BCC204 - Teoria dos Grafos

BCC204 - Teoria dos Grafos Marco Antonio M. Carvalho (baseado nas notas de aula do prof. Haroldo Gambini Santos) Departamento de Computação Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Universidade Federal de Ouro Preto 9deoutubrode2017 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 1 / 28

Avisos Site da disciplina: I http://www.decom.ufop.br/marco/ Lista de e-mails: I bcc204@googlegroups.com Para solicitar acesso: I http://groups.google.com/group/bcc204 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 2 / 28

Conteúdo 1 Alcançabilidade 2 Conexidade ou Conectividade Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 3 / 28

Relembrando... Passeio Sequência finita de vértices e arestas. Cadeia Um passeio que não repete arestas. Caminho Uma cadeia sem repetição de vértices. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 4 / 28

Alcançabilidade Definição Um vértice w é alcançável apartirdovérticev se houver um caminho entre w e v. Definição O conjunto de vértices alcançáveis a partir de v é, portanto, formado pelos sucessores de v, ossucessoresdossucessoreseassimpordiante. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 5 / 28

Alcançabilidade Transitividade Se w éalcançávelapartirdev; esex éalcançáveldew; então x éalcançávelapartirdev. Transitividade Relação de Alcançabilidade é transitiva. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 6 / 28

Fecho Transitivo de um Vértice - Grafo Não Direcionado Definição O Fecho Transitivo de um vértice v (denotado por ˆ(v)) éoconjuntodos vértices de um grafo alcançáveis a partir de v. ˆ(1) ={2,3,4} ˆ(5) ={} Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 7 / 28

Fecho Transitivo de um Vértice - Grafo Direcionado Fecho Transitivo Direto O Fecho Transitivo Direto de um vértice v (denotado por ˆ+ (v)) éo conjunto dos vértices de um grafo alcançáveis a partir de v; Os vértices em ˆ+ (v) são chamados de descendentes de v. Fecho Transitivo Indireto O Fecho Transitivo Indireto de um vértice v (denotado por ˆ (v)) éo conjunto dos vértices de um grafo a partir dos quais v éalcançável; Os vértices em ˆ (v) são chamados de ascendentes de v. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 8 / 28

Fecho Transitivo Direto e Indireto ˆ+ (1) ={2,3,4,5,7,9,10,13} ˆ (10) ={1,4} Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 9 / 28

Conexidade em Grafos Não Direcionados Definição Em um GND conexo, todos os vértices são alcançáveis a partir de qualquer outro; Em um GND conexo, sempre é possível fazer um passeio fechado que inclua todos os vértices. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 10 / 28

Conexidade em Grafos Direcionados Definição Se G é um grafo direcionado, então é considerado conexo quando seu grafo subjacente não direcionado é conexo; OgrafosubjacentenãodirecionadoéograforesultantedadeGquandoa orientação dos arcos é ignorada. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 11 / 28

Subgrafos Definição Um grafo G s =(V s, A s )éditoserumsubgrafo de um grafo G =(V,A) se todos os vértices e todas as arestas de G s estão em G, ouseja,se V s V e A s A Subgrafo Maximal Um subgrafo G s de G é dito maximal em relação a uma propriedade se não subgrafo de nenhum outro subgrafo de G que também possua a propriedade. Propriedades I Todo grafo é subgrafo de si próprio; I OsubgrafoG s2 de um subgrafo G s de G também é subgrafo de G. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 12 / 28

Conexidade Componentes Conexos Um componente conexo de um grafo G é um subgrafo conexo maximal de G; OnúmerodecomponentesconexosemGédenotadoporc; Grafos conexos possuem apenas um componente conexo. Grafo conexo, componentes conexos e subgrafos não maximais. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 13 / 28

Conexidade em Grafos Direcionados Grafo Simplesmente Conexo: s-conexo Ografosubjacentenão-direcionadoobtidoatravésdasubstituiçãodetodas as arestas de G por arestas não direcionadas é um grafo conexo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 14 / 28

Conexidade em Grafos Direcionados Grafo Semi-Fortemente Conexo: sf-conexo Para cada par de vértices (v 1, v 2 ),existeumcaminhodev 1 para v 2 ou de v 2 para v 1. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 15 / 28

Conexidade em Grafos Direcionados Grafo Fortemente Conexo: f-conexo Para cada par de vértices (v 1, v 2 ),existeumcaminhodirecionadodev 1 para v 2 e de v 2 para v 1. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 16 / 28

Conexidade em Grafos Direcionados Componentes Fortemente Conexos Em um grafo direcionado, componentes fortemente conexos são subgrafos maximais f-conexos. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 17 / 28

Conexidade ou Conectividade em Vértices Definição A conexidade ou conectividade em vértices apple(g) de um grafo G =(V, E) éomenornúmerodevérticescujaremoçãodesconectag ou o reduz a um único vértice. Atenção I Conceito aplicado a Grafos Não Direcionados; I Indica o quanto um grafo é conexo. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 18 / 28

Conexidade ou Conectividade em Vértices Exemplos de remoções de conjuntos de vértices que desconectam o grafo. Neste caso, apple(g) =1(figura2). Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 19 / 28

Conexidade ou Conectividade em Vértices Grafos Completos Para grafos completos com n vértices, apple(k n )=n 1. Grafos Não Completos Para grafos não completos haverá um par (v 1, v 2 ) de vértices não adjacentes, então temos que: apple(g) apple n 2 8G 6= K n Limite superior para apple(g) em qualquer grafo: apple(g) apple (G) a a (G) :menor grau em um GND. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 20 / 28

k-conexidade ou k-conectividade Definição Um grafo G =(V, E) é k-conexo se e somente se para todo para v, w 2 V, v 6= w existirem ao menos k percursos disjuntos. Caminhos Disjuntos Dois percursos entre os vértices v e w de um grafo são disjuntos se não houver interseção de arestas. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 21 / 28

k-conexidade ou k-conectividade 1-Conexo 2-Conexo 3-Conexo Propriedades Para todo grafo k-conexo: apple(g) apple (G) apple(g) apple k Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 22 / 28

k-conexidade ou k-conectividade Exemplos Grafo borboleta: 2-conexo K 7 :6-conexo,mastambémé1-conexo,2-conexo,3-conexo,4-conexo, 5-conexo... k apple(g) apple (G) Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 23 / 28

Articulação Aresta de articulação (ou Ponte) Uma aresta de articulação de um grafo G éumaarestacujaremoção resulta na desconexão de G. Aarestau 1 édearticulação.asarestasu 3 e u 4 não são. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 24 / 28

Articulação Vértice de articulação Um vértice de articulação de um grafo G éumvérticecujaremoçãoresulta na desconexão de G. Ovértice4édearticulação,porém,ovértice2nãoé. Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 25 / 28

Exercícios Qual a conectividade do grafo abaixo? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 26 / 28

Exercícios Para cada um dos grafos abaixo, determine apple(g), k, sf-conexo ou f-conexo. (G) eseés-conexo, v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 27 / 28

Dúvidas? Marco Antonio M. Carvalho (UFOP) BCC204 9 de outubro de 2017 28 / 28