SIMPÓSIO NACIONAL DA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA OFICINA GEOGEBRA NA ESCOLA : ATIVIDADES EM GEOMETRIA E ÁLGEBRA PROFA. MARIA ALICE GRAVINA INSTITUTO DE MATEMÁTICA DA UFRGS BRASÍLIA SETEMBRO 2013
PARTE 1: GEOMETRIA EM MOVIMENTO Em diversos mecanismos ao nosso redor, a geometria em movimento se faz presente. Por exemplo, em ventiladores podemos observar o movimento circular de suas hastes em torno do seu eixo central; em roldanas, observamos movimentos de sobe-desce conforme a roldana gira; na praça de brinquedos temos o vai-vem do balanço; nas janelas basculantes vemos o movimento de giro de suas folhas; na escada rolante temos os deslocamentos dos degraus; nas portas pantográficas vemos o deslizamento das grades. Para implementar uma modelagem geométrica, a primeira atitude é ter um olhar atento ao mecanismo que se pretende modelar. Ao observá-lo precisamos identificar as características do movimento: é um deslocamento? é um movimento circular? é uma composição de movimentos? Para realizar uma atividade de modelagem é de fundamental importância o menu das transformações geométricas que tem-se disponível no GeoGebra, e que colocamos em destaque na figura 1. Figura 1 No que segue vamos fazer a modelagem de um ventilador. Na Figura 2 temos o esqueleto do ventilador que queremos contruir: o círculo pontilhado determina o tamanho do ventilador e os cinco segmentos, com um ponto em comum, correspondem às pás. Figura 2 Iniciamos construíndo segmento que vai determinar o raio do círculo pontilhado e um ponto O que vai ser o centro do círculo. Com o recurso Compasso construímos o círculo, depois um ponto M sobre o círculo e finalmente o segmento que corresponde à primeira haste, conforme indicação dada na figura 3. A figura 4 indica o procedimento de construção da primeira pá: no segmento inicial construímos o segmento que é sua quarta parte, nisso utilizando duas vezes a ferramenta Ponto Médio. Com o Compasso construímos o círculo de centro M e com raio igual ao segmento quartaparte ; este é o círculo menor que está pontilhado na figura 4. Usando os pontos de intersecção dos dois círculos e o ponto O, construímos um triângulo isósceles e depois um semicírculo que tem como diâmetro a base do triângulo. 2
Figura 3 Figura 4 Escolhido o número de pás (no nosso caso são cinco), calculamos a medida do ângulo entre as hastes de duas pás consecutivas (no nosso caso 72 o = 360 o /5) e usando a ferramenta Girar em torno de um Ponto por um Ângulo obtemos a segunda pá, resultante da rotação da primeira, segundo ângulo de medida de 72 o, em torno do ponto centro do ventilador. Para construir as demais pás procedemos da mesma forma: giramos a segunda pá e obtemos a terceira, giramos a terceira e obtemos a quarta e assim por diante. Agora, de forma breve, indicamos como fazer uma segunda modelagem - uma porta pantográfica. No GeoGebra é o recurso Ponto Médio que vai criar o efeito abrir/fechar a porta. Inicia-se com a construção de um segmento e a marcação de seu ponto médio, e depois é feita a marcação dos pontos médios dos segmentos determinados por estes três pontos, e sucessivamente segue-se com a marcação de pontos médios. A figura 5 ilustra a construção de sucessivos pontos no segmento inicial; e também ilustra o efeito de acumulação dos pontos, conforme um dos extremos do segmento inicial se aproxima do outro extremo. Seqüência de imagens que ilustram a inserção de pontos médios Figura 5 Seqüência de imagens que ilustram os pontos se acumulando Feita a construção do segmento horizontal, com pontos nele igualmente distribuídos, iniciase a construção da grade. Conforme ilustra a figura 6, primeiro é construído um X e os demais X s são construídos através do recurso Reflexão com Relação a uma Reta. Com este procedimento, quando movimentamos o ponto extremidade do segmento horizontal, obtemos o efeito sanfona na porta pantográfica. 3
Figura 6 Com a construção do ventilador e da porta pantográfica procuramos ilustrar o quanto a modelagem das formas em movimento, mesmo em situações muito simples, propicia o desenvolvimento de raciocínios geométricos. Outras tantas situações interessantes e até mesmo divertidas podem ser modeladas no GeoGebra. Podemos por exemplo, criar brinquedos e jogos com movimento sincronizado, como um caleidoscópio, uma pista de corrida de carros, brinquedos de parques de diversões. Também podemos pensar no próprio corpo humano e criar modelos que representem os movimentos de braços, pernas, mãos, olhos, dentre outros. Na Figura 7 temos a modelagem de grupo de bailarinos em movimento, onde todo grupo dança quando se manipula o ponto M. Este efeito é obtido através da ferramenta Ampliar ou Reduzir Objeto, disponível no menu das Transformações Geométricas. A segunda situação simula o brinquedo conhecido como Pogobol ; aqui o uso da ferramenta Lugar Geométrico pode criar interessantes efeitos de caminhos de pulos e a imaginação provoca raciocínios geométricos que dificilmente se fariam presentes na sala de aula tradicional. Figura 7 4
PARTE 2: NÚMEROS COMANDANDO PONTOS Na atividade Números comandando pontos, trabalha-se com segmentos em sistema de coordenadas. Entendidos os conteúdos de matemática (simples), tem-se a competencia para fazer, de forma divertida, desenhos surpresas que integram álgebra e geometria. Figura 1 Desenhos-surpresa Na Figura 1 trazemos exemplos de desenhos surpresa : com a alteração do número a o desenho da casa vai sendo produzido - o ponto verde traça o chão, os pontos laranja traçam as paredes e os pontos rosa traçam os segmentos que compõem o telhado. O desenho do barco também vai sendo composto conforme é manipulado o número a. Os conhecimentos de matemática exigidos na brincadeira são os mesmos que foram utilizados no trabalho com o GrafEq. Como vamos trabalhar com movimento de pontos, retomamos a ideia de translação vertical e horizontal, agora aplicada a pontos. Na Figura 2, V = (x,y) e b e c indicam as medidas dos segmentos destacados. Na primeira figura o ponto rosa R corresponde a uma translação horizontal, para a direita, do ponto verde V e assim R = (x+b,y); já o ponto laranja L corresponde a translação horizontal, para a esquerda, do ponto verde V, e assim L = ( x-c,,y). Na segunda figura o ponto rosa R é uma translação vertical, para cima, do ponto verde V e assim R = (x,y+b); o ponto laranja L é uma translação vertical, para baixo, do ponto verde V e assim L = ( x, y-c). Figura 2 Deslocamentos horizontal e vertical do ponto verde V Isto é o que basta para iniciar a brincadeira no GeoGebra! A atividade fica particularmente interessante quando se faz uso do recurso Seletor um número a variando em certo intervalo e de forma que segmentos variados podem ser desenhados sob o comando do mesmo número a ; é assim que foram desenhadas as composições da Figura 3. 5
Figura 3 Composições com quadrados e retângulos Vejamos como fazer a primeira composição. Inicialmente é feita a construção do Seletor (ver Figura 4): -passo 1: selecionar o recurso Seletor e clicar com o botão esquerdo do mouse em um canto superior da tela; -passo2: na janela que se abre, fazer a escolha de variação para o número a, que no caso da composição rosa vai ser com variação entre 0 e 4; -passo 3: clicar na caixa Aplicar, e assim está criado o Seletor. Figura 4 Recurso Seletor no GeoGebra A próxima etapa é definir o primeiro ponto a ser comandado pelo número a (ver Figura 5): -passo 1 : criar ponto usando o recurso Novo Ponto ; -passo 2: clicar sobre o ponto com o botão direito do mouse e na janela que se abre escolher a opção Propriedades ; -passo 3: na aba Básico definir as coordenadas do ponto que vai fazer o desenho, e no caso indicamos na linha Valor o ponto de coordenadas (a,0) para desenhar o segmento comprimento 4 sobre o eixo OX da composição rosa; Para desenhar o segundo lado horizontal do retângulo criamos um novo ponto com coordenadas (a,2); os lados verticais são desenhados pelos pontos (0, a/2) e (4, a/2), relembrando aqui que a variação de a foi escolhida entre 0 e 4. Para o quadrado rosa temos: os pontos (1, (a/2)+2) e (3, (a/2)+2) desenham os lados verticais; o ponto ((a/2)+1, 4) desenha o lado horizontal superior. 6
Figura 5- Edição de coordenadas de ponto no Geogebra Para a segunda composição, o Seletor tem variação entre 0 e 3. O lado superior do quadrado maior é um segmento de comprimento 6 unidades começando no ponto (-3,3). Assim o ponto que desenha este segmento é (2.a - 3, 3). De imediato obtemos o ponto que desenha o lado inferior do quadrado: (2.a 3, -3). Os segmentos laterais são desenhados pelos pontos (-3, 2.a -3) e (3, 2.a -3). Agora vamos nos concentrar nos segmentos inclinados do quadrado menor: inicialmente imaginamos o segmento s desenhado pelo ponto (a, a) e aplicamos convenientes tranlações neste segmento: o ponto (a, a -3) desenha o lado que corresponde ao deslocamento vertical de s, para baixo de três unidades; o ponto (a -3, a) desenha o segmento que corresponde ao deslocamento horizontal de s, para a esquerda de três unidades. Agora imaginamos o segmento t desenhado pelo ponto (a, -a) e obtemos, analogamente, via deslocamentos de t, os pontos que desenham os outros dois segmentos do quadrado menor: (a, -a +3) e (a -3, -a). Para desenhar o barco (figura 6): o Seletor tem o número real a variando entre 0 e 4. Neste desenho, o que se tem de novo, sob o ponto de vista das relações algébricas, é o desenho da vela rosa. O ponto R desenha o segmento superior da vela, com inclinação negativa (-1/3). Como R é comandado pelo número a, precisamos ajustar a variação de sua primeira coordenada: enquanto a assume valores entre 0 e 4, a primeira coordenada de R assume valores entre 0 e 3. Assim a primeira coordenada de R é (3/4).a. Sabendo que o segmento tem inclinação (-1/3) e que tem extremo no ponto (0,6), a segunda coordenada é ((-1 /3).(3 / 4).a +6) Figura 6 Barco no sistema de coordenadas Explicações mais detalhadas sobre as operações algébricas e os efeitos geométricos que correspondem a segmentos em diferentes posições e inclinações podem ser vistas no artigo Álgebra e Geometria: números comandando pontos, de Gravina,M.A. & Torres, M., publicado na Revista do Professor de Matemátca, no. 80. 7