação que traduz a igualdade de momentos estáticos) Para a secção em estudo, 0.2x 2 2 = 10 10-4 x 200 30 (0.45 - x) 0.1x2 + 6.67 10-3 - 0.03 = 0 x = 0.143 m z = d - x 3 = 0.45-0.143 3 = 0.40 m Cálculo da tensão no betão (σ c ) Por equilíbrio: M cr = F s z = F c z =16.7 knm F c = M cr z = 16.7 0.40 = 41.8 kn F c = σ c x b 2 σ c = 2F c bx = 2 41.8 0.20 0.143 = 2923 kn/m2 2.9 MPa Cálculo da tensão nas armaduras (σ s ) F s = σ s A s σ s = F s A s = 41.8 10 10-4 = 41800 kn/m 2 = 41.8 MPa Cálculo das extensões máxima no betão e nas armaduras (ε c e ε s ) σ = E ε ε c = σ c E = 2923 c 30 10 6 = 0.097 10-3 0.1 ε s = σ s E = 41800 s 200 10 6 = 0.2 ou ε c ε s = x d - x ε s = d - x x ε c = 0.45-0.143 0.143 0.097 10-3 = 0.2 MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 6

εc = 0.1-2.9 LN 0.143 (-) 1/R (+) εs = 0.2 41.8 Cálculo da curvatura ε σ [MPa] 1 R = ε c + ε s d = 0.1 10-3 + 0.2 10-3 0.45 = 6.67 10-4 m -1 Antes da fendilhação, 2.0 εc (-) ε c = σ c E c = 2.0 30 10 3 = 6.67 10-5 (+) 1 R = 2 6.67 10-5 0.5 = 2.67 10-4 m -1 2.0 σ [MPa] εc Conforme se pode verificar, 1 / R I 1 / R II 2.5 1.4. CÁLCULO DO MOMENTO DE CEDÊNCIA DA SECÇÃO Em estado II (estado fendilhado) a linha neutra é invariável, pelo que, a um acréscimo do momento flector irá somente corresponder um aumento de curvatura com consequente aumento de tensões. εc σc1 σc2 (-) LN M (+) εs σs1 σs2 M 1 M 2 > M 1 MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 7

A continuação da aplicação da carga P conduz ao aumento das tensões nas fibras (para a região de comportamento não linear). σc1 σc2 Fc Fc LN LN z1 M 1 M 1 < M2 z2 M 2 Fs1 Fs2 A variação do braço não é significativa (z 1 z 2 ), pelo que M y z F Cálculo do momento de cedência da secção σ s = f y = 400M Pa F s = 400 10 3 10 10-4 = 400 kn z = 0.40m M y = 0.4 400 = 160 knm 1.5. DIFERENÇA DO COMPORTAMENTO SECÇÃO / ESTRUTURA a) Secção b) Estrutura M I II M I II My = 160 Mcr = 16.7 1/R 1/R As estruturas são compostas por inúmeras secções pelo que, o efeito da fendilhação em algumas secções (perda de rigidez brusca nessas secções), vai conduzir a uma diminuição gradual de rigidez da estrutura. P (2) (3) (1) δ MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 8

1.6. DETERMINAÇÃO DA REGIÃO ONDE OCORRE FENDILHAÇÃO NUMA VIGA PARA UM DETERMINADO CARREGAMENTO P DMF Região onde ocorre fendilhação para Pmáx Mcr Mmáx MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 9

2. O Conceito de Segurança no Dimensionamento de Estruturas 2.1. OBJECTIVOS DE SEGURANÇA NA ENGENHARIA ESTRUTURAL EM GERAL 1) Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos Estados Limite de Utilização: Limitar a deformação (estruturas em geral) δ serviço δ L admissível 400 Controlar os níveis de fendilhação (estruturas de betão armado em particular) ω serviço ω admissível (0.2 a 0.4mm) Garantir um adequado comportamento dinâmico (estruturas em geral) (ex: controlo de frequências próprias de vibração) 2) Assegurar um nível de segurança adequado em relação a determinadas situações de rotura (rotura local ou global da estrutura) Na forma regulamentar este objectivo corresponde a verificar a segurança aos Estados Limite Últimos Flexão Esforço transverso Encurvadura Equilíbrio 2.2. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITE ÚLTIMOS 1) Definição de valores característicos para: valores das acções S sk (95% de probabilidade de não serem excedidos) resistências dos materiais S Rk (95% de probabilidade de serem superiores). MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 10

2) Adopção de coeficientes de segurança parciais que: majorem as cargas, consoante o tipo de acção: Acções permanentes: valor aproximadamente constante durante a vida útil da estrutura (ex: peso próprio, equipamentos fixos, etc.) γ g = 1.0 ou 1.35 (consoante a acção for ou não favorável) Acções variáveis: variam durante a vida útil da estrutura (ex: sobrecarga, vento, sismo, variação de temperatura, etc.) γ q = 0.0 ou 1.5 (consoante a acção for ou não desfavorável) Acções acidentais: muito fraca probabilidade de ocorrência durante a vida útil da estrutura (ex: explosões, choques, incêndios, etc.) γ a = 1.0 minorem as resistências dos diferentes tipos de materiais: Armaduras (γ s = 1.15) Betão (γ c = 1.5) Exemplo: f yd = f yk γ s ; f cd = f ck γ c 3) Estabelecimento de combinações de acções, conforme especificado no RSA Exemplo: S sd = γ g S g + γ q (S q + Σψ 0 S q ) (ψ 0 1 coeficiente de combinação) 4) Avaliação dos efeitos estruturais das acções na estrutura, usualmente com base numa análise elástica linear da mesma, e obtenção de esforços de cálculo Exemplo: M sd = γ g M g + γ q M q + γ q ψ 0i M qi 5) Avaliação das resistências de cálculo e capacidades resistentes (forças ou esforços) Exemplo: M Rd = A s f yk 1.15 z 6) Verificação da condição de segurança S Sd S Rd Exemplo: M sd M Rd No caso do exemplo anterior, M = PL 4 M sd = 1.5 P 5 4 M Rd = 10 10-4 400 1.15 103 0.40 P 74.2 kn MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 11

Relação que estabelece a condição de segurança Ssm Ssk Ssd SRd SRk SRm Acções ou efeitos das acções Resistência De acordo com esta formulação, a probabilidade de ruína de uma estrutura, projectada e construída de acordo com os requisitos regulamentares, deverá ser inferior a 10-5. 2.3. FILOSOFIA ADOPTADA NA VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA EM RELAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 1) Definição dos valores da acção que actuam na estrutura 2) Estabelecimento de combinações de acções, conforme preconizado no RSA: Combinação quase permanente de acções: Estado limite de longa duração ( 50% do tempo de vida da estrutura) S cqp = G + Σψ 2 Q Combinação frequente acções: Estado limite de curta duração ( 5% do tempo de vida da estrutura) S freq = G + ψ 1 Q + Σψ 2 Q i Combinação rara: Estado limite de muito curta duração (algumas horas no período de vida da estrutura) S raro = G + Q + Σψ 1 Q i (ψ 2 < ψ 1 < 1.0) Q acção variável de base Q i restantes acções variáveis 3) Avaliação dos efeitos estruturais das acções, considerando em geral uma análise elástica linear e as propriedades médias dos materiais por forma a estimar o comportamento previsível. Em geral é importante considerar os efeitos da fendilhação (perda de rigidez) e fluência do betão 4) Verificar a condição de segurança Exemplo: δ serviço δ admissível Esta formulação conduz a que a probabilidade de serem excedidos valores admissíveis seja da ordem de 10-1. MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 12

EXERCÍCIO 3 Considere a estrutura da figura seguinte: 4.00 4.00 4.00 4.00 Materiais: C25/30, A400 10.00 S2 Acções: Peso próprio Revestimento=2.0 kn/m 2 Sobrecarga = 3.0 kn/m 2 Coeficientes de majoração: γ G = γ Q = 1.5 S1 Coeficientes de combinação: ψ 1 = 0.4 ; ψ 2 = 0.2 3.00 Secção da viga: 0.30 0.85 m 2 Espessura da laje: 0.15m a) Determine, para as secções S1 e S2 da viga, os valores de cálculo dos esforços. b) Calcule, para as mesmas secções, os esforços para as combinações rara, frequente e quase-permanente. MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 13

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 1. Modelo de cálculo: Modelo para o cálculo da viga S2 S1 10.00 3.00 g, q Corte transversal à viga rev, q 0.15 0.70 0.30 4.00 Comentários ao modelo de cálculo: Consideraram-se as vigas como contínuas, i.e., desprezou-se a continuidade na ligação aos pilares; Considerou-se que as lajes descarregam apenas nas vigas transversais. 2. Cálculo das acções na viga 2.1. Carga permanente Peso próprio pp = γ betão Área = [4 0.15 + (0.85 0.15) 0.30] 25 = 20.3kN/m Revestimento rev = 2.0 4.0 = 8.0kN/m cp = pp + rev = 20.3 + 8.0 = 28.3kN/m 2.2. Sobrecarga sc = 3.0 4.0 = 12.0kN/m MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 14

3. Diagrama de esforços para uma carga unitária p=1 kn/m S1 S2 10.00 3.00 RA RB DEV [kn] 4.55 (+) 3.0 (+) x (-) DMF [knm] 5.45 4.5 (-) (+) 10.25 (i) Cálculo das reacções de apoio ΣM A = 0 10 R B 1.0 13 13 2 = 0 R B = 8.45kN ΣF = 0 R A + R B = 13 R A = 13 8.45 = 4.55kN (ii) Cálculo do momento flector a ½ vão M B = 1 3 M ½vão = 1 102 8 3 2 = - 4.5kN/m - 4.5 2 = 10.25kNm pl 2 /8 L/2 L/2 (ii) Cálculo do momento flector máximo 4.55 + 5.45 4.55 = 10.0 x x = 4.55m M máx = 4.55 4.55 2 = 10.35kNm M ½vão M máx MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 15

ALÍNEA A) Secção S1 M S1 G M S1 Q = 4.5 28.3 = - 127.35 knm MS2 = 4.5 12.0 = - 54 knm MS2 Secção S2 G Q = 10.25 28.3 = 290.1 knm = 10.25 12.0 = 123.0 knm V S1 G V S1 Q = 5.45 28.3 = 154.2 kn = 5.45 12.0 = 65.4 kn Valores de cálculo dos esforços M S1 sd = 1.5 ( M S1 G + MS1 Q ) M S2 sd = 1.5 ( M S2 G + MS2 Q ) V S1 Sd = 1.5 ( V S1 G + VS1 Q ) = 1.5 (-127.35-54) = -272.0 knm = 1.5 (290.1 + 123) = 619.7 knm = 1.5 (-154.2-65.4) = -329.4 kn Consideração de alternância de sobrecarga A sobrecarga, sendo uma acção variável, pode actuar em qualquer tramo. Assim, para cada caso, há que verificar a hipótese de carga mais desfavorável. Se se considerar apenas a actuação da sobrecarga no tramo apoiado, o momento flector obtido a meio vão desse tramo será superior ao calculado considerando a sobrecarga a actuar em toda a viga (calculado anteriormente). Deste modo, q g M S2 Q = 12 102 8 = 150 knm ; M S2 G M S2 = 1.5 (290.1 + 150) = 660.2 knm sd = 10.25 28.3 = 290.1 knm MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 16

ALÍNEA B) Secção S1 M c rara = M G + M Q = -127.35-54 = - 181.4 knm M c freq = M G + ψ 1 M Q = -127.35-0.4 54 = -149.0 knm M cqp = M G + ψ 2 M Q = -127.35-0.2 54 = 138.2 knm V c rara = V G + V Q = 154.2 + 65.4 = 219.6 kn V c freq = V G + ψ 1 V Q = 154.2 + 0.4 65.4 = 180.36 kn V cqp = V G + ψ 2 V Q = 154.2 + 0.2 65.4 = 167.3 kn Secção S2 M c rara = M G + M Q = 290.1 + 123.0 = 413.1 knm M c freq = M G + ψ 1 M Q = 290.1 + 0.4 123 = 339.3 knm M cqp = M G + ψ 2 M Q = 290.1 + 0.2 123 = 314.7 knm MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 17

3. Materiais 3.1. CARACTERIZAÇÃO DOS BETÕES Os betões são classificados por classes de resistência. As classes de resistência estão definidas de acordo com os valores característicos de tensão de rotura à compressão aos 28 dias de idade, referidos a provetes cúbicos ou provetes cilíndricos. No quadro seguinte apresentam-se, para as várias classes de resistência do betão, os valores característicos e de cálculo das tensões de rotura à compressão (f ck e f cd ), bem como o valor médio da tensão de rotura à tracção (f ctm ) e módulo de elasticidade aos 28 dias (E c, 28 ) Classe cub. f ck cil. [MPa] f cd [MPa] f ctm [MPa] E c,28 [GPa] B15 C12/15 B20 C16/20 B25 C20/25 B30 C25/30 B35 C30/37 15 20 25 30 37 12 16 20 25 30 B40 C35/45 B45 C40/50 B50 C45/55 B55 C50/60 45 50 55 60 35 40 45 50 8.0 10.7 13.3 16.7 20.0 23.3 26.7 30.0 33.3 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 26.0 27.5 29.0 30.5 32.0 33.5 35.0 36.0 37.0 3.1.1. Tensões de rotura do betão A partir dos valores característicos das tensões de rotura à compressão ou à tracção, definem-se os valores de cálculo: f cd = f cil. ck γ c, f ctd = f ctk γ c com γ c = 1.5 (f ck cil 0.8 f ck cubos ) O valor médio da tensão de rotura do betão à tracção é dado pela expressão: f ctm = 0.30 f ck 2/3 Nota: o valor de f cd é definido a partir da resistência em cilindros, dado que estes provetes são mais representativos da resistência do betão em peças longas. MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 18

3.1.2. Módulo de elasticidade do betão Com vista ao tratamento de problemas estruturais que envolvem deformação em regime de funcionamento praticamente elástico, considera-se um módulo de elasticidade secante do betão aos 28 dias de idade. Este módulo de elasticidade, tal como a figura seguinte indica, encontra-se definido para σ c = 0 e σ c = 0.4 f ck. (Verificação da segurança aos estados limites de utilização) σc fck Ec 0.4 fck εc 3.1.3. Determinação do valor característico da tensão de rotura do betão à compressão f ck a partir do ensaio de um conjunto de provetes f ck = f cm - λ S n, S n desvio padrão das resistências das amostras λ parâmetro que depende do número de ensaios n 6 10 15 λ 1.87 1.62 1.48 3.2. CARACTERIZAÇÃO DAS ARMADURAS As armaduras classificam-se em: armaduras para betão armado armaduras de pré-esforço MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 19

3.2.1. Classificação das armaduras para betão armado processo de fabrico aço natural (laminado a quente) (N) aço endurecido a frio (E) aderência alta aderência (superfície rugosa ou nervurada) (R) aderência normal (superfície lisa) (L) resistência (A235), A400, A500 Designação das armaduras: A500 N R f yk aderência processo de fabrico MÓDULO 1 Introdução ao comportamento das estruturas de betão armado 20