Figura 1: Hipóteses básicas.

2 FLEXÃO NORMAL SIMPLES Nesta seção descreve-se as hipóteses básica de dimensionamento, de forma sucinta, mas atendendo a última revisão da norma ABNT NBR6118:2014, permitindo-se os concretos até 50 MPa, e de 50 à 90 MPa. 2.1 Hipóteses básicas e modelos constitutivos As hipóteses básicas do dimensionamento à FNS de seções retangulares de concreto armado são: As seções transversais permanecem planas após a deformação (Hipótese de Navier); Tração nula no concreto; Aderência perfeita entre o aço e o concreto. Estas hipóteses podem ser sumarizadas na Fig. 1, que descreve a contribuição do concreto e do aço na seção transversal. Figura 1: Hipóteses básicas. A Fig. 2 descreve o modelo constitutivo adotado para o concreto (modelo parábolaretângulo), considerando os dois grupos de concreto, até 50 MPa, e de 50 à 90 MPa. Figura 2: Modelo constitutivo do concreto. A Fig. 3 indica a variação dos parâmetros n, ε c2 e ε cu para concreto variando de 20 à 90 MPa, sendo constante de 20 à 50 MPa, e não linear de 50 à 90 MPa. Note que, para f ck = 90 MPa, ε c2 = ε cu = 2, 6, portanto o diagrama é não linear de 0 à ε cu. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 3

3.5 3 ɛ c2 ( ) ɛ cu ( ) n 2.5 2 1.5 1 20 30 40 50 60 70 80 90 f ck (MPa) Figura 3: Variação dos parâmetros n, ε c2 e ε cu. A Fig. 4 descreve o modelo constitutivo adotado para o aço (modelo elasto-plástico perfeito). Figura 4: Modelos constitutivo do aço. 2.2 Domínios de deformação A hipótese de Navier e a aderência possibilitam estabelecer uma compatibilidade de deformações entre os materiais concreto e aço, estabelecidos os seus modelos constitutivos, que permite definir as regiões possíveis para as deformações, denominada domínios de deformação, indicada na Fig. 5, a partir dos estados limites últimos para o concreto e aço. Para se garantir um comportamento dúctil da seção, o dimensionamento deverá ocorrer nos domínios 2 ou 3, D2 onde o ELU é caracterizado pelo alongamento plástico excessivo (ε su = 10 ), e o D3 onde o ELU é caracterizado pelo esmagamento do concreto na flexão (ε cu ) conforme a Fig. 2. Nas Figs. 6 e 7 mostram-se os domínios 2 e 3. É importante salientar que os limites x 23 e x 34 serão alterados, em função de ε cu para os concretos mais resistentes, 50 < f ck 90 MPa. Os clássicos valores limites da posição da linha neutra entre os domínios 2 e 3, x 23 = 0.259d, independente do tipo de aço, e x 34 = 0.628d, para o aço CA50, se mantém para ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 4

Figura 5: Domínios de deformação na FNS. Figura 6: Domínio 2. Figura 7: Domínio 3. o concreto de resistência até 50 MPa (20 f ck 50 MPa), pois a deformação última do concreto ε cu = 3.5 também não se altera. Para os concretos de resistência mais elevada, de 50 à 90 MPa (50 < f ck 90 MPa), a deformação última do concreto se altera, conforme expressão e gráfico, indicados nas Figs. 2 e 3, e os limites entre os domínios 2, 3 e 4 (x 23 e x 34 ) estão indicados na Tab. 1, assim como os parâmetros que definem o modelo constitutivo do concreto (n, ε cu e ε cu ), e também os parâmetros que caracterizam o diagrama retangular de ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 5

Tabela 1: Parâmetros em função da resistência do concreto. f ck (MPa) ɛ c2 ( ) ɛ cu ( ) n α c λ x 23 /d x 34 /d 20 à 50 2.000 3.500 2.000 0.850 0.800 0.259 0.628 55 2.200 3.125 1.751 0.829 0.788 0.238 0.602 60 2.290 2.884 1.590 0.808 0.775 0.224 0.582 65 2.360 2.737 1.491 0.786 0.763 0.215 0.569 70 2.420 2.656 1.437 0.765 0.750 0.210 0.562 75 2.470 2.618 1.412 0.744 0.738 0.207 0.558 80 2.520 2.604 1.402 0.723 0.725 0.207 0.557 85 2.560 2.600 1.400 0.701 0.713 0.206 0.557 90 2.600 2.600 1.400 0.680 0.700 0.206 0.557 tensões, α c e λ, definidos na Sec. 3, cuja variação é indicada na Fig. 9. Note que, assim como a deformação última diminui com o aumento do f ck, de 3.5 para 20 f ck 50 MPa à 2.6 para 90 MPa, também os limites entre os domínios diminuem, 0.259d à 0.206d para o limite x 23, e 0.628d à 0.5576d para o limite x 34. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 6

3 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES Apresenta-se o dimensionamento da armadura das seções retangulares de concreto armado submetida à FNS, considerando o diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, simplificação clássica que permite uma resolução analítica simples e de fácil entendimento, assim como o diagrama parábola-retângulo, sendo necessário uma integração numérica, obtida pelo método das secantes, neste trabalho. A Fig. 8 mostra os dois diagramas de tensões no concreto e o parâmetro α c, que representa a queda de resistência do concreto sob efeito de cargas de longa duração, denominado efeito Rüsch, α c = 0.85 para para f ck 50 MPa e α c = 0.85[1.0 (f ck 50)/200] para 50 < f ck 90 MPa. Na Fig. 9 indicam-se am variações dos parâmetros α c e λ, sendo constantes de 20 à 50 MPa, α c = 0, 85 e λ = 0, 8, e lineares de 50 à 90 MPa, também indicados na Tab. 1. Figura 8: Diagramas de tensões no concreto. 0.85 λ α c 0.8 0.75 0.7 20 30 40 50 60 70 80 90 f ck (MPa) Figura 9: Parâmetros do diagrama retangular simplificado. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 7

3.1 Diagrama retangular simplificado Para o dimensionamento da armadura, considerando o diagrama retangular simplificado (Fig. 10), estabelece-se o equilíbrio da seção resistente, conforme a Fig. 11, considerando M d, ou seja, o dimensionamento econômico para a condição de segurança M d M rd. Figura 10: Diagrama de tensão retangular simplificada. Do equilíbrio de momentos, Eq. 1, reduzido à armadura de tração, chega-se a Eq. 2 da profundidade da linha neutra (LN), cuja solução está explicitada na Eq. 3. Figura 11: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção Armadura simples. onde M d = α c f cd bλx (d λ2 ) x λ 2 = α c f cd bλdx α c bf cd 2 x2 (1) M d : Momento solicitante de cálculo; x 2 2 λ dx + 2M d α c λ 2 bf cd = 0 (2) ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 8

x = d λ ( 1 1 2M d α c bd 2 f cd ) (3) A norma ABNT NBR6118:2014 adota os seguintes limites para armadura simples: x = 0, 45 d para f ck 50 MPa, e x = 0, 35 d para 50 < f ck 90 MPa. Portanto, para f ck 50 MPa, resulta armadura simples, cuja armadura de tração indica-se na Eq. 4, sendo f yd a resistência de escoamento do aço, pois, na armadura simples, σ sd = f yd. onde A s : Área de aço; A s = As Eqs. 3 e 4 resultam, para f ck 50 MPa, nas Eqs. 5 e 6. x = 1, 25 d ( M ( d f yd d λ x ) (4) 2 LN 1 M d 1 0, 425 bd 2 f cd ) (5) A s = M d f yd (d 0, 4 x LN ) (6) Para x > x lim, portanto, armadura dupla, impõe-se o x lim = 0, 45 d para f ck 50 MPa, e x lim = 0, 35 d para 50 < f ck 90 MPa, resultando na Eq. 7, para o momento resistido pelo concreto na armadura dupla, que também representa o momento limite para armadura simples. A Fig. 12 mostra as resultantes do equilíbrio para a armadura dupla. Figura 12: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção Armadura dupla. M cd = R cd (d λ 2 x lim ) ( = α c f cd bλx d λ ) 2 x lim = α c λk x bd 2 f cd (1 λ ) 2 k x (7) onde ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 9

k x : é a relação x lim /d; O momento que será resistido pela armadura de compressão, M d, pode ser obtido pela diferença M d = M d M cd, resultando nas armaduras de tração, A s, e de compressão, A s, conforme as Eqs. 8 e 9. A s = M cd M ( f yd d λ x ) d + 2 lim f yd (d d ) (8) onde A s = M d σ sd (d d ) σ sd : é a tensão na armadura de compressão, verificando-se a sua deformação ɛ sd ; 3.2 Parábola-retângulo Conforme apresentado na Seção 3.1, o dimensionamento com o uso do diagrama retangular simplficado permite um equacionamento e uma solução analítica. Quando utiliza-se o diagrama parábola-retângulo como apresentado na Fig. 13 é necessário um método numérico para encontrar a profundidade da linha neutra como também para a integração do R cd como pode-se observar na Fig. 14. (9) 3.2.1 Método das secantes Figura 13 O método das secantes é um método numérico iterativo para busca de raízes de uma função f(x) utilizando uma sequência de linhas secantes. Este método é um substituto ao método de Newton-Raphson onde não há a necessidade de encontrar a derivada f (x), mas com a desvantagem de perder a convergência quadrática. Este trabalho utilizou este método para encontrar a profundidade da linha neutra quando utiliza-se o diagrama da parábola-retângulo para o dimensionamento de seções retangulares quando submetidas a Flexão Normal Simples. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 10

Figura 14 Uma forma de aproximar a derivada f (x) é por meio da seguinte equação: onde: f (x k ) = f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 (10) x k e x k 1 são aproximações para a raiz da função f(x k ) e podem ser consideradas como valores iniciais para o processo iterativo. A função de iteração é portanto definida como: x k+1 = x k 1f(x k ) x k f(x k 1 ) f(x k ) f(x k 1 ) (11) A função f(x) é definida como: f(x) = M d A σ c y da = 0 (12) A Fig. 15 mostra um exemplo de utilização do método iterativo para uma seção transversal de 30 x 60 cm, concreto com f c k = 30 MPa e M k = 250kN.m. Pode-se observar que a partir da quinta iteração a profundidade da linha neutra encontra-se com valor dentro do esperado. A Fig. 16 mostra o resultado da linha neutra utilizando o aplicativo educacional FNS. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 11

Figura 15: Exemplo de utilização do método das secantes para encontrar a profundidade da linha neutra com resultados dentro do limite esperado a partir da quinta iteração. Figura 16: Resultado do método iterativo para encontrar a profundidade da linha neutra utilizando o aplicativo educacional FNS. ANAIS DO 58º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2016 58CBC2016 12