Aplicação de Algoritmos para geração automática de malhas de elementos finitos hexaédricos

Aplicação de Algoritmos para geração automática de malhas de elementos finitos hexaédricos Luís Miguel Rodrigues Reis Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Mecânica Orientadores: Prof. João Orlando Marques Gameiro Folgado Prof. Rui Miguel Barreiros Ruben Júri Presidente: Prof. Luís Manuel Varejão de Oliveira Faria Orientador: Prof. Rui Miguel Barreiros Ruben Vogal: Prof. Paulo Rui Alves Fernandes Novembro 2014

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Agradecimentos Em primeiro lugar gostaria de agradecer em geral a todos os que sempre me apoiaram e me ajudaram durante a realização deste trabalho, e ao longo de toda a minha formação académica. Quero agradecer aos meus orientadores Professor Rui Ruben e Professor João Folgado, pelo apoio prestado e conhecimentos transmitidos no decorrer deste trabalho. Ao Professor Rui Ruben, que me tem acompanhado nos últimos anos em diversos projetos, e me tem ajudado e apoiado muito ao longo deste tempo quero deixar um agradecimento muito especial. Agradeço aos meus pais e ao meu irmão pelo enorme apoio a todos os níveis que sempre me deram, e sem eles não seria possível alcançar este objetivo. À minha namorada, Catarina, quero agradecer por ter estado sempre a meu lado e me ter ajudado sempre nos bons e maus momentos. Por fim agradeço a todos os que contribuíram para a minha formação pessoal e me transmitiram todo o seu saber ao longo do tempo. ii

Resumo O método dos elementos finitos tem-se tornado uma ferramenta muito importante, na modelação e análise computacional ao longo das últimas décadas, nos mais diversos tipos de sistemas na área da engenharia. O método dos elementos finitos implica, entre outras coisas, a geração de uma malha no domínio do problema. A geração de malhas de elementos finitos é um processo bastante importante mas este pode ser um processo bastante complexo e moroso. A presente dissertação focou-se na geração de malhas, de elementos finitos, quadriláteras e hexaédricas. Atualmente não existe algoritmo algum que permita a geração deste tipo de malhas de uma forma automática. Para além disso, a grande maioria dos programas comerciais de elementos finitos não têm implementados os mais recentes algoritmos de geração de malhas quadriláteras e hexaédricas. Foi realizada uma recolha bibliográfica sobre os algoritmos desenvolvidos recentemente, e foram estudados e implementados os que mostram maior potencial. Recorreu-se à utilização dos métodos receding front, level sets, eixo médio e transfinite mapping, para gerar as malhas bidimensionais e tridimensionais. Deste modo, foi possível gerar malhas com boa qualidade de diversas geometrias com características diversas. Foram programados algoritmos parametrizados de geração de malhas para ser possível alterar a configuração da malha, isto é, o número de nós e elementos, de forma mais automática e rápida possível. A análise global de uma malha é indispensável para aferir a qualidade dos elementos. No presente trabalho utilizou-se o número de condição da matriz Jacobiana por forma a analisar a qualidade das malhas geradas. Palavras chave: Método dos elementos finitos; Geração de malhas; Elementos quadriláteros; Elementos hexaédricos. iii

Abstract The finite element method has become a very important tool in modeling and computational analysis over the past decades in several areas of engineering. Mesh generation is a very important part of the process, however, can be complex and time consuming. This thesis has focused on the meshing of quadrilateral and hexahedral elements. Nowadays, there is no algorithm to generate, in an automatic fashion, this kind of elements. Additionally, the major part of commercial finite element programs don t have the most recent algorithms of mesh generation available. This work started studying the most recent mesh generation algorithms. Then, some algorithms were implemented: receding front, level sets, medial-axis and transfinite mapping. Thus, several 2D and 3D meshes were generated in order to test the implemented algorithms, and meshes with good quality parameters were obtained. Algorithms were parameterized, in order to adapt to several geometries and also to generate meshes with different number of nodes and elements, depending on user definition. Mesh generation algorithms were also implemented in a semi-automatic way, since user should only choose the number of nodes per line or per surface. A mesh quality and distortion measure was also implemented in order to compare meshes and elements. The mesh quality and distortion measure uses the condition number of the Jacobian matrix. Keywords: Finite element method; Mesh generation; quadrilateral elements; hexahedral elements. iv

Índice Capítulo 1... 1 Introdução... 1 1.1 Motivação... 1 1.2 A geração de malhas hexaédricas... 1 1.3 Tipos de malha... 2 1.4 Características dos algoritmos de geração de malhas... 2 1.5 Objetivos... 3 1.6 Estrutura da dissertação... 4 Capítulo 2... 5 Revisão bibliográfica... 5 2.1 Algoritmos primitivos... 5 2.2 Algoritmos de decomposição automática... 6 2.3 Métodos de sobreposição... 7 2.4 Métodos advancing front... 9 Capítulo 3... 11 Metodologias aplicadas... 11 3.1 Introdução... 11 3.2 Método dos Level sets... 11 3.3 Método receding front... 15 3.4 Método do eixo médio... 23 3.5 Método transfinite mapping (TFI)... 25 3.6 Análise qualitativa da malha... 27 Capítulo 4... 29 Resultados... 29 4.1 Malhas 2D... 29 4.2 Malhas 3D... 40 Capítulo 5... 61 Conclusões e trabalhos futuros... 61 5.1 Conclusões... 61 v

5.2 Trabalhos futuros... 62 Referências... 63 vi

Lista de Figuras Figura 1.1 - Tipos de elementos geralmente utilizados, tetraedro, hexaedro e prisma. (COMSOL 2014)... 2 Figura 2.1 - Método Grid-based (Schneiders, 1995)... 8 Figura 2.2 - Malha inicial e malha isomórfica na fronteira. (Schneiders, 1995)... 8 Figura 2.3 - Algoritmo plastering (Schneiders, 1995)... 9 Figura 3.1 - Propagação de curva com velocidade F numa direcção normal. (Sethian, 1996)... 12 Figura 3.2 - Expansão de circunferência e curvas de nível de uma função de maior dimensão. (Sethian, 1996)... 13 Figura 3.3 Propagação de curva triplo seno. (Sethian, 1996)... 14 Figura 3.4 Solução de entropia. (Sethian, 1996)... 15 Figura 3.5 - Exemplo de resolução da equação de Eikonal e cálculo do valor de u. Em cima à esquerda observa-se o conjunto de nós para resolução da equação de Eikonal, em cima à direita dout, em baixo à esquerda din e em baixo à direita u.... 18 Figura 3.6 - Localização dos diversos tipos de nós que definem os templates a utilizar.... 19 Figura 3.7 - Modelos de hexaedros aplicados aos vértices. (Ruiz-Gironés 2011)... 20 Figura 3.8 - Modelos de hexaedros adjacentes às arestas. (Ruiz-Gironés 2011)... 20 Figura 3.9 - Modelo de hexaedro adjacentes aos quadriláteros das faces. (Ruiz-Gironés 2011)... 20 Figura 3.10 - Modelos para semi arestas. (Ruiz-Gironés 2011)... 21 Figura 3.11 - Modelos para semi vértices. (Ruiz-Gironés 2011)... 21 Figura 3.12 - Localização de semi arestas. (Ruiz-Gironés 2011)... 21 Figura 3.13 - Localização do eixo médio de uma geometria e respectivas circunferências que o definem. (Dey, 2007)... 24 Figura 3.14 - Circunferências tangentes à fronteira que definem eixo médio. (Dey, 2007)... 25 Figura 3.15 - Processo de varrimento em extrusão de um volume. (Roca 2009)... 25 Figura 3.16 - Malha de volume com formato S. a) nós equidistantes, b) nós que minimizam a distância entre arestas (Roca 2009)... 26 Figura 4.1 - Malha de elementos triangulares de geometria estrela... 29 Figura 4.2 - Level sets de geometria estrela... 30 Figura 4.3 - Malha Estrela, método receding front, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 30 Figura 4.4 - Malha Estrela, método receding front, NF=10, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 31 Figura 4.5 - Malha Estrela, método receding front, NF=12, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 31 Figura 4.6 - Malha Estrela, método receding front, NF=10, NN=5: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 32 Figura 4.7 - Malha Estrela, método receding front, NF=7, NN=7: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 32 vii

Figura 4.8- Malha Estrela, método das distâncias, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 34 Figura 4.9 - Figura 0.1- Malha Estrela, método das distâncias, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 34 Figura 4.10 - Malha Estrela, método das distâncias, NF=12, NN=11: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição.... 35 Figura 4.11 - Geometria em estudo com localização do eixo médio determinado... 36 Figura 4.12 Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 821; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 36 Figura 4.13 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 705; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 37 Figura 4.14 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 1008; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 37 Figura 4.15 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada, com número de elementos igual a 1352 ; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 38 Figura 4.16 - Malha hexaédrica Esfera-cubo gerada em Abaqus : (a) método de construção; (b) malha hexaédrica vista em corte;... 40 Figura 4.17 - Malha hexaédrica Esfera-cubo gerada em Abaqus : (a) qualidade dos elementos, inverso do número de condição; (b) qualidade dos elementos, inverso do número de condição, vista da figura em corte.... 41 Figura 4.18 - Malha Esfera-Cubo nº1: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte.... 41 Figura 4.19 - Malha Esfera-Cubo nº2: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte.... 42 Figura 4.20 - Malha Esfera-Cubo nº3: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte.... 42 Figura 4.21 - Malha Esfera-Cubo nº4: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte.... 43 Figura 4.22 - Malha prótese nº1: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c) vista topo.... 44 Figura 4.23 - Malha prótese nº1 com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 45 Figura 4.24 - Malha cimento nº1 com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 46 Figura 4.25 - Malha nº1 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 47 Figura 4.26 - Malha nº1 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte... 48 Figura 4.27 - Malha prótese nº2: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c) vista topo.... 49 Figura 4.28 - Malha nº2 prótese com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte... 50 viii

Figura 4.29 - Malha nº2 cimento com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 51 Figura 4.30 - Malha nº2 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 52 Figura 4.31 - Malha nº2 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte... 53 Figura 4.32 - Malha prótese nº3: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c)vista topo.... 54 Figura 4.33 - Malha nº3 prótese com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 55 Figura 4.34 - Malha nº3 cimento com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 56 Figura 4.35 - Malha nº3 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo.... 57 Figura 4.36 - Malha nº3 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte.... 58 ix

Lista de Tabelas Tabela 4.1 - Valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 33 Tabela 4.2 - Resultados da qualidade, inverso do número de condição. Método das distâncias.... 35 Tabela 4.3 - Resultados da qualidade dos elementos, inverso do número de condição. Método do eixo médio.... 38 Tabela 4.4 - Resultados da qualidade de malha hexaédrica Esfera-Cubo gerada em Abaqus... 41 Tabela 4.5 - Resultados da qualidade, inverso do número de condição. Malha Esfera-Cubo.... 43 Tabela 4.6 - Malha nº1 valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 48 Tabela 4.7 - Malha nº2 valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 53 Tabela 4.8 - Malha nº3 valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição.... 58 x

Lista de Abreviações PDE equações diferenciais às derivadas parciais TFI Transfinite mapping xi

Capítulo 1 Introdução 1.1 Motivação Quando se pretende realizar uma simulação computacional de um determinado processo, ou fenómeno físico, a geração de uma malha permite uma discretização do domínio em formas elementares, e assim obter a solução numérica de equações diferenciais às derivadas parciais. Ao longo do tempo foram-se desenvolvendo diversos métodos que permitem a geração de malhas de uma forma mais ou menos automática, mas a geração de malhas pode apresentar-se como um processo bastante complexo e moroso. Existe um conjunto de características que define uma malha, como o tipo de elementos que a constituem, a sua topologia, densidade, entre outros. Na presente dissertação pretende-se estudar em pormenor a geração de malhas de elementos hexaédricos, e os algoritmos que atualmente permitem a geração deste tipo de malhas. Até à data não existe disponível um método ideal, que permita a geração de malhas de elementos hexaédricos de uma forma totalmente automática, levando a que seja necessário muitas vezes despender muito tempo no processo de obtenção das mesmas até para os utilizadores mais experientes e utilizando os softwares comerciais mais desenvolvidos (Quadros, 2014). O interesse do estudo na geração automática de malhas de elementos hexaédricos surge por forma a poder gerar malhas sem necessidade de recorrer aos programas comerciais existentes, assim como permitir a utilização de métodos que esses mesmos programas não disponibilizam. As malhas constituídas por elementos hexaédricos são mais indicadas para um vasto leque de aplicações tais como quando existem problemas de contacto, daí um elevado interesse na investigação e desenvolvimento de métodos que possam desenvolver e aperfeiçoar a geração deste tipo de malhas. 1.2 A geração de malhas hexaédricas Os métodos computacionais têm vindo a tornar-se essenciais ao longo dos anos nas aplicações de engenharia, e a geração de malhas associado ao processo de simulação computacional pode ser considerado um ponto-chave. Gerar uma malha de um determinado modelo pode representar cerca de noventa por cento do tempo de análise. O tempo consumido deve-se principalmente a três fatores, que são, a edição do modelo CAD, para se obter uma geometria bem definida do modelo a analisar, livre de fissuras, entidades duplicadas, remoção de detalhes desnecessários do modelo. Decomposição em subdomínios da geometria, que é geralmente necessária e finalmente a introdução dos parâmetros de malha pelo utilizador e aplicação do algoritmo gerador de malha aos subdomínios. Não existe atualmente nenhum gerador automático de malhas de elementos finitos hexaédricos, aplicável a qualquer geometria. Os métodos que existem necessitam da decomposição dos modelos em subvolumes mais simples e aí poder ser gerada a sua malha. No próximo capítulo 1

encontra-se a revisão bibliográfica com os algoritmos que existem mais desenvolvidos e atuais no que diz respeito a geração de malhas de elementos finitos hexaédricos. (Roca 2009) 1.3 Tipos de malha Em primeiro lugar importa definir o tipo de elementos que constituem uma malha 3D, que geralmente são tetraedros, hexaedros ou muito raramente prismas. Como se pode ver na figura 1.1 um tetraedro é constituído por quatro nós, quatro faces e seis arestas. Um hexaedro possui oitos nós, seis faces e doze arestas, e um prisma possui seis nós, cinco face e nove arestas. O número de nós por elemento pode ser aumentado introduzindo um nó adicional numa face ou aresta, formando um elemento de ordem superior. Figura 1.1 - Tipos de elementos geralmente utilizados, tetraedro, hexaedro e prisma. ( COMSOL 2014) Outra característica que define uma malha é a sua estrutura. Uma malha estruturada é caracterizada por uma conectividade regular, sendo que uma das vantagens é a regularidade da matriz de conectividades que permite detetar relações de vizinhança. Na prática apenas são usados hexaedros em malhas estruturadas 3D. No caso das malhas não estruturadas, estas são caracterizadas por uma conectividade irregular. Pode-se ainda considerar a existência de malhas estruturadas multibloco, que basicamente são um conjunto não estruturado de domínios estruturados. Uma malha pode também ser conforme ou não conforme, e para ser conforme tem de respeitar a condição de que a interseção entre quaisquer dois elementos é um subelemento de ambos, seja uma face, uma aresta ou um nó, e que seja apenas uma a dimensão máxima partilhada entre esses mesmos dois subelementos (Santis, 2011). 1.4 Características dos algoritmos de geração de malhas Um algoritmo de geração de malhas de elementos hexaédricos deve apresentar um conjunto de características que tornem a sua utilização ideal para a geração do tipo de malha em estudo. As características em seguida apresentadas ajudam a quantificar e qualificar os algoritmos que são objeto de revisão bibliográfica (Ruiz-Gironés, 2009). 2

Abrangência geométrica: Capacidade que o algoritmo possui para a discretização de uma determinada geometria. Em condições ideais deve conseguir discretizar todo o tipo de geometrias possíveis. Correspondência topológica: A malha gerada deve conter as características topológicas da geometria, tais como a correspondência entre as arestas da geometria e as arestas da malha. Desta forma é possível um controlo da malha final alterando a topologia da geometria. Qualidade da malha: A qualidade da malha é extremamente importante, isto é, os elementos que a constituem devem ser de qualidade. Apesar da existência de algoritmos de melhoramento da malha estes causam um aumento do custo computacional o que é indesejável. A quantidade de hexaedros adjacentes a cada aresta é um indicador da qualidade da malha, sendo idealmente o seu número igual a quatro. Estrutura da malha: Dos tipos de malha existentes as estruturadas apresentam geralmente elementos de melhor qualidade. Contudo os algoritmos geradores de malhas não estruturadas possuem uma maior abrangência geométrica face aos geradores de malhas estruturadas. Sensibilidade de fronteira: Os elementos de melhor qualidade devem encontrar-se na fronteira do domínio, uma vez que é geralmente o local mais importante de uma simulação. Orientação: O algoritmo gerador da malha não deve ser afetado pela orientação da geometria. Como tal não devem existir quaisquer referências à localização e orientação do volume da malha gerada. Tolerância geométrica: A existência de fendas, buracos e sobreposições, deve ser evitada na malha gerada, com tal o algoritmo deve evitar ou suprimir essa ocorrência. Controlo dimensional: A malha que é gerada deve ser adaptável em função do número de elementos pré-definidos pelo utilizador. Isto é, o número de elementos que a constituem deve corresponder aos que o utilizador desejar. Custo computacional: O algoritmo deve ser capaz de gerar malhas com a maior economia de recursos computacionais possível. 1.5 Objetivos O objetivo desta dissertação é a aplicação de algoritmos para a geração automática de malhas de elementos finitos hexaédricos. Existem atualmente diversos geradores rápidos e robustos de malhas de elementos tetraédricos, no entanto no que diz respeito a elementos hexaédricos, não existe ainda uma solução que produza malhas de boa qualidade e de uma forma automática. Pretende-se portanto efetuar um estudo bibliográfico sobre o que de mais desenvolvido existe acerca do tema, e tentar programar um gerador de malhas hexaédricas com elevada qualidade e de uma forma o mais automática possível com base em algoritmos recentes atualmente não implementados na totalidade ou maioria dos programas de elementos finitos comerciais. 3

1.6 Estrutura da dissertação Neste primeiro capítulo introdutório é realizado um enquadramento do trabalho, e são introduzidas algumas noções importantes para a compreensão da restante dissertação. No segundo capítulo é apresentada a revisão bibliográfica efectuada acerca dos algoritmos de geração de malhas de elementos finitos, considerados mais importantes. São citados os métodos mais importantes, e que se encontram mais desenvolvidos, e explicado o seu funcionamento base. No terceiro capítulo, são enumerados e explicados detalhadamente os métodos que foram utilizados na geração de malhas da presente dissertação, tal como o método para a análise da qualidade das malhas. No quarto capítulo, são apresentados os resultados obtidos. É explicada a metodologia de geração de malhas efectuada e apresentadas as respectivas malhas para as diversas geometrias estudadas, tal como as análises da qualidade de cada uma delas. No quinto e último capitulo, são retiradas as conclusões do trabalho efectuado e relatadas algumas considerações acerca de trabalhos futuros que poderão ser desenvolvidos no tema da presente dissertação. 4

Capítulo 2 Revisão bibliográfica A geração de malhas constituídas por elementos quadriláteros e hexaédricos são bastante importantes para diversas aplicações, sendo a utilização deste tipo de elementos preferencial face à utilização de outros tipos, como os elementos triangulares ou tetraédricos. Como tal, a geração de malhas de elementos finitos quadriláteros e hexaédricos tem sido objeto de um intenso estudo (Ruiz- Gironés, 2011). Este capítulo procura apresentar uma revisão bibliográfica sobre o que de mais importante e recente existe acerca deste tema. Para uma melhor perceção, efetua-se uma classificação dos algoritmos existentes nas seguintes categorias: Algoritmos primitivos; Algoritmos de decomposição automática; Algoritmos de sobreposição; Algoritmos advancing front. 2.1 Algoritmos primitivos Os algoritmos primitivos são os mais rápidos e fáceis de implementar, contudo apresentam uma grande limitação quanto à sua abrangência geométrica. Um dos principais algoritmos a destacar nesta categoria é o Mapping method (Cook e Oakes,1982), que permite gerar malhas de geometrias base generalizadas. A malha gerada no domínio computacional é transferida para o domínio físico. Outras importantes técnicas de mapeamento são algebraic interpolation methods (Gordon e Hall, 1973), no qual é calculada uma função de mapeamento usando operações algébricas, e o PDE-based methods (Eiseman e Erlebacher, 1987) que calcula uma função de mapeamento resolvendo as equações diferenciais às derivadas parciais (PDE). O método hexahedral meshing primitive (Stephenson e Blacker, 1989) é aplicado a uma determinada forma e a malha é determinada utilizando um template, como por exemplo um tetraedro dividido em quatro hexaedros. A aplicação do algoritmo é limitada mas a qualidade dos elementos é geralmente boa. A Sweeping technique, (Knupp, 1998; Roca e Sarrate, 2010) permite a geração automática de malhas hexaédricas de geometrias extrudidas. O algoritmo é baseado numa aproximação por mínimos quadrados que calcula um mapeamento por afinidade que transporta os nós desde a superfície inicial até à final. O Faceted method (Staten et al, 1999), assume uma malha topologicamente semelhante na superfície de partida e de chegada, e calcula uma malha facetada usando a fronteira da superfície inicial. A representação facetada é utilizada para calcular as coordenadas baricêntricas da origem de cada nó interior na sua superfície mais próxima. Em segundo é determinada a distância ou offset entre as duas últimas coordenadas baricêntricas calculadas. O sweep inicia-se na superfície inicial e as faces são transferidas camada a camada de nós de fronteira. A direção de sweep é calculada com base nos 5

vértices da atual e próxima camada. Com os resultados anteriormente calculados, o nó pode ser projetado para a próxima camada. O processo repete-se até chegar a superfície final. Em suma as vantagens dos algoritmos primitivos são: Rápida geração da malha; Boa qualidade dos elementos; Sensibilidade de fronteira, uma vez que é um template predefinido; Insensibilidade de orientação, uma vez que é um template predefinido; Não existe necessidade de decomposição geométrica. Pelo contrário as desvantagens são: Aplicação limitada de geometrias; A capacidade de interface com volumes adjacentes é limitada uma vez que a malha de fronteira é determinada pelo método. 2.2 Algoritmos de decomposição automática Este tipo de métodos assenta em dividir o domínio, do qual se pretende efetuar uma malha em subdomínios em que seja possível gerar a sua malha, geralmente através de um método primitivo. Este método tem uma elevada abrangência geométrica, contudo não é de uma forma automática, sendo necessário realizar a decomposição do domínio pelo utilizador. Existem três classes de decomposição distintas, a divisão da geometria antes de efetuada a malha, o particionamento da malha durante o processo de geração de malha e a assemblagem primitiva virtual. O método sub-mapping (White, 1996) foi desenvolvido para gerar malhas estruturadas em superfície e volumes. O algoritmo decompõe o domínio em subdomínios e aplica a técnica de mapeamento. Este algoritmo assenta na condição que o ângulo entre duas arestas consecutivas seja um múltiplo inteiro de π/2. O algoritmo tem uma sequência de passos que se inicia na caracterização dos nós, e das arestas, seguida da discretização da fronteira e construção do domínio computacional e uma posterior subdivisão da geometria que pode ser malhada com o algoritmo TFI (transfinite interpolation method), o último passo consiste na discretização de cada uma dessa geometrias usando o método TFI (Ruiz- Gironés e Sarrate, 2007). O Sweeping method (para assegurar que a malha gerada de uma determinada geometria possa ser constituída exclusivamente por elementos hexaedros requer que a mesma seja 2.5D ou possível de decompor em geometrias 2.5D. Isto inclui dois métodos, sejam eles o one-to-one sweeping e many-to-one ou many-to-many sweeping. No caso do one-to-one sweeping, primeiramente é identificado a fonte e o alvo e as curvas/superfícies de guiamento. É gerada a malha quadrilátera da superfície inicial, e das curvas/superfícies de guiamento com recurso a um método de mapeamento. A malha da superfície inicial é então extrudida camada a camada ao longo da malha mapeada até a superfície final, o nome 6

atribuído de one-to-one, acontece devido a ser aplicado a geometrias com uma superfície de partida e uma de chegada. Os métodos many-to-one ou many-to-many sweeping surgiram por forma a decompor geometrias mais complexas em geometrias 2.5D, (Lai et al, 2000; Sheperd et al, 2000; Knupp 1998; White et al, 2004). Em Roca (2009) e Roca e Sarrate (2010), é introduzido o conceito de dupla contribuição local. O objetivo final é gerar automaticamente uma decomposição de um determinado domínio sem a existência de uma malha prévia. Os autores introduziram uma ferramenta baseada num novo conceito de duplas contribuições locais, em que estas são adicionadas aos elementos de uma malha tetraédrica de referência para descrever um duplo arranjo válido. As mesmas são inseridas de acordo com uma regra hierárquica por forma a assegurar uma correta correspondência das contribuições adjacentes. Em suma as vantagens do método de decomposição automática são: A malha final não depende da orientação espacial da geometria; A fronteira da geometria é tida em atenção quando o volume é decomposto; Elevada aplicação a nível industrial. Pelo contrário as desvantagens são: Não é aplicável a todas as geometrias; Prévia determinação dos vértices, arestas e faces da geometria por forma a validar geometria; Os subdomínios obtidos pelo processo de decomposição são discretizados usando uma técnica de mapeamento ou sweep, como tal o tamanho dos elementos são propagados através dos diferentes subdomínios. 2.3 Métodos de sobreposição Este tipo de métodos, também designados por grid-based methods refere-se a uma classe de algoritmos de geração de malha que utilizam o mesmo tipo de estratégia. Inicialmente estes algoritmos criam uma grelha estruturada que cobre uma região suficientemente grande em torno do objeto. O tamanho da célula da grelha é arbitrário desde que seja menor que a característica do objeto. Posteriormente a grelha é adaptada aos limites do objeto, que é a parte mais complexa. Todos os elementos exteriores ao objeto, ou próximos da fronteira, são removidos da malha, formando então a malha inicial. A região remanescente entre a malha inicial e a fronteira do objeto é então malhada com a técnica isomórfica. A fronteira da malha exterior é um polígono e por cada nó do polígono faz-se corresponder um nó da fronteira do objeto, posteriormente conectados. 7

Figura 2.1 - Método Grid-based (Schneiders, 1995) Para malhas 3D, Schneiders e Bunten, (1995) e Schneiders et al, (1996) apresentam um algoritmo para a geração de malhas hexaédricas. De uma forma bastante resumida, o algoritmo inicia com uma estrutura octree-based do interior do volume como malha inicial que permite a adaptação do tamanho dos elementos à geometria pretendida que é posteriormente adaptado para uma malha hexaédrica. (Scheiders, 2000) Figura 2.2 - Malha inicial e malha isomórfica na fronteira. (Schneiders, 1995) Zhang et al, (2005) e Zhang e Bajaj (2006) descrevem um algoritmo para extrair malhas hexaédricas e quadriláteras adaptáveis diretamente da informação volumétrica. A principal vantagem deste método é que não é necessário construir a geometria da informação volumétrica. Owen e Sheperd (2009) propõem um algoritmo para incorporar características topológicas numa malha hexaédrica para capturar corretamente as características geométricas presentes numa determinada geometria. As características topológicas da geometria são inseridas numa malha cartesiana sem otimização da malha inicial. Deste modo os métodos de sobreposição podem gerar malhas conformes em geometrias com vértices. Em suma as vantagens do método de sobreposição são: Aplicável a um vasto número de geometrias e de forma automatizada; Elementos de elevada qualidade no interior da geometria quando utilizada uma grelha cartesiana; Tolerância geométrica enquanto o elemento for maior que as falhas da geometria; A malha final pode facilmente corresponder o tamanho de elemento pretendido utilizando um octree; Algoritmos bastante desenvolvidos. 8

Pelo contrário as desvantagens são: A malha é sensível à orientação do objeto; Os elementos na fronteira são os que possuem menor qualidade, Uma vez que é um método que utiliza uma aproximação do interior para o exterior, a malha na fronteira é determinada pelo método, o que aumenta a dificuldade para gerar malhas de objetos assemblados; Difícil inclusão de características topológicas na malha final. 2.4 Métodos advancing front Este tipo de método é bastante comum para a geração de elementos tetraédricos. A sua utilização para a geração de malhas de elementos quadriláteros, foi introduzida por Blacker e Stephenson, (1991). Partindo de uma discretização da fronteira de uma determinada geometria, o interior é preenchido por quadriláteros camada a camada, isto permite um controlo da qualidade da malha próxima da fronteira da geometria. (Schneiders, 2000) Figura 2.3 - Algoritmo plastering (Schneiders, 1995) O plastering method (Canann, 1992), utiliza o procedimento de advancing-front para a geração de malhas hexaédricas. De uma forma sucinta, a fronteira do objeto define a frente, e então um quadrilátero da frente é selecionado e é criado um hexaedro, e então a frente é novamente definida em função do hexaedro criado para incluir os quadriláteros do mesmo. A principal desvantagem deste método é que a malha na fronteira produz um sobre constrangimento do processo de geração da malha de elementos finitos hexaédricos. O Unconstrained plastering (Staten et al, 2005, 2010) elimina essa desvantagem uma vez que não é gerada a malha na fronteira da geometria, em vez disso, a frente localiza-se no interior da geometria, e avança na parte interior da geometria até ser exequível a geração da malha hexaédrica. Então é gerada a malha do interior para o exterior da geometria, mas este método também tem limitações, uma vez que é difícil preencher os espaços vazios com hexaedros de qualidade. Outro método é o H-Morph (Owen e Saigal, 2000), este algoritmo gera malhas com elementos hexaédricos e tetraédricos. Inicia com a geração de malha de elementos tetraédricos e posteriormente transforma estes em hexaedros. Utiliza uma técnica de front method, onde a frente inicial é composta por um conjunto de quadriláteros pré determinados, e então são gerados os hexaedros, assim 9

consecutivamente os tetraedros são substituídos até restarem apenas os que não sejam possíveis de transformar em hexaedros válidos. Em suma as vantagens dos métodos advancing front são: Abrange um vasto número de geometrias; Método sensível à fronteira da geometria, pois a malha é gerada do exterior para o interior; A malha não depende da orientação da geometria; Algoritmos bastantes desenvolvidos. Pelo contrário as desvantagens são: Dificuldade em gerar elementos hexaédricos de boa qualidade nos espaços vazios, quando o algoritmo inicia com geração de quadriláteros na fronteira da geometria; A interseção das frentes é um processo moroso, e dependente da tolerância geométrica. 10

Capítulo 3 Metodologias aplicadas 3.1 Introdução Este capítulo pretende introduzir e explicar detalhadamente os algoritmos e metodologias utilizadas para a geração de malhas de elementos quadriláteros e hexaédricos. Essencialmente foram utilizados quatro métodos para a geração das malhas: o método dos level sets, o método receding front, o método do eixo axial ou médio, e o método transfinite mapping (TFI). Foi ainda utilizado um método para a análise qualitativa das malhas geradas. Introduzido por Sethian, (1999), o método numérico, Level Sets, permite o estudo da propagação de curvas e superfícies. Uma das principais vantagens da utilização deste método é a capacidade que este apresenta no tratamento de mudanças topológicas e descontinuidades que possam ocorrer da propagação da curva ou superfície de nível zero. As áreas de aplicação deste método são as mais variadas, tais como, a da mecânica dos fluidos, processamento de imagem, geometria computacional e crescimento de cristais. O método receding front, foi introduzido por, Eloi Ruiz-Gironés e Josep Serrate em 2011(Ruiz- Gironés, 2011). Este método, que pode ser denominado como um método advancing front revertido, e pretende tirar partido das vantagens, e anular as desvantagens dos métodos mais poderosos anteriormente desenvolvidos para a geração de malhas automáticas de elementos finitos hexaédricos. E assim criar um algoritmo bastante eficaz na geração deste tipo de malhas. O método do eixo médio, permite a obtenção de um conjunto de pontos, que definem a localização de um eixo central de uma determinada geometria, ou seja, partindo da fronteira de uma determinada geometria, recorrendo a circunferências tangentes a essa fronteira em mais que um ponto, o centro dessa circunferência traça o eixo médio da geometria. Este método será utilizado em conjunto com um outro método, o método TFI, (Haber et al, 1981), permite a geração de malhas de volumes extrudidos. Essencialmente é necessário ter duas superfícies, uma de partida e outra de chegada e os denominados linking sides, que são sempre quatro lados lógicos, cada um deles composto por várias arestas, e assim gerar as malhas. 3.2 Método dos Level sets 3.2.1 Formulação da propagação da interface Considere-se uma curva ou superfície que separa duas regiões, e que essa mesma curva ou superfície se move numa direção normal a si própria, com uma função de velocidade conhecida,f. 11

Figura 3.1 - Propagação de curva com velocidade F numa direcção normal. (Sethian, 1996) A função velocidade pode ser escrita como: F = F(L, G, I) (3.1) Em que: L Propriedades locais, como a curvatura e a direção normal. G Propriedades globais da frente, que dependem da posição e da forma da frente. I Propriedades independentes da forma da frente. Uma das principais dificuldades que ocorre em problemas de interface, está em encontrar uma função velocidade adequada. Para casos em que F > 0, considera-se que a frente move-se na direção exterior. Se for calculado o tempo de chegada, T(x, y), em que a frente cruza cada ponto, (x, y), podese caracterizar a posição da frente em expansão. Para uma dimensão a equação do tempo de chegada é facilmente derivada, 1 = F dt. Em múltiplas dimensões, T é ortogonal ao level sets de T, e tal como dx para uma dimensão, a sua magnitude e proporcional à velocidade. Se a velocidade apenas depende da posição então a equação reduz-se à equação de Eikonal. Em Sethian (1999), é possível ver o exemplo em que para uma superfície de chegada T(x, y), há uma frente expandindo com velocidade F = 1. 12

Figura 3.2 - Expansão de circunferência e curvas de nível de uma função de maior dimensão. (Sethian, 1996) No caso da velocidade com que a frente se move, não seja num sentido estritamente positivo ou negativo, a frente pode deslocar-se para a frente e para trás, e passar repetidamente pelo mesmo ponto ou pontos, e T(x, y), não é uma função de valor único. Então, Sethian (1999) propõe que a posição inicial seja considerada a curva de nível zero, de uma função φ de maior dimensão. A frente será, em qualquer que seja o tempo, dada pela curva de nível zero da função φ. Por forma a expressar a equação de evolução para a função level set, é necessário que a posição de uma partícula numa frente descrita por x(t) deve estar situada sobre a curva de nível, φ(x, t) = 0, então: φ(x(t), t) = 0 (3.2) Pela regra da cadeia: φ t + φ(x(t), t) x (t) = 0 (3.3) Como F representa a função velocidade ao longo da direção normal, têm-se x (t) n = F, onde n = φ. Então a equação de evolução que descreve a evolução da função level set ao longo do tempo φ proposta por Sethian e Osher (1988) é a seguinte: φ t + F φ = 0, φ(x, t = 0) (3.4) 3.2.2 Efeito da curvatura Considere-se a seguinte função de velocidade F evolução da curvatura ( ) pode ser escrita como: 1, com constante. A equação da 13

3 2 t (3.5) A figura 3.3 apresenta dois casos de propagação da curva triplo seno apresentada. Quando a constante apresenta um valor baixo, tal como na figura 3.3 (a), existe uma velocidade de evolução regular entre as frentes, enquanto para valores de maiores como o que é apresentado na figura 3.3 (b), nas partes concavas existe uma maior velocidade de propagação entre as frentes relativamente ás zonas de maior valor positivo de curvatura, em que a velocidade de propagação é bastante menor. Para valores positivos de, existe uma propagação suave (figura 3.4(a)), no entanto para 0, temos uma equação de reacção pura, se pode observar na figura (3.4(b)). 2 t, e o desenvolvimento da curva pode é tal como (a) F=1-0.025 (b) F=1-0.25 Figura 3.3 Propagação de curva triplo seno. (Sethian, 1996) 14

(a) F=1-0.25 (b) F=1.0 Figura 3.4 Solução de entropia. (Sethian, 1996) Portanto, uma frente que se propague a velocidade constante pode formar cantos, e nesses pontos em que a frente não seja mais diferenciável, a solução fraca tenha de ser construída para continuar a solução. Uma frente que se propague com velocidade 1 não forma cantos e mantem-se sempre suave., com valores de positivos, 3.3 Método receding front Os métodos mais eficazes na geração de malhas automáticas hexaédricas são, os métodos grid-based, (Schneiders e Bunten,1995; Shneiders et al, 1996; Zhang et al 2005; Zhang e Bajaj, 2006), e os métodos advancing front (Blacker e Meyers,1993; Staten et al, 2010). Os métodos grid-based são os únicos capazes de gerar malhas de forma totalmente automática. As desvantagens que estes métodos apresentam estão relacionados com o facto da malha final depender da orientação espacial do domínio, e os elementos que possuem pior qualidade se situarem na fronteira do domínio. Esta última deve-se ao facto de a malha interior não possuir camadas de hexaedros que progressivamente se adaptem à geometria da fronteira quando estas se deslocam em direção à superfície da geometria. Os métodos advancing front, por outro lado apresentam os elementos de melhor qualidade na superfície do objeto, o que é bastante importante, e não dependem da orientação espacial do mesmo. A boa qualidade dos elementos de fronteira ocorre porque a malha é gerada camada a camada, seguindo a forma da superfície de fronteira em direção ao interior. A desvantagem é que com a progressão das camadas em direção ao interior faz com que as frentes possam colidir e gerar falhas na malha. Tirando partido das vantagens que estes métodos apresentam, os autores do método receding front (Ruiz-Gironés 2011) desenvolveram este novo algoritmo, que propõe o seguinte: Gerar camadas de elementos do interior para o exterior de uma determinada geometria. 15

Pré calcular as camadas de hexaedros, combinando duas soluções da equação de Eikonal. Uma delas determina as distâncias para a fronteira interna da geometria e outra para a externa. Os level sets da combinação das duas soluções determinam as camadas. Importa referir que anteriormente ao método introduzido por estes autores, já existiam outros algoritmos de geração de malhas hexaédricas que utilizam a equação de Eikonal, o autor Sethian (1994), propôs um método para malhas estruturadas que utiliza a equação de Eikonal, e Wang et al. (2007), apresentou um método advancing front baseado nessa mesma equação. Mais recentemente Xia e Tucker (2009) mostraram como obter uma transformação axial média através da equação de Eikonal. 3.3.1 Pré cálculo das frentes Para um domínio parciais não lineares: n, a equação de Eikonal é a seguinte equação às derivadas d f em d 0 U (3.6) Em que solução f d distâncias. é uma função conhecida, é a norma euclidiana e U é a distância desde é a distância zero. Para f 1 a, e corresponde a uma distribuição uniforme do campo de O algoritmo que os autores do método receding front propõem, para determinar as frentes, contem um conjunto de passos. Em primeiro lugar, dado um conjunto de pontos que definem a frente com distância zero aos pontos, a solução é inicializada atribuindo o valor zero aos pontos que definem a frente de distância zero e para todos os outros pontos é atribuído um valor infinito. De salientar que os pontos são inseridos numa estrutura de dados (min-heap) em que estes são ordenados por ordem crescente em função do seu valor. A ideia de introduzir esta estrutura no algoritmo é fazer com que o ponto com o menor valor de solução contenha um valor correto. Assim o ponto é removido da estrutura e o valor da solução dos pontos adjacentes a este é atualizado, de acordo com a equação de Eikonal. Seja n o valor do ponto com o menor valor e 0. O novo valor da solução para o n é: e n um ponto adjacente a este numa aresta e e e e 0 e 0 v' min v, v l f (n ) (3.7) 16

v 0 v e l e - Valor da solução correspondente ao ponto - Valor da solução correspondente ao ponto - Comprimento da aresta e. n 0 n e ; ; Quando o valor da solução dos pontos adjacentes muda, a posição dos pontos na estrutura altera, o processo termina quando não existirem mais pontos na estrutura. Para um qualquer domínio, considerando, in, a fronteira interna do domínio, e fronteira externa do domínio. Por forma a calcular as distâncias em qualquer ponto situado entre ambas as fronteiras, considere-se a solução das seguintes equações que dão as distâncias para a fronteira externa e interna respetivamente. out,a dout 1 em dout out 0 em que d 0 out (3.8) din 1 em din 0 in em que d 0 in (3.9) Tendo obtido a solução, que fornece as distâncias para as fronteiras interna e externa, determinam-se as distâncias combinadas, u. dout u, 0 u 1 d d out in (3.10) de u Na fronteira do domínio externo e interno verifica-se que, u out 0 e u in 1, e o contorno, próximo da fronteira do domino externo é similar a d tal como próximo da fronteira do domínio out interno, o contorno de u é similar a in d, isto significa que os level sets das distâncias combinadas, reproduzem a forma das fronteiras do domínio. Por fim extraem-se o número de level sets pretendidos para gerar a malha. Na figura seguinte pode ver-se um exemplo da resolução da equação de Eikonal e o cálculo do valor de u. 17

Figura 3.5 - Exemplo de resolução da equação de Eikonal e cálculo do valor de u. Em cima à esquerda observa-se o conjunto de nós para resolução da equação de Eikonal, em cima à direita dout, em baixo à esquerda din e em baixo à direita u. 3.3.2 Caracterização dos vértices e arestas É necessário localizar os vértices e arestas existentes na fronteira interior da malha quadrilátera gerada inicialmente na superfície. Pois essas características geométricas definem a topologia da malha. As arestas da malha quadrilátera são classificadas de acordo com o ângulo,, que representa o ângulo entre a normal exterior e as faces adjacentes e os nós são classificados de acordo com o número de arestas locais adjacentes. Definem-se como arestas locais todas as que não são classificadas como arestas laterais, isto é, as arestas locais são todas as que definem uma característica geométrica da malha quadrilátera. aresta de canto 3 4 4 aresta de inversão 3 5 4 4 aresta final 5 7 4 4 aresta lateral outras. (3.11) 18

0 arestas locais adjacentes nó 2D 1 ou 2 arestas locais adjacentes nó 1D 3 ou mais arestas locais adjacentes nó 0D (3.12) Um nó, 0D, pretende representar um vértice, um nó 1D pertencer a uma curva e os nós 2D, situam-se numa superfície, como se verifica na figura seguinte. Em casos especiais em que um nó seja adjacente a uma aresta local, este é classificado como um semi-vértice e a aresta local adjacente definida como uma semi-aresta local. Figura 3.6 - Localização dos diversos tipos de nós que definem os templates a utilizar. A classificação que é feita determina a topologia da malha hexaédrica, ou seja obter-se um modelo local das características existentes na malha. Adicionalmente é importante ter um modelo global, como tal definem-se os nós 0D e as arestas globais que são um conjunto de arestas locais contínuas que conectam dois nós 0D. Resumidamente, a ideia da caracterização local do modelo pretende definir a topologia da malha no nível corrente enquanto a do modelo global irá manter a coerência do modelo local entre dois níveis consecutivos. 3.3.3 Geração de malha nas frentes Pretende-se gerar uma malha hexaédrica não estruturada do domínio, a partir da malha quadrilátera da superfície interna, e isto sem que seja necessário ter de antemão uma malha quadrilátera da superfície de fronteira externa. O que o método receding front propõe é que cada level set, calculado a partir da nuvem de pontos, defina uma frente de elementos hexaédricos. Para expandir a malha quadrilátera num determinado level set L, para um level set L+1 em primeiro lugar, são gerados os hexaedros adjacentes aos vértices anteriormente classificados de acordo com o número de arestas locais adjacentes. 19

O procedimento adotado pode ser decomposto em três fases. Numa primeira fase são gerados os hexaedros adjacentes aos vértices classificados em função das arestas adjacentes aos mesmos, e que consoante o número de arestas adjacentes, é usado um determinado modelo (ver figura 3.4) de hexaedro para avançar a construção da malha para o nível seguinte. Figura 3.7 - Modelos de hexaedros aplicados aos vértices. (Ruiz-Gironés 2011) Numa segunda fase são gerados os hexaedros adjacentes às arestas. Em função da classificação da aresta é designado um modelo de hexaedro (ver figura 3.5) a ser utilizado para expandir a camada para o nível seguinte. Figura 3.8 - Modelos de hexaedros adjacentes às arestas. (Ruiz-Gironés 2011) Numa última fase são gerados os hexaedros adjacentes aos quadriláteros das faces, em que os elementos quadráticos não tenham sido ainda expandidos, é utilizado um modelo de hexaedro como o apresentado na figura 3.6. Figura 3.9 - Modelo de hexaedro adjacentes aos quadriláteros das faces. (Ruiz-Gironés 2011) 20

Em situações em que existem semi vértices ou semi arestas, não é possível utilizar os modelos anteriormente descritos. Para estes casos são introduzidos mais modelos, como os das figuras 3.7 e 3.8. Figura 3.10 - Modelos para semi arestas. (Ruiz-Gironés 2011) Figura 3.11 - Modelos para semi vértices. (Ruiz-Gironés 2011) Primeiramente é necessário detetar as semi arestas, que determinam a transição entre a zona com dois subníveis, da zona com um nível (ver figura 3.9). Figura 3.12 - Localização de semi arestas. (Ruiz-Gironés 2011) 21

3.3.4 Suavização e refinamento das frentes de malha A cada nível de malha criado é aplicada uma suavização por forma a melhorar a qualidade dos elementos hexaédricos. A técnica que é utilizada, em primeiro lugar efetua uma relocalização do nó em função do centróide dos nós adjacentes a este, independentemente do nível em que estes se situem. Em seguida o nó é projetado para a superfície do level set atual, procurando o triângulo do level set que está mais próximo do nó e este é projetado para esse triângulo. Segundo a bibliografia estudada, são necessárias cerca de quatro a cinco iterações para aumentar a qualidade da malha. O refinamento da malha é importante pois o tamanho dos hexaedros, após a relocalização dos mesmos ser efetuada, pode ser diferente do pretendido inicialmente. E no caso do tamanho dos elementos ser maior, é efetuado um refinamento local em cada nível. Este método realiza um refinamento anisotrópico da malha, então para selecionar as arestas a serem refinadas, considerando que o tamanho pretendido do elemento é h, e o tamanho da aresta seja refinada se: l e. A aresta necessita ser le 3 h l e h (3.14) Nas arestas a serem refinadas, os hexaedros são substituídos por modelos de hexaedros dependendo das características destas. Nestas situações é utilizado um método proposto em Carreras (2008), onde os modelos introduzidos por Zhang et al. (2005), e Zhang e Bajaj. (2006) são adaptados às arestas a refinar. Quando os elementos no nível atual se encontram refinados, são geradas novamente as arestas globais do nível seguinte, e é portanto necessário reclassifica-las. A classificação é feita da seguinte forma em função de,, o ângulo médio das faces adjacentes à aresta local. aresta de canto 3 4 4 aresta de inversão 3 5 4 4 aresta final 5 1,85 4 aresta lateral outras. (3.15) Por fim o algoritmo da frente de malha é iterado até as frentes serem discretizadas, até ser atingida a fronteira externa. 22

3.3.5 Problemas e dificuldades associadas ao método O método aqui descrito, desenvolvido por Eloi Ruiz-Gironés (2011), pretende a longo prazo tornar-se um algoritmo que permita gerar malhas de elementos hexaédricos de uma forma automática. No entanto este ainda apresenta algumas limitações. Existe a necessidade de aumentar o número de modelos de elementos disponíveis no algoritmo por forma a tornar possível uma geração de malhas com maior qualidade, e este possuir uma aplicabilidade mais vasta. O método assume que a distância entre as fronteiras interna e externa é praticamente constante, o que permite gerar um número constante de níveis no modelo. No entanto quando existem geometrias com zonas estreitas, não é possível gerar um número constante de níveis. Uma das soluções propostas é gerar localmente um diferente número de camadas de hexaedros dependendo da largura das camadas definidas. Este método não permite ser utilizado em geometrias com furos passantes, o que o torna limitado. Outra necessidade que existe é o facto das características topológicas existentes na fronteira externa do domínio, tais como arestas e vértices, dever ter uma correspondência na malha quadrilátera interna do domínio. Este método apenas permite gerar malhas de domínios exteriores de corpos únicos. Uma forma apresentada para contornar o problema, é conectar com uma corda de hexaedros cada um dos corpos interiores existentes no domínio que se pretende gerar a malha, e quando estes estiverem ligados entre si, é possível aplicar o algoritmo à geometria resultante. É ainda necessário adicionar uma forma de introdução automática, dos elementos no interior da geometria que permitem necessários à aplicação método receding front. 3.4 Método do eixo médio O eixo médio M de uma curva ou superfície k é o conjunto de pontos em possuem pelo menos dois pontos próximos em. Cada ponto de M, é o centro de uma circunferência que passa tangencialmente pela fronteira de k que. Podemos definir cada circunferência Bxr,, xm como uma circunferência média em que r d (x, ). Se a circunferência média em B p, diz-se que xr, é uma circunferência média em p. B xr, é tangente a Como se pode ver na figura (seguinte a), o eixo médio pode ter bifurcações, no ponto, ou pontos de fronteira como w e u, tal como o eixo médio pode possuir partes não conectadas entre si, e como se observa, pode-se ter um eixo médio interno e um externo ao domínio. v 23

Figura 3.13 - Localização do eixo médio de uma geometria e respectivas circunferências que o definem. (Dey, 2007) Uma circunferência cresce com centro num ponto situado no eixo médio, até atingir tangencialmente num ou mais pontos, mas para um ponto x uma circunferência pode atingir tangencialmente este ponto e continuar a crescer mantendo-se tangencial a este até atingir outro ponto, y, e aí tornar-se uma circunferência média e obter-se, m como ponto médio. O raio da circunferência média varia de acordo com tangência com. Observe-se agora o lema seguinte transcrito da bibliografia estudada (Dey, 2007). Lemma (Feature Ball). Se uma circunferência B B cr, interseta a fronteira d em mais do que um ponto então (i) B não é uma circunferência k ou (ii) bd (B ) não é uma circunferência (k 1) logo o eixo passa pelo ponto em B. O que está demonstrado é que se B intersetar em mais que um ponto e B seja tangente a em algum ponto, tangência a x x, então B contém um ponto do eixo médio. Diminuindo então B, mantendo a, até que apenas neste ponto exista contacto entre B e. 24

Figura 3.14 - Circunferências tangentes à fronteira que definem eixo médio. (Dey, 2007) 3.5 Método transfinite mapping (TFI) O método TFI, (Haber et al, 1981), permite a geração de malhas de volumes extrudidos. Essencialmente é necessário ter duas superfícies, uma de partida e outra de chegada e os denominados linking sides, que são sempre quatro lados lógicos, cada um deles composto por várias arestas. Para ser possível aplicar o método TFI, é muito importante que os lados lógicos opostos possuam o mesmo número de nós, e que as malhas estruturadas existentes nos lados de ligação sejam de elevada qualidade, pois são estas que são utilizadas para gerar os nós internos camada a camada, como se vê na seguinte figura, e caso a malha superficial possua baixa qualidade, esta vai repercutirse nos elementos hexaédricos obtidos. Figura 3.15 - Processo de varrimento em extrusão de um volume. (Roca 2009) Um dos problemas inerentes da utilização deste método, tem que ver que no caso dos nós serem equidistantes entre eles ao longo das arestas da superfície, isto para certos tipos de geometrias, alguns segmentos das malhas estruturada da superfície irão intersectar-se. Para uma melhor perceção 25

do problema, vejamos a título de exemplo a malha de um volume extrudido em forma de S (figura 3.16). Como se pode observar figura 3.16 (a), irá resultar em elementos quadriláteros dobrados ao centro superfície que irão resultar em elementos hexaédricos de péssima qualidade ou mesmo com jacobiano negativo no interior do volume. (a) (b) Figura 3.16 - Malha de volume com formato S. a) nós equidistantes, b) nós que minimizam a distância entre arestas (Roca 2009) Para se resolver este problema, Roca (2009), propõe implementar um procedimento para a geração de malha na aresta que segue os nós na aresta oposta, minimizando a distância entre nós opostos ao longo da superfície, e assim os segmentos que ligam os nós opostos não se cruzam ao centro da superfície, figura 3.16 (b). 26

3.6 Análise qualitativa da malha A análise global de uma malha é indispensável para aferir a qualidade dos elementos. Existem diversas técnicas utilizadas para verificação da qualidade de uma malha hexaédrica. No presente trabalho foi decidido utilizar o determinante e o número de condição da matriz Jacobiana por forma a analisar a qualidade e a distorção da malha. (Zhang, 2013; Ruiz-Gironés et al, 2014) Seja H um hexaedro com oito vértices, xijk (i,j,k=0,1), este pode ser representado como um volume paramétrico trilinear definido num cubo unitário: 1 1 1 1 1 1 x(u, v, w) u i (1 u) i v j (1 u) j w k (1 w) k xijk i0 j0 k 0 (3.16) A matriz Jacobiana descreve a transformação linear do cubo ideal para hexaedro H. x x x u v w y y y J(x) J(x, y,z) u v w z z z u v w (3.17) Caso o determinante da matriz Jacobiana em todos os vértices seja positivo, o hexaedro é válido, senão o elemento é invertido. O número de condição da matriz Jacobiana é definido como: 1 3 J J (3.18) 1 (J) F F A norma de Frobenius é indicada por: F 1/2 T J tr(j J) (3.19) Para malhas bidimensionais o número de condição é igual a: 1 2 J J (3.20) 1 (J) F F O número de condição de um elemento é sempre maior ou igual a 1, e a qualidade do elemento é óptima quando igual a 1. Pelo contrario, quanto maior o valor de (J), pior a qualidade do elemento. 27

De modo a que a escala da qualidade da malha esteja sempre entre 0 e 1, utiliza-se o inverso do número de condição, isto é, do elemento. 1 κ(j), sendo que quanto mais próximo o valor for de zero pior é a qualidade Para aferir a qualidade dos elementos foi utilizado o número de condição da matriz Jacobiana, porque esta descreve a transformação linear entre a forma ideal do cubo unitário e o hexaedro H, ou no caso bidimensional quadrilátero. 28

Capítulo 4 Resultados 4.1 Malhas 2D Para a geração de malhas 2D, foi definida a utilização de duas geometrias para as quais se iriam aplicar os métodos de geração pretendidos. Para uma primeira geometria, delimitada exteriormente por uma circunferência e interiormente por uma fronteira com um formato do tipo estrela foi aplicado o método receding front, em conjunto com a utilização do método dos level sets para a geração de malhas de elementos quadriláteros. Uma segunda geometria, com apenas uma fronteira exterior foi utilizada para aplicar o método TFI em conjunto com o método do eixo médio. 4.1.1 Geometria Estrela Receding front Um dos exemplos estudados e que de seguida se apresenta possui uma geometria bastante específica, e de especial interesse. Esta geometria é delimitada exteriormente por uma circunferência e interiormente por uma fronteira com um formato do tipo estrela. Esta geometria é bastante interessante, uma vez que é bastante difícil a geração da sua malha com qualidade, sendo geralmente utilizada por diversos autores como benchmark. Seguindo o método do receding front, foi realizada uma modelação da geometria e gerada a sua malha de elementos triangulares, recorrendo ao software elementos finitos comercial, Abaqus. Figura 4.1 - Malha de elementos triangulares de geometria estrela Em seguida foram obtidos os level sets da geometria, sendo possível escolher o número de níveis que se pretendem. Observa-se a figura 4.2 para uma melhor perceção da forma como foi utilizado este método já explicado no capítulo anterior, nomeadamente a sua utilização no método do receding 29

front. Em que foram calculadas as distâncias em relação à fronteira externa e interna separadamente e posteriormente calculada uma distância combinada, u. Figura 4.2 - Level sets de geometria estrela Em seguida foram gerados os elementos entre os vários level sets. O gerador de malha criado encontra-se parametrizado sendo possível ajustar diversos parâmetros em função das necessidades e por forma a obter uma malha com a melhor qualidade possível. Tendo em atenção as características topológicas da geometria, é necessário a existência de um nó em cada um dos vértices da fronteira interna e seguindo o método aplicado, a geração dos elementos é feita partindo da fronteira interna até chegar à externa. Os parâmetros possíveis de ajustar são, o número de níveis, ou fatias entre a fronteira interna e externa da geometria, e o número de nós existente em cada aresta da fronteira interna. Para as arestas da estrela, a base da definição dos nós do nível seguinte, é a direcção normal aos nós da estrela, logo é possível definir um desvio dessa direção em relação ao vetor normal. Foram então geradas diversas malhas, variando os parâmetros e assim ser possível analisar os resultados, principalmente ao nível da qualidade das mesmas. Apresenta-se de seguida um conjunto de malhas obtidas e os respetivos valores da análise da qualidade. De referir que a legenda das figuras indica o número de fatias (NF) e o número de nós (NN) por aresta atribuídos Malha estrela nº1 (a) (b) Figura 4.3 - Malha Estrela, método receding front, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. 30

Malha estrela nº2 (a) (b) Figura 4.4 - Malha Estrela, método receding front, NF=10, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. Malha estrela nº3 (a) (b) Figura 4.5 - Malha Estrela, método receding front, NF=12, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. 31

Malha estrela nº4 (a) (b) Figura 4.6 - Malha Estrela, método receding front, NF=10, NN=5: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. Malha estrela nº5 (a) (b) Figura 4.7 - Malha Estrela, método receding front, NF=7, NN=7: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. 32

Malha Figura Nº Elementos Mínimo Máximo Média 1 4.3 540 0,220 0,998 0,859 2 4.4 720 0,128 0,999 0,852 3 4.5 840 0,110 0,999 0,817 4 4.6 1080 0,138 0,999 0,860 5 4.7 1080 0,073 0,998 0,678 Tabela 4.1 - Valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição. Como se pode observar a qualidade das malhas obtidas varia em função do número de elementos que estas possuem, e do tipo de distribuição que estes apresentam. Encontram-se aqui apresentados apenas alguns dos exemplos gerados, e que se consideram mais representativos. Como se pode observar a zona de menor qualidade de elementos situa-se sempre na zona próxima da fronteira interna, entre as pontas da estrela que possuem um ângulo menor entre elas, é portanto a zona crítica. Numa malha perfeita todos os elementos teriam uma cor próxima do vermelho, o que indica que teriam todos, um valor próximo de 1. De todos as malhas geradas, ajustando os parâmetros, a melhor que foi possível obter, que está representada na figura 4.3 e 4.6, com um valor médio da qualidade dos elementos de 0,86. O que é um resultado bastante satisfatório. 4.1.2 Geometria Estrela método das distâncias Outro método utilizado para a obtenção de malha para a geometria anteriormente descrita, foi recorrer novamente ao método dos level sets, para obter o número de fatias desejadas entre as fronteiras da geometria. Mas para gerar os elementos entre fatias foi utilizada a distância mínima entre nós situados em dois níveis consecutivos. Ou seja, definida a quantidade de nós existente em cada linha, sendo a quantidade igual para todas elas, em seguida estes nós são interligados entre eles pela distância mínima. 33

Malha estrela 6 (a) (b) Figura 4.8- Malha Estrela, método das distâncias, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. Malha estrela 7 (a) (b) Figura 4.9 - Figura 0.1- Malha Estrela, método das distâncias, NF=7, NN=3: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. 34

Malha estrela 8 (a) (b) Figura 4.10 - Malha Estrela, método das distâncias, NF=12, NN=11: (a) malha hexaédrica gerada; (b) resultados da qualidade, inverso do número de condição. Malha Figura Nº Elementos Mínimo Máximo Média 6 4.8 480 0.123 0,998 0,839 7 4.9 1560 0,100 0,999 0,811 8 4.10 2340 0,081 0,998 0,680 Tabela 4.2 - Resultados da qualidade, inverso do número de condição. Método das distâncias. front. Verifica-se uma menor qualidade dos elementos em relação à utilização do método receding 4.1.3 Método do eixo axial Por forma a obter os resultados para figuras com uma geometria como a que aqui se apresenta, utiliza-se o método do eixo axial, em conjunto com o método TFI, ambos descritos no capítulo anterior. Como se pode observar na seguinte figura, do que foi apreendido do método do eixo axial, o eixo axial é obtido a partir do centro de circunferências tangentes à fronteira da geometria em dois pontos, com exceção das suas extremidades, que é tangente em mais que dois pontos. Na parte de baixo da geometria foi, para além do TFI, utilizada uma correcção ao posicionamento dos nós que aproxima nós posicionados mais longe que a média das distâncias locais entre nós consecutivos. Nas duas hastes de cima essa correção não foi realizada de modo a comparar resultados. 35

Figura 4.11 - Geometria em estudo com localização do eixo médio determinado Malha método eixo médio nº1 (a) (b) Figura 4.12 Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 821; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. 36

Malha método eixo médio nº2 (a) (b) Figura 4.13 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 705; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. Malha eixo médio nº3 (a) (b) Figura 4.14 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada com número de elementos igual a 1008; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. 37

Malha eixo médio nº4 (a) (b) Figura 4.15 - Malha método do eixo axial: (a) malha gerada, com número de elementos igual a 1352 ; (b) malha com qualidade dos elementos, inverso do número de condição. Malha Figura Nº Elementos Mínimo Máximo Média 1 4.12 821 0.193 1.000 0.805 2 4.13 705 0.188 1.000 0.768 3 4.14 1008 0.158 1.000 0.804 4 4.15 1352 0.158 0.996 0.777 Tabela 4.3 - Resultados da qualidade dos elementos, inverso do número de condição. Método do eixo médio. Analisando os resultados obtidos, verifica-se a boa qualidade das malhas geradas, com todas elas a apresentar uma qualidade dos elementos, inverso do número de condição, acima de 0.75. Os valores da qualidade só não são superiores devido ao facto, dos elementos situados no centro da geometria, a zona mais azulada das figuras 4.12 (b) a 4.15 (b), possuírem má qualidade. Este problema pode ser resolvido de diversas formas, entre as quais se destaca a colocação de elementos triangulares na zona central da geometria, ou então introduzir uma fronteira interior na zona, ou pseudo-buraco, de forma circular e assim não ocorreria uma convergência dos elementos para um ponto central como acontece atualmente. 38

Verifica-se o que anteriormente já tinha sido anunciado, em relação aos nós localizados nas hastes da geometria. Na parte de baixo da geometria a correção efetuada ao posicionamento dos nós que aproxima os nós, posicionados mais longe que a média das distâncias locais entre nós consecutivos, repercutiu-se numa melhor qualidade dos elementos. Nas duas hastes de cima da geometria não foi realizada a correção, resultado em elementos de pior qualidade como se pode verificar nas figuras 4.12 (b) a 4.15 (b). 39

4.2 Malhas 3D Na presente dissertação, procedeu-se também à geração de malhas 3D de diversas geometrias, aplicando os métodos anteriormente descritos. Numa primeira fase, duma forma mais geral, foi produzido um conjunto de malhas de um volume delimitado por duas superfícies. Interiormente por um cubo e exteriormente por uma esfera. Numa segunda fase, foram aplicados os algoritmos à geração de malhas a um conjunto constituído por um Fémur com uma prótese cementada. A qualidade das malhas foi um requisito a ter sempre em conta, procedendo-se a uma análise de qualidade dos elementos, inverso do número de condição para todas as malhas produzidas. 4.2.1 Malha Esfera-Cubo A metodologia utilizada para a geração das malhas da geometria Esfera-Cubo, é idêntica à utilizada para as malhas 2D. O método utilizado foi o receding front. Na figura 4.16, encontra-se geração de uma malha da geometria utilizada, com recurso exclusivamente ao software Abaqus. Este procedimento foi realizado por forma a posteriormente se possível comparar resultados ao nível da qualidade das malhas obtidas no software Abaqus e utilizando os algoritmos programados. Malha Esfera-Cubo gerada em Abaqus (a) (b) Figura 4.16 - Malha hexaédrica Esfera-cubo gerada em Abaqus : (a) método de construção; (b) malha hexaédrica vista em corte; 40

(a) (b) Figura 4.17 - Malha hexaédrica Esfera-cubo gerada em Abaqus : (a) qualidade dos elementos, inverso do número de condição; (b) qualidade dos elementos, inverso do número de condição, vista da figura em corte. Malha Figura Elementos Mínimo Máximo Média ABAQUS 4.17 235824 0,294 0.978 0.808 Tabela 4.4 - Resultados da qualidade de malha hexaédrica Esfera-Cubo gerada em Abaqus Malha Esfera-Cubo nº1 (a) (b) (c) Figura 4.18 - Malha Esfera-Cubo nº1: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte. 41

Malha Esfera-Cubo nº2 (a) (b) (c) Figura 4.19 - Malha Esfera-Cubo nº2: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte. Malha Esfera-Cubo nº3 (a) (b) (c) Figura 4.20 - Malha Esfera-Cubo nº3: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte. 42

Malha Esfera-Cubo nº4 (a) (b) (c) Figura 4.21 - Malha Esfera-Cubo nº4: (a) malha hexaédrica; (b) qualidade da malha; (c) qualidade da malha, vista em corte. Malha Figura Elementos Mínimo Máximo Média 1 4.18 5400 0,693 0.992 0.915 2 4.19 14112 0,658 0.995 0.919 3 4.20 65664 0,608 0.999 0.919 4 4.21 82944 0,665 0.998 0.912 Tabela 4.5 - Resultados da qualidade, inverso do número de condição. Malha Esfera-Cubo. Observando os resultados da qualidade das malhas, verifica-se que esta é bastante boa, com um valor médio superior a 0.900, e o valor mínimo nunca situado abaixo dos 0.600. Independentemente do número de nós definidos por aresta e o número de fatias definido todas as malhas geradas possuem uma boa qualidade. Comparando os resultados das malhas geradas, com a malha obtida no software comercial ABAQUS, esta última possui uma pior qualidade. Com um valor médio de 0.808, abaixo dos valores médios obtidos nas malhas geradas pelo algoritmo desenvolvido. Importa aqui referir que a malha gerada em Abaqus, não foi possível gerar de uma forma automática, ao contrário das geradas pelo algoritmo. Foi necessário um utilizador com muita experiencia na utilização do software para conseguir que este gerasse a malha exclusivamente composta por elementos hexaédricos da geometria. Aqui ficou patente a limitação que ainda existe nos softwares comerciais atualmente no mercado para a geração de malhas de elementos finitos hexaédricos. 43

4.2.2 Malha Prótese A última e mais importante geometria utilizada em que é pretendido gerar malhas, é a que em seguida se apresentam os resultados. Um caso específico de uma geometria complexa em existe contacto entre superfícies. Quando se pretendem realizar análises de esforços e deformações como no caso apresentado, de uma haste femoral implantada no interior do fémur. Na análise destas situações, a zona de contato é muito importante e é necessário que a malha seja de qualidade, por forma a evitar erros na solução de contacto. Foram geradas malhas utilizando dois tipos de hastes, uma sem e outra com flange. Numa primeira malha foi utilizada uma haste sem flange e foram geradas duas malhas, com diferentes valores de parâmetros. Uma vez que o algoritmo se encontra parametrizado, é com relativa facilidade que é alterado o número de elementos. As partes em contacto que definem a geometria estudada são: prótese, cimento e fémur, (figura 4.21-c). O eixo médio foi determinado para definir a fronteira interna da prótese. A fronteira interna escolhida foi uma elipse, mas talvez existam melhores opções, por exemplo uma fronteira quadrada. Toda a malha foi gerada com o método receding front. Malha Prótese nº1 (a) (b) (c) Figura 4.22 - Malha prótese nº1: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c) vista topo. 44

Malha Prótese nº1 Qualidade da prótese (a) (b) Figura 4.23 - Malha prótese nº1 com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 45

Malha Prótese nº1 Qualidade do cimento (a) (b) Figura 4.24 - Malha cimento nº1 com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 46

Malha Prótese nº1 Qualidade do fémur (a) (b) Figura 4.25 - Malha nº1 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 47

Malha Prótese nº1 Qualidade do conjunto total (b) (a) (c) Figura 4.26 - Malha nº1 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte Malha nº1 Figura Elementos Mínimo Máximo Média Prótese 5.23 22400 0.011 0792 0.269 Cimento 5.24 4864 0.179 0.974 0.556 Fémur 5.25 14336 0.112 0.974 0.577 Total 5.26 41600 0.011 0.974 0.409 Tabela 4.6 - Malha nº1 valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição. 48

Malha Prótese nº2 (a) (b) (c) Figura 4.27 - Malha prótese nº2: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c) vista topo. 49

Malha Prótese nº2 Qualidade da prótese (b) (b) Figura 4.28 - Malha nº2 prótese com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte 50

Malha Prótese nº2 Qualidade do cimento (a) (b) Figura 4.29 - Malha nº2 cimento com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 51

Malha Prótese nº2 Qualidade do fémur (a) (b) Figura 4.30 - Malha nº2 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 52

Malha Prótese nº2 Qualidade do conjunto total (b) (a) Figura 4.31 - Malha nº2 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) (c) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte Malha nº2 Figura Elementos Mínimo Máximo Média Prótese 5.28 76800 0.092 0.993 0.554 Cimento 5.29 21888 0.380 0.978 0.802 Fémur 5.30 53760 0.215 0.986 0.81 Total 5.31 152448 0.029 0.993 0.680 Tabela 4.7 - Malha nº2 valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição. 53

Malha Prótese nº3 (a) (b) (c) Figura 4.32 - Malha prótese nº3: (a) vista frontal; (b) vista isométrica; (c)vista topo. 54

Malha Prótese nº3 Qualidade da prótese (a) (b) Figura 4.33 - Malha nº3 prótese com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 55

Malha Prótese nº3 Qualidade do cimento (a) (b) Figura 4.34 - Malha nº3 cimento com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 56

Malha Prótese nº3 Qualidade do fémur (a) (b) Figura 4.35 - Malha nº3 fémur com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo. 57

Malha Prótese nº3 Qualidade do conjunto total (b) (a) (c) Figura 4.36 - Malha nº3 total com qualidade dos elementos, inverso do número de condição: (a) vista frontal; (b) vista topo; (c) vista em corte. Malha nº3 Figura Elementos Mínimo Máximo Média Prótese 5.33 91800 0.024 0.990 0.520 Cimento 5.34 24624 0.323 0.972 0.777 Fémur 5.35 60480 0.195 0.992 0.795 Total 5.36 176904 0.024 0.992 0.650 Tabela 4.8 - Malha nº3 valores de qualidade dos elementos, inverso do número de condição. Verifica-se nos resultados obtidos, que as zonas em que o valor da qualidade dos elementos é menor, é na malha da prótese. Talvez se deva alterar a fronteira interna, isto é, utilizar por exemplo um retângulo em vez das elipses. Na zona de interface a qualidade dos elementos é quase sempre maior que a qualidade média, como se pode ver nas figuras 4.26, 4.31 e 4.36. É também possível observar 58