A Formação do Professor de Matemática: um estudo sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais Debora da Silva Souza 1 GD7 Formação de Professores que Ensinam Matemática Resumo. A pesquisa intitulada como A Formação do Professor de Matemática: Um estudo sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais procurou investigar como se apresenta o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais com professores de matemática durante a sua prática em parceria com o projeto do Observatório da Educação da UFABC, e está baseada na prática construída a partir da noção de conhecimento pedagógico do conteúdo de Shulman (1987). A pesquisa se estrutura nas seguintes questões: Como este professor transforma o conhecimento adquirido em sala de aula em um conhecimento a se ensinar? Este tal conhecimento que neste caso dos números racionais, possui alguma particularidade para seu ensino? Alguma dificuldade clássica dos alunos? O professor consegue reconhecer tais dificuldades? Como formadores de professores de Matemática estamos interessados em investigar alguns aspectos relacionados ao conhecimento matemático para o ensino e ao PCK dos professores da Educação Básica. Esse conhecimento matemático para o ensino e o PCK são assuntos extremamente amplos e por isso particularizamos o caso dos números racionais. Para coleta e levantamento dos dados, iremos observar as aulas de professores da rede publica de ensino, e analisar os respectivos dados coletados. Todo nosso percurso será construído dentro de uma abordagem qualitativa de pesquisa. De posse desses dados, analisados e discutidos com o grupo de professores pesquisados, esperamos encontrar estratégias que propiciem reunir o conteúdo da disciplina com o conhecimento pedagógico do conteúdo da mesma na formação do professor de matemática. Palavras-chave: Formação do Professor, Números Racionais, PCK. Introdução A pesquisa intitulada como A Formação do Professor de Matemática: Um estudo sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais procurou investigar como se dá ou se apresenta o conhecimento pedagógico do conteúdo dos números racionais com professores de matemática durante a sua prática e está inserida na Universidade Federal do ABC feita em parceria com o projeto Conhecimento matemático para o ensino de álgebra: uma abordagem baseada em perfis conceituais que tem como objetivo investigar os conhecimentos algébricos desenvolvidos por professores, ao ensinar Álgebra na Educação Básica, utilizando-se de uma abordagem de ensino baseada em perfis conceituais, este projeto esta dividido em três subgrupos onde serão tratados os temas da álgebra vista por ela mesma, a álgebra vista pela geometria e a álgebra vista pela aritmética, ou seja, os 1 Universidade Federal do ABC, e-mail: deborasou.za@hotmail.com, orientador: Francisco José Brabo Bezerra.
números, neste último é onde nos foi dada a possibilidade do estudo aprofundado dos números racionais. Segundo Ludke e André (1986), A pesquisa em educação encontra-se atualmente em fase de grande evolução, ampliando seu foco de interesse e métodos para além dos estudos tradicionais do tipo survey ou experimental, que constituíram suas mais fortes inclinações durante as últimas três ou quatro décadas. Hoje ela se preocupa também em captar a dinâmica do fenômeno educacional e a realidade complexa do dia a dia das escolas. Isso exige o auxílio de técnicas de pesquisa qualitativa, até agora pouco exploradas no âmbito da educação. (LUDKE & ANDRE, 1986, p. ) A trilha que segui durante a minha vida escolar e universitária sempre tendeu para uma afinidade maior pela matemática, durante meus anos como aluna da educação básica tive esta como matéria preferida, porém não era algo que me encantava eu gostava apenas de fazer os exercícios e entender como cada um deles se comportava e qual era a necessidade especial que cada um desses exercícios tinha para serem resolvidos. Quando escolhi fazer matemática, a escolha principal foi para a área de ensino, pois a vontade de ser professora sempre esteve comigo, a escolha da disciplina veio pela familiaridade apenas, porém, ao adentrar ao mundo universitário percebi o que a maioria dos colegas também perceberam que é a peculiaridade que esta disciplina esconde e então estudar as estruturas numéricas e a forma como elas se comportavam me deixou muito animada. Durante a graduação pude participar de projetos como o PIBIC que me colocaram mais próximo da realidade do professor da educação básica, este professor que concluí o ensino superior e vai para a sala de aula e algumas questões me vieram a cabeça: Como este professor transforma o conhecimento adquirido em sala de aula em um conhecimento a se ensinar? Este tal conhecimento que neste caso dos números racionais, possui alguma particularidade para seu ensino? Alguma dificuldade clássica dos alunos? O professor consegue reconhecer tais dificuldades? Como formadores de professores de Matemática estamos interessados em investigar alguns aspectos relacionados ao conhecimento matemático para o ensino e ao PCK dos professores da Educação Básica. Esse conhecimento matemático para o ensino e o PCK são assuntos extremamente amplos e por isso particularizamos o caso dos números racionais. Dando sequencia para o interesse nesta pesquisa então fui buscar um mestrado em educação matemática onde fosse possível abranger e buscar responder a essas questões, após muitas discussões então decidimos fazer uma pesquisa de cunho qualitativo, pois
segundo Bodgan e Biklen (1982), envolve a obtenção de dados descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação estudada, esfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em retratar a perspectiva dos participantes. Resultados das macro avaliações, como Prova Brasil/SAEB (2011), ainda que os índices apontem para um crescimento no desempenho dos estudantes, os quais obtiveram notas de 250,6 e de 273,6 numa escala que vai até 400 ao final dos Ensinos Fundamental e Médio, respectivamente, identifica-se uma grande lacuna na formação desses alunos em Matemática. (indicam um alto nível de dificuldade na construção ou aplicação de conceitos dos números racionais dos alunos de ensino fundamental II). O Conjunto dos Números Racionais Kieren (1988) entendeu a noção de número racional como um construto teórico, que pode se constituir a partir de noções mais simples, chamadas subconstrutos. Essa postura diante do problema permite isolar com mais facilidade as noções essenciais para a construção do conceito. Nas interpretações, conforme Kieren havia proposto anteriormente, essas noções essenciais estavam muito interligadas e não podiam ser isoladas e identificadas com facilidade. Assim, para Kieren o conceito de número racional pode ser construído a partir da consideração dos quatro seguintes subconstrutos (Kieren, 1988, p.166): quocientes, operadores, medidas e razões. O autor não considera o subconstruto parte-todo como outros pesquisadores, entendendo que as ideias que o constituem já estão presentes nos subconstrutos quociente, operador e medida (Kieren, 1993, p.57) Se observarmos, por exemplo, a equação 2x = 6 tem solução x = 3 em Z, mas a equação 5x = 8 não tem solução em Z. Nesse sentido, o subconstruto operador proporciona uma aproximação dos números racionais com a Álgebra e com a noção de função composta, em termos não formais. O subconstruto razão aponta na direção de importantes conceitos como o de proporção e probabilidade. Ponte (2009) traz a ideia da proporcionalidade direta: traduz uma igualdade entre duas razões: a/(b ) = c/(d ), tópico que é trabalhado no 2o ciclo. Os principais problemas que se colocam são de valor omissos dados três termos de uma proporção, descobrir o quarto termo e de comparação será que duas razões estão na mesma proporção? Dados os quatro termos de uma proporção ou dadas informações sobre uma situação contextualizada, os alunos devem saber dizer se se trata de uma situação de proporcionalidade direta ou de um outro tipo de relação. Note-se, contudo, que já no 1.º ciclo os alunos
devem resolver problemas que envolvem o raciocínio proporcional, explorando, por exemplo, sequências e tabelas, abordagem que constitui a base para o desenvolvimento da noção de proporcionalidade. No 3.º ciclo, os alunos continuam a trabalhar com situações de proporcionalidade directa, encarada agora como uma função linear. (Ponte, 2009, p.23). Nas macroavaliações, como SAEB/PROVA BRASIL, essa mesma relação é observada na Matriz de Referencia de Matemática da 8ª série (9º. ano) do Ensino Fundamental. Dentro da Educação Básica, ou seja, até o 9º. ano, o aluno já reconhece as diferentes representações dos números racionais, faz cálculos com valores aproximados de radicais e cálculos algébricos. Conhecimento Pedagógico do Conteúdo (PCK) Com base nessas discussões apresentadas, este estudo tem por objetivo investigar a construção do conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK) dos números racionais com professores de matemática durante sua formação continuada, colocando assim o foco na natureza do conhecimento da disciplina de matemática, e mais especificamente em nossa pesquisa sobre os números racionais destacando aspectos de onde o conhecimento vem, como ele se transforma e como as verdades são estabelecidas e compreendidas. Segundo Shulman (1986) quando se fala em conhecimento de base, há três divisões de categorias: conhecimento curricular, conhecimentos do pedagógico do conteúdo e conhecimento da disciplina específica. O trabalho de Shulman nos fornece a importância da ressignificação do estudo do conhecimento do professor, onde ele deve conseguir transformar o conhecimento do conteúdo, num conteúdo a se ensinar. Dentro de cada disciplina existem as suas particularidades, abordaremos, no caso desta pesquisa, o ensino da matemática, e em particular, dos números racionais. A escolha por este autor se justifica pelo fato de suas obras terem influenciado tanto pesquisas como políticas de formação e desenvolvimento profissional de professores nas duas últimas décadas. Esta concepção de uma possível construção de características sólidas de conhecimentos sobre os processos de aprendizagem e desenvolvimento profissional da docência veio de uma pesquisa onde Shulman e seu grupo de pesquisa analisavam programas de pesquisa e paradigmas do desenvolvimento da docência, tendo como preocupação a busca de uma generalização da melhor forma de se configurar cursos de formação de professores.
Quando nos aproximamos das práticas cotidianas dos professores deparamos com uma quantidade imensa de alunos que não conseguem ultrapassar competências mais básicas para o reconhecimento e a inserção de si na sociedade enquanto cidadão. Sendo assim, torna-se necessário no Ensino Superior encontrar maneiras de suprir as lacunas de formação deste aluno, provenientes da escolarização anterior. Ao receber um aluno desses no curso superior talvez devessem encontrar uma maneira de preencher este desfalque que ficou, com aulas de matemática básica ou um pré-cálculo que hoje já conseguimos encontrar diversas universidades que trabalham desta maneira, assim o licenciando em matemática consegue suprir as lacunas que ficaram para poder assim aprofundar-se em conhecimentos mais específicos do conteúdo e pedagógicos para o ensino. Shulman (1986) indica que, na tentativa de simplificar as complexidades do ensino em sala de aula, as pesquisas até então realizadas ignoram um aspecto central da vida da sala de aula: o conteúdo específico da disciplina que os professores lecionam. Tais pesquisas não investigam [...] como o conteúdo específico de uma área de conhecimento era transformado a partir do conhecimento que o professor tinha em conhecimento de ensino. Tampouco perguntaram como formulações particulares do conteúdo se relacionavam com o que os estudantes passaram a conhecer ou a aprender de forma equivocada. (SHULMAN, 1986, p.6) Parafraseando Tenstermacher (1986): Um professor sabe algo que não é entendido pelos outros, e pouco provavelmente é entendido pelos alunos. O professor pode transformar entendimentos, habilidades, atitudes desejadas dentro de uma representação pedagógica, o ensino começa necessariamente com os professores entendendo o que deve ser ensinado e como isso deve ser falado. A proposta de estudo desta pesquisa está, portanto, relacionada à divisão proposta por Shulman (1987) em sete características do conhecimento. O que o professor precisa saber para poder ensinar e para que seu ensino possa conduzir a aprendizagens dos alunos? Segundo ele, no mínimo deve-se incluir: Conhecimento do conteúdo, conhecimento pedagógico geral, conhecimento curricular, conhecimento pedagógico do conteúdo, conhecimento dos estudantes e suas características, conhecimento dos contextos educacionais, conhecimento das finalidades educacionais. Conhecimento do conteúdo: um conhecimento específico do conteúdo a ser ensinado.
O professor deve conhecer o mínimo e básico da matéria a ser ensinada para que se torne possível o ensino aos alunos e um bom conhecimento das possiblidades representacionais da matéria considerando aspectos específicos dos contextos em que leciona. Embora uma compreensão pessoal da matéria seja necessária, não é condição suficiente para que seja capaz de ensinar. Os professores devem encontrar formas de comunicar conhecimentos para os outros. (...) Eles devem ter dois tipos de conhecimento da matéria: conhecimento da área tanto em seus aspectos genéricos quanto em suas especificidades e conhecimento de como ajudar seus estudantes a entender a matéria. (WILSON, SHULMAN, RICHERT, 1987, P.109) Conhecimento pedagógico geral: se refere a um amplo principio e estratégias em sala, condução e organização para apresentar certo conteúdo. É importante que o professor conheça a realidade onde seus alunos estão inseridos, como organizar aula de uma maneira que respeite as particularidades de tal turma, pois aqui também uma vez que mal planejada o aula e até mesmo o tempo de aula pode trazer consequências negativas a sua aula. Conhecimento curricular: uma compreensão particular do conteúdo do currículo e das ferramentas e programas disponíveis para o trabalho do professor. Quais conteúdos são apresentados no currículo de determinada turma e necessitam ser ensinados, como organiza-los sequencialmente para uma apresentação e quais as ferramentas disponibilizadas pela escola para que ele possa apresentar tal conteúdo e se essas ferramentas se encaixam com as particularidades destes conteúdos. Conhecimento pedagógico do conteúdo: um amalgama especial do conhecimento do conteúdo e do conhecimento pedagógico, isto é único e particular dos professores. Uma forma especial do entendimento profissional. Conhecimento dos estudantes e suas características: o conhecimento geral dos estudantes e suas dificuldades. Esse conhecimento permitirá ao professor reconher que ao preparar sua aula os exercícios onde os alunos certamente encontrarão dificuldades de resolver. Conhecimento dos contextos educacionais: conhecer o local (culturalmente) e a realidade onde a escola esta inserida.
Acreditamos que este conhecimento ajuda o conhecimento acima no sentido de que quando o professor for escolher um exemplo para explicar algo que ficou confuso para o aluno ele use exemplos que sabe que irá facilitar sua compreensão, estes exemplos, muitas vezes estão ligados a sua realidade social e o professor mesmo não conhecendo certas particularidades dos alunos pode verificar isto através da realidade da escola pois muitas vezes o aluno mora nas proximidades. Conhecimento das finalidades educacionais: seus valores e propósitos, sua formação histórica e filosófica. Shulman (1987) destaca ainda que entre essas categorias o conhecimento pedagógico do conteúdo é especialmente interessante, pois identifica uma distinta parte do conhecimento para o ensino. Ele representa uma mistura do conhecimento e da pedagogia dentro de um entendimento de quão particular os tópicos, problemas, questões ou organização, representação e adaptação de interesses e habilidades dos alunos. PCK é a categoria mais clara para distinguir um especialista de um professor. Em relação ao conhecimento pedagógico, podemos compreendê-lo como uma grande área de escassos estudos na área da formação do professor de matemática, É importante lembrar que o tipo de trabalho desenvolvido pelo matemático condiciona uma influência considerável na pratica pedagógica. Na realidade, quando se fala de competência, o trabalho do professor envolve o desafio que consiste em realizar uma atividade que, em certo sentido, é inverso daquela do pesquisador. (Pais, 2001, p. 32) Fundamentado nesta ideia de Shulman, o trabalho de Ball (2008) discute como é abordada a ideia de conhecimento sobre matemática em contraste com o conhecimento de matemática, sem esquecermos de que o conhecimento do professor deve considerar as concepções comuns que os estudantes trazem para a sala de aula ou desenvolvem quando aprendem um assunto. Ball justifica que vinte anos se passaram e a ponte entre o conhecimento e a prática permanece inadequadamente compreendida e necessitando de maiores desenvolvimentos. Alerta para o cuidado que se deve ter com definições muito amplas e gerais sobre o conhecimento pedagógico do conteúdo, pois ao mesmo tempo em que elas capturam a ideia geral, são suficientemente amplas para incluir quase tudo que se refere ao conhecimento dos professores e suas crenças.
Os autores, a partir das análises desenvolvidas sobre as demandas matemáticas para o ensino, conjecturam que (1) o conhecimento do conteúdo (de Shulman) poderia ser subdividido em CCK (conhecimento comum do conteúdo) e SCK (conhecimento especializado do conteúdo), e (2) o conhecimento pedagógico do conteúdo (de Shulman) poderia ser subdividido em KCS (conhecimento do conteúdo e estudantes) e KCT (conhecimento do conteúdo e ensino). Definiram o conhecimento matemático que eles têm estudado como conhecimento matemático decorrente do ensino, são eles: Conhecimento especializado do conteúdo (SCK): é o conhecimento matemático e as habilidades que são exclusivos do ensino, os autores afirmam que este tipo de conhecimento não é tipicamente necessário para fins que não os de ensinar. Aqui os professores precisam realizar um trabalho matemático que os outros não fazem, os professores precisam ser capazes de compreender os diferentes métodos que os seus alunos podem resolver um mesmo exercício por exemplo. Conhecimento comum do conteúdo (CCK): encontrar uma simples resposta, ou de forma mais geral, encontrar uma solução correta para um problema é chamado de conhecimento comum do conteúdo, o conhecimento matemático e as habilidades necessárias até então, não são exclusividade do trabalho de ensinar. Os autores chamam a atenção para que, comum não significa que todo mundo tem tal conhecimento, mas sim, que não é um conhecimento exclusivo para o ensino. Conhecimento do conteúdo e estudantes (KCS): combina o conhecimento sobre os estudantes e o conhecimento sobre a matemática, aqui os professores precisam ser capazes de antecipar o que os estudantes provavelmente pensam e acharão confuso, pois assim, podem escolher exemplos que possam ajudá-los, bem como exemplos que sejam motivadores e interessantes. Em resumo, deve- se ter o conhecimento das concepções equivocada comuns aos estudantes, em relação a um conteúdo matemático particular. Conhecimento do conteúdo e ensino (KCT): combina conhecimento sobre o ensino e conhecimento sobre a matemática, escolher uma seqüência para ensinar determinado conteúdo, utilizando-se de exemplos que propiciem um aprofundamento no conteúdo, por parte do aluno. Cada uma dessas tarefas requer uma interação entre uma compreensão matemática específica e uma compreensão de questões pedagógicas que afetam na aprendizagem do aluno.
Os autores ressaltam a importância de observarmos que este trabalho esta em desenvolvimento e não vem para substituir o conhecimento pedagógico do conteúdo. Entretanto, os autores também veem o trabalho deles como um desenvolvimento mais detalhado dos fundamentos do conhecimento especifico do conteúdo para o ensino de matemática estabelecendo uma contextualização baseada na prática para tal conhecimento, elaborando subdomínios, e medindo e validando conhecimento destes domínios. Metodologia A escolha pela abordagem qualitativa se deu em função da escolha do nosso referencial teórico principal que é o PCK, para analisarmos o PCK do professor é necessário que o observemos desde o momento em que prepara suas aulas, onde ele escolherá as atividades que serão usadas para a apresentação de certo conteúco até o momento em que ele irá ministrar sua aula, suas abordagens, seu comportamento e a maneira que conhece e lida com as dificuldades de seus alunos. Em nosso estudo faremos uso de entrevistas com os professores e observações in loco, ou seja, nas respectivas escolas. Acreditamos que esta observação in loco nos permitirá separar detalhes relevantes para a nossa pesquisas de detalhes triviais do cotidiano em sala de aula que apesar de muito importante não serão o foco da nossa pesquisa. E por que olhar o professor e as suas aulas? A observação de toda esta prática do professor nos possibilitará acompanhar suas experiências diárias e também a sua visão daquela realidade onde esta inserido e isto nos ajudará a alcançar o não o nosso objetivo que no geral será o de identificar o PCK deste professor onde poderemos ou não diferenciá-lo de um especialista, observaremos então essas categorias que são apresentadas por Shulman (1987) e Ball (2008). As questões a serem investigadas não se estabelecem mediante a operacionalização de variáveis, sendo formuladas com o objetivo de investigar os fenômenos em toda a sua complexidade e em contexto natural. Nesse sentido, a entrevista é utilizada para recolher dados descritivos na linguagem do próprio sujeito, permitindo ao investigador desenvolver intuitivamente uma ideia sobre a maneira como os sujeitos interpretam aspectos do mundo. (Bogdan & Biklen, 1994). Utilizaremos essa abordagem porque como as aulas observadas aconteceram em seu contexto natural não poderemos manipular as situações e podemos correr o risco de não encontrarmos todas as respostas que gostaríamos somente na observação, então aplicaremos a entrevista para conseguirmos ampliar os dados coletados e
o conhecimento novamente sobre a realidade do professor entrevistado e a maior abrangencia possivel sobre sua prática. Além disso, esta abordagem qualitativa segundo Fiorentini e Lorenzato, 2006, p. 110) busca investigar e interpretar o caso como um todo orgânico, uma unidade em ação com dinâmica própria, mas que guarda forte relação com seu entorno ou contexto sociocultural Acreditamos que uma vez que estaremos dentro do próprio contexto do professor, tanto no caso de sua sala de aula quanto na observação de sua preparação de aula ou até mesmo no caso dos problemas que colocaremos na entrevista e também no momento em que ele elaborará exercicios para serem aplicados para seus alunos poderemos observar se ele usa exemplos e abordagens que condizem com a realidade de seus alunos. Na perspectiva de responder as questões colocadas nesta pesquisa iremos analisar os dados coletados através de uma metodologia denominada análise de conteúdo. Podemos dizer a principio que a análise do conteúdo é uma técnica refinada, que exige muita dedicação, paciência e tempo do pesquisador, o qual tem de se valor da intuição, imaginação e criatividade, principalmente na definição de categorias de análise. Para tanto, disciplina, perseverança e rigor são essenciais. (Freitas, Cunha & Moscarola, 1997). Para Flick (2009), a análise de conteúdo, além de realizar a interpretação após a coleta de dados, desenvolve-se por meio de técnicas mais ou menos refinadas. Isto então vem finalmente comprovar que esta será suficiente para a nossa análise de dados. Bardin (2006, p. 38, apud Mozzato e Grzybovski) refere que a análise de conteúdo consiste em:... um conjunto de técnicas de análise das comunicações, que utiliza procedimentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens.... A intenção da análise de conteúdo é a inferência de conhecimentos relativos ás condições de produção (ou eventualmente, de recepção), inferência esta que recorre a indicadores (quantitativos ou não). Esta pesquisa terá seu olhar voltado inicialmente á alunos do 7o ano do ensino fundamental II, iremos trabalhar com entrevistas e observação das aulas de três professores da rede estadual de São Paulo e ao nos prepararmos para estas observações iniciais nos deparamos em André e Ludke que precisaríamos neste momento decidir qual seria o papel do observador dentro daquele ambiente social, após estudar os diferentes papeis deste observador foi possível decidir que o papel de observador total foi o que mais se enquadrou em nossa pesquisa.
Serão feitos três encontros da seguinte maneira: Primeiro encontro: Aqui será aplicado um questionário onde o professor irá responder algumas questões para que conheçamos o seu perfil, será feita uma entrevista e também algumas questões resolvidas por alunos para que ele faça as correções e comentários que ele ache necessário para tentarmos identificar o seu conhecimento sobre o conjunto estudado. Tanto o questionário quanto as questões serão entregues aos professor para que ele tenha 15 dias para responde-las assim evitando que ele tenha pouco tempo e por este motivo as responda com pressa. O objetivo deste questionário é de conseguir conhecer a formação do professor entrevistado e o modo como articula suas atividades em sala de aula sem que seja necessário fazer durante a entrevista oral essas questões de respostas fechadas para um melhor aproveitamento do tempo. A entrevista foi dividida em três categorias e cada uma tem o seu objetivo específico de análise: Categoria 1 : Planejamento da aula Nas questões desta categoria pretendemos observar o conhecimento pedagógico do conteúdo (PCK) do professor enquanto prepara as suas aulas, se ele leva em consideração a importância do conhecimento dos números racionais bem como o método de aplicação que usará para apresentar e em outros casos justificar a necessidade da aprendizagem de determinados conteúdos. Categoria 2 : No momento da aula Nesta categoria elaboramos questões com o intuito de verificar como se dá o PCK do professor durante sua aula, como ele se sai perante as dificuldades que surgem no momento em que esta ministrando as suas aulas. Categoria 3 : Pós aula (se volta no assunto ou não) Após analisarmos a maneira que o professor prepara as suas aulas, a importancia que ele da para determinados assuntos e como ele se sairá dentre as questões/situações que foram apresentação a ele, queremos observar se este professor volta nos assuntos que os alunos encontraram certas dificuldades, mas não se retoma os assuntos de sala pois isso só
poderíamos verificar estando em sala com o professor mas, se ele reflete sobre tais deficiências e dificuldades. Segundo encontro: Entrevista para solicitar ao professor que crie problemas, que resolva alguns problemas propostos por seus colegas e discutir sobre os por quês de como ele resolve e analisa cada questão. Seja as que ele produziu, seja as dos colegas e as nossas. Vamos ter três conjuntos de questões para serem analisadas. 1. Em seguida ele irá resolver os problemas do colega com 3 questões que ele irá propor (e aqui vamos observar como ele resolve). Como ele pensa em trabalhar essas questões? 2. Entrevista para discutir sobre os por quês de como ele resolve e analisa cada questão (neste momento ja teremos as questões dos alunos corrigidas por ele também). Terceiro encontro: Aqui o professor irá explicar aos seus alunos as três questões propostas por ele e pelo seu colega. Referências BALL, D. L. et al. Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, n. 59, 2008, p. 389-407. BEZERRA, Francisco J. B.; SPINILLO, A. G.; MAGINA, S. M. P. Como desenvolver a compreensão da criança sobre fração? Uma experiência de ensino. Revista Brasileira de Estudos Pedagógicos. V.90, N o. 225, p. 411-432, mai/ago 2009. BOGDAN, R., BIKLEN, S. Investigação Qualitativa em Educação uma introdução à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora, 1994. BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Ministério da Educação/ Secretaria da educação Média e Tecnológica, 1999. CORTESÂO, Luiza. Ser professor: um ofício em risco de extinção. São Paulo: Cortez, 2002. CURY, H. A formação dos formadores de professores de Matemática: quem somos, o que fazemos, o que poderemos fazer? In: Formação de professores de Matemática: Uma visão Multifacetada. Porto Alegre, 2001.
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