O PROBLEMA DE DOIS CORPOS

O PROBLEMA DE DOIS CORPOS

O que é?

Por exemplo, para o caso de um veículo espacial orbitando a Terra...

As equações de movimento do movimento orbital As principais forças atuando em um veículo espacial orbitando a Terra, Gravidade terrestre; Arrasto atmosférico; Perturbação gravitacional do 3º corpo; Impulso; Pressão de radiação solar direta e indireta ; Albedo; Outras... 4

Da 2ª lei de Newton, Assim, modelando cada força aplicada no veículo espacial, ou seja, obtendo as expressões matemáticas para cada força e resolvendo é possível determinar a posição e a velocidade do veículo em função do tempo. Esta solução é complexa e apresenta somente em linguagem numérica. Uma solução simplificar o problema. 5

Simplificações: - O veículo está a uma altitude suficiente para possa desprezar o arrasto atmosférico; - O veículo não fará manobras impulsivas; - Considerar o movimento próximo a Terra; - Massa daterra >>> Massa do veículo; - Terra esférica, simétrica e densidade uniforme, ou seja, massa pontual e a gravidade da Terra age a partir de seu centro; - Massa do veículo constante; - Sistema geocêntrico inercial é suficientemente inercial. 6

Assim, considerando estas simplificações pode-se combinar a 2ª Lei de Newton com a Lei da Gravitação Universal, obtém-se a equação do movimento para o problema restrito de dois corpos Sendo 7

ENTÃO, CONSIDERANDO O PROBLEMA DE DOIS CORPOS (MODELO SIMPLIFICADO, MAS VÁLIDO) TEMOS QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE MOVIMENTO É DADA POR, 8

Assim, F mr GMm r GM r ou r 2 2 0 EDO não linear de 2ª ordem A solução desta equação fornece a trajetória do veículo espacial. 9

VAMOS VER AGORA A SOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO DO VEÍCULO ESPACIAL, OU SEJA, OBTER A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE É OBTER A POSIÇÃO DO VEÍCULO ESPACIAL. 10

Constantes do movimento orbital Na ausência de outras forças que não a gravitacional, duas quantidades se mantém constante em uma órbita: Energia mecânica, E: Momento angular, : Definição: Energia mecânica específica, ; energia (constante) da órbita independente da massa Definição: Momento angular específico, ε como função única do semi eixo maior, a: 11

SOLUÇÃO ANALÍTICA : r( ) r p 1 ecos( ) Esta equação é a equação das cônicas (círculo, elipse, parábola e hipérbole) em um sistema de coordenadas polares fixo ao corpo primário, em que, θ é o ângulo polar (ângulo entre o eixo origem e o ponto P, centrado no foco, p é o semilatus rectrum e e é a excentricidade. 12

Considerando o ponto P a posição do corpo secundário de massa m e que o corpo primário de massa M está no foco da cônica, então: P Estes parâmetros descrevem a órbita polar do corpo secundário ao redor do corpo primário no plano da órbita. 13

Considerando uma elipse podemos caracterizar os parâmetros de uma possível órbita ao redor do corpo primário: r 2 a(1 e ) 1 ecos( ) - r é o vetor posição do planeta em relação à origem fixa ao Sol; - a é o semieixo maior da elipse e define o tamanho da órbita; - e é a excentricidade da órbita e define sua forma; - ν é a anomalia verdadeira e define onde o corpo secundário está em relação ao pericentro. 14

SOLUÇÃO NUMÉRICA: r(t) ENTREGA: DIA 02/10/2017 12 HORAS Introduzindo o problema Utilizando o Problema restrito de dois corpos., obter a solução numérica da equação do movimento em coordenadas cartesianas (X, Y, Z) utilizando o software MatLab e o integrador numérico ODE 45 e dada a condição inicial posição e velocidade no sistema geocêntrico inercial. 15

Condições Iniciais: StarOne C2: Em que Ԧr é dado em km e Ԧv em km/s. 16

Sistema Geocêntrico Equatorial Inercial Origem: centro da Terra Eixos X e Y no plano equatorial Eixo Z na direção do polo Norte (eixo de rotação da Terra) Direção principal (eixo X): equinócio vernal (ponto ϒ) linha de interseção do plano equatorial celeste com a eclíptica, ascendente). 17

Objetivo Conhecer e visualizar a órbita que um veículo espacial descreve em torno da Terra em coordenadas cartesianas considerando o problema dinâmico de dois corpos. 18

Solucionando o problema numericamente Passos: 1 - Obtenha a equação que rege o movimento de um corpo sujeito apenas à uma força gravitacional central em coordenadas polares. 2 - Obtenha a equação de movimento em coordenadas cartesianas (no sistema geocêntrico inercial). 19

Lembre-se os integradores numéricos do MatLab são dedicados à solução de equações e sistemas de equações diferenciais de 1ª ordem, do tipo, necessidade de uma condição inicial x t 0 x ሶ = f(t, x), com = x 0. Assim deve ser feita as adequações necessárias na equação do movimento orbital para usar esses integradores, ou seja, reescreva o problema para utilizar um integrador numérico do MatLab. 20

3 - Realize a integração, obtendo os valores das coordenadas X, Y, Z e V X, V Y, V Z do movimento para uma órbita completa utilizando o ODE 45. Para tanto, será necessário o cálculo do período orbital. Utilize a 3 lei de Kepler. 4 - Realize a integração, igualmente ao item 3 mas agora para 50 períodos orbitais. 5 Apresente o resultado em recurso gráfico 3D para as coordenadas da posição obtidas e a Terra ao fundo (Elipsoide de Referência WGS 1984) para os tempos de integração de 1 período e 50 períodos orbitais. Gráficos a e b. 21

6 - Apresente o resultado em recurso gráfico 3D para as coordenadas da velocidade obtidas para os tempos de integração de 1 período e 50 períodos orbitais. Gráficos a e b. 7 Discuta o resultado encontrado para as coordenadas posição e velocidade. 8 Investigue, colhendo informações relevantes sobre este tipo de satélite e compare com as suas integrações numéricas. 22

Observações para a confecção do relatório - A introdução deve ser contextualizada, por exemplo, deve conter a relação deste problema com a navegação, guiagem e controle. - Além de questões básicas para o entendimento do problema como por exemplo, qual o sistema dinâmico adotado? - As equações utilizadas no MatLab devem ser descritas na seção Estudo Numérico e/ou Procedimento. 23

Observações para a confecção do relatório - Fundamentação teórica do problema de dois corpos: Principais características, limitações, soluções (lembre-se para a solução não SE DEVE obter todos os passos basta indicar como foi obtido), o estudo sobre o sistema Geocêntrico Equatorial Inercial e características do satélite utilizado, ou seja, na parte de fundamentação teórica deve conter todo o conteúdo necessário para o desenvolvimento desta atividade. 24

OBSERVAÇÔES PARA A SOUÇÃO NUMÉRICA Ode45: integrador para edo s de 1ª ordem, do tipo y =f(t,y) Como as equações são de ordem 2, teremos que reduzi-las para ordem 1, ou seja, em coordenada X, temos: X ሶ = v X vሶ X = a X Temos que resolver um sistema com 3 equações de ordem 2, do tipo, (X,Y, Z) = (x 1, x 2, x 3 )

Para tanto, criamos as variáveis, xሶ 1 = x 4 xሶ 4 = a X Dessa maneira, o sistema de 3 equações diferenciais de ordem 2 pode ser escrito como um sistema de 6 equações de ordem 1. Lembre-se esta parte deve ser descrita no item do relatório Estudo Numérico e/ou Procedimento.