Linhas de Transmissão 1. Objetivo Medir a capacitância, indutância e a impedância num cabo coaxial. Observar a propagação e reflexão de pulsos em cabos coaxiais. 2. Introdução Uma linha de transmissão consiste de dois condutores, no qual um sinal alternado num extremo cria um campo elétrico e uma corrente elétrica. A existência de energia elétrica e magnética sugere que a linha de transmissão pode ser representada por uma sucessão de indutores e condensadores como na figura abaixo. Supomos que a indutância e a capacitância por unidade de comprimento são L e C, respectivamente. A tensão V 0 (t) aplicada num extremo induzirá um sinal V(t,x) e I(t,x) que se propagará como um onda ao longo do cabo. As equações para V e I podem ser obtidas analisando o circuito entre x e x + dx. A indutância é responsável pela queda de tensão, V = V(x+ x) V(x), no segmento entre x e x+ x, uma vez que a corrente em x varia. Pode-se escrever, então:
A tensão ao longo de x também varia em função da carga acumulada pela capacitância na região x. A carga acumulada ao longo da linha é dada pela diferença de corrente I = I(x+ x) I(x), resultando para estas variações: (1) (2) É fácil verificar que a corrente I e a tensão V satisfazem a equação de onda com velocidade de propagação: A capacitância e a indutância por unidade de comprimento estão relacionadas com parâmetros geométricos dos cabos coaxiais. [OBS: se o meio não for vácuo, ε 0 deve ser substituído por ε R (=kε 0 )] Uma tensão V 0 (t) aplicada num extremo desta linha de transmissão gera uma onda dada por: A corrente induzida também possui a forma: A relação entre V 0 e I 0 é obtida substituindo numa das equações acima (1) ou (2), a tensão e a corrente dadas em (3) e (4), respectivamente, e integrando, desprezando a constante de integração arbitrária. A relação entre a tensão e corrente de uma onda que se desloca na direção positiva do eixo x será, portanto: (3) (4)
O quociente entre a tensão e a corrente é a impedância Z da linha de transmissão, dada por: Para um pulso de tensão que se propaga na direção negativa do eixo x temos: (6) Se o cabo termina numa resistência R, então esta gera um pulso refletido de modo que a tensão e a corrente tem a forma: (8) No extremo do cabo temos x=l: (9) Substituindo a tensão (8) e correntes (9) na equação acima, obtemos: (10) A amplitude do pulso refletido é uma fração da amplitude do pulso incidente. Se R=0, o pulso refletido será invertido, se R=, o pulso refletido é igual ao pulso incidente. 3. Montagem Experimental 4 cabos coaxiais com diversos comprimentos e com saída bnc; osciloscópio de 100 MHz; gerador de pulso (50 ns) com 4 saídas; cabos coaxiais curtos para ligar as 4 saídas da fonte ao osciloscópio;
multímetro; fios curtos (10 cm) com uma saída bnc e 2 jacarés na ponta; uma ponte RLC para medir L e C dos cabos; potenciômetro linear de 100 Ω; paquímetro; trena ou régua grande; T s com saída bnc. 4. Procedimento Medir as dimensões geométricas dos cabos coaxiais completando a tabela. A seguir, medir a capacitância C do cabo e calcular C = C/l onde l é o comprimento do cabo. Usar o valor de C e a relação de C teórica para calcular o ε r do cabo. Calcular a indutância por unidade de comprimento L. Finalmente, calcular a velocidade da onda e a impedância do cabo. Cabo (m) 2r 1 (mm) 2r 2 (mm) C (pf) ε r L (µ H m -1 ) v (ms -1 ) Z (Ω) A seguir, meça num osciloscópio rápido o tempo de propagação da onda e determine o valor da velocidade. Usando um potenciômetro variável, determine a impedância do cabo.
Cabo (m) t prop. (ns) v (m s -1 ) R = Z (Ω) Questões a. Descreva o pulso refletido quando o cabo coaxial está aberto num extremo. b. Descreva o pulso refletido quando o cabo coaxial está em curto num extremo. c. Descreva o pulso refletido quando R = Z. RELATÓRIO: Neste relatório siga o roteiro e proceda da seguinte maneira: Verifique que I e V satisfazem a equação da onda, definindo a velocidade da onda em termos de L e C. Deduza as expressões (5), (6) e (7). Deduza a expressão (10). Comente os resultados experimentais dispostos nas duas tabelas. Responda às três questões no fim do roteiro.