Capítulo 17 - Exercícios 17.65) Os passageiros, a gôndola e a estrutura de balanço ilustrados abaixo têm uma massa total de 50 Mg (ton.), com centro de massa em e raio de giração kb 3,5 m. Adicionalmente, o bloco de aço de 3 Mg (ton.) em A pode ser considerado como um ponto de massa concentrada. Determine o ângulo θ até o qual a gôndola vai oscilar antes que ela pare momentaneamente, sabendo que, no ponto mais baixo de sua trajetória, ela tem velocidade angular ω = 1 rad/s.
Solução: O momento de inércia de massa da gôndola (com passageiros e estrutura) e do bloco de aço (que age como um contrapeso) em torno do ponto B é dado por B g B b b I m k m r 50000.(3,5) 3000.(3) 639500 kg.m Considerando a equação do momento em torno do ponto B, tem-se que (ah) M I B B 3000.(9,81).3sen 50000.(9,81).5sen 639500 3,697sen rad/s 0 Como d d d 3,697send 30,1 1 0
17.110) O navio ilustrado na figura ao lado tem massa de x10 6 kg e centro de gravidade em. Dois rebocadores de peso desprezável são usados para girá-lo. Se cada rebocador empurra o navio com uma força T = 10 kn, determine a aceleração inicial de seu centro de gravidade e sua aceleração angular. Seu raio de giração em relação a é k = 37,5 m. Desprezar a resistência da água.
Solução: O momento de inércia de massa do navio em torno de seu centro de massa é 6 9 I mk x10 37,5,81x10 kg.m A partir do diagrama de corpo livre, mostrado ao lado, têm-se as seguintes equações de movimento; F m a y y 6 10000 10000 x10 a a 0 m / s (ah) M I 10000(30) 10000(60),81x10 9 4 3, 0x10 rad/s
Capítulo 18 - Exercícios 18.5) O teste de impacto de Charpy é usado nas avaliações das características de absorção de energia de um material durante um impacto. O pêndulo da máquina de impacto Charpy, ilustrado ao lado, possui massa de 50 kg e raio de giração k A = 1,75 m. Se ele é solto do repouso, em θ = 0, determine sua velocidade angular imediatamente antes dele atingir o corpo de prova S, em que θ = 90.
Solução: Pode-se aplicar, nesse caso, o princípio da conservação de energia, tomando a linha de referência, para a energia potencial gravitacional, no ponto de partida, quando θ = 0. Assim sendo, T V T V 1 1 1 0 0 IA mgh 1 50(1,75) (50).(9,81).(1,5),83 rad/s
18.6) Dois rebocadores exercem, cada um, uma força constante F sobre o navio da figura ao lado. Essas forças são sempre perpendiculares à linha de centro do navio. Se o navio tem massa m e raio de giração k em torno de seu centro de massa, determine a velocidade angular do navio após ele girar 90. O navio está originalmente em repouso.
Solução: Os dois rebocadores criam um momento M = F.d para girar o navio ao longo do deslocamento angular radianos. O momento de inércia de massa em torno de é I mk. Pelo princípio do trabalho e energia, tem-se, então, que T U T 1 1 1 0 M. I 1 0 F.d mk 1 Fd k m
18.50) O painel da porta retangular uniforme ilustrada abaixo tem uma massa de 5 kg e é mantido em equilíbrio acima da horizontal, na posição 60 pela barra BC. Determine a rigidez da mola torcional A, necessária para que a velocidade angular da porta se torne zero quando ela atingir a posição fechada, em 0, depois da barra ser removida. Ressalta-se que a mola não está deformada quando 60.
Solução: No tocante à energia potencial, tem-se, como esboçado na figura ao lado, que a energia potencial gravitacional da porta nas posições 1 e é (V ) P.(y ) 5.(9,81).0,6sen60 g 1 1 17,4 J (V ) P.(y ) 5.(9,81).0 0 J g Como a mola, inicialmente, não está deformada, tem-se que a energia potencial elástica (V e) 1 0 J. Após o giro de 60 ( 3), a energia potencial elástica é 1 1 (V e) k k k J 3 18
Solução (cont.): Portanto, a energia potencial total, nos instantes 1 e, é V (V ) (V ) 17,4 0 17,4 J 1 g 1 e 1 V (V g ) (V e) 0 k k J 18 18 Quanto à energia cinética, tem-se que a porta está em repouso na posição 1 e requer-se que ela pare quando a posição for alcançada. Ou seja, T1 T 0 Assim sendo, pelo princípio da conservação de energia, resulta que T1 V1 T V 0 17, 4 0 k 18 k 3 N.m/ rad
Capítulo 19 Exemplo e Exercícios 19.5) O teste de impacto de Charpy visa avaliar as características de absorção de energia de um material durante um impacto. Para tanto, usa-se o pêndulo ilustrado na figura ao lado, que tem massa m, centro de massa em e raio de giração k. A colisão com o corpo de prova S deve ocorrer no ponto P, de forma tal que a força horizontal no pino A seja quase nula. Supondo que o corpo de prova absorva toda a energia cinética que o pêndulo adquire durante a queda, de modo que ele pare na posição θ = 0, determinar a distância r P de P até A.
Solução: Diagrama de corpo livre. Como mostrado no diagrama de corpo livre da figura ao lado, as condições do problema exigem que o impulso horizontal em A seja aproximadamente zero. Imediatamente antes da colisão, o pêndulo terá velocidade angular 1, correspondente a um movimento no sentido horário, com o centro de massa se movendo para a esquerda com velocidade escalar v r. 1 1
Solução (cont.): Princípios de impulso e quantidade de movimento lineares e de impulso e quantidade de movimento angulares. Aplicando os princípios de impulsos e quantidades de movimento, logo antes e logo depois da colisão, tendo como referência o ponto A, tem-se que m v Fdt m v 1 1 m r Fdt 0 (1) I M dt I A 1 A A I Fdt r 0 A 1 P De (1), tem-se que o impulso Fdt é igual a m r 1. Substituindo em () e considerando que A I mk mr, decorre que mk mr m r r 0 (3) 1 1 P ()
Solução (cont.): Eliminando m 1 na equação (3), obtém-se donde resulta, para r P, que P rr k r (3) r P k r (4) r O ponto P, onde ocorre a colisão com o corpo de prova, de forma que a força horizontal no pino A é essencialmente nula, é denominado centro de percussão. Localizando-se o ponto de impacto em P, a força no pino é, portanto, minimizada. Nos esportes, muitas raquetes, tacos e outros instrumentos são desenvolvidos de modo que a colisão com o objeto a ser rebatido ocorra no centro de percussão. Consequentemente, nenhum golpe ou desconforto é sentido pelo jogador.
19.38) O corpo do satélite C, ilustrado abaixo, tem massa de 00 kg e raio de giração em torno do eixo z de kz 0, m. Se o satélite gira em torno do eixo z com velocidade angular igual a 5 rev/s, quando os paineis solares estão na posição 0, determinar a velocidade angular do satélite quando os paineis solares são girados para a posição 90. Considerar cada painel solar como uma placa fina, tendo massa igual a 30 kg. Desprezar as massas das hastes entre paineis e corpo do satélite.
Solução: Em 0 e 90, os momentos de inércia de massa do satélite são 1 (I z) 1 00 0, (30) 0,5 0,4 30 0,75 43,8 kg.m 1 1 (I z) 00 0, (30) 0,5 30 0,75 43 kg.m 1 Então, pela conservação da quantidade de movimento angular, tem-se que (H z) 1 (H z) (I ) (I ) z 1 1 z 43,8(5) 43 = 5,09 rev/ s
19.14) O disco mostrado na figura abaixo tem massa igual a 1 kg e velocidade angular ω = 0 rad/s. Se o freio ABC é aplicado de forma tal que a intensidade da força P varia com tempo como mostrado graficamente na figura, determine o tempo necessário para parar o disco. O coeficiente de atrito cinético em B é c 0,4. Despreze a espessura do freio.
Solução: Como há deslizamento no ponto B, a força de atrito é Fa cnb 0, 4NB. Do diagrama de corpo livre (a), mostrado ao lado, nota-se que a força normal N B pode ser obtida pela equação do momento em torno do ponto A, de modo que (ah) M 0 B B A N (0,5) 0, 4N (0, 4) P(1) 0 N,94P e F 1,18P. B a O momento de inércia de massa do disco em torno de seu centro de massa O é 1 1 IO mr (1)(0, ) 0, 4 kg.m.
Solução (cont.): Pelo princípio do impulso e quantidade de movimento angulares, com o auxílio do diagrama de corpo livre (b), apresentado ao lado, decorre que t O1 t O O I M dt I 1 t 0, 4(0) 1,18 Pdt (0, ) 0 (1) 0 Ocorre que a integral acima é a área sob a curva no gráfico P x t. Assumindo, então, que t > s, então, t 1 Pdt (5)() 5(t ) (5t 5) N.s () 0
Solução (cont.): Substituindo () em (1), tem-se que 0, 4(0) 1,18 5t 5 (0, ) 0 t 5,07 s.