Resolução de exercícios Parte 1 Capítulo 1 (4 exercícios) 1. Uma fonte luminosa emite uma potência igual a 3mW. Se as perdas totais do sistema somam 45dB, qual deve ser a mínima potência detectável por um fotodetector para que o sistema funcione? P = 3mW. Se escrevermos em dbm, teremos: P dbm = 10 log ( P 1mW ) 5dBm. Portanto: P min,dbm = 5 45 = 40dBm => P min = 0,1μW. Calcule a energia de um fóton nos comprimentos de onda 0,70; 0,85 e 1,30 µm. Qual fóton tem mais energia: um visível ou um infravermelho? E = hf = hc λ 1º caso: λ = 0,70μm => E = 6,66 10 34 3 10 8 E 1,6 10 19 = 1,79eV 10 19 0,70 10 6 0,70 = E ev = º caso: λ = 0,85μm => E = 10 19 0,85 => E ev = 1,47eV 3º caso: λ = 1,30μm => E = 10 19 1,30 => E ev = 0,96eV Como E = hf, quanto maior a frequência, maior a energia do fóton. Como f visível > f infravermelho, então a energia de um fóton em frequência visível é maior que um em frequência de infravermelho. 3. Quantos fótons por segundo estão incidindo sobre um fotodetector, se a potência é igual a 1nW e o comprimento de onda é 1,3µm? E = P Δt => nhf = nhc λ PλΔt = P Δt => n = hc Para a situação do enunciado temos λ = 1,3μm, P = 1nW e Δt = 1s. Com isso: n = 1 10 9 1,3 10 6 1 6,66 10 34 3 10 8 6,5 109 fótons.
5. Quantos canais de voz podem ser multiplexados em uma portadora de comprimento de onda igual a 1,06µm? Assuma que a banda passante do sistema é igual a 1% da frequência da portadora. f c = c λ c = 3 108 1,06 10 6 =,83 1014 Hz => B = 0,01f c =,83 10 1 Hz => #canais = B = 7075 105 4 103 Obs.: A banda de cada canal de voz é de 4kHz. Capítulo (4 exercícios) 1. Calcule a direção do raio de luz que atravessa uma interface dielétrica sabendo que n1=1,5 e n=1,0 e θ=45º. Comente o resultado. Pela lei de Snell-Descartes, temos: n 1 senθ 1 = n senθ => 1,5 = 1,06 = senθ Como sabemos, a seno não pode ser maior que 1 para argumentos reais e, portanto, o resultado acima indica que não existe raio refratado. De fato, senθ c = n n 1 = 0,667 => θ c = arcsen(0,667) 4º. O ângulo de incidência é, portanto, superior ao ângulo crítico e ocorre reflexão total, consistente com o resultado anterior.. Um raio de luz se propagando pelo ar incide sobre uma interface dielétrica formando um ângulo θi = 30º com a normal. Comente a seguinte afirmação: o raio transmitido para o segundo meio forma ângulo θt = 45º com a normal. sen30º = n sen45º => 1 = n => n 0,7. Sabemos, entretanto, que esse índice de refração é impossível de ser obtido. Uma explicação que v = c. Dessa forma, como a velocidade deve ser menor n ou igual à velocidade da luz no vácuo, então n deve ser maior ou igual a 1. 3. Projete uma lente biconvexa, com superfícies de mesmo raio, para que a distância focal seja igual a 1cm. Repita o exercício para uma distância focal de 1mm. 1 f = (n 1) (1 R + 1 R ) Lente de vidro: n=1,5.
Para f=1cm, temos: 1 = 100 = (1,5 1) = 1 => R = 1cm 0,01 R R 1 Para f=1mm, temos: = 1000 = (1,5 1) = 1 => R = 1mm 0,001 R R 4. Considere uma lente plano-convexa formada por um plano e uma calota esférica de raio R. A lente é feita de vidro, de índice de refração igual a 1,45. Determine a distância focal da lente para R igual a 0mm. 0,45 0 10 3 => f 4,45cm 1 = (n 1) ( 1 + 1 ) = (1,45 1) ( 1 + 1 f R 1 R 0 10 3) = Capítulo 3 (6 exercícios). Calcule a banda passante fracionária de uma fonte luminosa com comprimento de onda central λ0=1,55µm, e largura espectral Δλ=0nm. Calcule a banda passante em Hz. Δλ = 0 10 9 λ 0 1,55 10 6 0,013 = 1,3% Δf = f Δλ = c Δλ λ 0 λ = 3 108 0,013,5THz 0 1,55 10 6 3. Considere um pulso de luz se propagando através da Sílica. Determine o alargamento de pulso por unidade de comprimento, para comprimento de onda no espaço livre igual a λ0=0,85µm, e largura espectral igual a nm. ps λ 0 = 0,85μm implica pelo gráfico em M = 100 nm km Δ ( τ ) = M Δλ = 100 = 00ps/km L 4. Repita o exercício 3.3 para uma fonte luminosa cujo comprimento de onda central de emissão é λ0=1,55µm. Assuma que o coeficiente de dispersão material é M=-0 ps/(nm x km). Δ ( τ ) = M Δλ = 0 = 40ps/km L
5. Utilize o resultado do exercício 3.3 para determinar a máxima taxa de dados e frequência de modulação suportadas pelo sistema. As respostas devem ser dadas para as distâncias de 100m, 1km e 10km, para as codificações NRZ e RZ. L(km) Δτ(ps) f 3dBopt (GHz) f 3dBelet (GHz) R RNZ (Gbps) R RZ (Gbps) 0,1 4 15 88,75 177,5 88,756 1 40 1,5 8,875 17,75 8,8756 10 400 1,5 0,8875 1,775 0,88756 f 3dBopt = 1 Δτ ; f 3dBelet = 0,71 f 3dBopt R RNZ = f 3dBelet ; R RZ = f 3dBelet 6. Utilize a expressão de perdas dependentes da frequência para mostrar que f1dbóptica=0,58f3dbóptica. 1 = 10 log e 0,693(f 1dB) f 3dB L f = 10 log e 0,693( = 0,693 ( f 1dB f 3dB ) f ) f 3dB => 0,79 = e 0,693(f 1dB) f 3dB => f 1dB = 0,58f 3dB => 0,3 7. Determine a refletância de uma interface AlGaAs-ar, para incidência normal. Determine a perda de transmissão em db. (Observação: o índice de refração do AlGaAs é igual a 3,6). Capítulo 4 ( exercícios) ρ = n 1 n n 1 + n = 3,6 1 3,6 + 1 =,6 4,6 = 0,565 R = ρ 0,3 perda de transmissão: 10 log 0,3 = 5dB 1. Determine a carta de modos (índice de refração efetivo versus d/λ) de um guia de onda dielétrico simétrico, com n1=1,48 e n=1,46.
θ c = arcsen ( n n 1 ) = arcsen ( 1,46 1,48 ) = 80,57 Faixa de ângulos guiados: 80,57 θ 90 Faixa de índices de refração efetivos: 1,46 θ 1,48 θ n ef tan ( hd ) hd πn 1 cosθ d/λ 80,57º 1,46 0 0 1,54 0 8º 1,4656 0,61 1,111 1,94 0,859 84º 1,4719 1,07 1,758 0,97 1,809 86º 1,4764,16,6 0,649 3,485 88º 1,4791 4,587,71 0,35 8,345 90º 1,48 3,14 0 n ef = n 1 senθ tan ( hd ) = 1 n 1 cosθ n 1 sen θ n 3. Quantos modos TE podem se propagar no guia de onda do exercício 1, para d/λ=5, d/λ=10 e d/λ=100? N = 1 + d λ n 1 n d/λ N chão de N 5 3,449 3 10 5,850 5 100 49,497 49 Capítulo 5 (7 exercícios) 1. Mostre que a abertura numérica de uma fibra óptica ID é dada por n 1 n, em que n1 é o índice de refração do núcleo, e n é o índice de refração da casca. NA = n 0 senθ a
Pela lei de Snell-Descartes, podemos escrever então: Mas, o ângulo crítico é tal que: Fazendo a substituição, resulta em: NA = n 1 sen(90 θ c ) = n 1 cosθ c senθ c = n => cosθ n c = 1 ( n ) 1 n 1 NA = n 1 1 ( n ) = n n 1 n, c. q. d. 1. Calcule o ângulo de aceitação de uma fibra óptica ID cujos índices de refração do núcleo e da casca sejam, respectivamente, n1=1,470 e n=1,460. NA = n 0 senθ a = n 1 n = 1,470 1,460 = 0,171 Adotando n 0 = 1, temos então: senθ a = 0,171 => θ a = arcsen(0,171) 9,8 3. Para a fibra do exercício, calcule a diferença relativa de índices de refração. Δ = n 1 n n 1 = 1,470 1,460 1,470 = 6,78 10 3 Se fosse usada a aproximação, teríamos: Δ n 1 n n = 6,85 10 3 Esse resultado não é muito diferente do anterior. 4. Uma fibra óptica ID tem n1=1,50, n=1,49, e o diâmetro do núcleo é a=50µm. Considere o raio de luz se propagando segundo o ângulo crítico. Quantas reflexões por metro sofre esse raio?
senθ c = n n 1 = 1,49 1,50 => θ c 83,4 Se a cada distância d temos uma nova reflexão, então podemos escrever: Dessa forma: tan83,4 = d => d 43μm 50μm 1 reflexão 43μm x 1m Resolvendo a regra de três: x 315 reflexões/m. 10. Sabe-se que a atenuação por espalhamento Rayleigh de uma fibra óptica é 1dB/km, para λ0=1,3µm. Calcule a atenuação mínima dessa fibra para λ0=1,55µm. α f = K λ 0 4 => K = α fλ 0 4 = 1 1,3 4 =,8561 α f,1,55μm =,8561 1,55 4 0,49dB/km 13. Determine os alargamentos de pulso máximo e rms, por unidade de comprimento, devidos à distorção modal, de uma fibra ID cujos índices de refração do núcleo e da casca são, respectivamente, n1=1,470 e n=1,465. Alargamento de pulso máximo por unidade de comprimento: Δ ( τ L ) = n 1(n 1 n ) 1,47(1,47 1,465) = cn 3 10 8 1,465 = 1,67 10 11 s/m Δ ( τ L ) = 16,7ns/km Alargamento de pulso rms por unidade de comprimento: σ modal L = n 1Δ 3c
Δ = n 1 n n 1 = 3,4 10 3 Portanto: σ modal L 1,47 3,4 10 3 = 3 3 10 8 = 4,81 10 1 s m = 4,81 ns km 14. Determine o alargamento rms total de pulso em um enlace de comprimento L=70km, que utilize a fibra do exercício 13, com uma fonte de luz que emite em λ0=0,85µm e largura espectral Δλ=5nm. σ modal = 4,81 70 = 336,7 ns σ crom = m Δλ L m = (M + M ) (60 + ) = 6 σ crom = 6 5 70 = 108,5 ns σ fibra = σ modal + σ crom 353,8 ns