PROJETO GEOMÉTRICO DE RODOVIAS CURVAS VERTICAIS. Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica. Prof. Paulo Augusto F.

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1 PROJETO GEOMÉTRICO DE RODOVIAS CURVAS VERTICAIS Curso: 7º Período - Engenharia de Agrimensura e Cartográfica Prof. Paulo Augusto F. Borges

2 1. Introdução O projeto de uma estrada em perfil é constituído de greides retos, concordados dois a dois por curvas verticais. Os greides retos são definidos pela sua declividade, expressa em porcentagem (i %). A declividade é a tangente do ângulo que fazem com a horizontal. Greides ascendentes: rampas positivas (+i %). Greides descendentes: rampas negativas ( i %). O perfil longitudinal deve assumir o mesmo sentido do estaqueamento.

3 1. Introdução Figura 1: Perfil de uma estrada. PIV Interseção dos greides retos PCV Ponto de Curva Vertical PTV Ponto de Tangência Vertical O comprimento L de uma curva vertical é definido pela projeção horizontal da curva.

4 1. Introdução Tipos de curvas clássicas de concordância vertical: Parábola de 2º grau; Curva circular; Elipse; Parábola cúbica. Recomendação do DNIT: Parábola de 2º grau. Preferência por simetria em relação ao PIV, ou seja, mesma projeção da distância horizontal entre o PCV e PIV e do PIV ao PTV.

5 1. Introdução Figura 2: Parábolas de 2º grau: simples (a) e composta (b).

6 1. Introdução Essas parábolas são definidas pelo seu parâmetro de curvatura K, que traduz a taxa de variação da declividade longitudinal na unidade do comprimento, estabelecida para cada velocidade. O valor de K representa o comprimento da curva no plano horizontal, em metros, para cada 1% de variação na declividade longitudinal. Os comprimentos L das curvas de concordância vertical são obtidos multiplicando os valores do parâmetro K pela diferença algébrica A, em percentagem, das rampas concordadas, ou seja, L = K A. Para facilidade de cálculo e locação, os valores adotados para L são geralmente arredondados para múltiplos de 20 m.

7 1. Introdução Vantagens do uso de parábolas do 2º grau: A equação da curva é simples; A transformada da parábola devido às duas escalas no perfil é também um parábola; A taxa de variação de declividade da parábola é constante; O PCV e o PTV pode ser locado em estaca inteira ou m, conforme conveniência do projeto.

8 1. Introdução Figura 3: Elementos da parábolas de 2º grau composta. L = L 1 + L 2 ; (L 1 L 2 ) F = L 1 L 2 2 L g f 1 = F L 1 ² x 1² f 2 = F L 2 ² x 2²

9 1. Introdução Nos estudos de curvas verticais é muito utilizada a expressão i 1 i 2, que é a variação total da declividade do greide: g = i 1 i 2 A expressão acima é algébrica e os sinais das rampas i 1 e i 2 devem ser mantidos. Pelo sinal de g podemos dizer se a curva é côncava ou convexa: Se g > 0 a curva será convexa; Se g < 0 a curva será côncava;

10 1. Introdução A parábola simples é uma curva muito próxima a uma circunferência. Assim é comum referir-se ao valor do raio da curva vertical R v. O valor de R v é o menor raio instantâneo da parábola: L = R v g = R v i 1 i 2 Observa-se um maior conforto nas curvas convexas em relação às côncavas. Nas curvas côncavas, a aceleração da gravidade terrestre e a aceleração centrífuga se somam. Nas convexas as acelerações são subtrativas, gerando um efeito de flutuação.

11 2. Tipos de Curvas Verticais Figura 4: Tipos de Curvas Verticais.

12 3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples Figura 5: Esquema para cálculo das cotas e flechas das parábolas.

13 3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples Inicialmente precisamos determinar os coeficientes a, b e c da equação da parábola y = ax 2 + bx + c. Para isso, temos: a) Na origem dos eixos x = 0 y = 0 c = 0 b) A derivada da curva no ponto PCV é igual à inclinação da reta tangente à curva. dy dx = i 1 2ax + b = i 1 x = 0 } b = i 1

14 3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples c) A derivada da curva no ponto PTV é igual à inclinação da reta tangente à curva. dy dx = i 2ax + b = i 2 2 } 2aL + i x = L 1 = i 2 a = i 2 i 1 2L Substituindo os valores de a, b e c, e fazendo g = i 1 i 2, a equação geral da parábola será dada por: y = g 2L x2 + i 1 x

15 3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples A equação anterior fornece a ordenada y de qualquer ponto de abcissa x da curva, o que permite a determinação das coordenadas dos pontos da curva em relação ao PCV. Para o cálculo das cotas de um ponto genérico P em relação a um plano de referência, deve-se utilizar a seguinte equação: Cota P = g 2L x2 + i 1 x + cota (PCV) Ainda observando a figura 5 temos: f + y = i 1 x f g 2L x2 + i 1 x = i 1 x

16 3. Cálculo das Cotas e Flechas da Parábola Simples f = g 2L x2 Onde: f = flecha da parábola g = diferença algébrica das rampas L = Comprimento da curva vertical x = distância horizontal do ponto de cálculo da flecha ao PCV. No ponto PIV temos a flecha máxima dada por: F = g 2L L 2 2 = g L 8

17 4. Cálculo do Ponto de Ordenada Máxima ou Mínima Derivando a equação y = g 2L x2 + i 1 x temos: dy dx = g L x + i 1 No ponto de máximo ou mínimo temos: x = L 0 e dy dx = 0 Fazendo as substituições temos: L 0 = i 1 L g y 0 = i 1² L 2g

18 5. Cálculo das Cotas e Estacas do PCV e PTV Para este cálculo utilizamos as seguintes relações: E PCV = E PIV L 2 E PTV = E PIV + L 2 Cota PCV Cota PTV = Cota PIV i 1 = Cota PIV + i 2 L 2 L 2

19 6. Comprimento mínimo de Curvas Verticais (Critério de Distância de Visibilidade) Elementos retos do perfil longitudinal são concordados por curvas verticais, convexas ou côncavas, cujos comprimentos mínimos devem satisfazer os requisitos de visibilidade. Sempre que possível utilizar valores maiores que os mínimos estabelecidos, caso contrário têm-se curvas verticais muito curtas, as quais devem ser evitadas. Devem ser consideradas dois tipos de distâncias de visibilidade: Distância de Visibilidade de Parada; Distância de Visibilidade de Ultrapassagem. No segundo caso, normalmente leva-se a valores exagerados para o comprimento das curvas verticais, que são de difícil aplicação prática.

20 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas O mínimo comprimento das curvas verticais convexas é determinado em função das condições necessárias de visibilidade nas curvas, de forma a dar espaço necessário ao motorista para frenagem segura, quando este avista um obstáculo. O critério recomendado requer que um motorista com seu campo de visão situado a uma altura H = 1,10 m acima do plano da pista enxergue um obstáculo situado sobre a pista, com altura h = 0,15 m.

21 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas CASO I: A distância de visibilidade (S) é menor ou igual ao comprimento da curva (L), isto é, S L. Figura 6: Comprimento mínimo de curvas verticais convexas, (S L).

22 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas Sabemos que f = g 2L x2, logo, na figura anterior, a equação da parábola para o sistema de eixos escolhido é: z = g 2L x2 = k x 2 Como F = g L 8 assim: 8 F 8 F g =, logo z = L L 2L x2 = 4 F L 2 z = F L 2 2 x2 x2, e

23 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas Ainda com relação à Figura 6, temos: H = k S 1 2 e h = k S 2 2. Fazendo as devidas substituições temos: H S 1 2 = F e h L = S 2 F L 2 2 Obtendo-se portanto: S 1 = L 2 H F e S 2 = L 2 h F Substituindo estes valores na equação S = S 1 + S 2, temos:

24 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas S = H L 2 + h L 2 F = L 2 H + h F Numa curva vertical F = A L. Substituindo-se na anterior, 800 temos: 10 8 L H + h S = 2 A L L = S H + h 2 A

25 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas Substituindo os valores H = 1,10 m e h = 0,15 m, temos: L = S2 A = K A 412 Na condição limite, temos S = D P. Logo, o comprimento mínimo da curva vertical é: L mín = D P A = K mín A Onde: A = diferença algébrica das rampas, em %. K = parâmetro da parábola, em metros.

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27 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas CASO 2: A distância de visibilidade (S) é maior que o comprimento da curva (L), isto é, S > L. Figura 7: Comprimento mínimo de curvas verticais convexas (S > L).

28 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas Da Figura 7 podemos deduzir: S = L 2 + H m + h n Para S mínimo, a linha de visão deve ser tangente ao vértice da curva. Logo, a taxa de variação de n deve ser igual e oposta à de m, ou seja: δs δm = δs δn H m 2 = h n 2 H m 2 = h n 2

29 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas onde: m = n H h e n = m Escrevendo m e n em função da diferença algébrica dos greides (A), temos: A 100 m = e n = A 100 h H +1 H h +1 Substituindo os valores de m e n na equação S = L + H + h, 2 m n temos: h H

30 Isolando L, temos: 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas S = L 2 + h + H 2 A 100 L = 2S 2 h + H 2 A 100 Substituindo os valores de H = 1,10 m e h = 0,15 m, temos: L = 2S 412 A

31 6.1. Comprimento mínimo de Curvas Convexas Na condição limite, temos S = D P, logo o comprimento mínimo da curva vertical é: L mín = 2D P 412 A Onde: A = diferença algébrica das rampas, em %. D P = distância de visibilidade de parada, em metros.

32 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas Durante o dia e no caso de pistas iluminadas artificialmente, geralmente não ocorrem problemas de visibilidade. Para pistas não iluminadas, aplica-se o critério da visibilidade noturna, ou seja, a pista deve ser iluminada à distância de visibilidade de parada pelo farol do veículo, por hipótese situado a 0,61 m acima do plano da pista, supondo que o seu facho luminoso diverge 1º do eixo longitudinal do veículo.

33 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas CASO 1: A distância de visibilidade (S) é menor ou igual ao comprimento da curva (L), isto é, S L. Figura 8: Comprimento mínimo de curvas verticais côncavas (S L).

34 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas Da figura 8 pode-se deduzir: Como F = A L 800, temos: A L 800 L 2 F L 2 2 = v S h S 2 2 = v S h 100 S 2

35 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas L = A S 2 2 v S h Empregando os valores (h = 0,61 m e v = 1,75%) recomendados, temos: L = S ,5 S A

36 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas Na condição limite, temos S = D P, logo o comprimento mínimo da curva vertical é: 2 D P L mín = A ,5 D P Onde: A = diferença algébrica das rampas, em %. D P = distância de visibilidade de parada, em metros.

37 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas CASO 2: A distância de visibilidade (S) é maior que o comprimento da curva (L), isto é, S > L. Figura 9: Comprimento mínimo de curvas verticais côncavas (S > L).

38 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas Na figura 9 podemos observar que: S = L 2 + S 1 Dos triângulos semelhantes ABC e ADE, podemos deduzir: S 1 v S h = L 2 4 F

39 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas Como F = A L, temos: 800 S 1 = v S h L 2 A L Donde: S = L 2 S 1 = v S h A v S h A

40 6.2. Comprimento mínimo de Curvas Côncavas Isolando o valor de L e empregando os valores (h = 0,61 m e v = 1,75%) recomendados, temos: ,5 S L = 2 S A Na condição limite, temos S = D P, logo o comprimento mínimo da curva vertical é: L mín = 2 D P ,5 D P A

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