Existência de Soluções Simétricas e Não-Simétricas para uma Classe de Equações de Schrödinger Semilineares

Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Existência de Soluções Simétricas e Não-Simétricas para uma Classe de Equações de Schrödinger Semilineares por Edjane Oliveira dos Santos sob a orientação do Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Este trabalho contou com o apoio financeiro da Capes

Existência de Soluções Simétricas e Não-Simétricas para uma Classe de Equações de Schrödinger Semilineares por Edjane Oliveira dos Santos Dissertação apresentada ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCEN - UFPB, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Análise. Aprovada por: Prof. Dr. Uberlandio Batista Severo - UFPB - Orientador Prof. Dr. Bruno Henrique Carvalho Ribeiro - UFPB - Examinador Prof. Dr. Marcelo Fernandes Furtado - UnB - Examinador Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Maio de 2011 ii

"Depois de escalar uma grande montanha, descobrimos apenas que há muitas outras montanhas para escalar." Marianne Williamson iii

Agradecimentos - A Deus acima de tudo, pois Ele supriu todas as minhas necessidades e me fez alcançar mais esta vitória. - Ao meu Orientador, Professor Uberlandio Batista Severo, pelos conselhos, incentivo e amizade dedicados durante todo o período em que me orientou.("para carregar peso, é preciso tirar os excessos"). - À minha família, pelo apoio e incentivo, sem os quais seria difícil enfrentar essa jornada e, em especial, a minha mãe, Merceis, pelo incentivo e amor dedicados durante esse período. - Aos professores da pós-graduação, que contribuiram de forma essencial para a minha formação, em especial, ao João Marcos e ao Cleto Brasileiro ("O conhecimento tem que está no sangue"). - Ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFPB por ter me concedido a oportunidade de participar do mesmo. Agradeço também aos funcionários da Secretaria da PG-Mat pela atenção e cordialidade. - Aos amigos de hoje e sempre, Teófilo, Maité Kulesza ("pra ser matemático tem-se que ter alma de matemático"), Nivaldo, Adriano Régis, Rodrigo Lustosa que sempre me incentivaram a prosseguir academicamente. - Aos colegas de curso e amigos. Em especial, queria agradecer aos meus amigos Marco, Ana Karine (Iso) e Viviane pelos dias de estudo, incentivo e amizade e a Dani, Bruna, Jalman e Lili, pela convivência e paciência durante o mestrado. Sucesso a todos! - A todos aqueles que de forma direta ou indireta contribuiram para a realização deste trabalho e que lamentavelmente não me recordo neste momento. - Enfim, a Capes pelo apoio financeiro. iv

Resumo Neste trabalho, estabelecemos a existência de uma solução simétrica positiva, como também uma solução não-simétrica que muda de sinal, para o problema elíptico semilinear u + V (z)u = f(z, u), u H 1 ( ), onde N 4, V : R é um potencial não-negativo e f : R R é uma função contínua. Para obtermos os resultados, usamos o Teorema do Passo da Montanha, o Princípio de Criticalidade e resultados de compacidade. Palavras-Chave: Soluções simétricas e não-simétricas; Princípio de Criticalidade Simétrica; Teorema do Passo da Montanha. v

Abstract In this work, we establish the existence of a positive symmetric solution and a nonsymmetric solution which changes sing, for the semilinear elliptic problem u + V (z)u = f(z, u), u H 1 ( ), where N 4, V : R is a non-negative potential and f : R R is a continuous function. To achieve these results, we use the Mountain Pass Theorem, the Principle of Symmetric Criticality and compactness results. Keywords: Symmetric and nonsymmetric solutions; Principle of Symmetric Criticality; Mountain Pass Theorem. vi

Sumário Notações 2 Introdução 4 1 Resultados Preliminares 7 1.1 Funções Radiais................................ 7 1.2 O Espaço Hrad 1 (RN )............................... 8 1.3 Lema de Lions.................................. 9 1.4 Compacidade nos Espaços de Lebesgue.................... 12 1.5 Princípio de Criticalidade Simétrica...................... 16 2 Potencial Constante e Não Linearidade do Tipo Potência Subcrítica 18 2.1 Solução Radial Positiva............................. 19 2.2 Solução Não Radial que Muda de Sinal.................... 22 3 Potencial e Não Linearidade Parcialmente Periódicos e Radiais 25 3.1 Resultados Preliminares............................ 26 3.2 Resultado Principal............................... 29 A Alguns Resultados Utilizados 40 B Regularidade de Funcionais 43 C Ações de Subgrupos de O(N) sobre H 1 ( ) 46 Referências Bibliográficas 50 1

Notações Neste trabalho, faremos uso da seguinte simbologia: B(y, r) denota a bola aberta de centro y e raio r; convergência fraca; indica imersão; f denota a derivada de Gâteaux e derivada de Fréchet da função f; denota a norma euclidiana; Hrad 1 (RN ) é o subespaço das funções radiais de H 1 ( );, denota o produto interno; c, C, C 0, C 1, C 2, C 3,... denotam constantes positivas (possivelmente diferentes); Ω denota a medida de Lebesgue de um subconjunto Ω em ; supp f denota o suporte da função f; O(N) é o grupo das transformações lineares ortogonais de em ; Ω é um domínio de ; p = p/(p 1) denota o expoente conjugado de p ; final da demonstração; q.t.p. quase todo ponto; 2

Notações 3 u + = max{u, 0} e u = max{ u, 0}; L p (Ω) é o espaço das funções mensuráveis u sobre Ω tais que 1 p < ; Ω u p dx <, W 1,p (Ω) é o espaço das funções u L p (Ω) tais que existem g 1, g 2,..., g N L p (Ω) satisfazendo u ϕ dx = g i ϕdx, ϕ C0 (Ω), i = 1,..., n com 1 p ; x i Ω Ω u p = ( Ω u p) 1 p denota a norma do espaço de Lebesgue L p (Ω); u p = ( Ω u p) 1 p norma do gradiente em W 1,p 0 (Ω) ; u = ( u 2 2 + u 2 2) 1/2 norma usual do espaço H 1 ( ); C(Ω) denota o espaço das funções contínuas em Ω; C 0 (Ω) são as funções contínuas de suporte compacto em Ω; C k (Ω), k 1 inteiro, denota o espaço das funções k vezes continuamente diferenciáveis sobre Ω; C (Ω) = k 1 Ck (Ω); C 0,α u(x) u(y) ( Ω) = {u C(Ω); sup < + } com 0 < α < 1; x,y Ω x y 2 C 1,α (Ω) = {u C 1 (Ω); D i u C 0,α (Ω) i, i 1}; p é o expoente crítico de Sobolev definido por p = Np N p se 1 p < N, se p N. 3

Introdução Nesta dissertação, estudamos a existência de uma solução simétrica positiva, como também de uma solução não-simétrica que muda de sinal, para o problema elíptico semilinear u + V (z)u = f(z, u), u H 1 ( ), (P ) onde N 4, V : R é um potencial contínuo não-negativo e f : R R é uma função contínua. Teremos, ainda, algumas hipóteses adicionais sobre as funçoes V e f ao longo deste trabalho. Ao abordar a Equação (P ), utilizamos métodos variacionais, ou seja, associamos a (P ) o funcional energia ϕ : E R definido por ϕ(u) = 1 ( u 2 + V (z)u 2 )dz F (z, u)dz, (1) 2 onde { } E = u H 1 ( ) : ( u 2 + V (z)u 2 )dz <. e almejamos encontrar pontos críticos para ϕ, os quais serão as soluções fracas de (P ). Equações do tipo (P ) estão relacionadas a muitos problemas da física-matemática. Por exemplo, as soluções de (P ) estão associadas à existência de soluções do tipo onda estacionária para equações de Schrödinger não-lineares da forma i ϕ t = ϕ + W (z)ϕ g( ϕ )ϕ, z RN, onde W : R é um potencial dado e g é uma função real conveniente. Entendemos por uma solução do tipo onda estacionária, uma função ϕ : R C do tipo ϕ(t, z) = e iet u(z) onde E R, u : R e t R (para mais detalhes, confira, por exemplo, Berestycki- Lions [4], Liu-Wang [11], Rabinowitz [15] e Strauss [19]). Se considerarmos o potencial V (z) 1 e f(z, u) = u p 2 u, 2 < p < 2, um resultado de existência para equação (P ) foi obtido por Strauss [19] (para N 2) e Bartsch-Willem [3] (para N = 4 ou N 6). 4

Introdução Nosso trabalho é constituído de três capítulos e três apêndices. No Capítulo 1, apresentamos o conceito de função radial sob um enfoque algébrico; introduzimos o espaço Hrad 1 (RN ) das funções radiais de H 1 ( ); apresentamos algumas definições importantes e estabelecemos alguns resultados de compacidade que foram utilizados no Capítulo 2. Por fim, apresentamos e demonstramos o Princípio da Criticalidade Simétrica de Palais. No Capítulo 2, apresentamos os resultados de existência para o problema (P ), segundo Bartsch-Willem [3], quando V (z) 1 e f(z, u) = u p 2 u, 2 < p < 2, ou seja, consideramos o problema: u + u = u p 2 u, u H 1 ( ). (P 1 ) No Capítulo 3, estabelecemos os resultados de existência para a equação (P ) obtidos por Lorca-Ubilla [12]. Mais precisamente, estudamos (P ) com as seguintes hipóteses na não-linearidade f e no potencial V : (V 0 ) inf z V (z) := b 0 > 0; (f 1 ) lim s 0 f(z, s) s = 0 uniformemente para z. (f 2 ) f(z, s) a 1 + a 2 s p para todo z e s R, onde a 1, a 2 > 0 e p ( 1, N+2 N 2). (f 3 ) Existe uma constante µ > 2 tal que 0 < µf (z, s) sf(z, s) para todo z e s 0, onde F (z, s) = s f(z, t)dt. 0 (f 4 ) f(z, s) = f(z, s) para todo s R e z. (f 5 ) Seja = 1 R 2M, onde N 1 0 e M 2. Existe T = (T 1,..., T N1 ) 1 onde T i 0 para i = 1,..., N 1, tal que para z = (x, y) 1 R 2M e para todo g O(2M), temos f(x 1,..., x i + T i,..., x N1, y, u) = f(x, g(y), u), V (x 1,..., x i + T i,..., x N1, y) = V (x, g(y)), com, i = 1,..., N 1, x = (x 1,..., x N1 ) e O(2M) é um grupo ortogonal em R 2M. Com base nas notações da hipótese (f 5 ), o principal resultado deste capítulo é o seguinte: 5

Introdução Teorema 0.1 Suponha que as hipóteses (V 0 ) (f 5 ) sejam satisfeitas e considere que N 4. Então, o problema (P ) tem duas soluções não-triviais em H 1 ( ). Uma solução é positiva em e radial na variável y. A outra solução muda de sinal e é não radial na variável y. Para provarmos o Teorema 0.1, associamos à equação (P ) o funcional energia ϕ dado em (1) que está bem definido em E e, mais ainda, é de classe C 1 (veja Apêndice B). Na prova da existência de uma solução não radial que muda de sinal, primeiro consideramos a involução τ definida em = 1 R M R M, com N 1 0, M 2, dada por τ(x, y 1, y 2 ) = (x, y 2, y 1 ). Em seguida, definimos a ação do grupo G 1 = {id, τ} sobre E por { gu(x, y 1, y 2 ) = u(x, y 1, y 2 ), se g = id u(τ 1 (x, y 1, y 2 )), se g = τ. Observamos que u = 0 é a única função em E O(2M) E G1, onde E O(2M) e E G1 representam os espaços dos pontos fixos das ações de O(2M) e G 1 sobre E respectivamente. Então, consideramos a ação do subgrupo G = O(M) O(M) sobre E e Ψ a restrição do funcional ϕ ao espaço de Hilbert W = E G1 E G com a norma de E. A idéia é obter, via Teorema do Passo da Montanha, um ponto crítico não trivial u 0 do funcional Ψ. Em seguida, usando o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais, que por (f 4 ) o funcional energia é invariante, concluimos que u 0 é um ponto crítico não-trivial de ϕ. A fim de obtermos uma solução radial em y e positiva, consideramos f(z, s) = 0 para s < 0 e o funcional ϕ restrito ao espaço E O(2M) ( ). Procedendo analogamente ao caso anterior, estabelecemos a existência de um ponto crítico não-trivial v de ϕ restrito a E O(2M) ( ). Pelo Príncipio de Criticalidade Simétrica, v é um ponto crítico de ϕ, o qual é radial na variável y. Assim, para todo v H 1 ( ), w vdz + V (z)wvdz f(z, w)vdz = 0. Tomando v = w, segue que w = w + 0. Aplicando o Princípio do Máximo Forte, concluímos que w > 0 em. No Apêndice A, temos alguns resultados utilizados ao longo dos Capítulos 1, 2 e 3. Nos Apêndices B e C, apresentamos alguns detalhes técnicos de fatos utilizados nos Capítulos 2 e 3, que estão divididos, respectivamente, por : Regularidade de Funcionais e Ações de Subgrupos de O(N) sobre o H 1 ( ). 6

Capítulo 1 Resultados Preliminares Neste capítulo, estabelecemos alguns resultados que são usados nesta dissertação. Mais precisamente, na Seção 1.1, definimos função radial sob um enfoque algébrico, com o objetivo de obtermos compacidade das imersões Hrad 1 (RN ) L p ( ) para 2 < p < 2. Usaremos este fato no Lema 2.5 para provarmos a condição de Palais-Smale para o funcional associado ao problema. Na Seção 1.2, introduzimos o espaço Hrad 1 (RN ) das funções radiais de H 1 ( ). A seguir, nas Seções 1.3 e 1.4, enunciamos e demonstramos um lema devido a Lions (Lema 1.5) e o Corolário de Strauss (Corolário 1.11), respectivamente. Finalmente, na Seção 1.5 apresentamos e demonstramos o Princípio da Criticalidade Simétrica. 1.1 Funções Radiais Antes de definirmos função radial, precisamos saber o conceito de conjunto radialmente simétrico. Um subconjunto Ω é dito radialmente simétrico se é mensurável e satisfaz a propriedade: se x 0 Ω e x = x 0 então x Ω. Uma bola, uma região anular e o são exemplos de conjuntos radialmente simétricos. Relembremos que uma transformação linear S : chama-se ortogonal quando sua representação matricial A com relação a base canônica de é uma matriz ortogonal, isto é, AA t = A t A = I, em que A t denota a matriz transposta de A e I é a matriz identidade de ordem N (veja [5]). Visto isto, definimos função radial sob um enfoque algébrico da seguinte maneira: 7

Capítulo 1 1.2 O Espaço H 1 rad (RN ) Definição 1.1 (Forma Algébrica) Sejam Ω um conjunto radialmente simétrico e u L 1 loc (Ω). Dizemos que u é uma função radialmente simétrica se, para cada transformação linear ortogonal S :, a igualdade u(sx) = u(x) vale para quase todo x Ω. A forma algébrica pode ser naturalmente generalizada ao conceito de funções invariantes pela ação de um dado subgrupo do grupo O(N) (com operação de composição) de todas as transformações lineares ortogonais de (veja a Seção 1.4). 1.2 O Espaço H 1 rad (RN ) Ao utilizarmos métodos variacionais no estudo de equações diferenciais parciais, geralmente é necessário algum resultado de compacidade. Porém, nos problemas em, há uma perda de compacidade nas imersões de Sobolev e não conseguimos as limitações das sequências de Palais-Smale. A fim de contornarmos esse problema, vamos estudar o subespaço H 1 rad (RN ) de H 1 ( ). Definimos o espaço H 1 rad (RN ) por: H 1 rad( ) = {u H 1 ( ) : u(sx) = u(x), para todo S O(N)}. Mais adiante, trabalharemos com alguns subespaços convenientes de H 1 rad (RN ) e precisaremos de algumas propriedades que as funções destes subespaços herdam das funções H 1 rad (RN ). Sabemos que H 1 ( ), munido do produto interno u, v = ( u v + uv)dz, u, v H 1 ( ), é um espaço de Hilbert, cuja norma correspondente é [ ] 1 u = ( u 2 + u 2 2 )dz, u H 1 ( ). Teorema 1.2 H 1 rad (RN ) é um espaço de Hilbert. Prova. Como H 1 ( ) é Hilbert, basta mostrarmos que H 1 rad (RN ) é um subespaço vetorial fechado de H 1 ( ). Pela Definição 1.1, temos que 0 H 1 rad (RN ). Sejam u 1, u 2 H 1 rad (RN ), α R e S O(N). Temos que (u 1 + αu 2 )(Sx) = u 1 (Sx) + αu 2 (Sx) = u 1 (x) + αu 2 (x) = (u 1 + αu 2 )(x) q.t.p. em, o que mostra que u 1 + αu 2 H 1 rad (RN ). Então, H 1 rad (RN ) com a norma induzida por H 1 ( ) é um espaço vetorial normado. 8

Capítulo 1 1.3 Lema de Lions Agora, nos resta mostar que H 1 rad (RN ) é fechado. De fato, seja (u n ) uma sequência em H 1 rad (RN ) tal que u n u em H 1 ( ). Basta mostrar que u é radial. Como H 1 ( ) está imerso continuamente em L 2 ( ), temos que (u n ) também converge para u em L 2 ( ). Passando a uma subsequência se necessário, podemos supor que u n (x) u(x) para quase todo x. Portanto, u(sx) = lim n u n (Sx) = lim n u n (x) = u(x) para quase todo x. Logo, u H 1 rad (RN ), o que mostra que H 1 rad (RN ) é fechado e isto finaliza a prova. 1.3 Lema de Lions Nesta seção, apresentamos a prova de um resultado, devido a P. L. Lions [4], que será essencial para estabelecermos a compacidade de algumas imersões de subespaços de H 1 ( ) nos espaços de Lebesgue. Primeiramente, começamos com um resultado técnico (veja também [13]). Lema 1.3 Dado r > 0, existe uma cobertura enumerável de por bolas abertas de raio r tal que cada ponto de está, no máximo, em 4 N bolas da cobertura. Prova. Escrevamos d = r 2 e ponhamos Q = {(k 1 d,..., k N d) : k 1,..., k N Z}. Consideremos a cobertura enumerável de constituída das bolas abertas B(q, r) com q Q. Dado y = (y 1,...y N ), sejam k 1,..., k N Z tais que y [ k 1 d, ( k 1 + 1)d]... [ k N d, ( k N + 1)d]. Dado q = (k 1 d,..., k N d) Q, se k j k j 2 para algum j {1,..., N}, então y q y j k j d y j k j d k j d k j d = ( k j k j )d 2d = r, de modo que, y B(q, r). De maneira análoga, se k j k j + 3, então y B(q, r). Portanto, se y B(q, r), então k j 1 k j k j + 2 para cada j {1,.., N}, de modo que existem, no máximo, 4 N bolas nas quais y possa estar. Na verdade, existe uma cobertura enumerável de por bolas abertas de raio r tal que cada ponto de está, no máximo, em N + 1 bolas da cobertura. Mas, o Lema acima é suficiente para nossos propósitos aqui. Uma cobertura como a do Lema 1.3 induz uma partição de. Vejamos o seguinte lema: 9

Capítulo 1 1.3 Lema de Lions Lema 1.4 Seja (B(x, r)) x X uma cobertura de por bolas de mesmo raio r > 0 tal que cada ponto de esteja, no máximo, em K bolas da cobertura. Então, existe uma partição enumerável (P z ) z Z de, com Z enumerável, tal que (i) P z B(x, r) = P z ou P z B(x, r) = para cada x X e cada z Z. (ii) Para cada z Z, P z está contido, no máximo, em K bolas da cobertura. Prova. Para cada x X, seja X x = {x X : B x B x }\{x}, onde denotamos B(x, r) = B x para simplificarmos a notação. Para cada z, sejam C z X o subconjunto dos centros das bolas da cobertura as quais z pertence, Z z := X x C z x C z e definamos P z por P z = B x B x. x C z x Z z Agora, dados z 1, z 2, mostremos que P z1 = P z2 ou P z1 P z2 =. De fato, se existe z 0 P z1 P z2, então z 0 P z1 x C z1 B x. Logo C z1 C z0. Suponhamos, ao contrário, que C z0 C z1 e seja x C z0 \C z1. Temos que z 0 B x B x para x C z1, logo x Z z1. Então, z 0 P z1 = B y x C z1 x Z z1 B x, o que é uma contradição. Logo, C z1 = C z0. Consequentemente, Z z1 = Z z0, donde segue que P z1 = P z0. Analogamente, P z2 = P z0. Portanto, P z1 = P z2. Em virtude disso, a relação R definida por: z 1 Rz 2 se, e somente se P z1 P z2 é uma relação de equivalência em. Seja Z um conjunto formado por representantes distintos dois a dois das classes de equivalência determinadas pela relação. Então (P z ) z Z é uma partição de. Note que, pelo Teorema de Lindelof segue que podemos considerar Z enumerável. Observe também que para cada z Z, o conjunto P z é unicamente determinado por 10

Capítulo 1 1.3 Lema de Lions C z, o conjunto dos centros das bolas da cobertura que contém z, isto é, se z 1, z 2 Z são distintos, então C z1 C z2. Como C z X e (C z ) K ( (C z ) é a quantidade de subconjuntos dos centros das bolas as quais z pertence) para cada z Z, concluímos que Z tem uma quantidade enumerável de elementos. Agora, sejam z Z e x X quaisquer. Como no começo da nossa demonstração, se x C z então P z B z ; em particular, P z B x = P z. Se x C z então P z B x =. De fato, se existisse z 0 P z B x, então teríamos P z = P z0 e C z = C z0, pois z 0 P z, e também teríamos x C z0 = C z, pois z 0 B x, o que é uma contradição. Isto prova (i). Pelo argumento acima, P z está contido em exatamente K bolas da cobertura, o que nos dá (ii) e finaliza a prova. Agora apresentamos e demonstramos um Lema de Lions: Lema 1.5 (P. L. Lions, 1984.) Sejam r > 0, 2 q < 2 e N 2. Se (u n ) é limitada em H 1 ( ) e se então u n 0 em L p ( ) para 2 < p < 2. sup u n q dz 0 quando n, y B(y,r) Prova. Sejam q < s < 2 e N 3 (o caso N = 2 é tratado de forma análoga). Pela desigualdade de Hölder, onde 0 < γ < 1 satisfaz u n L s (B(y,r)) u n 1 γ L q (B(y,r)) u n γ L 2 (B(y,r)), 1 γ q + γ 2 = 1 s. Pela imersão contínua de H 1 (B(y, r)) em L 2 (B(y, r)), obtemos Tomando [ γ/2 u n L s (B(y,r)) C u n 1 γ L q (B(y,r)) ( u n 2 + u n )dz] 2. B(y,r) s = 2 2 (2 q) + q (q, 2 ) temos que, γ = 2 e daí s u n s dz C 1 u n (1 γ)s L q (B(y,r)) B(y,r) B(y,r) ( u n 2 + u n 2 )dz. (1.1) Pelo Lema 1.3, existe uma cobertura enumerável (B(y m, r)) m N de tal que cada ponto de está, no máximo, em 4 N bolas da cobertura. Usando o Lema 1.4, existe uma partição (P k ) k N de tal que 11

Capítulo 1 1.4 Compacidade nos Espaços de Lebesgue (i) P k B(y m, r) = P k ou P k B(y m, r) = para todos m, k N; (ii) Para cada k N, P k está contido, no máximo, em 4 N das bolas da cobertura. Logo, por (1.1) segue que u n s dz m=1 B(y m,r) u n s dz ( ) C 1 sup u n (1 γ)s L q (B(y,r)) ( u n 2 + u n 2 )dz y m=1 B(y m,r) ( ) = C 1 sup u n (1 γ)s L q (B(y,r)) ( u n 2 + u n 2 )dz y m=1 k=1 B(y m,r) P k ( ) C 1 sup u n (1 γ)s L q (B(y,r)) 4 N ( u n y R P 2 + u n 2 )dz N k = 4 N C 1 ( sup u (1 γ)s L q (B(y,r)) y C 2 sup y u n (1 γ)s L q (B(y,r)). k=1 ) ( u n 2 + u n 2 )dz Assim, u n 0 em L s ( ). Agora, vamos considerar os valores de p em (2, s) e em (s, 2 ). Suponhamos que 2 < p < s. O caso (s, 2 ) é tratado de modo análogo. Pela desigualdade de Hölder e Sobolev, temos que ( ) 1 u n p p dz u n 1 γ 1 2 u n γ 1 s onde ( C 2 u n H 1 ( )) 1 γ1 u n γ 1 s C u n γ 1 s. γ 1 = p 2 s s 2 p. Logo, u n 0 em L p ( ) para 2 < p < s, o que finaliza a prova do lema. 1.4 Compacidade nos Espaços de Lebesgue Nesta seção, nosso objetivo é demonstrar um resultado de compacidade (Teorema 1.9), que garante que a imersão de certos subespaços de H 1 ( ) é compacta nos espaços de Lebesgue. Como consequência, obtemos um lema devido a Strauss [19] (Lema 1.11). Antes disso, precisamos de algumas definições. 12

Capítulo 1 1.4 Compacidade nos Espaços de Lebesgue Definição 1.6 (i) Sejam G um subgrupo de O(N), y e r > 0. Definimos m(y, r, G) := sup{n N : g 1,..., g n G : j k implica B(g j y, r) B(g k y, r) = } (ii) Um subconjunto Ω de é G-invariante se gω = Ω para todo g G. (iii) Um subconjunto G-invariante Ω de é compatível com G se, para algum r > 0, lim m(y, r, G) =. y dist(y,ω) r Note que, que se Ω = então a condição dist(y, Ω) r é dispensável. Por exemplo, G = O(2) é compatível com o R 2 pois à medida que o raio desta rotação cresce, o número de bolas disjuntas, como em (i), também cresce. Definição 1.7 (i) Uma ação de um grupo topológico 1 G sobre um espaço vetorial normado H é uma aplicação contínua G H H, as seguintes condições: (a) g : H H é linear (b) (gh)(u) = g(hu) (g, u) = gu satisfazendo Se (c) 1u = u. (d) gu = u para todo u H, a ação é dita isométrica. Definição 1.8 (i) Sejam G um subgrupo de O(N) e Ω um conjunto aberto G-invariante de. A ação de G sobre H0(Ω) 1 é definida por gu(x) := u(g 1 x). (1.2) Note que a definição acima faz sentido, pois se x Ω então g 1 x Ω. No Apêndice C, mostramos que, de fato, (1.2) é uma ação conforme a definição anterior. (ii) O subespaço das funções invariantes de H0(Ω) 1 é definido por H0,G(Ω) 1 := {u H0(Ω) 1 : gu = u, g G} Facilmente, temos que H0,G 1 (Ω) é um subespaço fechado de H1 0(Ω)(demonstração análoga ao Teorema 1.2). Logo, também é um espaço de Hilbert. 1 Um grupo topológico é um grupo munido de uma topologia de modo que a multiplicação e a inversão sejam ambas contínuas. 13

Capítulo 1 1.4 Compacidade nos Espaços de Lebesgue Agora, vamos apresentar e demonstrar alguns resultados de compacidade que serão utilizados no Capítulo 2. Teorema 1.9 Se Ω é compatível com G, então as seguintes imersões são compactas H 1 0,G(Ω) L p (Ω), 2 < p < 2. Prova. Seja (u n ) em H0,G 1 (Ω) uma sequência limitada qualquer. Passando a uma subsequência, se necessário, podemos supor que u n u H0,G 1 (Ω). Note que, v n = u n u 0, logo basta mostrarmos que v n 0 em L p (Ω). Para cada n N, temos, usando o Teorema de Mudança de Variável, B(y,r) v n 2 dz = 1 m(y, r, G) m(y,r,g) j=1 B(g j y,r) v n 2 dz sup n N v n 2 2 m(y, r, G). (1.3) Como G é compatível com Ω, temos que m(y, r, G), quando y. Logo, pela desigualdade (1.3) segue que, para cada ε > 0, existe um R = R(ε) > 0 tal que v n 2 dz ε, para todo n N. (1.4) sup y R B(y,r) Pelo Teorema de Imersão de Rellich-Kondrachov (veja Teorema A.7 no apêndice A), temos também que B(0,R+r) v n 2 dz 0. Em particular, existe n 0 = n 0 (ε) N tal que v n 2 dz v n 2 dz ε, se y R e n n 0. (1.5) B(y,r) B(0,R+r) Combinando (1.4) e (1.5), obtemos v n 2 dz 0, quando n sup y B(y,r) e o resultado segue pelo Lema 1.5 (Lema de Lions). Corolário 1.10 Sejam N j N, N j 2, j = 1,..., k, k N j = N e j=1 Então, as seguintes imersões são compactas G := O(N 1 ) O(N 2 )... O(N k ). H 1 G( ) L p ( ), 2 < p < 2. 14

Capítulo 1 1.5 Princípio de Criticalidade Simétrica Prova. Primeiramente, vamos mostrar que G = O(2) é compatível com o R 2. De fato, dados n N e r > 0, sejam x j = R ( cos ( j2π n ), sen ( j2π n )), R > 0 e g j : R 2 R 2 uma transformação linear ortogonal, mais precisamente, uma rotação que leva (R, 0) a x j, para j = 0, 1,..., n. Logo, ( x j+1 x j 2 = 2R [1 2 cos(j + 1) 2π ) ( ) ( j2π cos + sen(j + 1) 2π ) ( )] j2π sen n n n n ( )) 2π = 2R (1 2 cos, quando R. n Assim, para R > 0 suficientemente grande, temos que se y R, j 1, j 2 {1,..., n} e j 1 j 2, então x j1 x j2 2r, de modo que B(g j1 y, r) B(g j2 y, r) =. Logo, m(y, r, O(2)) n sempre que y R. De maneira análoga, mostraremos que G = O(M) é compatível com R M. Dado y R M com y R, consideremos uma circunferência de centro em 0 e passando por y. O grupo O(M) contém todas as rotações dessa circunferência. Logo, se R é suficientemente grande, então podemos obter g 1,..., g n O(M) tais que B(g j1 y, r) B(g j2 y, r) = sempre que j 1, j 2 {1,..., n} e j 1 j 2. Portanto, se y R então m(y, r, O(M)) n. No caso geral, dado y = (y 1,..., y k ) 1... k j {1,..., k} tal que y j R N j R. com y R k > 0, existe Pelo paragráfo anterior, temos que m(y j, r, O(N j )) n. Portanto, se y R k então m(y, r, O(N)) m(y j, r, O(N j )) n, o que completa a demonstração. Corolário 1.11 (Strauss, 1977) Seja N 2. Então, as seguintes imersões são compactas Hrad(R 1 N ) L p ( ), 2 < p < 2. Prova. Basta observarmos que, pela definição de função radial, Hrad 1 (RN ) = HO(N) 1 (RN ) e daí aplicamos o Corolário 1.10 com N 1 = N. 15

Capítulo 1 1.5 Princípio de Criticalidade Simétrica 1.5 Princípio de Criticalidade Simétrica Antes de introduzirmos o Princípio da Criticalidade Simétrica, algumas definições são necessárias. Definição 1.12 Considere a ação de um grupo topológico G sobre um espaço vetorial normado H. (i) O espaço de pontos invariantes desta ação é o subespaço fechado de H definido por F ix(g) = {u H : gu = u, g G} (ii) Um conjunto A H é G-invariante se g(a) = A, g G. (iii) Um funcional J : H R é G-invariante se J g = J, g G. (iv) Uma aplicação f : H H é G-invariante se f g = g f, g G. Teorema 1.13 (Princípio de Criticalidade Simétrica) Assuma que a ação de um grupo topológico G sobre um espaço de Hilbert (H,, ) seja isométrica. Se I C 1 (H, R) é invariante e u é ponto crítico de I restrito a F ix(g), então u é um ponto crítico de I em H. Prova. Note que, para cada g G e u H, I (gu), v = lim t 0 I(gu + tv) I(gu) t I(g(u + tg 1 v)) I(gu) = lim, t 0 t e desde que I é invariante temos que I (gu), v = lim t 0 I(u + tg 1 v) I(u) t = I (u), g 1 v. (1.6) Pelo Teorema da Representação de Riesz, podemos definir I : H H por Portanto, I (u), v = I(u), v e I (u) = I(u) para todo v V. I (gu), v = I(gu), v e I (u), (g 1 v) = I(u), g 1 v para todo v V. Logo, por (1.6), segue que I(gu), v = I(u), g 1 v. (1.7) 16

Capítulo 1 1.5 Princípio de Criticalidade Simétrica Note que I é invariante com relação a ação de grupo, isto é, g I = I g, g G. De fato, temos que I(u) + g 1 v 2 = I(u) 2 + 2 I(u), g 1 v + g 1 v 2 e como a ação é isométrica I(u) + g 1 v 2 = I(u) 2 + 2 I(u), g 1 v + v 2. (1.8) Além disso, também temos g I(u) + v 2 = g I(u) 2 + 2 g I(u), v + gv 2, = I(u) 2 + 2 g I(u), v + v 2. (1.9) Observando que g I(u) + v 2 = g I(u) + g(g 1 v) 2 = g( I(u)) + g 1 v 2 = I(u) + g 1 (v) 2, de (1.8) e (1.9) segue que I(u), g 1 v = g I(u), v. Por (1.7) donde segue que, I(gu), v = g I(u), v para todo v V, I(gu) = g I(u). (1.10) Agora, vamos provar que u é um ponto crítico de I restrito a F ix(g) em H. Como u F ix(g), g(u) = u, g G. Assim, por (1.10), temos que I(u) F ix(g). Como u é ponto crítico de I restrito a F ix(g), temos I(u), v = I (u), v = 0, para todo v F ix(g), o que implica I(u) F ix(g). Portanto, I(u) F ix(g) F ix(g), mostrando que I(u) = 0 em H, donde segue que u é ponto crítico de I em H. 17

Capítulo 2 Potencial Constante e Não Linearidade do Tipo Potência Subcrítica Neste capítulo, nosso objetivo é estabelecer a existência de uma solução radial positiva, bem como uma solução não radial que muda de sinal, para o problema elíptico (P ) apresentado na Introdução, quando V (z) 1 e f(z, u) = u p 2 u, 2 < p < 2. Mais precisamente, consideramos o problema u + u = u p 2 u, u H 1 ( ). (P 1 ) Entendemos por uma solução radial ou (radialmente simétrica), uma solução que esteja em Hrad 1 (RN ). Inicialmente, para a obtenção de uma solução radial positiva, podemos considerar N 2. Dizemos que u H 1 ( ) é uma solução fraca de (P 1 ) se ela satisfaz a igualdade ( u v + uv)dz = u p 2 uvdz para todo v H 1 ( ). Em um primeiro momento, como estamos interessados em soluções positivas, o funcional energia associado a (P 1 ) pode ser dado por ϕ(u) = 1 2 u 2 1 (u + ) p dz, (2.1) p o qual está bem definido e é de classe C 1 em H 1 ( ) (veja [21, pág. 9]). Além disso, sua derivada é dada por ϕ (u), v = ( u v + uv)dz (u + ) p 1 vdz para u, v H 1 ( ). (2.2) Observação 2.1 Notemos que se u é um ponto crítico do funcional ϕ, então u é uma solução fraca não negativa de (P 1 ). De fato, tomando v = u H 1 ( ) em (2.2), 18

Capítulo 2 2.1 Solução Radial Positiva temos que [ (u + u ) ( u ) + (u + u )( u )]dz = (u + ) p 1 ( u )dz, de onde obtemos que u 2 = [ u 2 + (u ) 2 ]dz = 0, ou seja, u = 0. Logo, u = u + 0 e de (2.2) segue que u é uma solução fraca de (P 1 ). 2.1 Solução Radial Positiva Um dos principais resultados deste capítulo é o seguinte: Teorema 2.2 (Strauss [19]) Se N 2 e 2 < p < 2, então o problema (P 1 ) possui uma solução clássica radialmente simétrica e positiva. Para demonstrarmos este teorema, vamos estabelecer alguns lemas. Lema 2.3 Se u é solução fraca de (P 1 ), então u C 2,α loc (RN ), ou seja, toda solução fraca é uma solução clássica. Prova. Suponha que u H 1 ( ) satisfaça u = u p 2 u u em (no sentido fraco). Logo, se escrevermos ψ(x, s) := s p 2 s s segue que ψ(x, s) a(x)(1 + s ) para todo x e s R, onde a(x) := u(x) p 2 1. Agora, se K é um compacto, temos que u(x) p 2 1 N/2 dx C K + u(x) (p 2)N/2 dx <, K pois (p 2)N/2 < 2. Portanto, a(x) está em L N/2 loc (RN ) e aplicando o Teorema de Brézis- Kato (veja Teorema A.7 do Apêndice A), podemos concluir que u L p loc (RN ) para todo p 1. Usando o resultado de regularidade de Agmon, Douglas e Nirenberg (veja Teorema A.8 do Apêndice A), u W 2,p loc (RN ) para todo p 1. Assim, para p suficientemente grande segue, das imersões de Sobolev, que u C 0,α loc (RN ), o que implica que u p 2 u 1 também está em C 0,α loc (RN ). Finalmente, pela teoria de regularidade de Schauder (veja Teorema A.9 do Apêndice A), u C 2,α loc (RN ) e a prova está finalizada. 19 K

Capítulo 2 2.1 Solução Radial Positiva Definição 2.4 Sejam X um espaço de Banach e J : X R um funcional de classe C 1 em X. Uma sequência (u n ) em X é dita de Palais-Smale no nível c R para J (sequência (P S) c para resumir), se J(u n ) c e J (u n ) 0. Dizemos que o funcional verifica a condição de Palais-Smale no nível c R (condição (P S) c para resumir) se toda sequência (P S) c para J possui uma subsequência convergente em X. O funcional J satisfaz a condição de Palais-Smale (condição (P S)) se satisfaz a condição (P S) c para todo c R. Neste ponto, vamos considerar a ação definida em (1.2) do grupo G = O(N) sobre H 1 ( ) e trabalhar com o funcional ϕ, definido em (2.1), restrito a H 1 rad (RN ). Vamos denotar Ψ = ϕ H 1 rad ( ). Lema 2.5 O funcional Ψ satisfaz a condição (P S). Prova. Sejam c R e (u n ) uma sequência (P S) c para Ψ. Para n suficientemente grande, temos Por outro lado, Ψ(u n ) 1 p Ψ (u n ), u n c + 1 + u n. Ψ(u n ) 1 p Ψ (u n ), u n = 1 2 u n 2 1 (u + n ) p dz 1 p R p u n 2 + 1 p ( N 1 = 2 1 ) u n 2, p de onde segue que c + 1 + u n ( 1 2 1 ) u n 2. p (u + n ) p dz Logo, (u n ) deve ser limitada em H 1 ( ). De fato, suponha que não seja. Então, a menos de subsequência, u n +. Dividindo a desigualdade anterior por u n 2, obtemos 1 2 1 p c + 1 u n 2 + 1 u n e fazendo n tem-se que 1/2 1/p 0, isto é, p 2, o que é uma contradição. Desde que H 1 rad (RN ) é um espaço de Hilbert, a menos de subsequência, u n u em H 1 rad (RN ). Pelo Corolário 1.11, u n u em L p ( ) para 2 < p < 2. Logo, a menos de subsequência, u n u q.t.p. em e existe h L p ( ) tal que u n h q.t.p. em. Daí, temos que u + n p 1 u n p 1 h p 1 L q ( ), 20

Capítulo 2 2.1 Solução Radial Positiva onde q = p. Em seguida, notemos que p 1 u n u 2 = u n 2 2 ( u n u + u n u)dz + u 2 = Ψ (u n ), u n u Ψ (u), u n u + [(u + n ) p 1 (u + ) p 1 ](u n u)dz. Pela desigualdade de Hölder e usando o fato que (u + ) p 1 L q ( ), temos [(u + n ) p 1 (u + ) p 1 ](u n u)dz (u+ n ) p 1 (u + ) p 1 q u n u p Agora, desde que Ψ (u n ) 0 e (u n ) é limitada ( h p 1 q + (u + ) p 1 q ) u n u p 0 Ψ (u n ), u n u Ψ (u n ) u n u 0, Ademais, Ψ (u), u n u 0 pela convergência fraca u n u em H 1 rad (RN ). Portanto, u n u 0 e a prova está concluída. Prova do Teorema 2.2. Para obtermos um ponto crítico para Ψ, nosso intuito é aplicar o Teorema do Passo da Montanha (veja Teorema A.3 do Apêndice A). Para isto, falta apenas verificarmos que Ψ satisfaz a geometria do passo da montanha (condições (i) e (ii) do Teorema A.3). Como (u + ) p u p, segue que Ψ(u) = 1 2 u 2 1 p 1 2 u 2 1 p u p p (u + ) p dz Pela desigualdade de Sobolev, existe uma constante C 0 > 0 tal que Assim, de (2.3), obtemos u p C 0 u. (2.3) Ψ(u) 1 2 u 2 Cp 0 p u p = u 2 ( 1 2 C p u p 2 ). Se u = r então Ψ(u) r 2 ( 1 2 C p rp 2 ). 21

Capítulo 2 2.2 Solução Não Radial que Muda de Sinal Logo, se r é suficientemente pequeno, temos que ρ := r 2 ( 1 2 C p rp 2 ) > 0. Portanto, inf u =r Ψ(u) ρ > 0. Agora, se u H1 rad (RN ), u + 0 e t > 0 então Ψ(tu) = 1 2 tu 2 1 p = t2 2 u 2 tp p u+ p p, (tu + ) p dz o que implica que Ψ(tu) < 0 para t suficientemente grande. Tomando e = tu, concluímos a prova da geometria do passo da montanha. Assim, pelo Teorema do Passo da Montanha, obtemos um ponto crítico não trivial u de Ψ. Como a ação de G = O(N) sobre H 1 ( ) é isométrica (caso análogo ao Exemplo 1 no Apêndice C), pelo Princípio de Criticalidade Simétrica, temos que u é um ponto crítico não trivial de ϕ. Pelo Lema 2.3 e pela Observação 2.1, u é uma solução clássica radial não-trivial e não-negativa de (P 1 ). Agora, mostremos que u(x) > 0 para todo x. Suponha, por contradição, que exista x 0 tal que u(x 0 ) = 0. Considere B(x 0, r) uma bola aberta arbitrária centrada em x 0. Desde que u + u 0 em B(x 0, r), devemos ter, pelo Princípio do Máximo Forte (veja Teorema A.5 do Apêndice A), u 0 em B(x 0, r). Como a bola é arbitrária, então u = 0, o que é um absurdo. Portanto, temos a positividade de u e a prova do teorema está completa. 2.2 Solução Não Radial que Muda de Sinal Nesta seção, vamos demonstrar um resultado (veja Bartsch-Willem [3]) que afirma que o problema (P 1 ) também tem solução não radial para N = 4 ou N 6. Note que, o caso N = 5 não é considerado, pois há uma limitação dos metódos utilizados por estes autores. Mais precisamente, temos o seguinte teorema: Teorema 2.6 (Bartsch-Willem, 1993) Se N = 4 ou N 6 e 2 < p < 2, então o problema (P 1 ) tem uma solução não radial clássica que muda de sinal. Prova. Aqui, vamos considerar o funcional ϕ dado por ϕ(u) = 1 2 u 2 1 u p dz, (2.4) p 22

Capítulo 2 2.2 Solução Não Radial que Muda de Sinal o qual está bem definido, é de classe C 1 em H 1 ( ) e tem derivada dada por ϕ (u), v = ( u v + uv)dz u p 2 uvdz para u, v H 1 ( ). (2.5) Observemos que um ponto crítico de ϕ corresponde a uma solução fraca de (P 1 ). Se N = 4 ou N 6, então é possível encontrarmos m 2 tal que N 2m = 0 ou N 2m 2. Neste caso, vamos considerar a ação do subgrupo G = O(m) O(m) O(N 2m) sobre H 1 ( ) definida, como antes, por (gu)(x) = u(g 1 x). Se olharmos para como sendo o espaço R m R m 2m, podemos ver G como a classe das transformações ortogonais pelas quais cada uma das três parcelas é um subespaço invariante. As matrizes representando elementos de G são matrizes em que a diagonal principal contém três blocos de tamanho m, m e N 2m, respectivamente, e o restante das entradas é 0. Pelo Corolário 1.10, a imersão H 1 G( ) L p ( ), 2 < p < 2 é compacta. Relembremos que, HG 1 (RN ) é o subespaço de H 1 ( ) constituído pelas funções invariantes pela ação descrita acima. Agora, consideremos a transformação τ O(N), definida sobre = R m R m 2m, por τ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2, x 1, x 3 ) e a ação do subgrupo H = id, τ sobre H 1 G (RN ) definida por { (hu)(x) = u(x), se h = id u(h 1 x), se h = τ. (2.6) Note que esta ação está bem definida e é isométrica (veja o Exemplo 1 no Apêndice C). Observemos que W F ix H 1 G ( )(H) = {u H 1 G( ) : τu = u} {0}. Por exemplo, tomando ψ 1, ψ 2 C 0 ( 2m ) e radiais, e ψ 3 C 0 (R m ), não-negativa e radial, temos que ψ : R m R m 2m R definida por ψ(x 1, x 2, x 3 ) = log 1 + ψ 3(x 1 )ψ 1 (x 3 ) 1 + ψ 3 (x 2 )ψ 2 (x 3 ), (x 1, x 2, x 3 ) R m R m 2m 23

Capítulo 2 2.2 Solução Não Radial que Muda de Sinal está em W. De fato, τψ(x 1, x 2, x 3 ) = ψ(τ 1 (x 1, x 2, x 3 )) = ψ(τ(x 1, x 2, x 3 )) = ψ(x 2, x 1, x 3 ) = log 1 + ψ 3(x 2 )ψ 2 (x 3 ) 1 + ψ 3 (x 1 )ψ 1 (x 3 ) = log 1 + ψ 3(x 1 )ψ 1 (x 3 ) 1 + ψ 3 (x 2 )ψ 2 (x 3 ) = ψ(x 1, x 2, x 3 ). Além disso, a única função radial em W é a função identicamente nula. Com efeito, se u 0 W é radial, então u 0 (x) = u 0 (τ 1 x) = u 0 (x) para quase todo ponto x, o que mostra que u 0 = 0. Como W é um subespaço fechado de H 1 G (RN ), as imersões W L p (R), 2 < p < 2 são também compactas. Como na prova do Teorema 2.2, o funcional Ψ satifaz a condição (P S) e possui a geometria do passo da montanha. Logo, pelo Teorema do Passo da Montanha, Ψ tem um ponto crítico não-trivial u W. Usando o Princípio de Criticalidade Simétrica, u é um ponto crítico de ϕ e, portanto, uma solução fraca não-trivial de (P 1 ). Do Lema 2.3, segue u é uma solução clássica não nula de (P 1 ) pertencente a W. Assim, u é não radial e, desde que u(x) = u(τ 1 x) temos que u muda de sinal, o que completa a demonstração. 24

Capítulo 3 Potencial e Não Linearidade Parcialmente Periódicos e Radiais Neste capítulo, baseados no trabalho de (Lorca-Ubilla [12]), vamos estabelecer a existência de uma solução simétrica positiva, bem como uma solução não simétrica, que muda de sinal, para o problema elíptico semilinear u + V (z)u = f(z, u), u H 1 ( ), (P ) onde N 4, V : R é um potencial contínuo não-negativo e f : R R é uma função contínua. Mais precisamente, as funções V e f satisfazem as seguintes hipóteses: (V 0 ) inf z V (z) := b 0 > 0; (f 1 ) lim s 0 f(z, s) s = 0 uniformemente para z. (f 2 ) Existem constantes a 1, a 2 > 0 tais que para todo z e s R; f(z, s) a 1 + a 2 s p com 1 < p < 2 1, (f 3 ) Existe uma constante µ > 2 tal que 0 < µf (z, s) sf(z, s) para todo z e s 0, onde F (z, s) = s f(z, t)dt. 0 (f 4 ) f(z, s) = f(z, s) para todo s R e z. (f 5 ) Seja = 1 R 2M, onde N 1 0 e M 2. Existe T = (T 1,..., T N1 ) 1 onde T i 0 para i = 1,..., N 1, tal que para z = (x, y) 1 R 2M e para todo g O(2M), temos f(x 1,..., x i + T i,..., x N1, y, u) = f(x, g(y), u), 25

Capítulo 3 3.1 Resultados Preliminares V (x 1,..., x i + T i,..., x N1, y) = V (x, g(y)), com i = 1,..., N 1, x = (x 1,..., x N1 ) e O(2M) o grupo ortogonal em R 2M. Com base na notação da condição (f 5 ), o principal resultado deste capítulo é enunciado como segue: Teorema 3.1 Suponha que as hipóteses (V 0 ), (f 1 ) (f 5 ) sejam satisfeitas e considere que N 4. Então, o problema (P ) tem duas soluções não-triviais em H 1 ( ). Uma solução é positiva em e radial na variável y. A outra solução muda de sinal e é não-radial na variável y. No Capítulo 2, não pudemos considerar o caso em que a dimensão era N = 5, quando estávamos buscando a existência de solução não radiais. Neste capítulo, mostraremos que é possível encontrarmos soluções não-simétricas para o problema (P ) para todo N 4. O argumento aqui nos permite considerar o caso N = 5, pois buscamos soluções que são não-simétricas na variável y R 2M. 3.1 Resultados Preliminares O funcional de Euler-Lagrange ϕ : E R associado a (P ) pode ser definido por ϕ(u) = 1 ( u 2 + V (z)u 2 )dz F (z, u)dz, 2 onde { } E = u H 1 ( ) : V (z)u 2 dz <. O espaço E acima, munido com o produto interno e a correspondente norma dados, respectivamente, por u, v E = ( u v + V (z)uv)dz e u 2 E = ( u 2 + V (z)u 2 )dz é um espaço de Hilbert (veja teorema abaixo). limitado, temos que E coincide com o H 1 ( ). Teorema 3.2 O espaço (E, E ) é de Banach. Note que quando o potencial V (z) é Prova. É imediato concluir que E é um espaço vetorial normado com a norma E. Vamos verificar que E é completo. Seja (u n ) E uma sequência de Cauchy. Portanto, u n u m 2 E = u n u m 2 2 + (V (z) 1 2 un ) (V (z) 1 2 um ) 2 2 0, m, n. 26

Capítulo 3 3.1 Resultados Preliminares Assim, (u n ) é de Cauchy em H 1 ( ) e {V (z) 1 2 u n } é de Cauchy em L 2 ( ). Logo, existem u H 1 ( ) e v L 2 ( ) verificando u n u em H 1 ( ) e V (z) 1 2 u n v em L 2 ( ). Como H 1 ( ) L 2 ( ) continuamente, temos que u n u em L 2 ( ) e daí, a menos de subsequência, u n u q.t.p. em. Por outro lado, V (z) 1 2 un v q.t.p. em, e com isso, v = V (z) 1 2 u, mostrando que V (z)u 2 dz <, ou seja, u E. Assim, segue que (u n ) converge para u em E, verificando que E é um espaço de Banach. Observemos que pela hipótese (V 0 ), u 2 = u 2 2 + u 2 2 u 2 2 + 1 V (z) u 2 2 b 0 min{1, 1/b 0 } u 2 E, o que implica que E está imerso continuamente em H 1 ( ) e portanto em L p ( ) para 2 p 2. Além disso, o funcional ϕ está bem definido em E e, mais ainda, é de classe C 1 em E (veja o Apêndice B). Para obtermos uma sequência de Palais-Smale para o funcional ϕ, vamos usar a seguinte versão do Teorema do Passo da Montanha (veja [21]), que não requer a condição de Palais-Smale. Apesar desta versão não garantir ponto crítico, ela garante uma sequência (P S) no nível do passo da montanha. Teorema 3.3 Sejam H um espaço de Hilbert, ψ C 1 (H, R), e H e r > 0 tais que e > r e inf ψ(u) > ψ(0) ψ(e). u =r Então, existe uma sequência (u n ) tal que ψ(u n ) c e ψ (u n ) 0 onde c = inf max Ψ(γ(t)) > 0 e Γ = {γ : [0, 1] H : γ(0) = 0, γ(1) = e}. γ Γ t [0,1] Os lemas a seguir são essenciais para obtermos um resultado de compacidade relacionado ao problema (P ). 27

Capítulo 3 3.1 Resultados Preliminares Lema 3.4 Seja {A j } j N uma sequência de conjuntos abertos de 1 (a) 1 = j N Ā j e A i A j = se i j; (b) Existe uma constante C 0 > 0 tal que, para todo j N, tais que u L 2 (A j ) C 0 u H 1 (A j ), para todo u H 1 (A j ). Seja (u n ) uma sequência limitada de H 1 ( ). Se sup u n q dz 0, q [2, 2 ) fixo, j N A j R 2M então u n 0 em L p ( ) para todo 2 < p < 2. Prova. Sejam u H 1 ( ) e q < s < 2, onde s = (1 λ)q + λ2 com 0 < λ < 1. Pela desigualdade de Hölder u n s L s (A j R 2M ) u n q(1 λ) L q (A j R 2M ) u n 2 λ L 2 (A j R 2M ). Agora, usando a desigualdade de Sobolev, obtemos u n s L s (A j R 2M ) C2 λ 0 u n q(1 λ) L q (A j R 2M ) [ A j R 2M (u 2 n + u n 2 )dz Escolhendo λ = 2, temos 2 u n s dz C0 u 2 n 2q N L q (A j (u 2 R 2M ) n + u n 2 )dz. A j R 2M A j R 2M ] 2 λ 2. Desde que j N A j = 1, tomando o supremo, usando o fato que (u n ) é limitada, segue que 1 R 2M u n s dz C 2 0 [ sup j N A j R 2M u n q dz ] 2 N, o que mostra que u n 0 em L s ( 1 R 2M ). Argumentando como na parte final da prova do Lema 1.5, usando a desigualdade de Hölder e as imersões de Sobolev, u n 0 em L p ( ) para todo p (2, 2 ). Agora, vamos fazer algumas definições semelhantes às da Seção 1.4. Definição 3.5 (i) Seja G um subgrupo de O(2M). Dizemos que R 2M é compatível com G se, para algum r > 0, lim y m(y, r, G) = +, onde m(y, r, G) = sup{n N : g 1,..., g n G : j k então B(g j (y), r) B(g k (y), r) = } n N 28

Capítulo 3 3.2 Resultado Principal e B(g k (y), r) R 2M é uma bola de raio r e centro g k (y). (ii) Se R 2M por é compatível com G, consideramos a ação isométrica de G sobre E dada (gu)(x, y) = u(x, g 1 y), (x, y) 1 R 2M e g G. (iii) Denotamos por E G o subespaço das funções invariantes pela ação definida sobre E, isto é, E G = {u E : gu = u, g G}. Temos o seguinte resultado de compacidade, que será essencial em nossos propósitos: Lema 3.6 Se R 2M é compatível com G, a imersão E G L p (Ω R 2M ) é compacta para todo domínio limitado Ω do 1 e todo p (2, 2 ). Prova. Suponha que u n 0 em E G e seja r um número dado pela Definição 3.5. Para todo n N, m(y, r, G) u 2 ndz = Ω B(y,r) m(y,r,g) i=1 Ω B(g i (y)) u 2 ndz Ω R 2M sup u n 2 2. n u 2 ndz Por esta desigualdade e desde que R 2M é compatível com G, dado ε > 0 existe R > 0 tal que sup u 2 ndz ε y >R Ω B(y,r) Pela imersão compacta de E em L 2 (Ω B(0, r + R)), u 2 ndz 0. Assim, obtemos sup y R Ω B(y,r) sup u 2 ndz 0. y R 2M Ω B(y,r) Pelo Lema 3.4, concluímos que u n 0 em L p (Ω R 2M ) para 2 < p < 2. 3.2 Resultado Principal Antes de proceder com na demonstração do Teorema 3.1, precisamos do seguinte lema que é uma consequência da condição (f 3 ). 29

Capítulo 3 3.2 Resultado Principal Lema 3.7 Seja f : R R uma função contínua. Suponha que 0 < µf (x, t) tf(x, t), (3.1) para todo x e t 0, onde F (x, t) = t 0 f(x, s)ds. Se K RN é um compacto, então existe constante C > 0 tal que F (x, t) C t µ C, para todo t R e x K. A condição (3.1) é conhecida como a condição clássica de Ambrosetti-Rabinowitz. Prova. Por (3.1), para t > 1 e x K temos que 0 < µ t f(x, t) F (x, t), e integrando obtemos Logo, t 1 µ t z dz f(x, z) 1 F (x, z) dz. µ ln t ln F (x, t) ln F (x, 1). Assim, obtemos ln t µ ln[f (x, t)/f (x, 1)] e daí F (x, t) F (x, 1)t µ C 1 t µ para t > 1 e x K, (3.2) onde C 1 = min F (x, 1) > 0. Usando novamente (3.1), para t < 1 e x K, temos x K o que implica 1 t f(x, z) 1 F (x, z) dz t Portanto, como anteriormente, segue que f(x, t) F (x, t) µ t, µ dz, t < 1, x K. z F (x, t) F (x, 1) t µ C 2 t µ para t < 1 e x K. (3.3) onde C 2 = min x K F (x, 1) > 0. Agora, para t [ 1, 1] segue que C t µ C. Portanto, para t [ 1, 1] x K, F (x, t) 0 C t µ C. 30

Capítulo 3 3.2 Resultado Principal Combinando (3.2), (3.3) e a desigualdade anterior, concluímos que para todo t R e x K. Prova do Teorema 3.1. F (x, t) C t µ C, Primeiro, vamos provar a existência de uma solução não radial que muda de sinal. Seja τ a involução definida em = 1 R M R M, com N 1 0, M 2, dada por τ(x, y 1, y 2 ) = (x, y 2, y 1 ). Definimos a ação do grupo G 1 = {id, τ} sobre E por { u(x, y 1, y 2 ), se g = id gu(x, y 1, y 2 ) = u(τ 1 (x, y 1, y 2 )), se g = τ. Note que, u = 0 é a única função em E O(2M) E G1. Com efeito, se u E O(2M) E G1, temos que u(x, y 1, y 2 ) = u(τ 1 (x, y 1, y 2 )) = u(x, y 1, y 2 ), isto é, u = 0. Então, consideremos a ação do subgrupo G = O(M) O(M) sobre E e Ψ a restrição do funcional ϕ, definido na seção anterior, ao espaço de Hilbert W = E G1 E G com a norma de E (note que a ação de G 1 sobre W está bem definida e é isométrica, conforme o Apêndice C). A idéia é obter, via Teorema do Passo da Montanha, um ponto crítico não trivial u 0 do funcional Ψ. Em seguida, usando o Princípio de Criticalidade Simétrica de Palais, poderemos concluir que u 0 é um ponto crítico não-trivial de ϕ. Pelas condições sobre f, vamos verificar que Ψ verifica as hipóteses do Teorema 3.3. Já temos que Ψ é de classe C 1 e mostremos que Ψ possui a geometria do passo da montanha. Primeiramente, por (f 1 ) e (f 2 ) temos que dado ɛ > 0 existe C ɛ > 0 tal que para todo z e s R. Consequentemente, f(z, s) ɛ s + C ɛ s p (3.4) F (z, s) ɛ 2 s 2 + C ɛ p + 1 s p+1 para todo z, s R. Logo, usando a imersão contínua de E em L 2 ( ) e em L p+1 ( ), temos Ψ(u) = 1 ( u 2 + V (z)u 2 )dz F (z, u)dz 2 1 2 u 2 E ɛ 2 u 2 2 C ɛ p + 1 u p+1 ( 1 = 2 ɛ ) 2 C 1 u 2 E C 2 u p+1 E = u 2 E(C 3 u p 1 E ), 31

Capítulo 3 3.2 Resultado Principal onde escolhemos ɛ > 0 de modo que C 3 := 1/2 ɛ/2 > 0. Se u E = ρ então e se ρ é suficientemente pequeno, temos que Portanto, Ψ(u) ρ 2 (C 3 ρ p+1 ) α := ρ 2 (C 3 ρ p+1 ) > 0. inf Ψ(u) α > 0. u =ρ Agora, consideremos ψ C 0 ( )\{0} satisfazendo supp(ψ) = B(1, 0) =: K e 0 ϕ(z) 1 para todo z B 1. Pelo Lema 3.7, existem C > 0 tal que, para todo s R e z K, tem-se F (z, s) C s µ C. Logo, para t > 0, obtemos Ψ(tψ) = 1 2 tψ 2 E F (z, tψ)dz R N = t2 2 ψ 2 E F (z, tψ)dz K t2 2 ψ 2 E Ct µ ψ µ dz + C dz K K = t2 2 ψ 2 E Ct µ ψ µ dz + C K K [ ψ = t 2 2 E Ct µ 2 ψ µ dz + C ] 2 t K, 2 com ψ 0. Portanto, lim t Ψ(tψ) =. Para t suficientemente grande, e := tψ satisfaz Ψ(e) < 0 e e E = t u E > ρ. Assim, usando o Teorema 3.3, existe uma sequência (u n ) em W tal que onde Ψ(u n ) c e Ψ (u n ) 0, c = inf max Ψ(γ(t)) > 0 e Γ = {γ : [0, 1] E : γ(0) = 0, γ(1) = e}. γ Γ t [0,1] Agora, fazemos a seguinte afirmação: Afirmação 1: A sequência (u n ) é limitada em W. 32 K

Capítulo 3 3.2 Resultado Principal De fato, por (f 3 ) e para n suficientemente grande, temos c + 1 + u n E Ψ(u n ) 1 µ Ψ (u n ), u n = 1 2 u n 2 E F (z, u n )dz 1 R µ u n 2 E + 1 f(z, u n )u n dz µ N R ( N 1 = 2 1 ) u n 2 E + 1 [f(z, u n )u n µf (z, u n )] dz µ µ R ( N 1 2 1 ) u n 2 µ E. Se (u n ) não fosse limitada, a menos de subsequência, teríamos u n E. Dividindo a desigualdade anterior por u n 2 E, obteríamos c + 1 u n 2 E + 1 u n E 1 2 1 µ, donde fazendo n chegaríamos a 1 1 0, ou seja, µ 2, o que é uma contradição. 2 µ Note que, toda sequência (P S) para Ψ é limitada. Nosso objetivo agora é mostrarmos que (u n ) não converge para zero em L p+1 ( ). Para isto, pelo fato de (u n ) ser limitada e da igualdade Ψ (u n ), u n = ( u n 2 + V (z)u 2 n)dz f(z, u n )u n dz, (3.5) temos a seguinte estimativa: u n 2 E f(z, u n )u n dz + C Ψ (u n ). Usando (3.4), dado ɛ > 0 obtemos u n 2 E ɛ u 2 n + C ɛ u n p+1 dz + C Ψ (u n ) Daí, ɛc 1 u n 2 E + C ɛ u n p+1 dz + C Ψ (u n ). (1 ɛc 1 ) u n 2 E C ε u n p+1 dz + C Ψ (u n ), o que implica que u n 2 E C 1 u n p+1 dz + C 2 Ψ (u n ). Agora, se (u n ) convergisse para zero L p+1 ( ) teríamos u n 2 E 0 pois Ψ (u n ) 0 e por (3.5) concluiríamos que f(z, u n )u n dz 0 e, consequentemente, por (f 3 ) F (z, u n )dz 0. Portanto, teríamos que Ψ(u n ) 0, o que é um absurdo, pois Ψ(u n ) c > 0. 33