AULA 03 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO

AULA 03 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO Observação: Esse texto não deverá ser considerado como apostila, somente como notas de aula. A - DEFORMAÇÃO Em engenharia, a deformação de um corpo é especificada pelo conceito da deformação normal e por cisalhamento. Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a forma e o tamanho dele. Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser altamente visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados equipamentos que façam medições precisas. Por exemplo, uma tira de borracha sofrerá uma grande deformação quando esticada. Por outro lado, os elementos estruturais de um edifício sofrem apenas leves deformações quando há muitas pessoas dentro dele. Também pode ocorrer deformação em um corpo quando há mudança de temperatura. Um exemplo típico é a expansão ou contração térmica de um telhado causada pelas condições atmosféricas. Portanto as medições de deformação são experimentais e, uma vez obtidas, podem ser relacionadas com as cargas aplicadas, ou tensões, que agem no interior do corpo. DEFORMAÇÃO NORMAL 1 - Deformação normal. O alongamento ou contração de um segmento de reta por unidade de comprimento é denominado deformação normal. O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela letra grega δ (delta), onde δ= L = ( L - Lo ). E a deformação normal, representado pela letra grega ε (epsilon), como: ε = δ L o

onde: ε = deformação normal δ = alongamento ou encurtamento Lo = comprimento inicial da barra. Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 1 DIAGRAMA DE TENSÃO DEFORMAÇÃO A resistência de um material depende da sua capacidade de suportar uma carga sem deformação excessiva ou ruptura. Essa propriedade é inerente ao próprio material e deve ser determinada por métodos experimentais. Um dos testes mais importantes nesses casos é o ensaio de tração ou compressão. Embora seja possível determinar muitas propriedades mecânicas importantes de um material por esse teste, ele é usado primariamente para determinar a relação entre a tensão normal média e a deformação normal média em muitos materiais usados na engenharia, como metais, cerâmicas, polímeros e compósitos. Pelos dados obtidos em um ensaio de tração ou compressão, é possível calcular vários valores da tensão e da deformação, correspondentes no corpo de prova e, então, construir um gráfico com esses resultados. A curva resultante é denominada diagrama tensão deformação. 2

O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga podem ocorrer resultados diferentes para um mesmo material. Entre os diagramas tensão x deformação de vários grupos de materiais é possível, no entanto, distinguir algumas características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis. Materiais Dúcteis Qualquer Material que possa ser submetido a grandes deformações antes da ruptura é chamado de material dúctil. O aço doce é um exemplo. Os engenheiros escolhem materiais dúcteis para o projeto por que são capazes de absorver choque ou energia e, quando sobrecarregados, exibem, em geral, grande deformação antes de falhar. Materiais Frágeis São materiais que possuem pouco, ou nenhum escoamento. Exemplo: ferro fundido, concreto. O concreto, assim como o ferro fundido cinzento, é classificado como um material frágil e também tem baixa capacidade de resistência à tração. As características de seu diagrama tensão-deformação dependem primariamente da mistura do concreto (água, areia, brita e cimento) e do tempo e temperatura de cura. Um exemplo típico de um diagrama tensão-deformação "completo" para o concreto é dado na figura abaixo. 3

Observamos nesse gráfico que a máxima resistência à compressão do concreto é quase 12,5 vezes maior do que sua resistência à tração, ( c)máx = 34,5 MPa, em comparação com ( t)máx = 2,76 MPa. Por essa razão, o concreto é quase sempre reforçado com barras ou hastes de aço quando projetado para suportar cargas de tração. Diagrama tensão-deformação convencional e real para materiais dúcteis. I - Região Elástica O trecho da curva tensão-deformação, compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade que representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem que apareçam deformações residuais, ou permanentes, após a retirada integral da carga externa. 4

Limite de proporcionalidade: Representa o valor máximo da tensão abaixo da qual o material obedece a Lei de Hooke. Para um material frágil, não existe limite de proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte reta). Limite de elasticidade: Existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pode ser aplicada a barra sem que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral da carga externa. Para muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais, sendo usados como sinônimos. Na fase elástica do diagrama tensão - deformação, temos um trecho reto. Por consequência, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional na deformação. Esse fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676, para molas, e é conhecido como lei de Hooke e pode ser expresso matematicamente como: = E. Nesta expressão, E representa a constante de proporcionalidade, denominada módulo de elasticidade ou módulo de Young, nome que se deve a Thomas Young, que publicou uma explicação sobre o módulo em 1807. 5

Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais, o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais. Tabela 1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais Peso específico Módulo de Elasticidade Material (kn/m 3 ) (GPa) Concreto Simples 24 25 Concreto Armado 25 30 Aço Estrutural 78,5 210 Alumínio 26,9 70 Bronze 83,2 98 Cobre 88,8 105 Madeira Estrutural 3 a 12 7 a 14 Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a deformação específica é ε = δ / L. Combinando estes resultados com a Lei de Hooke, tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra: δ = PL o EA 6

Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como rigidez axial da barra. Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 3 Tensão Admissível No projeto de um elemento estrutural ou componente de máquina, deve-se considerar que a carga limite do material seja maior que o carregamento que este iria suportar em condições normais de utilização. Este carregamento menor é chamado de admissível, de trabalho ou de projeto. Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade do material está sendo solicitada, a outra parte é reservada para garantir ao material, condições de utilização segura. A tensão admissível e a tensão ideal de trabalho para o material nas circunstancias apresentadas. Geralmente, esta tensão deverá ser mantida na região de deformação elástica do material. Porém, há casos em que a tensão admissível poderá estar na região de deformação plástica do material, visando principalmente a redução do peso de construção como acontece na construção de aviões, foguetes, misseis, etc. Para nosso estudo, nos restringiremos somente ao primeiro caso (região elástica) que é o que frequentemente ocorre na pratica. 7

A tensão admissível é determinada através da relação σe (tensão de escoamento) coeficiente de segurança (Sg) para os materiais dúcteis, σr (tensão de ruptura) coeficiente de segurança (Sg) para os materiais frágeis. O coeficiente de segurança e utilizado no dimensionamento dos elementos de construção visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade de construção e seu custo. A fixação do coeficiente de segurança é feita nas normas de cálculo e, muitas vezes, pelo próprio projetista, baseado em experiências e de acordo com seu critério. A determinação do coeficiente de segurança adequado para diferentes aplicações requer uma análise cuidadosa, que leve em consideração diversos fatores, tais como: 1. Material a ser aplicado; 2. Tipo de carregamento; 3. Frequência de carregamento; 4. Ambiente de atuação; 5. Fadiga do material; 6. Grau de importância do membro projetado. As especificações para coeficientes de segurança de diversos materiais e para tipos diferentes de carregamentos em vários tipos de estruturas são dadas pelas Normas Técnicas da Associação Brasileira de Normas Técnicas. Na tabela abaixo podemos verificar alguns fatores de segurança para cada tipo de serviço que um cabo pode ter. Por exemplo, se formos projetar um cabo para uma ponte rolante deveremos usar um fator de no máximo 8. 8

II - Região Plástica O trecho da curva entre o limite de proporcionalidade e o ponto de ruptura do material; é chamado de região plástica. Nesta região se retirarmos o carregamento, o corpo não volta à sua forma inicial, havendo um deslocamento residual. a) Escoamento A maioria dos materiais metálicos, ao ser submetida a uma tensão de tração crescente, se comporta dentro do grupo dos que cedem antes de romper. Neste caso, antes de ser atingida a tensão que caracteriza a resistência mecânica do material, a relação entre a força aplicada e o alongamento desvia-se da linearidade elástica na (assim denominada) tensão de escoamento. Para estes materiais, a partir deste ponto em diante, passa a acontecer o processo que se denomina deformação plástica do metal. Quando se atinge o limite de escoamento, o material passa a escoar-se. A partir deste limite, aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão. 9

Observação: Os materiais frágeis e alguns com características de dúcteis, apresentam de modo indefinido, o início do escoamento. Neste casos a Norma Brasileira estabelece uma Tensão Convencional de Escoamento, tomando-se no eixo dos deslocamento específicos o valor = 0,2%. A partir deste ponto traça-se uma reta paralela ao trecho reto do diagrama. A tensão de Escoamento ( e) é obtida pela intersecção com o gráfico. Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 11 b) Endurecimento por deformação Discordâncias são os defeitos em linha, são imperfeições em uma estrutura cristalina nas quais uma linha de átomos tem uma estrutura local que difere da estrutura circunvizinha. Durante a deformação plástica o número de discordâncias aumenta drasticamente. 10

Esse endurecimento dá-se devido a este aumento de discordâncias e imperfeições promovidas pela deformação, que impedem o escorregamento dos planos atômicos. O escoamento termina e a curva cresce continuamente (endurecimento), até atingir a tensão máxima denominada limite de resistência. Desde o início do teste até o limite de resistência, a área da seção transversal decresce uniformemente. c) Estricção 11

Quando a carga de tração aumentar muito e atingir a tensão da resistência mecânica (tensão máxima) a situação torna-se incontrolável, com a formação de uma zona de deformação acentuada, localizada, denominada pescoço, onde a seção da peça diminui de forma visível, prenunciando a ruptura iminente. Veja: http://assets.cimm.com.br/noticias/imagem/flash/tendefdu.swf Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 8 e 11 COEFICIENTE DE POISSON As experiências demonstram que um material, quando submetido à tração, sofre além da deformação axial (alongamento), uma deformação transversal (afinamento). 12

Poisson demonstrou que estas duas deformações eram proporcionais uma em relação à outra, dentro dos limites da Lei de Hooke. δ y L y = δ z L z y = z As experiências mostram que y = z e que a relação entre deformação transversal e longitudinal é constante. Essa relação é denominada de Coeficiente de Poisson ( ) (nu) = ε y ε x = ε z ε x = - (εtransversal / εlongitudinal) Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração lateral (deformação negativa) e vice-versa. O coeficiente de Poisson é constante para cada material e seu valor varia entre 0 e 0,5. Exemplos: Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 11 13

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em todo o seu volume. Como essa energia está relacionada com as deformações no material, ela é denominada energia de deformação. Por exemplo, quando um corpo de prova de ensaio de tração é submetido a uma carga axial, um elemento de volume do material é submetido a uma tensão uniaxial, como mostra a figura ao lado. Essa tensão desenvolve uma força F = A = ( x. y) nas faces superior e inferior do elemento, após ele ter sofrido um deslocamento vertical (. z). Por definição, trabalho é determinado pelo produto entre a força e o deslocamento na direção da força. Visto que a força aumenta uniformemente de zero até seu valor final F quando é obtido o deslocamento (. z), o trabalho realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor médio da força ( F/2) vezes o deslocamento (. z). Esse trabalho externo" é equivalente ao "trabalho interno" ou energia de deformação armazenada no elemento, se considerarmos que nenhuma energia é perdida sob a forma de calor. Por consequência, a energia de deformação U é U = (1/2 F). z = (1/2 x..y).. z. Visto que o volume do elemento é V = x. y. z, então U = 1/2 V Às vezes, é conveniente formular a energia de deformação por unidade de volume de material, denominada densidade de energia de deformação, a qual pode ser expressa por: Se o comportamento do material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica, = E. e, portanto, podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos da tensão uniaxial como: Módulo de Resiliência. Em particular, quando a tensão atinge o limite de proporcionalidade, a densidade de energia de deformação é calculada pela Equação: 14

Observe, na região elástica do diagrama tensãodeformação (Figura a), que ur é equivalente à área triangular sombreada sob o diagrama. Em termos físicos, a resiliência de um material representa sua capacidade de absorver energia sem sofrer qualquer dano permanente. Módulo de tenacidade. Outra importante propriedade de um material é o módulo de tenacidade (ut). Essa quantidade representa a área inteira sob o diagrama tensão-deformação (Figura b), portanto indica a densidade de energia de deformação do material um pouco antes da ruptura. Essa propriedade é importante no projeto de elementos estruturais que possam ser sobrecarregados acidentalmente. Materiais com alto módulo de tenacidade sofrerão grande distorção devido à sobrecarga, contudo, podem ser preferíveis aos que têm baixo valor de módulo de tenacidade, já que os que têm ut baixo podem sofrer ruptura repentina sem dar nenhum sinal dessa ruptura iminente. Ligas de metais podem mudar sua resiliência e tenacidade. Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 13 15

O DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO A forma deste gráfico é semelhante ao gráfico de tensão - deslocamento específico ( - ), mudando apenas a ordem de grandeza dos valores. Para os pontos A, B, C e D e para p, e, u, R, vale a mesma nomenclatura anterior (agora no cisalhamento). 1 - Deformação por Cisalhamento. A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos de reta que originalmente eram perpendiculares um ao outro é denominada deformação por cisalhamento. Esse ângulo é representado por (gama) e medido em radianos (rad). = π 2 θ 16

Observação: a) As deformações normais causam uma mudança no volume do elemento, ao passo que deformações por cisalhamento provocam uma mudança em sua forma. É claro que ambos os efeitos ocorrem simultaneamente durante a deformação. b) A maioria dos materiais de engenharia sofre pequenas deformações, portanto, uma deformação normal ε << 1. Para cisalhamento puro, o equilíbrio exige que tensões de cisalhamento iguais sejam desenvolvidas nas quatro faces do elemento. Se o material for homogêneo e isotrópico, a tensão de cisalhamento distorcerá o elemento uniformemente. Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 14 LEI DE HOOKE NO CISALHAMENTO 17

O trecho AO do diagrama - é uma reta, ou seja, existe uma proporcionalidade entre Tensão de Cisalhamento e Distorção. Deste modo poderemos escrever: = G. G = Constante de proporcionalidade. Essa expressão é a chamada Lei de Hooke no cisalhamento e G é o módulo de Elasticidade Transversal. O valor de G pode ser obtido do diagrama - sendo numericamente igual à tg, com a mesma unidade da Tensão de Cisalhamento, visto que é expresso em radianos. Para a maioria dos metais G 0,4E A lei de Hooke pode ter outra forma: 18

τ = F A γ = δ h τ = G. γ F A = G. δ h δ = F. h A. G Lista de Exercícios Aula 03 Exercício 16 19