TA33D ESTATÍSTICA APLICADA À QUALIDADE

TA33D ESTATÍSTICA APLICADA À QUALIDADE 1

TESTES DE HIPÓTESES EM UMA E DUAS AMOSTRAS 2

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Definição (HIPÓTESE ESTATÍSTICA): Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre os parâmetros de uma ou mais populações. 3

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Exemplo: Suponha que estejamos interessados no tempo de cozimento de um bolo de chocolate. O tempo de cozimento é uma variável aleatória que pode ser descrita por uma distribuição de probabilidades. Suponha que nosso interesse esteja focado na tempo médio de cozimento (um parâmetro dessa distribuição). 4

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Exemplo (continuação): Especificamente, estamos interessados em decidir se tempo médio de cozimento é ou não 30 minutos. Podemos expressar isso formalmente como: H 0 : µ = 30 min H 1 : µ 30 min Hipótese Nula Hipótese Alternativa Bilateral 5

Uma vez que a hipótese alternativa H 1 especifica valores de µ que poderiam ser maiores ou menores do que 30 (ou seja, diferente de 30) ela é chamada de uma hipótese alternativa bilateral. Em algumas situações, podemos desejar formular uma hipótese alternativa unilateral, como em: H 0 : µ = 30 min ou H 0 : µ = 30 min H 0 : µ < 30 min HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS H 0 : µ > 30 min Hipótese alternativa unilateral 6

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Nota: Hipóteses são sempre afirmações sobre a população ou distribuição sob estudo, e não afirmações sobre a amostra. 7

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS O valor do parâmetro especificado em H 0, geralmente, é determinado em uma de três maneiras: a) Resultado de experiências passadas. b) Determinado a partir de alguma teoria ou modelo relativo ao processo em estudo. c) Resultar de considerações externas. 8

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Um procedimento levando a uma decisão acerca de uma hipótese particular é chamado de teste de uma hipótese. Procedimentos de teste de hipóteses se apoiam no uso de afirmações de uma amostra aleatória proveniente da população de interesse. 9

HIPÓTESE ESTATÍSTICA: CONCEITOS GERAIS Testar uma hipótese envolve: 1) Considerar uma amostra aleatória. 2) Calcular uma estatística de teste a partir dos dados amostrais 3) Usar a estatística de teste para tomar uma decisão a respeito da hipótese nula (H 0 ). 10

Testes de Hipóteses Estatísticas Considere o problema do bolo apresentado no exemplo anterior, com as seguintes hipóteses (usando uma amostra de tamanho n = 10): H 0 : µ = 30 min H 1 : µ 30 min 11

Testes de Hipóteses Estatísticas A média amostral é a estatística do teste, neste caso. Ainda, a média amostral pode assumir muitos valores diferentes. Suponha que, se 28,5 X 31,5 não rejeitaremos H 0 : µ = 30 min, e se X >31,5 ou X <28,5 rejeitaremos a hipótese H 0 em favor de H 1 : µ 30. 12

Testes de Hipóteses Estatísticas Logo, Região Crítica ou Região de Rejeição Região de Aceitação Valores Críticos 13

Testes de Hipóteses Estatísticas Observações: a) É comum estabelecer conclusões referentes a hipótese nula H 0. b) Rejeitamos H 0 se a estatística do teste cair na região crítica ou região de rejeição e, assumimos H 1 como verdadeira. c) Não rejeitaremos H 0 se a estatística do teste cair na região de aceitação. 14

Testes de Hipóteses Estatísticas Esse procedimento de decisão pode conduzir a uma de duas conclusões erradas: Decisão H 0 é verdadeira H 0 é falsa Não rejeitar H 0 Rejeitar H 0 Nenhum erro Erro tipo I Erro tipo II Nenhum erro 15

Testes de hipóteses estatísticas Como nossa decisão está baseada em variáveis aleatórias, probabilidades podem estar associadas com os erros tipo I e tipo II. Probabilidade do erro tipo I: α = P[erro tipo I] = P[rejeitar H 0 H 0 verdadeira] Nota: a probabilidade do erro tipo I é chamada de nível de significância ou erro α ou tamanho do teste. 16

Testes de hipóteses estatísticas Probabilidade do erro tipo II: β = P[erro tipo II] = P[não rejeitar H 0 H 0 falsa] 17

Testes de hipóteses estatísticas Nota: quatro pontos importantes: 1) Os erros tipo I e II são relacionados. Uma redução na probabilidade de um geralmente resulta num aumento da probabilidade do outro. 2) O tamanho da região crítica e, portanto, a probabilidade de se cometer o erro tipo I, pode ser sempre reduzido ajustando-se o(s) valor(es) crítico(s). 18

Testes de hipóteses estatísticas Nota: quatro pontos importantes: 3) Um aumento no tamanho da amostra n reduzirá α e β simultaneamente. 4) Se a hipótese nula é falsa, β é maximizada quando o valor real de um parâmetro se aproxima do valor hipotético. Quanto maior a distância entre o valor real e o hipotético, menor será o valor de β. 19

Testes de hipóteses estatísticas NOTA: Uma vez que o analista pode controlar diretamente a probabilidade de rejeitar erroneamente H 0 (erro tipo I), sempre pensamos na rejeição da hipótese nula H 0 como uma conclusão forte. 20

Testes de hipóteses estatísticas Definição(Poder): O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar H 0 dado que uma hipótese alternativa específica H 1 é verdadeira. Nota: O poder de um teste pode ser calculado como 1- β, onde β é a probabilidade do erro tipo II. 21

Testes unilaterais e bilaterais Na construção de hipóteses, sempre vamos estabelecer a hipótese nula como uma igualdade de modo que a probabilidade do erro tipo I, α, pode ser controlado em um valor específico. A hipótese alternativa tanto pode ser unilateral como bilateral, dependendo da conclusão a ser retirada se H 0 é rejeitada. 22

Testes unilaterais e bilaterais Se o objetivo é fazer uma alegação envolvendo afirmações, tais como maior que, menor que, superior a, excede, no mínimo e assim por diante, uma alternativa unilateral é apropriada, ou se for feita a alegação não igual a, uma alternativa bilateral deve ser usada. Nota: Na formulação das hipóteses unilaterais, demos nos lembrar que rejeitar H 0 é sempre uma conclusão forte!! 23

Uso de valores-p para tomada de decisão em testes de hipóteses Definição (Valor-p): O valor-p é o menor nível de significância que conduz à rejeição da hipótese nula H 0, com os dados fornecidos. Nota: a) É costume chamar a estatística do teste (e os dados) de significante quando a hipótese nula H 0 for rejeitada. b) Se o valor-p for baixo, rejeitamos H 0. c) Se o valor-p for alto, não rejeitamos H 0. 24

Conexão entre testes de hipóteses e intervalos de confiança Se [l;u] for um intervalo de confiança de 100(1-α) % para o parâmetro θ, o teste de tamanho α das hipóteses H 0 : θ = θ 0 vs H 1 : θ θ 0 Conduzirá a rejeição de H 0 se, e somente se, θ 0 não estiver no intervalo [l;u] de 100(1-α)%. 25

Conexão entre testes de hipóteses e intervalos de confiança Exemplo: Considere o processo de assar um bolo. Considerando também que o tempo médio de cozimento obtido de uma amostra de tamanho 16 foi de 27,3 e σ = 1,9. Teste a hipótese de que a taxa média de queima µ é igual a 30 min, usando um intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de cozimento µ. 26

Procedimento geral para testes de hipóteses O uso da seguinte sequência de etapas na metodologia de aplicação de testes de hipóteses é recomendada. 1) A partir do contexto do problema, identifique o parâmetro de interesse. 2) Estabeleça a hipótese nula H 0. 3) Especifique uma hipótese alternativa apropriada, H 1. 27

Procedimento geral para testes de hipóteses 4) Escolha um nível de significância α. 5) Determine uma estatística apropriada de teste. 6) Estabeleça a região de rejeição para a estatística. 28

Procedimento geral para testes de hipóteses 7) Calcule quaisquer grandezas amostrais necessárias, substitua-as na equação para a estatística de teste e calcule aquele valor. 8) Decida se H 0 deve ou não ser rejeitada e reporte isso no contexto do problema. Nota: As etapas 1-4 devem ser completadas antes de examinar os dados amostrais. 29

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória retirada de uma população normal, com variância σ 2 conhecida. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (b) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 (c) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 30

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Estatística do teste: sob H X µ 0 Z = 0 ~ N(0;1) 0 σ n 31

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 32

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Teste para a média média µ com σ 2 conhecida: ð Hipótese Nula: H 0 : µ = µ 0 ð Estatística do Teste: X µ 0 Z0 = σ n Hipótese Alterna.va Critério de Rejeição H 1 : µ µ 0 z 0 > z α/2 ou z 0 < - z α/2 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 z 0 > z α z 0 < - z α 35

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 conhecida) Exemplo: Uma amostra aleatória de cem registros de mortes nos EUA durante o ano passado mostrou uma expectativa de vida de 71,8 anos. Assumindo um desvio-padrão de 8,9 anos, isso parece indicar que a média da expectativa de vida hoje é maior do que 70 anos? Use um nível de significância de 0,05. 36

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória retirada de uma população normal, com variância σ 2 desconhecida. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (b) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 (c) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 37

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Estatística do teste: T X µ sob H0 = 0 ~ t 0 n 1 s n 38

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Se o nível de significância α for adotado, temos: 39

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Teste para a média µ com σ 2 desconhecida: Hipótese AlternaHva H 1 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0 H 1 : µ < µ 0 Critério de Rejeição t 0 > t α/2; n- 1 ou t 0 < - t α/2; n- 1 t 0 > t α; n- 1 t 0 < - t α; n- 1 42

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Exemplo: O Edison Electric Institute publicou os números referentes ao consumo anual de energia elétrica em quilowatts/hora de vários eletrodomésticos. Afirmou-se que o aspirador de pó gasta uma média de 46 quilowatts/hora por ano. 43

Amostra única: testes referentes a uma única média µ (σ 2 desconhecida) Exemplo: (continuação) Se uma amostra aleatória de 12 casas incluídas em um estudo planejado indica que os aspiradores de pó gastam uma média de 42 quilowatts/hora, isso sugere, num nível de significância de 0,05, que os aspiradores de pó gastam, em média, menos de 46 quilowatts/hora por ano? Assuma que a população dos quilowatts/hora seja normal. 44

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias conhecidas Seja X 11, X 12,.., X 1n1 uma amostra aleatória de tamanho n1 proveniente de uma população 1 e, X 21, X 22,.., X 2n2 uma amostra aleatória de tamanho n2 proveniente de uma população 2. Ambas as populações são normais, com variâncias conhecidas. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ 1 - µ 2 = Δ 0 H 1 : µ 1 - µ 2 Δ 0 (b) H 0 : µ 1 - µ 2 = Δ 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > Δ 0 (c) H 0 : µ 1 - µ 2 = Δ 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < Δ 0 45

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias conhecidas Estatística do teste: Z 0 = ( X X ) Δ sob H0 1 2 0 σ n 2 σ 2 1 2 + n 1 2 ~ N(0;1) 46

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias conhecidas Se o nível de significância α for adotado, temos: 47

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias conhecidas Teste para a diferença de médias µ1 µ2 com variâncias conhecida: ð Hipótese Nula: H 0 : µ 1 - µ 2 = Δ 0 ð Estatística do Teste: Z 0 = ( X X ) ( µ µ ) 1 2 1 2 σ n σ + n 2 2 1 2 1 2 Hipótese Alterna.va Critério de Rejeição H 1 : µ 1 - µ 2 Δ 0 z 0 > z α/2 ou z 0 < - z α/2 H 1 : µ 1 - µ 2 > Δ 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < Δ 0 z 0 > z α z 0 < - z α 50

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias conhecidas Exemplo: Um idealizador de produtos está interessado em reduzir o tempo de secagem de um zarcão. Duas formulações de tinta são testadas; a formulação 1 tem uma química-padrão e a formulação 2 tem um novo ingrediente de secagem, que deve reduzir o tempo de secagem. Da experiência, sabe-se que o desvio-padrão do tempo de secagem é igual a 8 minutos e essa variabilidade interente não deve ser afetada pela adição do novo ingrediente. 51

x 1 Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias conhecidas Exemplo: (continuação) Dez espécimes são pintados com a formulação 1 e outros 10 espécimes são pintados com a formulação 2. Os 20 espécimes são pintados numa ordem aleatória. Os tempos médios de secagem das duas amostras são x 2 = 121 min e = 112 min, respectivamente. Quais as conclusões que o idealizador de produtos pode retirar sobre a eficiência do novo ingrediente, usando α = 0,05? 52

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Seja X 11, X 12,.., X 1n1 uma amostra aleatória de tamanho n 1 proveniente de uma população 1 e, X 21, X 22,.., X 2n2 uma amostra aleatória de tamanho n 2 proveniente de uma população 2. Ambas as populações são normais, com variâncias desconhecidas mas consideradas iguais. 53

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 d 0 (b) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > d 0 (c) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < d 0 54

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Estatística do teste: t ( X X ) ( µ µ ) sob H0 1 2 1 2 = ~ t 0 n + n 2 s p 1 1 + n n 1 2 1 2 s p = ( 1) + ( 1) 2 2 1 1 2 2 n s n s n + n 1 2 2 55

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Se o nível de significância α for adotado, temos: 56

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Teste para a diferença de médias µ1 µ2 com variâncias desconhecida e consideradas iguais: ð Hipótese Nula: H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 ð Estatística do Teste: t 0 = ( X1 X2) ( µ 1 µ 2) s p 1 1 + n n 1 2 Hipótese Alterna.va H 1 : µ 1 - µ 2 d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < d 0 Critério de Rejeição t 0 > t α/2; n1+n2-2 ou t 0 < - t α/2; n1+n2-2 t 0 > t α; n1+n2-2 t 0 < - t α; n1+n2-2 59

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Exemplo: Um experimento foi realizado para comparar o desgaste abrasivo de dois materiais laminados diferentes. Doze peças do material 1 foram testadas ao expor cada peça a uma máquina que mede o desgaste. Dez peças do material 2 foram testadas de forma similar. Em cada caso, a profundidade do desgaste foi observada. 60

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas iguais Exemplo: (continuação) As amostras do material 1 forneceram uma média de desgaste de 85 unidades com desvio-padrão de 4, enquanto as amostras do material 2 forneceram uma média de 81 e desvio-padrão de 5. Podemos concluir que, ao nível de significância de 0,05: a) O desgaste abrasivo do material 1 excede aquele do material 2 por mais de duas unidades? b) Existe diferença no desgaste abrasivo dos dois materiais? 61

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas diferentes Seja X 11, X 12,.., X 1n1 uma amostra aleatória de tamanho n 1 proveniente de uma população 1 e, X 21, X 22,.., X 2n2 uma amostra aleatória de tamanho n 2 proveniente de uma população 2. Ambas as populações são normais, com variâncias desconhecidas mas consideradas diferentes. (a) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 d 0 (b) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > d 0 (c) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < d 0 Suponha que desejamos testar as hipóteses: 62

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas DIFERENTES Estatística do teste: t ( X X ) ( µ µ ) sob H0 1 2 1 2 = 0 s ν = 2 s 2 1 2 n + n 1 2 s n 2 2 1 2 ( 2 ) ( 2 s ) 1 n1 s2 n2 n s n + 2 1 2 2 2 + 1 n 1 1 2 ~ t ν Se ν não for inteiro, arredondar para o menor inteiro mais próximo. 63

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas DIFERENTES Se o nível de significância α for adotado, temos: 64

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas DIFERENTES Teste para a diferença de médias µ1 µ2 com variâncias desconhecida e consideradas diferentes: ð Hipótese Nula: H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 ð Estatística do Teste: Hipótese Alterna.va Critério de Rejeição ( X1 X2) ( µ 1 µ 2) t0 = 2 2 s1 s2 + n n 1 2 H 1 : µ 1 - µ 2 d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < d 0 t * 0 > t α/2; ν ou t * 0 < - t α/2; ν t * 0 > t α; ν t * 0 < - t α; ν 67

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas diferentes Exemplo: A concentração de arsênico em suprimentos públicos de água potável é um risco potencial à saúde. Um artigo no jornal Arizona Republic reportou as concentrações, em partes por bilhão (ppb), de arsênico em água potável para 10 comunidades rurais do rio Arizona. Eis os dados: 68

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas diferentes Exemplo: (continuação) Fênix Metropolitana PHX Arizona Rural RuralAZ Fênix 3 Rimrock 48 Chandler 7 Goodyear 44 Gilbert 25 New River 40 Glendale 10 Apache JuncHon 38 Fênix Metropolitaana 12,5 x Mesa 15 Buckeye Arizona Rural = 33 x = s = 7,63 Vale Paraíso 6 Nogales 21 Fênix Metropolitaana Arizona Rural Peoria 12 Back Canyon City 20 Scoesdale 25 Sedona 12 Tempe 15 Payson 1 27,5 s = 15,3 Sun City 7 Casa Grande 18 69

Duas amostras: testes para duas médias - Variâncias desconhecidas e consideradas diferentes Exemplo: (continuação 2) D e t e r m i n e s e h á a l g u m a d i f e r e n ç a n a s concentrações médias de arsênico entre as comunidades metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona. Considerando que as populações (neste caso, as concentrações de arsênico das comunidades metropolitanas de Fênix e as rurais do Arizona) sejam aproximadamente normais e que as variâncias das populações sejam diferentes. Use α = 0,01. 70

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Seja (X 11, X 21 ), (X 12, X 22 ),..., (X 1n, X 2n ) um conjunto de n observações emparelhadas proveniente de uma população 1 com média µ 1 e variância σ 1 2 e, uma população 2 com média µ 2 e variância σ 2 2. Definindo-se as diferenças para cada par de observações como D j = X 1j X 2j, j = 1,..., n. As diferenças D j s são consideradas como distribuições normais, com média µ D = µ 1 µ 2 e variância σ D2. 71

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Assim, testar hipóteses acerca da diferença entre µ 1 e µ 2 pode ser feito através do teste t para µ D, considerando uma amostra. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 d 0 (b) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > d 0 (c) H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < d 0 72

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Estatística do teste: t d d sob H0 = 0 ~ t 0 s n 1 D n 73

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Se o nível de significância α for adotado, temos: 74

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Teste para a diferença de médias µ1 µ2 com observações emparelhadas (ou pareadas): ð Hipótese Nula: H 0 : µ 1 - µ 2 = d 0 ð Estatística do Teste: t 0 = d s D d 0 n Hipótese Alterna.va H 1 : µ 1 - µ 2 d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 > d 0 H 1 : µ 1 - µ 2 < d 0 Critério de Rejeição t * 0 > t α/2; n- - 1 ou t * 0 < - t α/2; n- - 1 t * 0 > t α; n- - 1 t * 0 < - t α; n- - 1 77

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Exemplo: Um artigo compara vários métodos para prever a resistência ao cisalhamento em traves planas metálicas. Dados obtidos para dois desses métodos, os procedimentos de Karlsruhe e Lehigh, quando aplicados a nove traves específicas, são mostrados na tabela adiante. Determine se há diferença (na média) entre os dois métodos. Adote um nível de significância α de 0,05. 78

Duas amostras: testes para duas médias observações emparelhadas (ou pareadas) Exemplo: (continuação) Trave Método de Karlsruhe Método de Lehigh Diferença D j S1/1 1,186 1,061 0,125 S2/1 1,151 0,992 0,159 S3/1 1,322 1,063 0,259 S4/1 1,339 1,062 0,277 S5/1 1,200 1,065 0,135 S2/1 1,402 1,178 0,224 S2/2 1,365 1,037 0,328 S2/3 1,537 1,086 0,451 S2/4 1,559 1,052 0,507 d = 0, 2739 s = 0,1351 79 D

Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras Seja X grandes) 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória de tamanho n tenha sido retirada de uma grande (possivelmente infinita) população e que X ( n) observações nessa amostra pertençam a uma classe de interesse. ˆp Então, = X/n é o estimador pontual da proporção populacional p de indivíduos que pertencem a essa classe. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 (b) H 0 : p = p 0 H 1 : p > p 0 (c) H 0 : p = p 0 H 1 : p < p 0 80

Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Estatística do teste: Z 0 = X np np 0 ( 1 p ) 0 0 sob H 0 ~ N(0;1) Nota: A distribuição amostral de Z 0 será uma N(0;1) se: (i) np 5, e (ii) n(1-p) 5. 81

Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Se o nível de significância α for adotado, temos: 82

Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Teste aproximado para uma proporção binomial: ð Hipótese Nula: H 0 : p = p 0 ð Estatística do Teste: Z 0 = X np np 1 0 p ( ) 0 0 Hipótese Alterna.va Critério de Rejeição H 1 : p p 0 z 0 > z α/2 ou z 0 < - z α/2 H 1 : p > p 0 H 1 : p < p 0 z 0 > z α z 0 < - z α 85

Amostra única: TESTE PARA UMA ÚNICA PROPORÇÃO (amostras grandes) Exemplo: Acredita-se que uma droga comumente prescrita para aliviar a tensão nervosa tem apenas 60% de eficácia. Resultados experimentais com uma nova droga administrada em uma amostra aleatória de cem adultos que sofrem de tensão nervosa mostram que 70 deles sentiram alívio. Isso é evidencia suficiente para concluirmos que a nova droga é superior a usualmente prescrita? Use o nível de significância α = 0,02. 86

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras grandes) S u p o n h a q u e d u a s a m o s t r a s a l e a t ó r i a s independentes, de tamanhos n1 e n2, sejam retiradas de duas populações e sejam X1 e X2 os números de observações que pertencem à classe de interesse nas amostras 1 e 2, respectivamente. Além disso, considere que a aproximação da binomial pela normal seja aplicada a cada população, de modo que os estimadores das proporções das populações ˆ X p 1 1 = 1 e X n 2 pˆ tenham distribuições normais 2 = aproximadas. n2 87

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras grandes) Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 (b) H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 > p 2 (c) H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 < p 2 88

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras Estatística do teste: Z 0 = pˆ grandes) pˆ ( ) 1 2 1 2 Nota: A distribuição amostral de Z 0 será uma N(0;1) se: (i) np 5, e (ii) n(1-p) 5. pˆ 1 1 1 pˆ + n n sob H 0 ~ N(0;1) pˆ = X n + X + n 1 2 1 2 89

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras grandes) Se o nível de significância α for adotado, temos: 90

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras Teste aproximado para grandes) uma proporção binomial: ð Hipótese Nula: H 0 : p 1 = p 2 pˆ1 pˆ2 Z0 = ð Estatística do Teste: 1 1 pˆ( 1 pˆ) + n1 n2 Hipótese Alterna.va Critério de Rejeição H 1 : p 1 p 2 z 0 > z α/2 ou z 0 < - z α/2 H 1 : p 1 > p 2 H 1 : p 1 < p 2 z 0 > z α z 0 < - z α 93

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras grandes) Exemplo: Uma votação será realizada entre os residentes de uma cidade e seus arredores para determinar se uma indústria química deveria ser construída. A construção da fábrica é dentro dos limites da cidade e, por essa razão, muitos eleitores dos arredores sentem que a proposta será aprovada por causa da grande proporção dos eleitores da cidade que são a favor de sua construção. 94

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA DUAS PROPORÇÕES (amostras grandes) Exemplo: (continuação) Para determinar se há uma diferença significativa na proporção dos eleitores da cidade e dos arredores favorecendo a proposta, uma pesquisa foi realizada. Se 120 dos 200 eleitores da cidade são a favor da proposta e 240 dos 500 que moram nas redondezas são a favor da proposta, você concordaria que a proporção de eleitores da cidade a favor da proposta é maior que a proporção dos eleitores das redondezas? Use α = 0,04. 95

Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Seja X 1, X 2,.., X n uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal. Considere, ainda, que estejamos interessados em testar se a variância σ 2 dessa população é igual a um valor específico σ 2 0. Suponha que desejamos testar as hipóteses: (a) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 (b) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 > σ 2 0 (c) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 < σ 2 0 96

Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Estatística do teste: χ ( n 1) s 2 sob H0 2 = ~ χ 2 0 2 n 1 σ 0 97

Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Se o nível de significância α for adotado, temos: 98

Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Teste para uma variância de uma distribuição normal: ð Hipótese Nula: H 0 : σ 2 = σ 2 0 ð Estatística do Teste: χ = n 1 ( ) 2 2 0 2 σ 0 s Hipótese Alterna.va Critério de Rejeição H 1 : σ 2 σ 2 0 χ2 0 >χ2 α/2;n 1 ou χ2 0 < χ2 1 α/2; n 1 H 1 : σ 2 > σ 2 0 H 1 : σ 2 < σ 2 0 χ2 0 >χ2 α;n 1 χ2 0 <χ2 α;n 1 101

Amostra única: TESTE PARA σ 2 (e σ) DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Exemplo: Um fabricante de baterias automotivas afirma que a vida útil delas tem distribuição aproximadamente normal, com desvio-padrão de 0,9 ano. Se uma amostra aleatória de dez dessas baterias tem desvio-padrão de 1,2 ano. Teste a hipótese de que o desvio-padrão da vida útil das baterias seja superior a 0,9 ano. Use α = 0,05. 102

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA A RAZÃO DE DUAS VARIÂNCIAS σ 2 1 Seja X E σ 2 11, X 12,.., X 1n1 uma 2 amostra aleatória de tamanho n1 proveniente de uma população 1 e, X 21, X 22,.., X 2n2 uma amostra aleatória de tamanho n2 proveniente de uma população 2. Considere, também, que s 1 2 e s2 2 são as variâncias amostrais das amostras obtidas das populações 1 e 2, respectivamente. Suponha (a) que desejamos (b) testar (c) as hipóteses: H 0 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 σ2 2 H 0 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 > σ2 2 H 0 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 < σ2 2 103

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA A RAZÃO DE DUAS VARIÂNCIAS σ 2 1 E σ 2 2 Estatística do teste: F s 2 sob H0 = 1 ~ F 0 2 n1 1, n2 1 s2 104

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA A RAZÃO DE DUAS VARIÂNCIAS σ 2 1 E σ 2 2 Se o nível de significância α for adotado, temos: 105

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA A RAZÃO DE DUAS VARIÂNCIAS σ 2 1 E σ 2 2 Teste para a razão de duas variâncias: ð Hipótese Nula: H 0 : σ 2 = σ 2 0 ð Estatística do Teste: 2 s1 F0 = 2 s 2 Hipótese Alterna.va H 1 : σ 2 1 = σ2 2 H 1 : σ 2 1 > σ2 2 H 1 : σ 2 1 < σ2 2 Critério de Rejeição F 0 >F α/2;n1 1,n2 1 ou F 0 <F 1 α/2;n1 1,n2 1 F 0 >F α;n1 1,n2 1 F 0 <F 1 α;n1 1,n2 1 108

DUAS AMOSTRAS: TESTE PARA A RAZÃO DE DUAS VARIÂNCIAS σ 2 1 E σ 2 2 Exemplo: Ao testar a diferença no desgaste abrasivo de dois materiais no exemplo do slide 281-282, assumimos que as duas variâncias populacionais desconhecidas eram iguais. Havia justificativa para fazermos essa suposição? Use um nível de significância α = 0,10. 109

Teste qui-quadrado (qualidade do ajuste) Um teste da qualidade do ajuste é um teste de hipótese cuja finalidade é determinar se uma população tem uma distribuição teórica específica. O teste se baseia em quão bom é o ajuste que temos entre as frequências da ocorrências das observações em uma amostra observada (frequência observada) e as frequências esperadas obtidas da distribuição hipotética (frequência esperada). 110

Teste qui-quadrado (qualidade do Hipóteses : ajuste) H 0 : a população segue a distribuição especificada. H 1 : a população não segue a distribuição especificada 111

Teste qui-quadrado (qualidade do Estatística do teste: ajuste) χ k ( ) 2 o e sob H0 2 = i i ~ χ 2 0 k 1 e i= 1 i o i : frequência observada na i-ésima célula. e i : frequência esperada na i-ésima célula. 112

Teste qui-quadrado (qualidade do ajuste) Se o nível de significância α for adotado, temos: 113

Teste qui-quadrado (qualidade do Observação (1): ajuste) Se as frequências observadas (o i ) estiverem: Próximas das frequências esperadas (e i ), o valor assumido pela estatística do teste χ 2 será pequeno, indicando um bom ajuste e a não rejeição de H 0. Distantes das frequências esperadas (e i ), o valor assumido pela estatística do teste χ 2 será grande, indicando um ajuste ruim e a rejeição de H 0. 114

Teste qui-quadrado (qualidade do Observação (2): ajuste) a) O teste qui-quadrado para qualidade do ajuste só deve ser utilizado quando cada uma das frequências esperadas é maior ou igual a 5. b) Caso alguma das frequências esperadas seja menor que 5, células adjacentes podem ser combinadas para sanar tal situação. 115

Teste qui-quadrado (qualidade do ajuste) Teste qui-quadrado para qualidade do ajuste: ð Hipótese Nula: H 0 : a população segue a distribuição especificada ð Estatística do Teste: Hipótese Alterna.va χ H 1 : a população não segue a distribuição especificada 2 0 k = i= 1 ( o e ) 2 i e i Critério de Rejeição χ > χ i 2 2 0 α; k 1 116

Teste qui-quadrado (qualidade do ajuste) Exemplo: Um dado é jogado 180 vezes com os seguintes resultados: x 1 2 3 4 5 6 f 28 36 36 30 28 23 Esse dado é balanceado (ou seja, é honesto)? Use um nível de significância de 0,01. 117

Teste qui-quadrado (teste de independência) O procedimento do teste qui-quadrado discutido para qualidade do ajuste, também pode ser usado para testar a hipótese de independência entre duas variáveis de classificação (neste caso, duas variáveis categóricas). 118

Teste qui-quadrado (teste de independência) Definição (TABELA DE CONTINGÊNCIA): Uma tabela de contingência ou tabela de frequência de dupla-entrada é uma tabela na qual as frequências correspondem a duas variáveis (uma variável é usada para categorizar linhas, e a segunda variável é usada para categorizar colunas). 119

Nota: Teste qui-quadrado (teste de independência) a) Uma tabela de contingência com l linhas e c colunas é referida como uma tabela l x c (lê-se: l por c ). b) Os totais das linhas e das colunas de uma tabela de contingência são chamados de frequências marginais. 120

Teste qui-quadrado (teste de Hipóteses : independência) H 0 : as variáveis da linha e da coluna são independentes. H 1 : as variáveis da linha e da coluna não são independentes. 121

Teste qui-quadrado (teste de independência) Estatística do teste: c l ( ) 2 o e sob H0 2 = i i ~ 2 0 c 1, l 1 e j= 1 i= 1 i χ χ o i : frequência observada na i-ésima célula. e i : frequência esperada na i-ésima célula. 122

Teste qui-quadrado (teste de independência) Se o nível de significância α for adotado, temos: 123

Teste qui-quadrado (teste de independência) Observação: No teste qui-quadrado para independência, os totais marginais da tabela de contingência são determinados ao acaso, ou seja, não são prédeterminados. 124

Teste qui-quadrado (teste de independência) Teste qui-quadrado de independência: ð Hipótese Nula: H 0 : as variáveis da linha e da coluna são independentes ð Estatística do Teste: Hipótese Alterna.va χ 2 0 H 1 : as variáveis da linha e da coluna não são independentes c l = ( o e ) 2 j= 1 i= 1 i i e Critério de Rejeição 2 2 0 α; c 1, l 1 χ > χ i 125

Teste qui-quadrado (teste de independência) Exemplo: Em um experimento para estudar a relação entre hipertensão e o hábito de fumar, os seguintes dados foram obtidos em 180 indivíduos: x Não fumante Fumante moderado Fumante inveterado Hipertenso 21 36 30 Não hipertenso 48 26 19 126

Teste qui-quadrado (teste de independência) Exemplo (continuação): Teste a hipótese de que a presença ou ansência d a h i p e r t e n s ã o d e p e n d e d o s h á b i t o s relacionados ao fumo. Use um nível de significância de 0,05. 127

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) O procedimento do teste qui-quadrado para independência também pode ser usado quando os totais das linhas e das colunas são prédeterminados. Neste caso, ao invés de independência, testamos a hipótese de que as proporções populacionais dentro de cada linha da tabela de contingência são as mesmas. 128

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Hipóteses : H 0 : populações diferentes têm a mesma proporção de alguma característica. H 1 : populações diferentes não têm a mesma proporção de alguma característica. 129

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Estatística do teste: c l ( ) 2 o e sob H0 2 = i i ~ 2 0 c 1, l 1 e j= 1 i= 1 i χ χ o i : frequência observada na i-ésima célula. e i : frequência esperada na i-ésima célula. 130

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Se o nível de significância α for adotado, temos: 131

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Observação: No teste qui-quadrado para homogeneidade, os totais marginais de uma das variáveis da tabela de contingência são fixos, ou seja, são prédeterminados. 132

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Teste qui-quadrado de homogeneidade: ð Hipótese Nula: H 0 : populações diferentes têm a mesma proporção de alguma característica. c l ð Estatística do Teste: Hipótese Alterna.va H 1 : populações diferentes não têm a mesma proporção de alguma caracteríshca χ 2 0 = ( o e ) 2 j= 1 i= 1 i Critério de Rejeição i e 2 2 0 α; c 1, l 1 χ > χ i 133

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Exemplo: A enfermaria de uma faculdade conduziu um experimento para conduzir o grau de alívio fornecido por três remédios antitussígenos. Cada remédio foi testado em 50 estudantes e os seguintes foram registrados: 134

Teste qui-quadrado (teste de HOMOGENEIDADE) Exemplo (continuação): Remédio anhtussígeno NyQuil Robitussin Triaminic Sem alívio 11 13 9 Algum alívio 32 28 27 Alívio total 7 9 14 Teste a hipótese de que os três remédios são igualmente eficazes. Use α = 0,05. 135

Análise de variância 136

Introdução A Análise de Variância (ANOVA) de um único fator tem por objehvo comparar mais de duas populações ou médias de tratamentos. 137

Introdução Considere: a: número de populações ou tratamentos em comparação. µ i : a média da população i ou a resposta média verdadeira quando o tratamento i é aplicado (i = 1, 2,..., a). 138

Hipóteses sendo testadas As hipóteses de interesse são: H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 =... = µ I H 1 :pelo menos duas das médias µ i são diferentes (i = 1, 2,..., a). 139

Notação e Pressupostos Considere: X i,j : a variável aleatória que representa a j- ésima medida feita na i- ésima população, ou a medida feita na j- ésima unidade experimental que recebeu o i- ésimo tratamento. x i,j : o valor observado de X i,j quando o experimento é realizado. 140

Notação e Pressupostos Nota: Os dados observados são mostrados frequentemente em uma tabela. 141

Notação e Pressupostos Nota: É assumido que os X i,j dentro de qualquer amostra parhcular são independentes uma amostra aleatória da i- ésima população ou tratamento e que diferentes amostras são independentes umas das outras. 142

Experimentos balanceados Em alguns experimentos, amostras diferentes contém números diferentes de observações. Focaremos aqui no caso de tamanhos amostrais iguais (experimentos balanceados). 143

Quadro da ANOVA (balanceada) Fonte de Variação Tratamentos Erros Graus de Liberdade Soma de Quadrados (SQ) Quadrados Médios (QM) F calc a 1 SQ Trat QM Trat F calc a(n 1) SQ E QM E Total an - 1 SQ T 144

Quadro da ANOVA Onde: n: é o número de observações em cada amostra (ou seja, o número de observações obtidas do i-ésimo tratamento ou da i-esima população). a: número de populações ou tratamentos em comparação. 145

Quadro da ANOVA Onde: I J 1 SQT = x x i= 1 j= 1 an I 1 1 SQTrat = xi x n g i= 1 an SQ = SQ SQ E T Trat 2 2 ij gg 2 2 gg F QM QM calc = Trat E = = QM QM SQ Trat a 1 SQ E an 1 ( ) Trat E 146

Estatística do Teste F QM Sob H0 = Trat ~ F calc QM I 1; I J 1 E ( ) 147

Região de Rejeição Sendo o valor F calc o valor calculado de F, a região de rejeição será: quando um teste com nível de significância α é especificado. F F α calc ; I 1, I J 1 ( ) 148

Região de Rejeição A figura adiante representa a curva da distribuição F a- 1;a(n - 1) e o valor críhco F α;a- 1;a(n- 1) na cauda superior correspondente. 149

Região de Rejeição 150

Exemplo de aplicação Os dados adiante foram obhdos das medidas de resistores idênhcos, submehdos a três níveis de temperaturas num período de 24 horas. Os tamanhos amostrais de cada grupo foi 5 (cinco). 151

Exemplo de aplicação No jargão de Planejamento de Experimentos, temos um experimento em que cada um dos 3 (três) tratamentos tem 5 repehções. 152

Exemplo de aplicação Nível 1 Nível 2 Nível 3 8,0 6,9 8,3 10,5 5,4 6,8 8,1 5,8 7,8 6,9 4,6 9,2 9,3 4,0 6,5 153

Exemplo de aplicação Existe diferença nas medidas médias para diferentes níveis de temperatura? Responda essa pergunta realizando uma ANOVA. Use α=0,05. 154

Teste Tukey Teste de comparações múltiplas 155

Teste Tukey Suponha que, após uma ANOVA em que tenhamos rejeitado a hipótese nula de igualdade de médias dos tratamentos, desejamos testar todas as médias pareadas, ou seja, H 0 : µ i = µ j versus H 1 : µ i µ j, i j 156

Teste Tukey Tukey (1953) propôs um procedimento para testar hipóteses para o qual o nível de significância global é exatamente α quando os tratamentos amostrais são iguais e, no máximo α, quando os tratamentos amostrais são diferentes. 157

Teste Tukey Seu procedimento também pode ser usado para contrair os intervalos de confiança das diferenças de todos os pares de médias. Para estes intervalos, os intervalos de confiança simultâneos têm um nível 100(1- α)% quando os tamanhos amostrais são diferentes. 158

Teste Tukey Para tamanhos amostrais iguais, duas médias como sendo significahvamente diferentes se o valor absoluto da diferença de suas amostras excede: ( ) T = q a f α α QM, erro onde a é o número de tratamentos e n o número de repehções realizadas em cada tratamento. n 159

Exemplo de aplicação Considere que um químico deseja comparar o percentual alcoólico de 8 (oito) marcas diferentes de cervejas. Para tal, ele escolheu aleatoriamente 6 (seis) latas de cada uma das oito marcas e fez a medição do teor de álcool. Os dados obhdos são apresentados na tabela adiante: 160

Exemplo de aplicação Marca Média 1 5,977 2 9,402 3 5,802 4 5,942 5 6,040 6 7,012 7 6,011 8 5,936 161

Exemplo de aplicação Este químico realizou uma ANOVA para este conjunto de dados, obtendo uma soma de quadrados dos erros (ou seja, SQE) de 0,083056 e uma soma de quadrados dos tratamentos (ou seja, SQTrat) de 0,142840. 162

Exemplo de aplicação Quais as marcas diferem quanto ao percentual alcoólico médio? JusHfique sua resposta através do emprego da ANOVA e do Teste Tukey. UHlize um nível de significância de α = 0,05. 163