ISSN 56-39X INSTABILIDADE PLÁSTICA EM CILINDRO DE PAREDES FINAS SUJEITO À PRESSÃO INTERNA ESTUDO DE CASO* Anselmo Monteiro Ilkiu Resumo No presente trabalho será apresentado um modelo matemático para a análise da instabilidade plástica de um cilindro de parede fina sujeita a pressão interna, considerando o material com anisotropia normal R no estado plano de tensões. As equações foram obtidas, com base nas teorias elásticas e plásticas, considerando o critério de escoamento de von Mises no estado plano de tensões em termos da anisotropia normal, e de acordo com os trabalhos realiados por Johnson & Mellor [], Chakrabarty [] e Al-Qureshi [3]. Palavras-chave: Instabilidade plástica; Critério de escoamento; Anisotropia. PLASTIC INSTABILITY IN THIN-WALLED CYLINDER SHELL SUBMITTED TO THE ACTION OF INTERNAL PRESSURE Abstract This work will be presented a mathematical model for the analysis of plastic instability in a thin-walled cylinder shell submitted to the action of internal pressure, considering the material with normal anisotropy in the plane state of stress. The model was developed based in the elastic and plastic theories, considering the yielding criterion of von Mises in the plane stress, in terms of the normal anisotropy and according to the work done by Johnson & Mellor [], Chakrabarty [] and Al-Qureshi [3]. For the analysis of the results were considered, the geometric properties that define the cylindrical body and the material properties. Obtaining the geometric properties of the resulting cylindrical body the hoop stress and axial stress and the internal pressure in the plastic instability. Keywords: Plastic instability; Criterion of yielding; Anisotropy. Engenheiro Mecânico, Doutor em Ciências dos Materiais, Professor Assistente Doutor, Departamento de Engenharia Civil, Universidade de Taubaté, Taubaté, SP - Brasil. * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 38
ISSN 56-39X INTRODUÇÃO A perda de instabilidade plástica foi analisada principalmente por Swift e apresentada por Johnson e Mellor [], Chakrabarty [], Al-Qureshi [3], Hill [4], entre outros. Os referidos pesquisadores assumiram que a perda de instabilidade ocorre quando se atinge a carga máxima que o material suporta e o aumento da deformação é realiado sem a variação correspondente da carga, isto é, a carga se mantém constante. Reconheceram que existem pelo menos duas possibilidades diferentes de instabilidade plástica: estricção difusa e localiada; os resultados teóricos desses casos foram feitos por Hill [4] e Swift e posteriormente revistos por Keeler e Backofen, conforme apresentado por Al-Qureshi [3]. No presente trabalho, será analisado o comportamento da instabilidade plástica de um cilindro de paredes finas, sujeito à pressão interna p, considerando a anisotropia normal R do material. A anisotropia normal R está associada à resistência ao afinamento ou redução da espessura da chapa. MATERIAIS E MÉTODOS Considerando um elemento de casca cilíndrico em que r é o raio da superfície média e t é a espessura da parede do cilindro, sujeito a pressão interna p, conforme representado na Fig.. Figura Modelo proposto para análise; Elemento cilíndrico. Despreando o efeito da tensão de cisalhamento na região dos anéis de reforço, as tensões atuantes são obtidas pelas teorias elásticas em cascas cilíndricas e definidas pelas [][5]: pr 6 fcmo e t t 6 fcmo N. ()() t rt Sendo e as tensões circunferencial e axial, respectivamente, Mo = p/(²) o momento fletor na região do anel de reforço, N é a carga axial atuante, fc é um fator de cálculo que tem valores de (região fora dos anéis de reforço) e (região dos anéis de reforço) e é dado pela equação: 3 4 rt rt. (3) * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 39
ISSN 56-39X Definindo-se uma relação entre a carga axial e a pressão interna p, obtêm-se: N. r p. (4) Considerando Mo e as Eqs.(3) e (4) nas Eqs.() e (), após a simplificação, tem-se: pr t 3 fc e pr 6 fc (5)(6) t Das Eqs.(5) e (6), obtêm-se a relação: 6 fc 6 fc. (7) Despreando-se as deformações elásticas, por serem muito menores que as deformações plásticas, podem-se adotar as equações de Lévy-Mises em termos da anisotropia normal R é definida, conforme apresentada por Chakrabarty [] e Al- Qureshi [3]: d d d r R R R R d. (8) Em que dε θ, dε e dε r são as deformações infinitesimais tangenciais, axiais e radiais, respectivamente, sendo d a deformação efetiva infinitesimal e a tensão efetiva. A tensão efetiva é obtida através do critério de escoamento de von Mises em termos da anisotropia normal R para o estado plano de tensões, conforme Mellor[] e Al- Qureshi[3], e definida pela: R. (9) R Substituindo-se a Eq.(7) na Eq.(9), obtêm-se a tensão efetiva: Sendo: R 6 fc R 3 fc R 6 fc R 3 fc 6 6 6 fc fc 6 fc fc. (). () Considerando as Eqs.(7) e () nas Eqs.(8), obtêm-se as deformações infinitesimais em função da deformação efetivas infinitesimal d e da anisotropia normal R, conforme as equações a seguir: * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 4
R 6 fc R 6 fc d d. () R 6 fc 6 fc d d R. (3) 6 d 6 fc d r. (4) fc Sendo: dε r a deformação infinitesimal na espessura, dε θ a deformação infinitesimal tangencial e dε a deformação infinitesimal axial. Na região em que ocorre a instabilidade plástica, a pressão p e a carga axial N atingem os valores máximos, sendo assim, dp = dn =. Derivando a equação Eq.(), para as condições de instabilidade plástica, tem-se: 6 6R R fc d d 4 R 3 fc d. (5) dt dr Ndr dr Sendo: d e d 3 t r. r p r (6)(7) Substituindo-se as Eqs.(6) e (7) na Eq.(5), tem-se: dt dr d t r fc 6 6R R Dividindo pela Eq.(), tem-se: 4 R 3 fc 6 6R R R 3 fc r dr. (8) r d dr dt fc dr. (9) r t Verifica-se que d r = dt/t e d = dr/r. Portanto, substituindo-se as Eqs.() e (4) na Eq.(8) e simplificando, tem-se: d d 3 4 6 fcr R 6 fc R R 6 fc R3 fc R 4 R 3 fc Das teorias de instabilidade plástica, tem-se a seguinte condição: 3 ISSN 56-39X () d. () d. * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 4
Sendo a subtangente, verificada na construção de Considere e apresentado por Mellor [] e Chakrabarty []. Sendo = / dado pela equação: 3 4 6 fcr R 6 fc R R 6 fc R3 fc R 4 R 3 fc 3 Para um material metálico que sofre encruamento durante a deformação plástica, a curva de tensão-deformação efetiva no ensaio de tração simples, pode ser traduida pela equação empírica de H.W.Swift apresentada por Al-Qureshi [3]:.. () K (3) Em que K é a constante de tensão para a deformação efetiva ; ε é a deformação inicial devido a trabalhos anteriores e η é o coeficiente de encruamento que pode ter valores compreendidos entre η = para um material perfeitamente plástico, até η = para um material elástico, onde neste caso K = E que é o modulo de elasticidade do material. Na maioria dos metais o coeficiente de encruamento η tem valores entre, e,5. Derivando a Eq.(3), tem-se: d d K. (4) ISSN 56-39X Dividindo a Eq.(4) pela Eq.(3), após as simplificações, tem-se: d d.. (5) Igualando as Eqs.() e (5), obtêm-se a deformação efetiva na instabilidade plástica, para o cilindro de paredes finas, sujeito à pressão interna p.. (6) A tensão tangencial na instabilidade plástica é obtida da Eq.(), para a tensão efetiva dada pela Eq.(3) resultando que: K. (7) A tensão axial na instabilidade plástica é obtida da Eq.(7), para σ θ dada pela Eq.(7) resultando que: * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 4
ISSN 56-39X 6 fc K. (8) 6 fc As deformações tangenciais e na espessura são obtidas das Eqs.() e (4), respectivamente. R 6 fc R 6 fc r i. (9) r ln 6 t 6 ln i fc r. (3) t fc Sendo r i o raio médio na instabilidade plástica e t i a espessura na instabilidade plástica. Resolvendo a Eq.(9) e a Eq.(3) em r e t, tem-se: R 6 fc R 6 fc 6 fc 6 fc r i r exp. (3) t i t exp. (3) A pressão interna p i na instabilidade plástica é obtida através das Eqs.(5) e (7), para r = r i e t = ti dados pela Eq.(3) e pela Eq.(3), respectivamente. p i ti r i K. (33) 3 fc 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO Para a análise teórica foram considerados os seguintes materiais [,]: Tabela - Materiais: Ítem Descrição E K Y máx [GPa] [MPa] [MPa] [MPa] R Aço CArbono SAE 8,3,5 5 8 3, Aço Carbono ASTM A36,3, 6 5 4, 3 Liga de Alumínio 66 T6 7,33, 433 7 3, 4 Liga de Alumínio 775 T6 7,33, 74 48 55, Em que E é o módulo de elasticidade; o coeficiente de Poisson; o coeficiente de encruamento; K a constante de tensão; Y a tensão de escoamento e máx a tensão máxima obtidas no ensaio de tração simples. Para a geometria do cilindro foram consideradas as seguintes dimensões: Raio médio inicial do cilindro r =, [mm] Espessura inicial t =, [mm] Considerou-se que a deformação inicial =,. * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 43
Nos gráficos representados nas Figs. a 5 a seguir, adotam-se a seguinte nomenclatura: Sp e Sp são as tensões circunferências e axiais na instabilidade plástica e Se e Se são as tensões circunferências e axiais no limite elástico. Os dados teóricos foram substituídos nas equações desenvolvidas no presente trabalho, obtendo-se os seguintes resultados:. Aço Carbono SAE 8: ISSN 56-39X Apresentando as tensões e as pressões internas em gráficos, tem-se: Tab. - Resultados - Aço Carbono SAE 8: Instabilidade Plástica Limite Elástico φ ε efet σ efet r i t i σ θ σ p i p i σ θ σ [MPa] [mm] [mm] [MPa] [MPa] [kpa] [kpa] [MPa] [MPa],,83 34 7,,834 3 364 56 86 64 93,,87 34 6,4,83 3 37 59 799 58 96,4,96 346 5,9,86 93 38 477 769 5 99,6,7 35 5,5,89 86 39 437 737 47,8, 356 5,,8 8 4 397 76 4 3,,35 36 4,5,8 74 4 358 675 36 4 45 Tensões circunferenciais e axial [MPa] 4 35 3 5 5 5, Sp Sp Se Se,,,3,4,5,6,7,8,9, Pressão interna [kpa] 8 6 4 8 6 4,, Pressão interna na instabilidade plástica Pressão interna no limite elástico,,3,4,5,6,7,8,9, Raão entre a carga axial e a pressão interna Raão entre a carga axial e a pressão interna (a) Figura a) Tensões circunferências e axiais; b) Pressão interna.. Aço Carbono ASTM A36: Tab.3 - Resultados - Aço Carbono A36: Instabilidade Plástica Limite Elástico φ ε efet σ efet r i t i σ θ σ p i pi σ θ σ [MPa] [mm] [mm] [MPa] [MPa] [kpa] [kpa] [MPa] [MPa],,6 45 6,,853 378 444 963 83 8 68,,65 47 5,6,85 366 454 97 44 9 7,4,7 4 5,,845 356 465 853 76,6,8 46 4,8,839 347 476 8 55 4 79,8,94 43 4,4,83 339 487 748 96 8,,7 438 4,,83 33 497 697 968 89 83 Apresentando as tensões e as pressões internas em gráficos, tem-se: (b) * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 44
ISSN 56-39X 5 4 Tensões circunferenciais e axial [MPa] 45 4 35 3 5 5 5 Sp Sp Se Se Pressão interna [kpa] 35 3 5 5 5 Pressão interna na instabilidade plástica Pressão interna no limite elástico,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,,3,4,5,6,7,8,9, Raão entre a carga axial e a pressão interna Raão entre a carga axial e a pressão interna (a) (b) Figura 4 a) Tensões circunferências e axiais; b) Pressão interna. 3. Liga de Alumínio 66 T6: Tab.4 - Resultados - Liga de Alumínio 66 T6: Instabilidade Plástica Limite Elástico φ ε efet σ efet r i t i σ θ σ p i pi σ θ σ [MPa] [mm] [mm] [MPa] [MPa] [kpa] [kpa] [MPa] [MPa],,7 333,9,93 39 353 739 4 5 86,,76 335,7,98 3 36 685 36 4 9,4,8 336,6,95 9 368 63 3 33 96,6,84 338,4,9 8 375 58 6 5 99,8,88 34,,99 73 38 53 6 7 3,,9 34,,96 65 385 48 73 35 Apresentando as tensões e as pressões internas em gráficos, tem-se: 45 Tensões circunferenciais e axial [MPa] 4 35 3 5 5 5 Sp Sp Se Se Pressão interna [kpa] 8 6 4 8 6 4 Pressão interna na instabilidade plástica Pressão interna no limite elástico,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 Raão entre a carga axial e a pressão interna Raão entre a carga axial e a pressão interna (a) (b) Figura 4 a) Tensões circunferências e axiais; b) Pressão interna. * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 45
ISSN 56-39X 4. Liga de Alumínio 775 T6: Tab.5 - Resultados - Liga de Alumínio 775 T6: Instabilidade Plástica Limite Elástico φ ε efet σ efet r i t i σ θ σ p i pi σ θ σ [MPa] [mm] [mm] [MPa] [MPa] [kpa] [kpa] [MPa] [MPa],,7 569,9,93 57 63 97 58 445 59,,76 57,7,98 5 67 88 48 43 58,4,8 575,6,95 497 63 789 39 45 56,6,84 578,4,9 48 64 7 44 4 53,8,88 58,,99 467 65 65 63 386 537,,9 583,,96 45 658 53 85 37 54 Apresentando as tensões e as pressões internas em gráficos, tem-se: 7 35 Tensões circunferenciais e axial [MPa] 6 5 4 3,, Sp Sp Se Se,,3,4,5 (a),6,7,8,9 Raão entre a carga axial e a pressão interna, Pressão interna [kpa] 3 5 5 5,,, Pressão interna na instabilidade plástica Pressão interna no limite elástico,3,4,5 (b),6,7,8,9 Raão entre a carga axial e a pressão interna Figura 5 a) Tensões circunferências e axiais; b) Pressão interna. Observa-se nos gráficos (a) representados nas Figs. a 5, os limites das tensões circunferenciais e axiais na região elástica e no início da instabilidade plástica. Dentro da região limite o material está em uma região admissível a salvo de falha. Lembrando que as tensões circunferenciais e axiais na instabilidade plástica são, tensões verdadeiras em função da área efetiva, sendo assim o valor máximo das tensões circunferenciais estão acima da tensão máxima do material obtido do ensaio de tração simples. Nos gráficos (b) representados nas Figs. a 5, estão apresentadas as variações das pressões internas no limite elástico e na instabilidade plástica, verificando-se que com o aumento da carga axial há uma diminuição da pressão interna em ambos os casos. Para uma condição crítica de sobre carga, a pressão interna deve estar entre as curvas do limite elástico e da instabilidade plástica, região da estricção difusa, não deve atingir a curva de instabilidade plástica que é o início da estricção localiada. Nos gráficos (a) das tensões circunferências e axiais representados nas Figs. a 5, as tensões no limite elástico são, obviamente, menores do que as tensões verificadas para a instabilidade plástica lembrando que, acima do limite elástico na região plástica, o material sofre encruamento pela deformação plástica e qualquer variação na geometria poderá alterar significativamente a resposta das tensões causando uma falha repentina do cilindro., * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 46
O coeficiente de encruamento é um parâmetro que descreve de maneira adequada à ductilidade do material, ou seja, a sua aptidão para a deformação plástica, podemos identificar dois comportamentos básicos em função do coeficiente de encruamento: a) Um coeficiente de encruamento elevado significa uma ductilidade elevada, permitindo níveis mais elevados de deformação plástica, condição que é favorável, para cilindros que venham a sofrer grandes variações da pressão interna, podendo ultrapassar o limite elástico devido a uma sobre carga. b) Para os materiais que suportam pequenas deformações plásticas, apresentando um coeficiente de encruamento reduido, em que a tensão de escoamento está bem próxima da tensão máxima, as curvas da pressão não apresentam margem de segurança para uma sobre carga no cilindro. Nestes casos a pressão interna, deve sempre ser menor do que a pressão obtida para o limite elástico. A partir da pressão na instabilidade plástica, no início na estricção localiada, iniciase rapidamente o processo de ruptura, os casos de falhas ocorrem com a pressão interna aplicada neste limite de pressão. Com a variação do coeficiente φ, ocorre a surgimento de uma componente de tensão axial que será composta com a tensão de membrana, no caso de instabilidade plástica a tensão efetiva aumenta com o aumento de φ. No limite elástico, a tensão efetiva será igual à tensão de escoamento do material Y. Foram considerados os materiais com anisotropia normal R que é a condição normal encontrada na indústria de maneira geral. 4 CONCLUSÃO Considerando os resultados teóricos, verifica-se que as equações apresentadas podem ser utiliadas para a análise limite de cilindro de parede fina sujeito à pressão interna com carga axial, condições que podem ser observadas em condutos forçados, vasos de pressão e componentes de estruturas hidráulicas, quando estão sujeita a sobre cargas além dos limites previstos em projeto. É importante salientar que na região dos componentes montados no cilindro, surgem tensões secundárias que são devido aos momentos fletores, esforços cortantes e esforços normais localiados, estas tensões devem ser consideradas na análise das tensões atuantes e devem ser analisadas separadamente. Agradecimentos Agradeço à Universidade de Taubaté pelo apoio, para a apresentação deste trabalho. REFERÊNCIAS ISSN 56-39X Johnson, W. & Mellor, P.B., Engineering Plasticity. London: VON NOSTRAND; 973. Chakrabarty, J., Theory of Plasticity. Third edition:elsevier BH; 6. 3 Al-Qureshi, H.A., Processos e Mecanismos da Conformação dos Metais. São José dos Campos Instituto Tecnológico da Aeronáutica; 99. 4 Hill, R., The Mahematical Theory of Plasticity: Clarendon Press; 95. 5 Timoshenko, S.P. and Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells. Second edition. New York: McGraw-Hill; 959. 6 Wagoner, R.H. and Chenot, J.L., Fundamentals of Metal Forming. John Wiley & Sons; 997. * Contribuição técnica ao 7º Congresso Anual da ABM Internacional e ao 5º ENEMET - Encontro ABM Week, realiada de 7 a de agosto de 5, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. 47