MAT146 - Cálculo I - Teorema do Valor Intermediário Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira
Agora, veremos problemas em que temos de determinar a taxa de variação de uma variável, quando se sabe como a taxa de outra variável relacionada varia. Denomina-se problema de taxas relacionadas o problema de determinação de uma taxa de variação a partir de outras taxas de variação conhecidas.
Estratégias para resolução de problemas de taxas relacionadas (i) Leia várias vezes o enunciado até compreender o problema. (ii) Se possível, faça uma ilustração que lhe permita compreender melhor o problema proposto. (iii) Identifique as variáveis e as constantes. Use t para tempo. Suponha que todas as variáveis sejam funções deriváveis de t. (iv) Anote as informações fornecidas pelo enunciado do problema. (v) Anote a quantidade que você quer determinar. (vi) Escreva uma equação que relacione as variáveis envolvidas no problema. (vii) Derive em relação a t. (viii) Substitua as informações coletadas anteriormente e obtenha o desejado.
Exemplo Um balão de ar quente, que sobe na vertical a partir do solo, é rastreado por um telêmetro colocado a 500 m de distância do ponto da decolagem. No momento em que o ângulo de elevação do telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taxa de 0, 14rad/min. A que velocidade o balão sobe neste momento? h α 500 m
Utilizamos t para representar o tempo e consideramos que α e h são funções deriváveis de t. = 0, 14rad/min quando α = π 4 e a distância entre o telêmetro e o ponto de decolagem é 500 metros. 1) dα 2) Queremos determinar dh quando α = π 4. 3) Escreva uma equação que relacione as variáveis h e α. 4) Derive em relação a t. tan α = h 500 ou h = 500 tan α dh = 500(sec2 α) dα
5) Calcule dh = 500( 2) 2 (0, 14) = 140 α=π/4 No momento em questão, o balão sobe a uma velocidade de 140 m/min.
Exemplo Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque à razão de 0.001 m 3 /min calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m? 2 m r 4 m h
Neste caso temos a informação de que dv = 1 1000 m3 /min e desejamos descobrir dh. O volume de água do tanque cônico de altura h e raio h=1 r é dado por V = 1 3 πr 2 h. A altura do nível de água, o raio da lâmina de água da superfície e o volume de água depende do tempo t. Devemos escrever tal volume em função apenas da altura. Por semelhança de triângulos r h = 2 4 r = h 2.
Daí, V = 1 12 πh3. Derivando em relação a t e avaliando a expressão obtida para h = 1, encontramos dv = 1 12 π(3h2 ) dh dv = π h=1 12 (3.12 ) dh dh = 1 h=1 250π h=1 Logo, a altura do nível de água está subindo a uma taxa de 1 250π m/min.
Exemplo Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0, 2 km do cruzamento e o segundo a 0, 15 km?
Sejam P o cruzamento e t o tempo decorrido desde que os carros começaram a se aproximar de P, x km a distância do primeiro carro ao cruzamento, y km a distância do segundo carro ao cruzamento e z km a distância entre os dois carros. Logo, dx = 90 e dy = 60. Observe que o sinal em ambos os casos é negativo, pois como x e y medem a distâncias dos carros ao ponto P, x e y decrescem a medida que t cresce. Assim, a variação é negativa. Queremos determinar dz quando x = 0, 2 e y = 0, 15.
Por Pitágoras temos z 2 = x 2 + y 2. Derivando ambos os lados desta equação em relação a t 2z dz = 2x dx + 2y dy dx dz x = + y dy z Quando x = 0, 2 e y = 0, 15, da equação z 2 = x 2 + y 2, concluímos que z = 0, 25. Substituindo da equação acima, encontramos dz = z=0,25 (0, 2) ( 90) + (0, 15)( 60) 0, 25 = 108. Logo, no instante em questão, os carros estão se aproximando um do outro a uma taxa de 108 km/h.
Exemplo Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 3 /h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m? h r
Como a altura h do monte coincide com o raio da base, o volume do monte de areia é dado por V = π 3 h3 e a área da base é dada por A = πh 2. Derivando em relação a t ambas as expressões e avaliando em h = 4, obtemos
da = 2π 4 dh h=4 (1) h=4 dv = π 4 2 dh h=4 (2) h=4 Como dv = 10, por (2) encontramos dh h=4 = 5 h=4 8π. Substituindo este valor em (1), obtemos da = 8π 5 h=4 8π = 5. Portanto, a área da base está aumentando a uma taxa de 5 m 2 /h quando a altura do monte é de 1 m.