Fís. Leonardo Gomes (Guilherme Brigagão)

Exercícios de Gravitação Universal 07 jun 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

RESUMO 1ª Lei de Kepler (Leis das Órbitas) Como existe uma relação de proporcionalidade entre a área varrida A e o intervalo de tempo Δt, podemos definir a velocidade areolar (V ARE ) como: As órbitas descritas pelos planetas são elipses, com o Sol ocupando um dos focos. V ARE =A/Δt 3ª Lei de Kepler O quadrado do período de revolução, de cada planeta ao redor do Sol, é diretamente proporcional ao cubo do semieixo maior da correspondente trajetória. A trajetória dos corpos celestes ao redor do Sol são elipses 2ª Lei de Kepler O segmento que une os centros do Sol e de um planeta descreve áreas proporcionais aos intervalos de tempo de percurso. R é o semieixo maior da trajetória elipsoidal 33 T2/R3 = constante O ponto mais próximo ao Sol é o periélio e o mais afastado é o afélio. De acordo com a segunda lei de Kepler, a velocidade de translação de um planeta ao redor do Sol não é constante. Quanto mais próximo ao Sol, maior a velocidade, sendo máxima quando o planeta está no periélio (ponto mais próximo ao Sol). Quanto mais afastado do Sol, menor a velocidade, sendo mínima quando o planeta está no afélio (ponto mais distante do Sol). Nas questões de Física à nível vestibular você encontrará geralmente as órbitas dos planetas consideradas circulares para facilitar as contas da terceira lei de Kepler. Mas lembre-se que isso será apenas para facilitar as contas, pois pela primeira lei a trajetória é elíptica. Lei da Gravitação Universal Dois pontos materiais, de massas m1 e m2, atraem- -se mutuamente com forças que tem a direção da reta que os une e cujas intensidades são diretamente proporcionais ao produto das massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância d que os separa.

F é a força de interação entre os corpos 1 e 2. Para calcular a força de interação entre os corpos utiliza-se a equação: F=G (m1 m2)/d 2 Onde G é uma constante de proporcionalidade chamada de constante de gravitação universal, cujo valor é: G=6,67x10-11 (Nm 2 )/kg2 Corpos em órbita Quando um corpo celeste está em uma órbita circular ao redor de outro corpo celeste, a força de interação gravitacional fará o papel de força centrípeta. Com isso, a velocidade da órbita será: v= (GM/d) Aceleração da gravidade Como a força de interação gravitacional entre o planeta de massa M e um corpo de massa m na superfície deste planeta (distância d do centro do planeta) é o peso, temos que a gravidade g será: 34 g=gm/d2 EXERCÍCIOS DE AULA 1. Em 16 de julho de 2015, a equipe da Nasa, responsável pela sonda New Horizons, que tirou fotografias de Plutão, publicou a seguinte mensagem: Uau! Acabamos de tirar mais de 1200 fotos de Plutão. Vamos tentar ter mais algumas enquanto estamos na vizinhança. #PlutoFlyBy Disponível em: Twitter.com, usuário: @NASANewHorizons. Publicado em 16 de julho de 2015, traduzido e acessado em 19 de julho de 2015. Uma das fotografias mostrava uma cadeia de montanhas em sua superfície. Suponha que você é um participante da missão aqui na Terra e precisa auxiliar a equipe no cálculo da massa de Plutão. Assinale a alternativa que oferece o método de estimativa mais preciso na obtenção de sua massa. Para efeitos de simplificação, suponha que Plutão é rochoso, esférico e uniforme.

a) medir o seu raio e posicionar a sonda em órbita circular, em torno de Plutão, em uma distância orbital conhecida, medindo ainda o período de revolução da sonda. b) medir o seu raio e compará-lo com o raio de Júpiter, relacionando, assim, suas massas. c) observar a duração do seu ano em torno do Sol, estimando sua massa utilizando a terceira lei de Kepler. d) medir a distância percorrida pela sonda, da Terra até Plutão, relacionando com o tempo que a luz do Sol leva para chegar a ambos. e) utilizar a linha imaginária que liga o centro do Sol ao centro de Plutão, sabendo que ela percorre, em tempos iguais, áreas iguais. 2. No sistema solar, Netuno é o planeta mais distante do Sol e, apesar de ter um raio 4 vezes maior e uma massa 18 vezes maior do que a Terra, não é visível a olho nu. Considerando a Terra e Netuno esféricos e sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra vale 10 m/s², pode-se afirmar que a intensidade da aceleração da gravidade criada por Netuno em sua superfície é, em m/ s², aproximadamente: a) 9. b) 11. c) 22. d) 36. e) 45. 35 3. Atualmente, um grande número de satélites artificiais gira ao redor da Terra. Alguns são usados para pesquisa científica ou observações dos astros, outros são meteorológicos ou são utilizados nas comunicações, dentre outras finalidades. Esses satélites que giram ao redor da Terra apresentam velocidades orbitais que dependem da(s) seguinte(s) grandeza(s): a) massa do Sol e raio da órbita. b) massa do satélite e massa da Terra. c) massa da Terra e raio da órbita. d) massa do satélite e raio da órbita. e) apenas o raio da órbita. 4. A maré é o fenômeno natural de subida e descida do nível das águas, percebido principalmente nos oceanos, causado pela atração gravitacional do Sol e da Lua. A ilustração a seguir esquematiza a variação do nível das águas ao longo de uma rotação completa da Terra.

Considere as seguintes proposições sobre maré, e assinale a alternativa INCOR- RETA. a) As marés de maior amplitude ocorrem próximo das situações de Lua Nova ou Lua Cheia, quando as forças atrativas, devido ao Sol e à Lua, se reforçam mutuamente. b) A influência da Lua é maior do que a do Sol, pois, embora a sua massa seja muito menor do que a do Sol, esse fato é compensado pela menor distância à Terra. c) A maré cheia é vista por um observador quando a Lua passa por cima dele, ou quando a Lua passa por baixo dele. d) As massas de água que estão mais próximas da Lua ou do Sol sofrem atração maior do que as massas de água que estão mais afastadas, devido à rotação da Terra. e) As marés alta e baixa sucedem-se em intervalos de aproximadamente 6 horas. 36 5. Assinale com V (verdadeiro) ou F (falso) as afirmações abaixo. ( ) Um objeto colocado em uma altitude de 3 raios terrestres acima da superfície da Terra sofrerá uma força gravitacional 9 vezes menor do que se estivesse sobre a superfície. ( ) O módulo da força gravitacional exercida sobre um objeto pode sempre ser calculado por meio do produto da massa desse objeto e do módulo da aceleração da gravidade do local onde ele se encontra. ( ) Objetos em órbitas terrestres não sofrem a ação da força gravitacional. ( ) Se a massa e o raio terrestre forem duplicados, o módulo da aceleração da gravidade na superfície terrestre reduz-se à metade. A sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo, é: a) V V F F. b) F V F V. c) F F V F. d) V F F V. e) V V V F.

6. A massa da Terra é de 6,0x10 24 kg, e a de Netuno é de 1,0x10 26 kg. A distância média da Terra ao Sol é de 1,5x10 11 m, e a de Netuno ao Sol é de 4,5x10 12 m. A razão entre as forças de interação Sol Terra e Sol Netuno, nessa ordem, é mais próxima de: a) 0,05. b) 0,5. c) 5. d) 50. e) 500. 7. Considerando que o módulo da aceleração da gravidade na Terra é igual a 10 m/ s², é correto afirmar que, se existisse um planeta cuja massa e cujo raio fossem quatro vezes superiores aos da Terra, a aceleração da gravidade seria de: 8. a) 2,5 m/s² b) 5 m/s² c) 10 m/s² d) 20 m/s² e) 40 m/s² Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei da Gravitação Universal, e dela pode-se obter a aceleração gravitacional a uma distância d de um corpo de massa M, dada por g=g(m/d²), sendo G=6,7x10 11 Nm 2 /kg2 a constante de gravitação universal. Sabendo-se o valor de G, o raio da Terra, e a aceleração da gravidade na superfície da Terra, foi possível encontrar a massa da Terra, MT=6,0x10 24 kg. A aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra é igual a g = 0,25m/s². A distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de: 37 a) 1,7x103 km. b) 4,0x104 km. c) 7,0x103 km. d) 3,8x105 km.

EXERCÍCIOS PARA CASA 1. A maçã, alimento tão apreciado, faz parte de uma famosa lenda ligada à biografia de Sir Isaac Newton. Ele, já tendo em mente suas Leis do Movimento, teria elaborado a Lei da Gravitação Universal no momento em que, segundo a lenda, estando Newton ao pé de uma macieira, uma maçã lhe teria caído sobre sua cabeça. Pensando nisso, analise as afirmações: I. Uma maçã pendurada em seu galho permanece em repouso, enquanto duas forças de mesma intensidade, o seu peso e a força de tração do cabinho que a prende ao galho, atuam na mesma direção e em sentidos opostos, gerando sobre a maçã uma força resultante de intensidade nula. II. Uma maçã em queda cai mais rápido quanto maior for a sua massa já que a força resultante, nesse caso chamada de peso da maçã, é calculada pelo produto de sua massa pela aceleração da gravidade. III.A maçã em queda sofre uma ação do planeta Terra, denominada força peso, que tem direção vertical e o sentido para baixo, e a maçã, por sua vez, atrai a Terra com uma força de mesma intensidade e direção, contudo o sentido é para cima. É correto o que se afirma em: a) I, apenas. b) II, apenas. c) I e III, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. 38 2. Consideramos que o planeta Marte possui um décimo da massa da Terra e um raio igual à metade do raio do nosso planeta. Se o módulo da força gravitacional sobre um astronauta na superfície da Terra é igual a 700 N, na superfície de Marte seria igual a: a) 700 N. b) 280 N. c) 140 N. d) 70 N. e) 17,5 N. 3. Muitos satélites utilizados em telefonia, transmissões de rádio e TV, internet e outros serviços de telecomunicações ocupam a órbita geoestacionária. Nesta órbita, situada no plano da linha do equador, os satélites permanecem sempre acima de um mesmo ponto da superfície terrestre, parecendo parados para um observador no equador. A altura de um satélite geocêntrico, em relação à superfície da Terra, em órbita circular, é aproximadamente igual a:

Dados: G = constante de gravitação universal M = massa da Terra R = raio da Terra = 6,4x106 m [GM/4π2] 1/3 = 2,2x104 m.s 2/3 [24 horas] 2/3 = 2,0x10 3 s 2/3 a) 37600 km. b) 50000 km. c) 64000 km. d) 12800 km. e) 25000 km. 4. A figura a seguir ilustra dois satélites, 1 e 2, que orbitam um planeta de massa M em trajetórias circulares e concêntricas, de raios r1 e r2, respectivamente. 39 Sabendo que o planeta ocupa o centro das trajetórias e que a distância mínima e máxima entre os satélites durante seu movimento é proporcional à razão 4/5 é CORRETO afirmar que a razão entre os módulos de suas velocidades tangenciais v1/v2 é igual a: a) 5. b) 3. c) 2. d) 1/2. e) 4/5. 5. A primeira lei de Kepler demonstrou que os planetas se movem em órbitas elípticas e não circulares. A segunda lei mostrou que os planetas não se movem a uma velocidade constante. PERRY, Marvin. Civilização Ocidental: uma história concisa. São Paulo: Martins Fontes, 1999, p. 289. (Adaptado)

É correto afirmar que as leis de Kepler a) confirmaram as teorias definidas por Copérnico e são exemplos do modelo científico que passou a vigorar a partir da Alta Idade Média. b) confirmaram as teorias defendidas por Ptolomeu e permitiram a produção das cartas náuticas usadas no período do descobrimento da América. c) são a base do modelo planetário geocêntrico e se tornaram as premissas cientificas que vigoram até hoje. d) forneceram subsídios para demonstrar o modelo planetário heliocêntrico e criticar as posições defendidas pela Igreja naquela época. 6. A notícia Satélite brasileiro cai na Terra após lançamento falhar, veiculada pelo jornal O Estado de S. Paulo de 10/12/2013, relata que o satélite CBERS-3, desenvolvido em parceria entre Brasil e China, foi lançado no espaço a uma altitude de 720 km (menor do que a planejada) e com uma velocidade abaixo da necessária para colocá-lo em órbita em torno da Terra. Para que o satélite pudesse ser colocado em órbita circular na altitude de 720 km, o módulo de sua velocidade (com direção tangente à órbita) deveria ser de, aproximadamente, Note e adote: raio da Terra = 6x103 km massa da Terra = 6x10 24 kg constante da gravitação universal = 6,7x10-11 m³/(s²kg) a) 61km/s b) 25 km/s c) 11km/s d) 7,7 km/s e) 3,3 km/s 40 7. A tabela abaixo apresenta dados astronômicos referentes a algumas propriedades dos planetas que compõem o nosso sistema solar. Adote a massa da Terra 6,0x10 24 kg. Com base na tabela acima e nos fenômenos e leis associados à gravitação, é CORRETO afirmar que:

01) admitindo que exista um planeta X a uma distância média do Sol três vezes maior que a distância média da Terra ao Sol, o seu período de revolução será de aproximadamente 3 3 anos. 02) a velocidade orbital dos planetas pode ser considerada um valor médio; ela será máxima no ponto mais próximo do Sol, denominado de periélio, e será mínima no ponto mais afastado do Sol, denominado de afélio. 04) a velocidade de escape é a velocidade mínima para que um objeto possa escapar de um campo gravitacional, que depende da massa e do raio do planeta. No caso de Marte, a sua velocidade de escape deve ser menor que a da Terra e maior que a de Mercúrio. 08) a primeira Lei de Kepler define que cada planeta revolve em torno do Sol em uma órbita elíptica, com o Sol no ponto médio entre os focos da elipse. 16) imponderabilidade é um fenômeno que pode ser descrito como a ausência aparente de massa; aparente, pois parece não haver nenhum tipo de força gravitacional sobre o objeto em questão. 32) com os dados da tabela, é possível estimar a aceleração da gravidade de Saturno, que vale aproximadamente 20,0m/s². QUESTÃO CONTEXT0 Descobre-se que uma estrela de massa igual a quatro vezes a massa do Sol, localizada na Via Láctea, possui um planeta orbitando ao seu redor, em movimento circular uniforme (MCU) de raio R. O tempo necessário para que esse exoplaneta percorra uma circunferência completa ao redor da estrela é a metade de um 41 ano terrestre. Considere que a Terra realiza um MCU ao redor do Sol de raio R TS e despreze a influência gravitacional de outros corpos do sistema solar. Quanto vale a razão R/R TS?

GABARITO 01. Exercícios para aula 1. a 2. b 3. c 4. d 5. b 6. b 7. a 8. b 03. Questão contexto R/R TS = 1 02. Exercícios para casa 1. c 2. b 3. a 4. b 5. d 6. d 7. (01 / 02 / 04) 42