Energia Potencial e Forças Conservativas Evandro Bastos dos Santos 22 de Maio de 217 1 Trabalho O trabalho realizado por uma força, quando do deslocamento de uma partícula entre dois pontos, envolve uma integral de caminho. Seja um dos caminhos possíveis. ssim, para indicar tal dependência, escrevemos: Figura 1: Trabalho de uma força variável depende do caminho W = F ( r) d r. (1) O fato é que, de acordo com a 1, dois pontos podem ser interligados por meio de infinitos caminhos. propósito da dependência do trabalho realizado por uma força com o caminho interligando dois pontos e, em particular, do ponto de vista da grandeza física denominada energia potencial, as forças podem ser divididas em duas grandes categorias: conservativas e não conservativas. Para entendermos a diferença, consideremos o deslocamento de uma partícula de um ponto para um ponto B do espaço. Existem infinitas maneiras de irmos de um ponto até o ponto B e utilizar infinitos caminhos (ou seja, curvas). Por exemplo, podemos ir de até B seguindo pelos caminhos 1, 2 ou 3 da 1. Dizemos que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela, quando do deslocamento entre dois pontos e B, não depende do caminho que interliga esses dois pontos, ficando subentendido que tais pontos são, a rigor, arbitrários. essas forças associamos o conceito de energia potencial. Outra definição equivalente a essa é a que leva em conta a integral de caminho da força ao longo de uma caminho fechado. Dizemos que uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela ao longo de um caminho fechado qualquer (isto é, indo de um ponto e voltando ao mesmo ponto) resulta ser nulo. Ou seja, por essa definição, uma força é conservativa se, para qualquer caminho, 1
Figura 2: Trabalho de uma força variável com ponto final e inicial iguais W = (2) 2 Energia Potencial Já vimos que uma força é conservativa se o trabalho realizado no percurso de até B só dependevdos pontos e B. Como os pontos e B têm posição r e B r B, podemos escrever essa dependência da seguinte forma: W B = U( r B ) U( r ) = F ( r) d r. (3) onde U( r) é uma função do vetor posição. Essa função é conhecida como a função energia potencial. função U( r) é de fundamental importância na física e ela recebe o nome de energia potencial, e possui diversas formas. O que faz uma partícula possuir energia - a energia potencial, pelo simples fato de ela ocupar uma determinada posição no espaço? resposta é bastante simples. Esta forma de energia surge como resultado da interação entre os objetos. E essa interação tem sua intensidade dependente da posição dos objetos. Potencial se refere à posição do objeto. energia potencial resulta sempre de alguma força (ou interação) que lhe deu origem. No entanto, nem todas as forças dão origem a essa forma de energia (energia potencial). lgumas, como as forças de atrito, dissipam energia, ou seja, gastam energia. essas forças damos o nome de forças não conservativas. ssim, classificamos as forças em duas grandes categorias: Forças conservativas Dão origem a alguma forma de energia potencial Forças não conservativas não podemos associar a elas uma forma de energia potencial. 3 Força Derivada da Energia Potencial Podem-se definir forças conservativas a partir de outro critério, a saber, dizemos que uma força é conservativa se ela deriva de uma função escalar, ou seja, uma força é conservativa se existir uma função U( r) tal que a força seja dada pela expressão: F ( r) = U( r) (4) 2
em que é o vetor gradiente, que será visto em detalhes nos cursos de cálculo. Para uma dimensão, podemos escrever, portanto, de forma mais simples F (x) = d U(x) (5) dx ou seja, a força calculada, a partir da energia potencial é dada pela derivada da energia potencial. Nem todas as forças podem ser escritas como derivadas. Definem-se forças conservativas como aquelas que podem ser escritas. Só para tais forças podemos falar em energia potencial associada à interação. 4 Trabalho como Variação da Energia Potencial ssim, se uma força for conservativa, de acordo com a definição, o trabalho é realizado por uma força quando uma partícula se desloca entre dois pontos e B quaisquer. Para verificamos isso, lembramos que W B = F ( r) d r = du (6) o trabalho realizado pela força entre os pontos e B não depende do caminho, apenas desses pontos e é dado por: W B = U( r B ) U( r ) (7) W B = U (8) ssim, fazendo uso do formalismo matemático, podemos associar por meio da definição acima, envolvendo a operação de derivação, a energia potencial à força. Essa associação, por outro lado, faz com que a força seja derivada da função energia potencial. definição de energia potencial como uma função ou campo, a partir da qual podemos determinar a força, leva-nos ao problema inverso, ou seja, o de determinar a energia potencial uma vez conhecida uma expressão analítica da força. 4.1 Energia Potencial Gravitacional força de interação gravitacional entre dois corpos é uma força conservativa e dada pela lei da Gravitação Universal de Newton. Figura 3: Corpos caindo na superfície da terra 3
Newton observou que a queda de corpos de massa m em relação ao outro de Massa M segue uma lei universal dada por F g = GMm x 2. (9) Em que G é uma constante universal, M e m são as massas dos corpos e x é a distância de separação entre eles. Quando estamos na superfície de um determinado planeta ou corpo com massa muito maior que o outro, temos que o fator g = GM x 2 (1) é chamado de aceleração gravitacional. E então a força gravitacional fica sendo F g = mg (11) que é a força peso como já vimos anteriormente. Se queremos calcular a energia potencial gravitacional, temos que considerar que ela será o trabalho da força peso quando o objeto de massa m cai ao longo de uma altura h. Portanto, U U = h F g dx = h mgdx. (12) Resolvendo a integral e fazendo o ponto inicial de energia como referência U =, temos que U = mgh, (13) que é o resultado conhecido para a energia potencial gravitacional de um corpo de massa m na superfície de um planeta ou corpo com massa muito maior que m. 4.2 Energia Potencial Elástica Outra forma de energia muito importante na mecânica é a energia potencial elástica, adventa da lei de Hooke. Figura 4: Mola enlogada em x, fazendo uma força de restauração lei de Hooke dita sobre a força de restauração (oposta) ao deslocamento de uma mola. Por essa lei, quando uma mola é esticada em um comprimento x, há uma força oposta que tende a restaurar ao seu comprimento natural dada por F e = kx (14) 4
em que k é uma constante que depende de cada material e x é o deslocamento. Da mesma forma que fizemos com a força gravitacional, também podemos considerar que a energia potencial elástica será o trabalho executado durante essa enlogação de distância x. Portanto U U = x kxdx. (15) Resolvendo a integral e adotando U =, temos que a energia potencial elástica é simplesmente que é o resultado conhecido para a energia potencial elástica. U = 1 2 kx2. (16) 5 Exercícios 1. Determine a constante gravitacional do a) planeta terra; b) lua; c) planeta marte; d) sol; e) analise sua resposta, quando aumentamos a massa de um planeta a aceleração gravitacional é maior ou menor. Qual a relação com o raio do planeta? 2. Qual o trabalho necessário para elevar um avião pequeno de 5. Kg até uma altura de 1.m, a partir do solo? 3. Um bloco de massa 1kg se move sobre uma mesa. Há atrito entre a mesa e o bloco, cujo coeficiente de atrito é,7. Qual a energia dissipada pela força de atrito até o momento em que o bloco parar! 4. Qualquer força que obedece às leis de Newton é uma força conservativa? Justifique sua resposta! 5. Qual o trabalho necessário para esticar uma mola de constante 1N/m por 1cm? 5