Estatística 1 - Lista de Exercícios 4 Professore José Carlos Fogo 1) A tabela abaixo apresenta as opiniões de um grupo de pessoas a respeito de um tema político, pelo sexo do entrevistado. Opinião Sexo Masculino Feminino Discordo plenamente 5 16 Discordo em parte 10 10 Concordo plenamente 25 14 a) Encontre as frequências esperadas na condição de independência e calcule a estatística X 2. b) Compare o valor de X 2 com o valor de comparação tabelado e verifique se existe alguma associação sobre a opinião sobre o tema e o sexo dos entrevistados. c) Faça um gráfico de barras para o perfil coluna e identifique quais categorias estariam associadas. d) Calcule os coeficientes para quantificar o grau da associação. 2) A tabela abaixo apresenta a premiação com medalhas na olimpíada de Pequim em 2008 distribuídas pelos diferentes continentes. a) Encontre o perfil linha ou o perfil coluna para a tabela e o número de graus de liberdade da tabela b) Calcule as frequências esperadas na condição de independência. c) Calcule o X 2 de Pearson e verifique se há evidência de alguma associação entre as categorias. d) Calcule os coeficientes de contingência e V de Cramér. e) Identifique quais categorias estão associadas e qual o grau da associação. f) Exclua o continente da América do Norte e refaça o exercício. Qual a conclusão? Continente Tipo de medalha Ouro Prata Bronze América Latina 1 3 12 10 América do Norte 93 79 46 África e Oceania 15 12 21 Ásia 32 24 34 Europa 83 92 132 1 América Latina = América do Sul, Central e México. 3) A tabela abaixo representa um estudo sobre a participação de famílias na coleta seletiva de lixo. Grau de instrução do chefe da família Colabora com a coleta seletiva SIM NÃO Primeiro grau incompleto 9 10 Primeiro grau completo 16 15 Segundo grau completo 30 22 Superior incompleto 13 19 Superior completo 26 27 a) Quantas famílias foram entrevistadas? b) Classifique as variáveis da tabela. c) Calcule o perfil coluna, com os percentuais em relação à colaboração (SIM/NÃO) e construa um gráfico.
d) Identifique se há alguma associação entre a colaboração com a coleta seletiva e o grau de instrução do chefe da família e, em caso positivo, dê o grau de associação. 4) Um grupo de moças é classificado de acordo com a cor dos olhos e dos cabelos, segundo a tabela. Calcule as frequências esperadas na condição de independência e as medidas de associação. Você diria que há evidências de associação entre a cor dos olhos e a cor dos cabelos? Cabelos Olhos Azuis Castanhos Loira 18 08 Morena 09 09 Ruiva 04 02 5) Sejam as variáveis X e Y = ax + b, comb. linear de X. Então, para cada valor observado x, y = ax + b. 2 2 2 2 2 a) Mostre que sy a s x, em que s x e s y são as variâncias amostrais de X e Y, respectivamente. b) Mostre que a covariância entre X e Y é dada por 2 xy a s x s. c) Dos resultados em (a) e (b), mostre que a correlação entre X e Y é igual a 1. 6) Um estudo foi realizado com o objetivo de avaliar a eficiência de uma nova vacina antigripal, a qual foi administrada aos membros de uma pequena comunidade, em duas doses, ao longo de duas semanas. Algumas pessoas tomaram as duas doses, outras tomaram apenas a 1 a dose e outras não tomaram nenhuma dose. A tabela mostra os resultados obtidos para um total de 1000 habitantes dessa comunidade: Estado de Saúde Vacinados Não vacinados Uma dose Duas doses Gripados 24 9 13 Não gripados 289 100 565 a) Construa a tabela com o perfil linha. Você vê evidência de que pose haver uma associação entre a incidência de gripe e a aplicação da vacina? Justifique. b) Faça um gráfico para a distribuição conjunta das porcentagens obtidas no item anterior. c) Calcule a proporção de não vacinados dentre os indivíduos não gripados. d) Calcule a proporção de indivíduos não gripados e que usaram duas doses de vacina. e) Os dados observados apresentam evidência suficiente para garantir que a vacina foi bem-sucedida, reduzindo o número de casos de gripe nessa comunidade? Justifique. 7) Um psicólogo, investigando a relação entre o tempo que um indivíduo leva para reagir a um estímulo e sua idade obteve os seguintes resultados: Y = Tempo de reação (segundos) X = Idade (em anos) X 20 20 20 20 25 25 25 25 30 30 Y 96 92 106 100 98 104 110 101 116 106 X 30 30 35 35 35 35 40 40 40 40 Y 109 100 112 105 118 108 113 112 127 117
a) Coloque os pontos num plano cartesiano (plano XY) e verifique se é razoável considerar uma relação linear entre X e Y. b) Em caso positivo, calcule as somas x i, y i, x 2 i, y 2 i, correlação linear entre as variáveis. Comente. x i y i e obtenha o coeficiente de 8) Os dados a seguir são provenientes de indivíduos que foram contaminados pelo veneno de certo tipo de inseto e submetidos a três tipos de tratamentos. As variáveis são: Idade: idade do paciente no momento de admissão, em anos; Diag: tempo, em horas, gasto entre o contato com o inseto e administração do tratamento; Recup: tempo, em horas, entre a administração do tratamento e recuperação; Tratam: tipo do tratamento administrado; Coag: presença de coágulos no momento de admissão. Paciente Idade Diag Recup Tratam Coag 1 28 7 3 II Não 2 15 52 45 II Não 3 76 30 23 III Sim 4 15 53 46 I Sim 5 21 3 2 II Não 6 11 46 42 I Não 7 16 55 47 I Não 8 16 54 47 I Sim 9 47 13 12 III Sim 10 18 59 51 II Não 11 40 20 11 III Sim 12 24 3 1 II Não 13 32 9 3 II Não 14 31 9 3 II Não 15 10 44 40 I Sim 16 31 9 3 II Sim 17 31 10 4 II Sim 18 46 13 11 III Sim 19 21 1 2 II Sim 20 39 17 8 III Sim 21 15 53 46 I Sim 22 9 42 39 I Não 23 75 30 22 III Sim 24 54 18 16 III Não 25 35 12 5 II Sim 26 16 58 50 II Sim a) Classifique as variáveis; b) Construa uma variável Etário da seguinte forma: 29 ou menos se a idade menor que 29 anos e mais de 29 caso contrário; c) Crie uma tabela de dupla entrada, contendo Etário nas linhas e Coag nas colunas. Com base em tal tabela, você diria que Coag e Etário estão associados? Por quê? d) Categorize a variável Recup em duas categorias, como achar mais conveniente e crie uma tabela de dupla entrada cruzando a variável categorizada com a variável Tratam. Com base em tal tabela, você diria que a rapidez da cura depende do tipo de tratamento considerado? Justifique. e) Crie uma matriz de dados no R (ou um data-frame) e calcule a matriz de correlações amostrais entre as variáveis Idade, Diag e Recup. f) Verifique graficamente se a associação é de fato linear e classifique o grau de associação
9) Um psicólogo está investigando a relação entre o tempo que o indivíduo leva para reagir a certo estímulo (em segundos) e algumas de suas características tais como idade (em anos completos) e acuidade visual (medida em porcentagem). Os dados encontram-se a seguir: Indivíduo Tempo de Reação Idade Acuidade Visual 1 96 20 90 2 92 20 100 3 99 25 100 4 104 25 90 5 117 30 70 6 106 30 90 7 112 35 90 8 105 35 70 9 114 40 80 10 112 40 90 a) Construa os diagramas de dispersão de Tempo de Reação x Idade e Tempo de Reação x Acuidade Visual. b) Calcule o coeficiente de correlação entre (Tempo de Reação e Idade) e (Tempo de Reação e Acuidade Visual) e interprete os valores obtidos. c) Como seria possível prever o tempo de reação de um indivíduo através de sua idade? 10) Uma empresa tem onze vendedores que vendem o produto em visitas aos potenciais clientes. A tabela abaixo exibe, para cada vendedor, o número de visitas realizadas durante o período de um mês e o número de unidades vendidas do produto. Vendedor N o de visitas N o de unidades vendidas 1 42 140 2 105 330 3 66 190 4 87 350 5 50 110 6 55 135 7 51 140 8 60 235 9 40 70 10 87 320 11 78 220 a) Construa o diagrama de dispersão para as, variáveis número de visitas e número de unidades vendidas. Interprete a relação entre as duas variáveis. b) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson entre as variáveis. c) Ajuste uma reta de regressão para a relação entre as variáveis Y e X. Desenhe a reta estimada no gráfico de dispersão. d) Interprete o valor do coeficiente angular b da reta ajustada.
11) Os dados abaixo foram coletados para estudar o efeito da exposição de substâncias radioativas e a taxa de mortalidade de câncer. Para 9 cidades norte-americanas foi calculado um índice de exposição a substâncias radioativas e observada a mortalidade por câncer por grupo de 100.000 habitantes em determinado período. Juntamente com os dados é apresentado abaixo o diagrama de dispersão. Exposicão 2,49 2,57 3,41 1,25 1,62 3,83 11,64 6,41 8,34 Mortalidade 147,1 130,1 129,9 113,5 137,5 162,3 207,5 177,9 210,3 a) Qual das variáveis você diria que é a variável resposta e qual é a variável independente? b) Faça um diagrama de dispersão para estes dados. Baseado neste gráfico, você diria que a relação entre a taxa de mortalidade e o índice de exposição é, de fato, linear? c) Calcule o coeficiente de correlação e interprete-o. Tabela 2 com valores de comparação de 5%. gl 2 1 3.84 2 5.99 3 7.81 4 9.49 5 11.07 6 12.59 7 14.07 8 15.51 9 16.92 10 18.31 11 19.68 12 21.03 13 22.36