Nível 3 Instruções para a realização da Prova Leia com muita atenção Prova da segunda fase Caro Aluno, Parabéns pela sua participação na décima primeira edição da Olimpíada de Matemática de São José do Rio Preto! Lembre-se de que uma Olimpíada é diferente de uma prova escolar. Muitas vezes, as questões que você vai enfrentar não serão compreendidas na primeira leitura. Leia-as novamente para entender perfeitamente o que se pede. Depois, pense... Bem-vindo ao mundo dos desafios!!! Não importa a quantidade de questões que vai acertar ou errar ao final da prova. Cada exercício que você conseguir resolver representa uma vitória. Dos erros você poderá tirar várias lições e, com certeza, passará a entender um pouco mais dessa apaixonante ciência que é a Matemática. Desejamos a todos uma boa prova. Atenciosamente, Comissão Organizadora Instruções: O tempo de duração da prova é de três horas. Esta é uma prova de múltipla escolha. Cada questão é seguida por cinco alternativas (a, b, c, d, e). Somente uma delas é correta. Marque as opções no quadro de respostas da folha em anexo, utilizando caneta azul ou preta. Por exemplo, para marcar a opção B na questão 10: 10) A B C D E Realização: Departamento de Matemática do Ibilce - Unesp, São José do Rio Preto. SOMA - Sociedade dos Matemáticos. Apoio: CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. AOBM - Associação Olimpíada Brasileira de Matemática. Diretoria Regional de Ensino de São José do Rio Preto. Secretaria Municipal de Educação de São José do Rio Preto. O gabarito estará disponível no site www.mat.ibilce.unesp.br/olimpiada a partir das 20 horas de 04/06/2013 (terça-feira). OMRP
RASCUNHO Gabarito 1. Alternativa C 2. Alternativa E 3. Alternativa A 4. Alternativa E 5. Alternativa A 6. Alternativa B 7. Alternativa E 8. Alternativa A 9. Alternativa B 10. Alternativa C 11. Alternativa D 12. Alternativa A 13. Alternativa E 14. Alternativa C 15. Alternativa D 16. Alternativa B 17. Alternativa D 18. Alternativa C 19. Alternativa E 20. Alternativa A 21. Alternativa D 22. Alternativa D 23. Alternativa B 24. Alternativa C 25. Alternativa E
1. Quantos números primos de dois dígitos têm a soma de seus algarismos igual a 11? a) 1. c) 3. d) 4. e) 5. 2. Quantos quadrados têm como seus quatro vértices os pontos do reticulado abaixo? a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 3. Maria teve duas filhas. Cada uma das filhas de Maria teve duas filhas. Cada uma das netas de Maria também teve duas filhas e, finalmente, cada umas das bisnetas de Maria lhe deu duas tataranetas. Quantas tataranetas teve Maria? a) 16. b) 64. c) 32. d) 10. e) 8. 4. A soma de três algarismos de um número inteiro é 19. O algarismo das dezenas é o quádruplo do algarismo das centenas e o algarismo das unidades é o consecutivo do algarismo das dezenas. Qual é o algarismo das dezenas desse número? a) 2. b) 4. c) 6. d) 7. e) 8. 6. Efetuando as operações indicadas na expressão 2 2013 + 2 2011 2 012 obtemos um número de quatro 2 2012 + 2 2010 algarismos. Qual é a soma dos algarismos desse número? a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16. 7. As 10 cadeiras de uma mesa circular foram numeradas com números consecutivos de dois algarismos, entre os quais há dois que são quadrados perfeitos. Ana Lítica sentou-se na cadeira com o maior número e Chico das Contas sentou-se na cadeira com o menor número. Qual é a soma dos números dessas duas cadeiras? a) 16. b) 29. c) 36. d) 37. e) 41. 8. Os números de 0 a 2013 foram ligados por flechas; a figura dada mostra o começo do processo. 0 1 3 6 7 9 12 13 15 2 4 5 8 10 11 14 Qual é a sucessão de flechas que liga o número 2010 ao número 2013? a) b) c) 5. Qual é o valor de 2 6 + 2 6 + 2 6 + 2 6 4 4? a) 0. c) 4. d) 4 2. e) 4 4. d) e) Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 3
9. Ana Lítica e Chico das Contas brincam da seguinte maneira: o primeiro a jogar pensa em um número de 10 a 99 e diz apenas a soma dos algarismos do número; o segundo tem então que adivinhar esse número. Qual é o maior número de tentativas erradas que a segunda pessoa pode fazer? a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11 10. Se x, y e z são números naturais maiores que zero, tais que 2x = 3y = 5z, então o menor valor possível de x + y + z é: a) 10. b) 26. c) 31. d) 40. e) 48. 11. Determine a soma dos algarismos do menor inteiro positivo com exatamente 15 divisores positivos. a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 14. Sejam A, B e C três vértices consecutivos de um hexágono regular de lado 10 cm e M o ponto médio do lado BC. Determinar a medida do segmento AM. a) 3 7. b) 4 7. c) 5 7. d) 6 7. e) 7 7. 15. Em um triângulo LOT, a medida do ângulo externo do vértice O é 62 o, as mediatrizes de LO e OT cortam o lado LT em M e N, respectivamente. Qual a medida do ângulo MON? ^ a) 31 o. b) 62 o. c) 124 o. d) 56 o. e) 26 o. 16. A figura abaixo representada é um losango. M 3 M 2 M 1 A N2 N 4 12. No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma medida. C M 4 M 5 M 6 M7 M 8 M 9 N 5 N 6 N 7 N 8 B Qual é a medida do ângulo BÂC? a) 20. b) 25. c) 30. d) 35. e) 40. 13. Se A, B e C são números naturais diferentes de zero e consecutivos tais que A < B < C, então a expressão que necessariamente corresponde a um número natural ímpar é dada por: a) A + B C. b) A + B + C. c) A B C. d) A B + B C. e) (A + B) (B + C). A B Sabendo-se que os nove segmentos M 1, M 2 N 2, M 3,..., M 9 são todos paralelos e dividem o segmento AB em dez partes iguais, pode-se afirmar que, para M 1 = L, a soma M 1 + M 2 N 2 + M 3 +... + M 9 é igual a: a) 30L. b) 25L. c) 20L. d) 18L. e) 15L. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 4
17. Vários quadrados com lado medindo 3 cm são dispostos colocando-se o vértice de um sobre o centro do anterior, conforme a figura abaixo. Dispondo de 2013 desses quadrados, formaremos uma figura com área, em cm 2, igual a: a) 6036. b) 8046. c) 10024. d) 13590. e) 54360. 18. A figura mostra a árvore genealógica de uma família. Cada flecha vai do pai em direção ao seu filho. Quem é o irmão do pai do irmão do pai de Evaristo? Felipe André a) Francisco. b) José. c) André. d) Felipe. e) Simão. Adão Cristóvão Evaristo José Luís Jean Francisco 19. A opção que representa todas as possibilidades do número de pontos de intersecção de um círculo com um retângulo é: a) 0, 1, 3, 2, 4 ou 8. b) 0, 2, 4, 6 ou 8. c) 0, 1, 3, 5 ou 8. d) 0, 2, 3, 5 ou 7. e) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. 20. Seja S n = 1 2 + 3 4 + 5 6 +...+ ( 1) n 1 n. Calcule o valor de S 2013 + S 2012. a) 1. c) 1013. d) 2013. e) 2103. 21. Se x 2 = x + 3 então x 3 é igual a: a) x 2 + 3. b) x + 4. c) 2x + 2. d) 4x + 3. e) x 2 2. 22. Seja ABCD um retângulo de lados AB = CD = 37, BC = DA = 10 e P o ponto do lado AB tal que AP = 13. A paralela a PC traçada por A intercepta o lado CD em R. Seja Q em PC e S em AR tais que o quadrilátero PQRS é um retângulo. Determinar a área de PQRS. a) 40. b) 50. c) 60. d) 70. e) 80. 23. Ao efetuar a soma abaixo obtemos um número inteiro. 2013 1 + 2013 2 + 2013 3 +... + 2013 2012 + 2013 2013 Qual é o algarismo das unidades desse número? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 24. Em uma folha de papel retangular de 12cm de comprimento e 9 cm de largura traça-se um segmento com seus extremos em dois lados opostos do retângulo, de maneira que ao dobrar o papel em torno do segmento, dois vértices opostos do retângulo ficam sobrepostos. Determinar a medida do segmento traçado a) 75. 8 b) 60. 7 c) 45. 4 d) 47. 9 e) 53. 6 25. De dois números naturais A e B sabe-se que B = A 2 1 e que o mínimo múltiplo comum entre 8 A e B é igual 3720. Determinar A + B. a) 8. b) 43. c) 71. d) 99. e) 151. Olimpíada de Matemática de Rio Preto - OMRP 5