ESTUDO DA MEDIDA INVARIANTE DO MAPA LOGÍSTICO EM PONTOS DE MISIUREWICZ Autores: Sabrina ZANELLA 1, Antônio João FIDÉLIS 2 1. Bolsista do Edital 05/2015 IFC Campus Luzerna do Curso de Engenharia de Controle e Automação, 2. Orientador do IFC Campus Luzerna Docente EBTT mestre em Física. Introdução O mapa logístico provém da teoria de Malthus (1798) adaptada por Verhulst (1844) para apresentar um modelo de dinâmica populacional mais real. Discretizado, assume a forma x n+1 = rx n (1 x n ), com 0 r 4, sendo o parâmetro fixo (pois não varia com o tempo) e 0 x n 1 a variável. Este modelo tornou se objeto de estudo de uma classe de universalidade para os sistemas dinâmicos unidimensionais, a de mapas unimodais, pois apresenta uma diversidade de comportamentos dinâmicos presente em sistemas mais elaborados, conforme o bem divulgado trabalho do biólogo May (1976). A dinâmica de uma órbita (sequência única de pontos x 0 1 2 3 x x x... para um determinado valor de r, em que x 0 é dita condição inicial) num mapa é, por tradição, obtida via iteração numérica, sendo necessário o descarte de um transiente primeiros passos da iteração para a posterior análise do comportamento assintótico do mapa, este sim objeto de interesse. Há modelos de mapas que exigem cálculos proibitivos, apesar da evolução do poder computacional, tornando demorada e, às vezes, até mesmo impossível de se obter informações relevantes sobre a dinâmica da órbita. O conhecimento da distribuição de pontos numa órbita, chamada medida invariante μ(r, x), permite obter informações do comportamento dinâmico da órbita, e esta função deve obedecer propriedades matemáticas apresentadas por Myers e Jensen (1985). Para órbitas com atrator periódico, ditas órbitas periódicas (em quex n = x n+p para os menores inteiros n 0 ep 1 que satisfazem a igualdade), μ(r, x ) é composta por ( n ) funções delta de Dirac, e sua dinâmica é bem conhecida. Para órbitas com atrator caótico, ditas órbitas caóticas, μ(r, x ) é conhecida algebricamente apenas para r = 4, conforme os trabalho de (Ulam e Neumann, 1947; Fidélis e Martins, 2015), e pode ser obtida via conjugação topológica do mapa da tenda (Bai lin, 1989). Obter grandezas estatísticas do comportamento dinâmico de órbitas caóticas em mapas, sem iteração, é possível apenas com o conhecimento da medida invariante
μ(r, x ). O objetivo principal deste estudo é, a partir da única medida invariante algebricamente conhecida para uma região caótica, avaliar uma proposta de obtenção de μ(r, x ) para outras regiões caóticas utilizando elementos presentes na dinâmica do mapa, como as funções Supertracks (Oblow, 1988; Dorobantu et al., 1989) e os pontos de Misiurewicz (Romera, 1996). Obter, algebricamente, grandezas como o expoente de Lyapunov (Monteiro, 2011) e a dimensão fractal de Hausdorff Besicovitch (Fiedler Ferrara e Prado, 1994), assim como a comparação com o respectivo valor numérico iterado, para validar os resultados, também são objetivos deste trabalho. Materiais e Métodos Da dissertação de mestrado Dinâmica do Mapa Logístico via Supertracks (Fidélis, 2013), uma das vertentes abordadas é sobre uma proposta de medida invariante μ(r, x ) algébrica para órbitas caóticas. Para tal, é necessário o uso das funções Supertracks, (r). Estas são obtidas recursivamente, para todo intervalor, com S n S n+1 (r) = rs n (r)[1 S n (r)] e condição inicial S 0 (r) = 1 /2, pois x = 1 /2é o ponto crítico do mapa. Estas funções moldam o diagrama de bifurcação (retrato de fase do comportamento assintótico do plano x r ), delimitando seu comportamento periférico e destacando a dinâmica interna. Quando S n (r) = S n+p (r), para os menores inteiros n 0e p 1 que satisfazem a igualdade, e as funções apenas se tangenciam, temos uma órbita periódica de período p (Fidélis, 2013). Quando a condição é satisfeita e as funções se cruzam, temos pontos de Misiurewicz M n,p de pré período n (passos necessários até chegar à órbita periódica) e período p. Estes pontos de Misiurewicz caracterizam uma órbita caótica e coincidem com os picos de distribuição na medida invariante. Para a medida invariante 1 algebricamente conhecida emr = 4, quandoμ(4, x ) =, estes picos de = 1 π x(1 x) π (x 0)(1 x) distribuição ocorrem emx = 0 ex = 1, pólos da equação, que podem ser reescritos como x 1 = 1 = S 1 (4) ex 2 = x n = 0 = S 2 (4) = S n (4) para n > 2. Temos um ponto de Misiurewicz e dois picos de distribuição, o próprio ponto e o ponto do pré período. Assim, podemos reescrever a medida invariante a partir do ponto de Misiurewicz e do ponto do pré período como 1 μ(4, x ) =, fornecendo um indício de que a medida π [x S (4)][S (4) x] 2 1
invariante pode ser obtida a partir dos pontos de Misiurewicz e de seus pré períodos para órbitas de atratores caóticos. Obtemos, por iteração numérica em Fortran, a medida invariante discretizada, via contagem de acúmulo de pontos em caixas no intervalo unitário. Do arquivo de dados criado geramos um gráficoμ(r, x ) x que usamos para comparar com a proposta algébrica. Essa proposta algébrica usa uma combinação (soma) de funções semelhantes àμ(4, x ) mas que depende der e, consequentemente, apresenta outros valores de pontos de Misiurewicz e pré períodos, pois a medida invariante local apresenta outros picos de acumulação. A primeira verificação da proposta é visual, quando as medidas numéricas e algébricas são confrontadas num gráfico sobreposto, para uma primeira avaliação do peso estatístico dos coeficientes. Posteriormente são verificados quais valores de coeficientes melhoram a proposta apresentada. Para verificar se a proposta algébrica está matematicamente correta, e não apenas visualmente coerente, utilizamos uma identidade apresentada por Myers e Jensen (1985), à qual usamos a pré iterada dos pontos da órbita para obter a ratificação de que trata se de uma medida invariante de fato. Resultados e Discussão Partindo do princípio que a quantidade de picos de distribuição deva ser proporcional à quantidade de termos a serem somados na proposta algébrica da medida invariante, o próximo valor do parâmetro r a ser abordada a medida invariante seria aquele em que a mesma apresente três picos. Esta distribuição será avaliada como a soma de duas semelhantes à que ocorre em r = 4, contraídas, transladadas e com o devido peso estatístico. A Figura 1 mostra a medida invariante conhecida emr = 4, tanto numérica quando algébrica, a partir da expressão de proposta por Ulam e Neumann (1947), onde é possível perceber que ambas coincidem. Como teste para verificar a possibilidade da proposta ser válida, obtemos o espectro de pontos da órbita que apresenta três picos, o ponto de Misiurewicz M 3,1, onde 2[( 19+3 33) 2/3 + ( 19+3 33) 1/3 +4] há uma das soluções des 3 (r) = s 4 (r) em r = = 3, 6 785735, 3( 19+3 33) 1/3 conforme a Figura 2, a qual podemos perceber que, visualmente, as medidas algébricas
e numéricas são praticamente as mesmas, porém a demonstração algébrica ainda não foi realizada. Figura 1. Medida invariante para o atrator caótico em r = 4 obtida algebricamente e sobreposta à obtida numericamente, além do acúmulo da mesma. Figura 2. Medida invariante para o atrator caótico em r = 3, 6785735 obtida algebricamente e sobreposta à obtida numericamente. Outras órbitas também estão sendo avaliadas, porém como há mais picos de distribuição na medida invariante das mesmas, a dificuldade em construí las é maior. Conclusão O projeto ainda encontra se em andamento, não tendo resultados conclusivos para o momento. Contudo, temos o indicativo de que, se este modelo não for o correto, está muito próximo do verdadeiro. Caso seja possível ratificar a proposta algébrica, teremos uma nova ferramenta para avaliar a dinâmica de sistemas a partir da medida invariante, sem necessidade de iterar o mapa, reduzindo o tempo computacional das análises e da obtenção de grandezas topológicas e estatísticas da órbita, criando um novo paradigma da abordagem do estudo dos sistemas dinâmicos modelados por mapas.
Referências BAI LIN, H. 1989. Elementary Symbolic Dynamics: And Chaos in Dissipative Systems. World Scientific. Singapura. DOROBANTU, I. A.; BARABASI, A. L.; L. Nitsch. Supetracks and nth order windows in the chaotic regime. Physics Letters A, n. 139, v. 1, p.53 56, 1989. FIDÉLIS, A. J. Dinâmica do Mapa Logístico via Supertracks. 2013. Dissertação (Mestrado em Física) Programa de Pós Graduação em Física, Universidade do Estado de Santa Catarina, Santa Catarina. 2013. FIDÉLIS, A. J.; MARTINS, L. C. Algebraic orbits on period 3 window for the logistic map. Nonlinear Dynamics, v. 79, n. 2, p. 1015 1021, 2015. FIEDLER FERRARA, N.; PRADO, C. P. C. 1995. CAOS Uma Introdução. Editora Edgard Blücher, São Paulo. MALTHUS, G. 1798. An Essay on the Principle of Population As It Affects the Future Improvement of Society with Remarks on the Speculations of Mr. Godwin, M. Condorcet and Other Writers. 1 ed. J. Johnson in St Paul's Church yard, London. MAY, R. M. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, n. 261, v. 1, p. 459 467, 1976. MONTEIRO, L. H. A. 2011. Sistemas Dinâmicos. 3a. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo. MYERS, C. R.; JENSEN, R. V. Images of the critical points of nonlinear maps. Physical Review A, n. 32, v. 2, p. 1222 1224, 1985. OBLOW, E. M.Supertracks, supertrack functions and chaos in the quadratic map. Physics Letters A, n. 128, v. 8, p. 406 412, 1988. ROMERA, M.; MONTOYA, F.; PASTOR, G. Misiurewicz points in one dimensional quadratic maps. Physica A, n. 232, p. 517 535, 1996. ULAM, S. M.; NEUMANN, J. von. On combinations of stochastic and deterministic processes. Bulletin of the American Mathematical Society, n. 53, p. 1120, 1947. VERHULST, P. F. Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population. Nouveaux Mémoires de l'académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Bruxelles, Bélgica, n. 18, p. 1 42, 1844.