Notas de aulas de Estradas (parte 10)

1 Notas de aulas de Estradas (parte 10) Helio Marcos Fernandes Viana Tema: Curvas verticais Conteúdo da parte 10 1 Introdução 2 Curvas usadas na concordância vertical 3 O cálculo das cotas, flechas e estacas da parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV 4 Comprimento mínimo das curvas verticais (considerando-se a parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV) 5 Nota de serviço de terraplenagem 6 Considerações finais

2 1 Introdução O projeto de uma estrada em perfil longitudinal é constituído por retas (ou greides retos) concordadas por curvas verticais (ou greides curvos). 1.1 Perfil longitudinal do terreno O perfil longitudinal do terreno é a representação no plano vertical das diferenças de nível (cotas ou altitudes) obtidas do nivelamento feito no terreno ao longo do eixo da estrada. 1.2 Greide da estrada O greide de uma estrada é o conjunto das alturas a que deve obedecer o perfil longitudinal da estrada quando concluída. Assim sendo, o perfil longitudinal do projeto do eixo da estrada é denominado greide. Os greides são classificados em retos e curvos. Portanto, tem-se: a) Greides retos Os greides são retos quando possuem uma inclinação constante em um determinado trecho. Existem três tipos de greides retos, os quais são: -> Rampa ou greide ascendente, quando i > 0; -> Greide em nível, quando i = 0; e -> Contra-rampa ou greide descendente, quando i < 0. OBS. i = declividade (ou inclinação) da rampa. b) Greides curvos Os greides são curvos quando se utiliza uma curva de concordância para concordar dois greides retos. Existem dois tipos de greides curvos os quais são: -> Curvas verticais convexas; e -> Curvas verticais côcavas. Como já comentado, os greides retos são definidos pela sua declividade ou inclinação (i), onde i é a tangente do ângulo que o greide reto faz com a horizontal como ilustra a Figura 1.1.

3 Figura 1.1 - Esquema para determinação da declividade de um greide reto OBS. Na prática a declividade do greide reto é expressa em % (porcentagem) ou em m/m (metro por metro). A Figura 1.2 ilustra o greide (ou perfil longitudinal de uma estrada), e também o perfil longitudinal do terreno. Observa-se que o greide da estrada é formado por greides retos (com inclinação constante) e greide curvo (com inclinação variável). Figura 1.2 - O greide e o perfil longitudinal do terreno 1.3 Pontos notáveis da curva vertical como: São três os pontos notáveis de uma curva vertical, os quais são designados a) PIV ou ponto de interseção vertical Este ponto corresponde à interseção dos greides retos. b) PCV ou ponto de curva vertical Este ponto corresponde ao início da curva vertical.

4 c) PTV ou ponto de tangência vertical Este ponto corresponde ao fim da curva vertical. A Figura 1.3 ilustra os pontos notáveis de duas curvas verticais, e os três greides retos existentes no trecho. Figura 1.3 - Os pontos notáveis de duas curvas verticais 2 Curvas usadas na concordância vertical 2.1 Curvas clássicas de concordância vertical As curvas clássicas de concordância vertical empregadas em todo o mundo são as seguintes: a) Parábola do 2. o grau; b) Curva circular; c) Elipse; e d) Parábola cúbica (ou do 3. o grau). O DNER (atual DNIT) recomenda o uso de parábolas do 2. o grau no cálculo das curvas verticais, de preferência as SIMÉTRICAS em relação ao PIV. A Figura 2.1 ilustra uma parábola do 2. o relação ao PIV. grau simples ou simétrica em Nas parábolas do 2. o grau simples ou SIMÉTRICA em relação ao PIV, a projeção horizontal das distâncias do PIV ao PCV, e do PIV ao PTV são iguais a L/2; onde L é o comprimento da parábola.

5 Figura 2.1 - Parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV 2.2 Vantagens de se utilizar a parábola do 2. o grau como curva vertical Como vantagens de se utilizar a parábola do 2. o grau como curva vertical pode-se citar: a) A equação da parábola do 2. o grau é simples; b) A parábola não se modifica pelo uso de escalas vertical e horizontal diferentes, isto é, continua sendo uma parábola; OBS. Sabe-se que nos perfis longitudinais de estradas, normalmente, a escala horizontal é 1: 2.000, e a escala vertical é 1: 200. c) É desnecessário o uso de tabelas ou gabaritos para desenhar a curva no projeto; d) O PCV e o PTV podem ser locados em estacas inteiras, ou inteira + 10 m, como convém no projeto do perfil longitudinal definitivo; e e) Etc. 2.3 Diferença algébrica das rampas (g) No estudo das curvas verticais é muito utilizada a diferença algébrica das rampas, que é calculada pela seguinte equação: g = i 1 i 2 (2.1) g = diferença algébrica das rampas; i 1 = inclinação do primeiro greide reto; e i 2 = inclinação do segundo greide reto. OBS. Na utilização da eq. (2.1), os sinais das inclinações dos greides retos i 1 e i 2 devem seguir a seguinte convenção (ou significado): sinal positivo (+) se o greide reto for ascendente, e sinal negativo (-) se o greide reto for descendente.

6 Pelo sinal de g (diferença algébrica das rampas) podemos dizer se uma curva é côncava ou convexa; pois, tem-se o seguinte: a) Para g > 0, então a curva será convexa; e b) Para g < 0, a curva será côncava. 2.4 Relação entre o comprimento da parábola (L) e o raio instantâneo da parábola ou raio da curva vertical (R V ) A relação entre o comprimento e o raio instantâneo da parábola é representada pela seguinte equação: L = R V.g (2.2) L = comprimento da parábola (m); R V = raio da curva vertical ou raio instantâneo da parábola (m); e g = diferença algébrica das rampas (m/m). OBS(s). a) A parábola simples é uma curva muito próxima a uma circunferência, por isso é muito usual referir-se ao R V, que é o menor raio instantâneo da parábola, como sendo o raio da curva vertical; e b) O valor de R V é definido a partir do uso de gabaritos especiais para curvas verticais. Os gabaritos especiais são colocados sobre os desenhos das rampas e definem o valor de R V de projeto da curva vertical. 2.5 Tipos de curvas verticais A Figura 2.2 mostra os tipos usuais de curvas côncavas e convexas para diversas combinações de greides retos. Pode-se observar na Figura 2.2, que conforme as combinações dos greides retos com declividades positivas (+) e negativas (-), podem ser obtidos: a) 3 (três) tipos de curvas côncavas; e b) 3 (três) tipos de curvas convexas.

7 Figura 2.2 - Tipos usuais de curvas côncavas e convexas para diversas combinações de greides retos com inclinações positivas (+) e negativas (-) 3 O cálculo das cotas, flechas e estacas da parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV A Figura 3.1 mostra o esquema para cálculo de cotas, flechas e estacas com a parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV.

8 Figura 3.1 - Esquema para cálculo de cotas, flechas e estacas com a parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV A Tabela 3.1 indica a nomenclatura dos elementos geométricos do esquema, para cálculo de cotas, flechas e estacas com a parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV; indicado na Figura 3.1 Tabela 3.1 - Nomenclatura dos elementos geométricos do esquema, para cálculo de cotas, flechas e estacas com a parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV; indicada na Figura 3.1 Símbolo Nomeclatura Símbolo Nomeclatura i 1 inclinação da primeiro greide reto y 0 ordenada do vértice i 2 inclinação da segundo greide reto L 0 abscissa do vértice f flexa da parábola no ponto P V vértice da parábola F Flexa máxima da parábola M ponto do centro da parábola P ponto genérico na parábola PCV ponto de curva vertical y ordenada do ponto P PIV ponto de interseção vertical x abscissa do ponto P PTV ponto de tangência vertical L comprimento da curva vertical OBS. Vértice é o ponto mais alto da parábola convexa, ou ponto mais baixo da parábola côncava. As equações para determinação das flechas, cotas e estacas da parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV são apresentadas a seguir. OBS. As equações que se seguem são válidas para parábolas convexas e côncavas do 2. o grau simples ou simétricas em relação ao PIV.

i) Cota de um ponto genérico P da parábola em relação a um plano de referência que passa pelo PCV A cota de um ponto genérico P da parábola em relação a um plano de referência que passa pelo PCV é obtido pela seguinte equação: 9 g 2 Cota (P) =.x + i1.x + Cota 2.L (PCV) (3.1) Cota (P) = cota de um ponto genérico P da parábola em relação a um plano de referência que passa pelo PCV (m); g = diferença algébrica das rampas (m/m); L = comprimento da curva vertical (m); i 1 = inclinação do primeiro greide reto (m/m); x = abscissa do ponto P em relação à origem dos eixos (ou PCV) (m); e Cota (PCV) = cota do ponto PCV (m). ii) Flecha da parábola (f) A flecha da parábola em um ponto qualquer é obtida pela seguinte equação: g 2 f =.x 2.L f = flecha da parábola (m); g = diferença algébrica das rampas (m/m); L = comprimento da curva vertical (m); e x = distância horizontal do ponto de cálculo da flecha ao PCV (m). (3.2) iii) Flecha máxima (F) No ponto PIV tem-se a flecha máxima, que é calculada pela seguinte equação: g.l F = 8 F = flecha máxima (m); g = diferença algébrica das rampas (m/m); e L = comprimento da curva vertical (m). (3.3) iv) Cálculo do ponto de ordenada máxima ou mínima que corresponde ao vértice O ponto de ordenada máxima ou mínima, que correspondem ao vértice da parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV, é obtido pelas equações a seguir.

10 a) Abscissa do vértice (L o ) A abscissa do vértice é obtida pela seguinte equação: i.l g 1 Lo = (3.4) L o = abscissa do vértice (m); i 1 = inclinação do primeiro greide reto (m/m); L = comprimento da curva vertical (m); e g = diferença algébrica das rampas (m/m). b) Ordenada do vértice (y o ) A ordenada do vértice é obtida pela seguinte equação: y o = 2 i1.l 2.g (3.5) y o = ordenada do vértice (m); i 1 = inclinação do primeiro greide reto (m/m); L = comprimento da curva vertical (m); e g = diferença algébrica das rampas (m/m). OBS. A origem dos eixos X e Y, para cálculo da abscissa e ordenada do vértice, está no ponto PCV. v) Cotas e estacas do PCV e PTV Para o cálculo das estacas e cotas dos pontos PCV e PTV são utilizadas as seguintes relações: E (PCV) = E (PIV) [L/2] E (PTV) = E (PIV) + [L/2] Cota (PCV) = Cota (PIV) i 1.L/2 Cota (PTV) = Cota (PIV) + i 2.L/2 E (PCV) = estaca do ponto de curva vertical; E (PIV) = estaca do ponto de interseção vertical; E (PTV) = estaca do ponto de tangência vertical; [L/2] = valor da metade do comprimento da curva vertical em estacas; i 1 = inclinação do primeiro greide reto; i 2 = inclinação do segundo greide reto; L = comprimento da curva vertical; Cota (PCV) = cota do ponto de curva vertical;

11 Cota (PIV) = cota do ponto de interseção vertical; e Cota do (PTV) = cota do ponto de tangência vertical. 4 Comprimento mínimo das curvas verticais (considerando-se a parábola do 2. o grau simples ou simétrica em relação ao PIV) Os greides retos do perfil longitudinal de uma estrada são concordados por curvas verticais convexas ou côncavas, cujos comprimentos devem satisfazer aos requisitos de visibilidade. Uma vez definidos os valores mínimos do comprimento de uma curva vertical devemos, sempre que possível, usar comprimentos maiores que os valores mínimos estabelecidos. Pois, a adoção de comprimentos de curvas próximos aos valores mínimos admissíveis leva a curvas muito curtas que devem ser evitadas. O comprimento das curvas verticais é fixado de acordo com as distâncias de visibilidade. São duas as distâncias de visibilidade a serem consideradas no cálculo das curvas verticais, as quais são: a) Distância de visibilidade de parada; e b) Distância de visibilidade de ultrapassagem. OBS. A consideração da distância de visibilidade de ultrapassagem geralmente leva a valores EXAGERADOS para o comprimento das curvas verticais, que são de difícil aplicação prática. 4.1 Comprimento mínimo de curvas convexas i) Considerações iniciais O comprimento mínimo das curvas verticais convexas é determinado em função das condições necessárias de visibilidade de parada nas curvas. Assim sendo, o comprimento das curvas verticais é determinado de forma que o motorista tenha o espaço necessário para frenagem segura, quando este avista um obstáculo parado em sua trajetória. O critério recomendado para o cálculo do comprimento mínimo de curvas convexas requer que um motorista com seu campo de visão situado a uma altura H = 1,10 m, acima do plano da pista, enxergue um obstáculo situado sobre a pista, com uma altura h = 0,15 m.

12 ii) Cálculo do comprimento mínimo da curva convexa, quando o comprimento da curva (L) é maior ou igual que a distância de visibilidade (S), isto é, L S A Figura 4.1 mostra os elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva convexa, quando o comprimento da curva é maior ou igual que a distância de visibilidade (L S). Figura 4.1 - Elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva convexa, quando o comprimento da curva é maior ou igual que a distância de visibilidade (L S) Na Figura 4.1 tem-se que: H = altura do campo de visão do motorista; h = altura do obstáculo situado na pista; S 1 = distância do ponto em que a linha de visão tangencia a pista até o motorista; S 2 = distância do ponto em que a linha de visão tangencia a pista até o obstáculo na pista; S = distância de visibilidade; F = flecha máxima da parábola do 2. o grau; L = comprimento da curva vertical; PIV = ponto de interseção vertical; PCV = ponto de curva vertical; e PTV = ponto de tangencia vertical. OBS. A dedução para obtenção do comprimento mínimo (L min ) da curva vertical em questão é apresentada por Pontes Filho (1998). Contudo, a dedução não é mostrada, pois não faz parte do escopo (ou alvo) da aula. Considerando-se a distância de visibilidade (S) como sendo a distância de visibilidade de parada (D P ). Então, para situação em questão, ou seja, L D P = S, tem-se que o comprimento mínimo da curva vertical CONVEXA é: L 2 DP =.g 412 min = K min.g (4.1)

13 L min = comprimento mínimo da curva vertical (m); D P = distância de visibilidade de parada (m); g = diferença algébrica das rampas (%); e K min = parâmetro da parábola. OBS(s). a) Segundo o DNER (atual DNIT) para valores de K min maiores que 43, a drenagem no trecho da curva deverá receber maior atenção; e b) O comprimento da curva vertical (L) é calculado com base na eq.(2.2), apresentada anteriormente. iii) Cálculo do comprimento mínimo da curva convexa, quando a distância de visibilidade é maior que o comprimento da curva, isto é, S > L A Figura 4.2 mostra os elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva convexa, quando a distância de visibilidade é maior que o comprimento da curva (S > L). Figura 4.2 - Elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva convexa, quando a distância de visibilidade é maior que o comprimento da curva (S > L) Na Figura 4.2, tem-se que: S = distância de visibilidade; L = comprimento da curva vertical; H = altura do campo de visão do motorista; h = altura do obstáculo situado na pista; i 1 = inclinação do primeiro greide reto; e i 2 = inclinação do segundo greide reto. OBS. A dedução para obtenção do comprimento mínimo (L min ) da curva vertical em questão é apresentada por Pontes Filho (1998). Contudo, a dedução não é mostrada, pois não faz parte do escopo (ou alvo) da aula.

14 Considerando-se a distância de visibilidade (S) como sendo a distância de visibilidade de parada (D P ). Então, para situação em questão, ou seja, S = D P > L, tem-se que o comprimento mínimo da curva vertical CONVEXA é: L min = 2.D P 412 g (4.2) L min = comprimento mínimo da curva vertical (m); D P = distância de visibilidade de parada (m); e g = diferença algébrica das rampas (%). 4.2 Comprimento mínimo de curvas côncavas i) Considerações iniciais Durante o dia, e no caso de pistas iluminadas artificialmente por lâmpadas de postes, geralmente não ocorrem problemas de visibilidade em curvas verticais côncavas. Para pistas não iluminadas por lâmpadas de postes, usa-se para o cálculo do comprimento mínimo da curva vertical o critério da visibilidade noturna. O critério da visibilidade noturna apresenta as seguintes características: a) A pista é iluminada pelo farol do veículo a uma distância correspondente à distância de visibilidade de parada (D P ). b) Considera-se o farol do veículo a 0,61 m do plano da pista. c) Supõe-se que o facho luminoso do farol diverge 1 grau do eixo longitudinal do veículo. ii) Cálculo do comprimento mínimo da curva vertical côncava, quando o comprimento da curva (L) é maior ou igual que a distância de visibilidade (S), isto é, L S A Figura 4.3 mostra os elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva vertical côncava, quando o comprimento da curva é maior ou igual que o comprimento de visibilidade.

15 Figura 4.3 - Elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva vertical côncava, quando o comprimento da curva é maior ou igual ao comprimento de visibilidade (L S) Na Figura 4.3, tem-se que: S = distância de visibilidade; L = comprimento da curva vertical; F = flecha máxima da parábola do 2. o grau; ν = inclinação do facho luminoso; α = ângulo de divergência do facho luminoso; e h = altura do farol do veículo. OBS (s). a) Em grego, tem-se as seguintes pronúncias: α = alfa, e ν = ni; e b) Pontes Filho (1998) apresenta a dedução do comprimento mínimo (L min ) da curva vertical côncava, quando L S. Considerando-se a distância de visibilidade (S) como sendo a distância de visibilidade de parada (D P ). Então, para situação em questão, ou seja, L S = D P, tem-se que o comprimento mínimo da curva vertical CÔNCAVA é: L min 2 DP = 122 + 3,5.D P.g (4.3) L min = comprimento mínimo da curva vertical (m); D P = distância de visibilidade de parada (m); e g = diferença algébrica das rampas (%). iii) Cálculo do comprimento mínimo da curva côncava, quando a distância de visibilidade (S) é maior que o comprimento da curva (L), isto é, S > L A Figura 4.4 mostra os elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva vertical côncava, quando a distância de visibilidade é maior que o comprimento da curva vertical.

16 Figura 4.4 - Elementos geométricos usados na dedução do comprimento mínimo da curva vertical côncava, quando a distância de visibilidade (S) é maior que o comprimento da curva vertical (L) Na Figura 4.4 tem-se que: S = distância de visibilidade; L = comprimento da curva vertical; F = flecha máxima da parábola do 2. o grau; S 1 = distância horizontal do centro da parábola ao ponto B (ou ponto limite de visibilidade); ν = inclinação do facho luminoso; α = ângulo de divergência do facho luminoso; e h = altura do farol do veículo. OBS(s). a) Os valores recomendados para dedução do comprimento mínimo (L min ) da curva vertical em questão são h = 0,61 m e ν = 1,75%; e b) A dedução do comprimento mínimo para a curva vertical côncava, quando S > L, é apresentada em detalhes por Pontes Filho (1998). Considerando-se a distância de visibilidade (S) como sendo a distância de visibilidade de parada (D P ). Então, para situação em questão, ou seja, S = D P > L, tem-se que o comprimento mínimo da curva vertical CÔNCAVA é: L min = 2.D P 122 + 3,5.D g P (4.4) L min = comprimento mínimo da curva vertical (m); D P = distância de visibilidade de parada (m); e g = diferença algébrica das rampas (%).

17 5 Nota de serviço de terraplenagem A nota de serviço de terraplenagem é importante para construção da estrada, pois possui os elementos necessários para execução do greide da estrada no campo. Para preparar a tabela que corresponde à nota de serviço de terraplenagem, procede-se do seguinte modo: 1. o Calcular as cotas dos greide reto. A partir de uma cota conhecida (do ponto PCV ou PIV), vão sendo calculadas as cotas dos diversos pontos dos greides retos, de acordo com a inclinação dos greides, e é preenchida a coluna greide reto na tabela. 2. o Calcular o valor das flechas da parábola e inscrevê-las na coluna das flechas, ou na coluna das ordenadas da parábola da tabela da nota de serviço de terraplenagem. OBS. Para parábola do 2. o simples ou simétrica em relação ao PIV, calcula-se os valores das flechas para o primeiro ramo da parábola que vai do PCV ao PIV; e então, repetem-se os valores em ordem inversa para o ramo simétrico da parábola. 3. o Calculados os valores das flechas (f), soma-se ou subtrai-se os valores das flechas dos valores do greide reto. Deste modo, tem-se as cotas do greide de projeto. 4. o Para se obter as cotas vermelhas, ou seja, as alturas de corte e aterro; Basta fazer a diferença entre as cotas do terreno natural e as cotas do greide de projeto. A Tabela 5.1 exemplifica uma nota de serviço de terraplenagem. Tabela 5.1 - Exemplo de uma nota de serviço de terraplenagem

18 6 Considerações finais i) Considerações quanto ao cálculo e a locação da curva vertical Para facilitar o cálculo e a locação das curvas verticais, os valores adotados para L (comprimento da curva vertical) são geralmente arredondados para múltiplos de 20 m. ii) Considerações quanto ao comprimento mínimo das curvas verticais Tanto para curvas côncavas como para curvas convexas, valores muito pequenos para o comprimento da curva são indesejáveis. Pelo critério do mínimo valor absoluto, o comprimento das curvas deve permitir ao motorista perceber a alteração de declividade longitudinal. Pelo critério do mínimo valor absoluto, o comprimento mínimo da curva vertical é dado pela seguinte fórmula. L min = 0,6.V (6.1) V = velocidade de projeto ou diretriz (km/h); e L min = comprimento mínimo da curva vertical (m). iii) Considerações gerais sobre o perfil longitudinal (ou greide) O perfil longitudinal da estrada, necessariamente precisa ser escolhido em harmonia com o traçado em planta, e nunca pode ser analisado isoladamente. Tem-se os seguintes critérios básicos, que podem ajudar na escolha do perfil longitudinal mais adequado para um projeto: a) Compensar cortes e aterros visando menor movimentação de terra. b) Usar a rampa máxima ou próxima à máxima somente em casos extremos. c) Evitar a coincidência de rampa máxima com o raio mínimo de curva horizontal. d) Um bom perfil é composto por poucas curvas verticais de grandes raios. e) Evitar sucessão de curvas verticais. f) As curvas horizontais devem começar antes e terminarem depois das curvas verticais correspondentes. g) Toda ilusão ótica que o traçado possa provocar deve ser evitada. O motorista nunca pode ter falsas impressões (ex. impressão de pista curta). OBS. Uma ilusão ótica ocorre quando o início de uma curva horizontal é escondido do motorista por causa de uma elevação intermediária, enquanto a continuação da curva é vista à distância. A Figura 6.1 é exemplo de uma ilusão ótica no trecho de uma rodovia, onde se tem a impressão que a pista irá diminuir para apenas uma faixa.

19 Figura 6.1 - Exemplo de uma ilusão ótica no trecho de uma rodovia iv) Rampas máximas recomendadas para rodovias A Tabela 6.1 mostra as rampas máximas recomendadas pelo DNER (atual DNIT) para rodovias. Observa-se que a rampa máxima é função da classe da rodovia e da topografia da região. Tabela 6.1 - Rampas máximas para rodovias Classe da rodovia Plana Região Ondulada Montanhosa O 3% 4% 5% I - A 3% 4,5% 6% I - B 3% 4,5% 6% II 3% 5% 7% III 4% 6% 8% IV - A 4% 6% 8% IV - B 6% 8% 10%(*) (*) Rampa acima de 8% tem extensão limitada a 300 m. OBS. Os terrenos são classificados quanto ao relevo em: a) Terreno plano São os terrenos com declividade entre 0 e 8%; b) Terreno ondulado São os terrenos com declividade entre 8 e 20%; e c) Terreno montanhoso São os terrenos com declividade maior que 20%.

20 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COSTA, P. S.; FIGUEIREDO, W. C. (2001) Estradas estudos e projetos. Salvador - BA: Coleção pré-textos, 2001. 408p. DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS E RODAGEM. Manual de projeto geométrico de rodovias rurais. Rio de janeiro, 1999. DEPARTAMENTO NACIONAL DE ESTRADAS E RODAGEM. Manual de implantação básica. Rio de janeiro, 1996. LÓSS, Z, J. (199?) Perfil longitudinal - greide. Nota de aula de CIV 310 - Estradas I. Viçosa - MG: Universidade Federal de Viçosa, 199?. 12p. MUNEM, M. A.; FOULIS, D. J. Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro - RJ: Guanabara S. A., 1982. 605p (mais anexos). PONTES FILHO, G. (1998) Estradas de rodagem projeto geométrico. [S.I.]: Bidim, 1998. 432p. (Bibliografia principal)