Departamento de Física da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa T2 FÍSICA EXPERIMENTAL I - 2007/08 1. Objectivo FORÇA GRAVÍTICA Comparar a precisão de diferentes processos de medida; Linearizar uma expressão; Determinar a aceleração da gravidade. 2. Introdução O pêndulo simples é um sistema constituído por uma massa pontual m, suspensa de um ponto por um fio inextensível e de massa desprezável quando comparada com m, e que oscila em torno desse ponto. Durante a oscilação, a massa descreve um percurso circular determinado pelo comprimento do pêndulo, mas que não é um movimento uniforme porque o módulo da velocidade não é a mesma em todos os pontos do seu percurso. Na figura está representado um pêndulo simples e as força a que fica sujeito, o seu peso e a força de tensão do fio. Figura 1: Pêndulo simples de comprimento l numa posição que faz um ângulo θ com a posição de equilíbrio; estão representadas as forças que actuam a massa suspensa m: força de tensão do fio e o peso, a tracejado é representada a decomposição da força peso segundo as direcções tangencial, mgsenθ, e normal ao movimento, mgcosθ. O movimento do pêndulo é um movimento curvilíneo, cujo raio da trajectória é o comprimento l do pêndulo.
A equação vectorial do movimento do corpo é (1) onde é a força resultante, a aceleração do movimento, e são as componentes, tangencial e normal, da aceleração. Notemos que a componente tangencial do peso e, consequentemente, a aceleração tangencial, estão sempre dirigidas no sentido do ponto de equilíbrio do pêndulo, este é também o sentido da diminuição do ângulo θ, sendo θ o ângulo definido pela posição do pêndulo num dado instante e a sua direcção de equilíbrio. Segundo as direcções normal e tangencial a equação (1) vem: (1a) (1b) g é a aceleração da gravidade. A componente da aceleração segundo a direcção tangencial é obtida da variação do módulo da velocidade com o tempo l θ l (2) Da presença de uma força tangencial resulta a variação do módulo da velocidade do pêndulo. A força normal faz variar a direcção da velocidade mas não altera o seu módulo. ou, Substituindo em (1b) a expressão de obtida em (2), vem: l (3) Para pequenos ângulos, 0 vem: l 0 (4) l 0 (5) Uma solução desta equação é do tipo sen onde θ 0 e φ são obtidos das condições iniciais; θ 0 é a amplitude angular do movimento, φ a fase quando t = 0 e ω a frequência angular do movimento. Substituindo em (5) vem: 0 (6) l donde, 2(6)
l (7) Usando ω = 2π/T, sendo T o período do movimento, vem 2 l (8) Se não tivéssemos usado a aproximação dos pequenos ângulos, em vez de (8), teríamos obtido a relação 2 l 1 sen (9) 3. Para resolver antes da aula de realização do trabalho 1) Parta das expressões (8) e (9). Despreze os termos de ordem superior a sen 2 (θ/2) e determine o afastamento angular máximo que o pêndulo pode ter em relação à posição de equilíbrio para que seja válida a expressão (8) com um erro inferior a: a) 0.1%; b) 1%. 2) 1 Se a grandeza t 10 = 10 T for medido com uma incerteza Δt 10 qual é a incerteza ΔT associada a T? 3) Admita como conhecido o valor de ln e de ΔB. Determine g e Δg. Substitua agora ln por log 10 e resolva a mesma questão. 4. Realização experimental 4.1. Medição do período de um pêndulo. Precisão do processo de medida Monte o pêndulo que lhe é fornecido, utilizando um comprimento aproximado de 45 cm. Coloque o sistema em oscilação, largando o corpo de uma posição correspondente a um pequeno desvio angular. Tomaremos como medida de precisão o limite superior do erro, calculado a partir dos maiores desvios em relação à média. A Utilização de um cronómetro comandado manualmente 1. Meça o tempo t 10 que o pêndulo leva a efectuar 10 oscilações completas. Não é necessário voltar a colocar o pêndulo a oscilar quando muda o elemento do grupo de trabalho que faz as medições. 1 Com as questões 2) e 3) pretende-se que faça algumas aplicações da Propagação de incertezas. 3(6)
2. Cada aluno repete a medição feita em 1. de modo que o grupo de trabalho obtenha 5 valores do tempo de 10 oscilações completas. 3. Construa uma tabela com os 5 valores obtidos para t 10 por todos os elementos do grupo. Obtenha o valor médio e o maior desvio relativamente à média. 4. Compare a incerteza resultante da dispersão de valores (maior desvio relativamente à média) com a incerteza de cada medição associada à resolução experimental do cronómetro (erro de leitura). Apresente o resultado na forma t 10 + Δt 10 onde t 10 é o valor médio das 5 medições e Δt 10 é o maior valor entre a incerteza resultante da dispersão de valores e a incerteza de cada medição associada à resolução experimental do cronómetro. 5. Discuta as fontes de erro que neste caso conduzem à dispersão de resultados. Qual considera ser a principal razão para a dispersão de valores obtidos? 6. Obtenha, a partir do resultado t 10 + Δt 10 obtido com este método manual, o valor do período do pêndulo T + ΔT. B Utilização de um cronómetro com sistema automático de aquisição O sistema automático de registo do período, com aquisição pelo computador recorrendo ao programa DataStudio, inclui um sensor óptico de passagem que deve ser colocado na posição de equilíbrio do oscilador. Use o sistema automático de registo do período e, a partir do registo de 50 valores, obtenha o período do pêndulo e a incerteza associada, T + ΔT. Para facilitar o seu trabalho configure o programa de aquisição de forma a mostrar as seguintes estatísticas: valor médio, desvio padrão 2 e nº de contagens. Discuta qual dos dois processos de medida, manual ou automático, lhe permite ter mais precisão na determinação do período. Observação: Preste atenção aos dados registados no computador. Para além do registo do período o sistema regista a velocidade do movimento do pêndulo na posição de equilíbrio do pêndulo. Como é calculada? Use o DataStudio para visualizar os dados que acabou de adquirir. Como varia no tempo o período do movimento? E a velocidade num dado ponto? Será este sistema conservativo? O que se passa entretanto com a amplitude do movimento? 2 Uma característica habitual do conjunto de resultados obtidos é a sua distribuição em torno da média segundo uma curva gaussiana onde os valores mais afastados da média são pouco prováveis. A largura da distribuição das medidas experimentais pode ser parametrizada pelo desvio padrão da amostra,, sendo n o número de medições. O desvio padrão da amostra é um desvio quadrático médio - raiz quadrado da soma do quadrado dos desvios das medidas relativamente ao valor médio, dividido pelo número de medições menos uma. Ao dividimos por (n-1) e não por n estamos a corrigir o facto de a nossa amostra não ser infinita. Numa distribuição gaussiana ou normal esperamos que 68% dos valores experimentais se encontrem no intervalo, e 95% no intervalo 2, 2. Estes conceitos são apresentados nas notas Medições Experimentais. 4(6)
4.2. Determinação de g e linearização de uma expressão Para comprimentos do pêndulo entre cerca de 30 cm e 130 cm, com intervalos de 10 cm, efectue medições do período do pêndulo. Note que o comprimento do pêndulo é a distância entre o ponto de suspensão e o centro de gravidade da massa suspensa. 1. Parta de um comprimento de fio próximo de 30 cm. Use a craveira para medir a altura da massa suspensa e registe o resultado na forma h + Δh. 2. Meça com todo o cuidado o comprimento do fio L + ΔL de modo a obter o comprimento l do pêndulo com a menor incerteza possível. Registe o comprimento do pêndulo na forma l + Δl. Faça um esboço do pêndulo e represente as grandezas h, L e l. 3. Coloque o sistema em oscilação, largando o corpo de uma posição que verifique as condições de validade da relação (8) com um erro inferior a 0.1%, e faça as medições do período do pêndulo com o sistema automático de medida. Registe o valor médio e o desvio padrão do período (utilizando pelo menos 10 oscilações completas) e apresente o resultado na forma T + ΔT. Note que o desvio padrão, se tiver um valor baixo, serve essencialmente para confirmar que as medições correram bem. A estimativa da incerteza será obtida directamente a partir do ajuste de uma linha recta aos dados experimentais. 4. Repita as operações 2. e 3. para os outros valores do comprimento do pêndulo. 5. Represente graficamente T = f(l). Observe atentamente o comportamento da variação de T com l. Note que a relação entre estas duas grandezas só numa observação descuidada pode ser tomada como linear, ela apresenta um desvio sistemático a essa mesma linearidade. 6. Na relação (8) comece por associar os factores constantes e aplique logaritmos. Obtém uma relação do tipo Y = AX + B. Identifique as variáveis X e Y e os parâmetros A e B. 7. Na tabela, tome os logaritmos de T e de l e, em seguida, faça a representação gráfica de lnt = f(lnl). Compare a representação logarítmica com a representação em escala linear obtida anteriormente. O que pode concluir desses resultados? 8. Ajuste uma recta aos pontos experimentais lnt = f(lnl). Obtenha os parâmetros do ajuste e as correspondentes incertezas. No Excel, ao adicionar a linha tendência com a equação no gráfico apenas obtém os valores de A e B. Para obter o valor de ΔA e ΔB deverá escolher o menu Tools, Data analysis e Regression. 9. A partir dos valores dos parâmetros ajustados determine a aceleração da gravidade, g + Δg. Compare o valor determinado com o valor adoptado para aceleração da gravidade padrão: g = 9.80665 m/s². Qual terá sido a principal fonte de erro? Note que um pequeno afastamento entre g medido e g tabelado indica grande rigor na determinação. 5(6)
10. Compare também o valor do parâmetro A com o valor esperado de acordo com a identificação feita em 6. 6(6)