Mecânica e Ondas LEIC-TP Séries de Problemas Enunciados Pedro Abreu, adaptado de original de Ana Maria Mourão (Coordenadora) e Nuno Pinhão Ano Lectivo: 2016/2017, 1 o semestre Alguns exercícios são seleccionados a partir da Bibliografia ou de exames de anos anteriores. A escrita das soluções contou com a participação de Katharina Lorenz. Nesta compilação colaboraram ainda Eduardo V. de Castro e Jordi Casanellas.
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Conteúdo 10.Relatividade de Galileu a Einstein 7 A. Constantes A.1 3
Introdução A resolução de problemas, seja em Física ou em qualquer outro domínio, é facilitada se forem seguidas algumas regras que ajudam na sua analise e a encontrar a sua solução. Esta deve passar por três fases: uma de análise do problema, a resolução propriamente dita e uma de verificação. Nota: Das regras a seguir indicadas, nem todas se aplicam a todo o tipo de problemas devendo ser vistas como conselhos de ordem geral. Análise: Comece por certificar-se que entende o problema. Se tiver dúvidas experimente sublinhar palavras-chave que o definem, identificam o seu tipo e as grandezas envolvidas. Faça um esquema do sistema físico descrito. Identifique as grandezas por um símbolo. Veja se o problema é do mesmo tipo de um problema que já conheça; se for a estratégia de solução deve ser semelhante. Pense na situação descrita: imagine o que se passa e preveja, qual será o resultado, (pelo menos qualitativo). Se tiver dúvidas na sua análise, discuta com um colega; Resolução: Liste as grandezas e valores de entrada, as grandezas a calcular e os valores de alguma constante que necessite. Estabeleça as relações entre as grandezas por forma a definir as relações físicas entre as grandezas a calcular e as fornecidas. Se a resposta pretendida for um valor numérico, só então passe à substituição de valores; Verificação: Pense no resultado que obteve. Era o que estava à espera? É consistente com outros problemas semelhantes? O que sucederia se variasse os valor de entrada? Analisar situações limite (massa infinita, tempo infinito, etc.) 5
10. Relatividade de Galileu a Einstein 10.1. Uma massa m está suspensa do tecto de uma carruagem de comboio por um fio. Um passageiro na mesma carruagem regista que, quando o comboio arranca da estação, o fio que suspende a massa faz um ângulo α com a vertical (i.e, com a normal ao tecto da carruagem). a) Determine as forças que actuam na massa m do ponto de vista de um observador que está a analisar as imagens da massa m a partir de uma câmara video localizada no interior da carruagem. O observador está fora do comboio. Relacione a resposta com o ângulo α. Do ponto de vista desse observador, qual o estado de repouso ou movimento de m? b) Determine as forças que actuam na massa m do ponto de vista de uma pessoa que permanece na plataforma da estação e vê o comboio arrancar. O que poderá dizer relativamente à aceleração do comboio? 10.2. Um passageiro num elevador deixa cair uma moeda. Nesse instante o elevador encontrava-se em movimento descendente com velocidade v elevador = 0.5 m/s. a) Se no instante em que a moeda adquire uma velocidade de 1 m/s em relação ao passageiro, se partirem os cabos do elevador, qual o movimento posterior da moeda em relação ao passageiro. b) No instante em que se partiram os cabos a moeda estava a 20 cm do chão do elevador. A moeda atingirá o chão do elevador? c) Qual o movimento da moeda antes de se partirem os cabos e após se terem partido os cabos do elevador, do ponto de vista do funcionário da empresa que tinha precisamente acabado de arranjar o elevador e estava no patamar do último piso? 10.3. Um feixe de muões, µ, em raios cósmicos, move-se à velocidade v = 0.992 c. Qual a fracção que sobrevive após um percurso de 1920 metros? (T 1/2 = 1, 53 10 6 s, no referencial próprio!). 10.4. Um motociclista desloca-se com velocidade v = 0.8 c em relação à Terra e dispara uma bola com velocidade vbola = 0.7 c relativamente a ele e no sentido de v. Qual a velocidade da bola em relação à Terra? 10.5. Três lâmpadas A 1 vermelha, A 2 amarela e A 3 verde acendem simultaneamente no referencial de uma nave S que se desloca em 7
10. Relatividade de Galileu a Einstein relação a outra nave S com uma velocidade v na direcção X. As lâmpadas acendem no instante t = 0 s, nos pontos com coordenadas x 1 = 0, x 2 = l e x 3 = 2l, respectivamente. Determine as coordenadas das lâmpadas relativamente a S e indique qual a ordem pela qual o astronauta da nave S vê as lâmpadas a aceder. 10.6. Imagine um relógio colocado no ponto com coordenada x = 0 no referencial S. Considere que no instante t = t 1 no relógio acende-se uma luz. Essa luz apaga-se no instante t 2. a) Calcule as coordenadas espaciais e temporais do relógio no referencial S, respectivamente x e t 1, t 2. b) Compare t = t 2 t 1 com t = t 2 t 1 e verifique o fenómeno da dilatação do tempo. c) Calcule s 2 = c 2 t 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) e s 2 = c 2 t 2 ( x 2 + y 2 + z 2) e verifique a invariância do intervalo espaço-tempo. Tem um intervalo do tipo espaço, do tipo tempo, ou do tipo luz? 10.7. Numa base espacial encontra-se estacionada a nave Pegaso com 20 m de comprimento. A nave parte para uma viagem e quando atinge a velocidade de cruzeiro o seu comprimento, medido a partir da base, é de 10 metros. a) Qual a velocidade da nave Pegaso em relação à base? b) Qual o comprimento da nave para os seus tripulantes? c) Na base espacial detectam uma outra nave, Orion, em rota de colisão com Pegaso e a uma velocidade v Orion = 0.6 c relativamente à base. Qual a velocidade com que as duas naves se aproximam, do ponto de vista da base? E do ponto de vista de cada uma delas? Nota: A velocidade de aproximação das naves Orion e Pegaso em relação ao referencial da base espacial é a soma das duas velocidades. 10.8. As partículas de alta energia são detectadas no laboratório pela impressão que deixam nas chapas fotográficas dos detectores. Uma partícula movendo-se à velocidade de 0.995 c produz um rasto de 1.25 mm. Qual o tempo de vida da partícula no referencial próprio? 10.9. Duas lâmpadas (1 e 2) são acesas simultaneamente para um observador que se encontra em repouso em relação a estas; o mesmo observador mede a distância entre as lâmpadas e obtém 10 m. a) As duas lâmpadas acendem simultaneamente para um observador que se desloque num avião a 600 m/s? Qual o intervalo de tempo decorrido entre o acender das lâmpadas? 8
b) Qual a distância espacial entre os dois acontecimentos (acender das lâmpadas) para o observador no avião da alínea a)? 10.10. Um atleta corre com velocidade V transportando uma barra horizontal de comprimento L0 cujas extremidades são A e B. No ponto médio da barra existe uma fonte que emite luz. Nas respostas à s alíneas que se seguem, compare a solução relativista com a solução clássica, não relativista. a) A fonte emite um impulso. Calcule os intervalos de tempo para a luz chegar a A e a B, medidos no referencial do corredor. b) Refaça a alínea anterior no referencial de quem está parado. c) Qual deverá ser a velocidade V para que, no referencial de quem está parado, a tábua tenha um comprimento L=L0/2? d) Se a barra com a velocidade V calculada em c) entrar numa garagem de comprimento L=L0/2, os acontecimentos passagem da extremidade B da barra pela porta P B e a passagem da extremidade A pela porte P A são simultâneos no referencial da garagem. E no referencial da barra? Qual o comprimento da garagem no referencial da barra? e) Se no instante em que, para o referencial da garagem, a barra está toda lá dentro, forem simultaneamente fechadas as portas P A e P B, a barra fica fechada na garagem. Como é isto possível se, para um observador ligado à barra (por ex., o corredor), esta tem comprimento L0 e a garagem um comprimento menor? Calcule a diferença entre o comprimento da garagem e o da barra no referencial do corredor e compare com o espaço percorrido pela garagem no intervalo de tempo entre o fecho das portas. f) Calcule o intervalo no espaço-tempo entre os dois acontecimentos nos dois referenciais. É um intervalo do tipo espaço, do tipo tempo, ou do tipo luz? 10.11. A nave espacial Passarola tem um comprimento em repouso de 60 m, e está a viajar com velocidade constante a caminho de Andrómeda (à distância de aproximadamente 2 milhões de anos). A sua velocidade pode ser monitorada enviando um sinal luminoso da Terra, que é reflectido de volta por dois espelhos colocados nos extremos da nave. Recebe-se um sinal reflectido pelo espelho mais próximo da Terra, e de seguida um segundo sinal reflectido pelo espelho na outra extremidade da nave. Suponha que numa dada altura em que a direção de movimento da nave coincide com a direção de observação a partir da Terra, se receberam dois sinais separados no tempo por 1,74 µs. 9
10. Relatividade de Galileu a Einstein a) A diferença entre o percurso na nave dos raios reflectidos é igual ou diferente do dobro do comprimento da nave para o Comandante da nave? E para um observador na Terra? Justifique ambas as respostas. b) Calcule a velocidade da nave (no referencial da Terra). c) Para permitir passarem o tempo sem se aborrecerem, os corpos dos tripulantes foram congelados. Daqui a quanto tempo (no referencial da nave) devem os computadores da nave iniciar a reanimação? 10.12. Um combóio e um túnel têm ambos comprimento próprio L=100 m. O combóio dirige-se para o túnel com velocidade constante V=0,95c. Uma bomba está colocada na parte da frente do combóio. Há um sensor colocado à saída do túnel, que faz detonar a bomba quando a frente do combóio chega à saída do túnel. No entanto, existe um outro sensor, colocado à entrada do túnel, que diz à bomba para se desarmar assim que a parte de trás do combóio entra no túnel. Será que a bomba explode? Analise a situação em ambos os referenciais. Constantes: Constante de Gravitação Universal, G: Velocidade da luz no vácuo, c: m H : m Hélio : m protão = m anti protão : m electrão = m positrão : Distância da Terra ao Sol, D: Luminosidade solar, L = de/dt: 1 u m a = 1, 66 10 27 kg 6, 67 10 11 Nm 2 Kg 2 3 10 8 m/s 1.0081 u m a 4.0039 u m a 1, 66 10 27 kg 9, 1 10 31 kg 1, 5 10 11 m 3, 827 10 26 W 10
A. Constantes Constante de Newton de Gravitação Universal: G = 6.67 10 11 N m kg 2 ; permitividade do vácuo: ε 0 = 8.85 10 12 F m 1 ; distância média da Terra ao Sol: D = 1.5 10 11 m ; velocidade do Sol em torno do centro da Galáxia: v = 220 km s 1 ; distância do Sol ao centro da Galáxia: R = 8 kpc ; luminosidade solar: L = de/dt = 3.827 10 26 W ; massa da Terra: M = 6 10 24 kg ; raio médio da Terra: R = 6.400 km ; velocidade do som no ar: v som = 344 m/s ; velocidade da luz no vácuo: c 0 = 3 10 8 m/s ; m H = 1.0081 u, m He = 4.0039 u, 1 u = 1.7 10 27 kg ; carga do electrão: e = 1.6022 10 19 C ; massa do electrão: m e = 9.1 10 31 kg = 548 10 6 u ; massa do protão: m p = 1.7 10 27 kg = 1 u ; número de partículas numa mole (constante de Avogadro): 6.022 10 23 mol 1 A.1