Sistemas de Numerações.

Matemática Profº: Carlos Roberto da Silva; Lourival Pereira Martins. Sistema de numeração: Binário, Octal, Decimal, Hexadecimal; Sistema de numeração: Conversões; Sistemas de Numerações. Nosso sistema de numeração é constituído por um conjunto de dez símbolos, também chamados de algarismos e um conjunto de regras que nos permite representar qualquer número desejado. Nesse sistema o valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição na representação numérica Exemplo No número 674 temos: 6 valor 6000 ou 6. 7 valor 700 ou 7. 1 4 valor 40 ou 4. 0 valor ou. 3 Devido a essa característica um mesmo algarismo assume dois valores distintos; - Um absoluto: representado pela idéia expressa pelo próprio algarismo; - Outro relativo: relacionado com a posição que o número assume na representação numérica. No nosso exemplo o algarismo seis assume: Valor absoluto, que representaremos por VA., 6. Valor relativo, que representaremos por VR, 6000 ou 6. 3. A utilização dessa forma de representação tem origens históricas e se fixou em nossa cultura por se mostrar mais prática do que outras formas de representação, como a romana. Com poucos símbolos e um conjunto de regras podemos representar qualquer número. Com essa forma de representação temos um Sistema de Numeração eficiente. Da mesma forma que o sistema formal que utilizamos podemos construir outros sistemas de representação numérica. Para construir um sistema de numeração é fundamental a definição de uma BASE, que indica a quantidade de símbolos e seu respectivo valor absoluto. Portanto o nosso sistema de numeração tem base, pois possui em sua estrutura símbolos. Dependendo de nossas conveniências podemos criar outros sistemas de numeração como o de base que utiliza apenas dois símbolos, zero e um. 1

1. Analisando a representação de um número no Sistema Decimal:» Base: (quantidade de símbolos).» Elementos: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, podemos escrever qualquer número que nossa imaginação pode criar. Isso é possível usando um sistema de peso relacionado com a posição do algarismo, conforme o exemplo a seguir: 7546 = 7000 + 500 + 40 + 6 Dependendo de sua posição, o digito terá um peso, que denominamos de valor relativo. Observe que uma análise mais detalhada, do exemplo acima, nos revela informações importantes sobre nosso sistema de numeração 7546 = 7000 + 500 + 40 + 6 =7 x 00 + 5 x 0 + 4 x + 6 x 1 = 7 x 3 + 5 x + 4 x 1 + 6 x 0 O valor relativo de todos os algarismos pode ser representado pelo produto desse por uma potência de dez, por isso dizemos que esse é um sistema de base dez, que podemos associar com sua posição. Por exemplo, o algarismo sete, que ocupa quarta posição é multiplicado por dez elevado a terceira, uma unidade a menos que a de sua localização na representação numérica.. Sistema de numeração numa b base qualquer. Da observação do sistema decimal podemos generalizar: Dado um conjunto de b símbolos numéricos, a 1, a, a 3,..., a b, um número, com n algarismos, na base b pode ser representado na forma que chamaremos de decomposta por: a n. b n-1 + a n-1. b n- + a n-3.b n-4 +. + a 1. b 0. No exemplo anterior, o numeral representado 7546, temos: Base b = ; Quantidade de algarismo n = 4, sendo: a 4 =7; a 3 = 5; a = 4 e a 1 = 6; logo sua forma decomposta é dada por: 7. 3 + 5. + 4. 1 + 6 ; 0, como já havíamos concluído anteriormente. Observe que desenvolvendo a expressão acima temos o numeral desejado Ou seja: 7. 3 + 5. + 4. 1 + 6. 0 = 7. 00 + 5. 0 + 4. + 6.1 = 7546

.1. Sistema Binário, base = (?) : 1» Base:. (quantidade de símbolos)» Elementos: 0 e 1. Assim como no sistema decimal, dependendo da posição, o algarismo ou bit terá um peso, valor relativo. O da extrema esquerda será o bit mais significativo e o da extrema direita será o bit menos significativo. Exemplo: (101) A forma fatorada do numeral (101), que possui 7 algarismos (bits) será: (101) = 1. 6 + 0. 5 + 1. 4 + 1. 3 + 0. + 0. 1 + 1. 0 CUIDADO!! Na base as potencias de base tem os valores indicados abaixo: 6 = (00000) 4 = (000) = (0) 5 = (0000) 3 = (00) 1 = () O que nos leva que o desenvolvimento da expressão acima implica em operações mais elaboradas do que estamos habituado. Na prática o resultado dessa expressão, fazendo uso das operações que estamos habituados resulta no equivalente na base. Equivalência entre os números no sistema decimal e binário Base Base Base Base Base Base Base Base 0 0 9 01 18 0 7 111 1 1 19 011 8 110 11 11 0 0 9 111 3 11 1 10 1 1 30 111 4 0 13 11 1 31 11111 5 1 14 11 3 111 3 0000 6 1 15 1111 4 100 33 0001 7 111 16 000 5 101 34 00 8 00 17 001 6 1 35 0011 O sistema binário tem grande aplicação nas ciências da computação, pois esta na estrutura básica das linguagem de máquina. 1 Para identificar em qual base o numeral está representado escrevemos entre parênteses indicando a base a direita no índice inferior. Exemplo (11) representa o numeral 11 na base ; 3

.. Sistemas Octal (?) 8 :» Base: 8. (quantidade de símbolos)» Elementos: 0, 1,, 3, 4, 5, 6 e 7. O Sistema Octal (base 8) é formado por 8 (oito) símbolos ou dígitos, para representação de qualquer digito em octal (de 0 a 7). São necessários três bits para representarmos de 0(000) a 7(111) em binário. O Sistema Octal é utilizado com o propósito de minimizar a representação de um número binário e facilitar a manipulação humana. Exemplo: (456) 8 Forma fatorada: (3456) 8 =. 8 3 + 4. 8 + 5. 8 1 + 6. 8 0 Obs. Relembrando: 8 0 = (1) 8 8 = (0) 8 8 4 = (000) 8 8 6 = (00000) 8 8 1 =() 8 8 3 = (00) 8 8 5 = (0000) 8 8 7 = (000000) 8 Equivalência entre os números no sistema decimal e octal. Base Base 8 Base Base 8 Base Base 8 Base Base 8 0 0 9 11 18 7 33 1 1 1 19 3 8 34 11 13 0 4 9 35 3 3 1 14 1 5 30 36 4 4 13 15 6 31 37 5 5 14 16 3 7 3 40 6 6 15 17 4 30 33 41 7 7 16 0 5 31 34 4 8 17 1 6 3 35 43.3. Sistemas Hexadecimal (?) 16 :» Base: 16. (quantidade de símbolos)» Elementos: 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. O Sistema Hexadecimal (base 16) foi criado com o mesmo propósito do Sistema Octal, o de minimizar a representação de um número binário. 4

Se considerarmos quatro dígitos binários, ou seja, quatro bits, o maior número que se pode expressar com esses quatro dígitos é 1111, que é, em decimal 15. Como não existem símbolos dentro do sistema arábico, que possam representar os números decimais entre e 15, sem repetir os símbolos anteriores, foram usados símbolos literais: A, B, C, D, E e F. Exemplo: (1AF3) 16 Forma fatorara: (1AF3) 16 = 1. 16 3 + A. 16 + F. 16 1 + 3. 16 0 O que equivale à: 1. 16 3 +. 16 + 15. 16 1 + 3. 16 0 Obs: Relembrando: 16 0 = (1) 16 16 = (0) 16 16 4 = (000) 16 16 6 = (00000) 16 16 1 = () 16 16 3 = (00) 16 16 5 = (0000) 16 16 7 = (000000) 16 Equivalência entre os números no sistema decimal e Hexadecimal. Base Base 8 Base Base 8 Base Base 8 Base Base 8 0 0 9 9 18 1 7 1B 1 1 A 19 13 8 1C 11 B 0 14 9 1D 3 3 1 C 1 15 30 1E 4 4 13 D 16 31 1F 5 5 14 E 3 17 3 0 6 6 15 F 4 18 33 1 7 7 16 5 19 34 8 8 17 11 6 1A 35 3.4. Conversão Entre os Sistemas de Numeração..4.1. Conversão Base binária, Base octal e Base hexadecimal Base decimal. Para converter base binária, base octal e base hexadecimal em base decimal, se utiliza o Teorema fundamental da Numeração ou seja basta efetuar a expressão, na forma usual ( Base decimal), a forma fatorada.. 5

Exemplos: 1) Converter (0) na base decimal: 4 (0) = 1 x + 0 x 1 + 0 X 0 = (4) ) Converter (353) 8 na base decimal: (353) 8 = 3 x 8 + 5 x 8 1 + 3 X 8 0 = (35) 3) Converter (A) 16 na base decimal: (A) 16 = A x 16 1 + x 16 0 = x 16 1 + x 16 0 =(16).4.. Conversão Base decimal Base binária, Base octal e Base hexadecimal. Para converter da base decimal para as demais bases basta dividir, sucessivamente, pela base o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente de uma das divisões seja menor que a base. O resultado é a seqüência de baixo para cima do último quociente mais todos os restos obtidos. Base decimal para base binária: Exemplo converte para binário 0 5 1 0 1 Logo () = () 6

Base decimal para base octal: Exemplo: Converter 34 para base 8 34 8 3 9 8 5 3 Base decimal para base hexadecimal: Logo (35) = (353) 8 Exemplo: converter 1994 para base 16 1994 16 14 5 16 5 75 16 11 4 Logo (1994) = (4B5E) 16 * *lembrando que em hexadecimal, utilizamos a letra B para 11 e E para14..4.3 Conversão Base binária Base octal e Base hexadecimal..4.3.1 Base binária para Base octal e vice-versa: Dividir o número binário de 3 em 3 bits, contando sempre da direita para esquerda e trocar pela tabela 1 (Nota: esta tabela deve ser compreendida não poderá ser consultada na prova). Tabela 1 Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 0 3 011 3 4 0 4 5 1 5 6 1 6 7 111 7 1) Converter (11100111) na base octal: 7

(11100111) = (001.111.000.111) = 001 1100111 = (1707) 8 7 7 ) Fazer o retorno do resultado obtido: (1707) 8 = 001 1100111 = (001.111.000.111) = (11100111) 7 7 1 3) Converter (001000) na base octal 0 1 0 (001000) = (0 0 1 000) = (460) 8.4.3. Base binária para Base hexadecimal e vice-versa: Dividir o número binário de 4 em 4 bits, contando sempre da direita para esquerda e trocar pela tabela (Nota: esta tabela deve ser compreendida não poderá ser consultada na prova). Tabela Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 00 3 0011 3 4 00 4 5 01 5 6 01 6 7 0111 7 8 00 8 9 01 9 A 11 11 B 1 10 C 13 11 D 14 11 E 15 1111 F 1) Converter (11101111) na base hexadecimal: (.1111.0011.0111) = 11101111 A F 3 7 = (AF37) 16 O hexadecimal AF37 torna mais fácil o acesso ao número do que o binário 11101111 ) Fazer o retorno do resultado obtido: (AF37) 16 = ( 1111 0011 0111) = (11101111) 8

.4.4. Conversão Base Octal Base hexadecimal.» Dois passos: o Converter octal para binário. o Converter binário para hexadecimal. Exemplo Converter (537) 8 para base 16 Primeiro: Convertendo (537) 8 para binário temos: (537) 8 =(1.011.111.0) Segundo Convertendo (1.011.111.0) = (.1111.) para hexadecimal (.1111.) = (AFA) 16.4.5. Conversão Base hexadecimal Base Octal.» Dois passos: o Converter hexadecimal para binário. o Converter binário para octal. Exemplo Converter (3C7B) 16 para base octal Primeiro convertendo para binário temos: (3C7B) 16 = (0011.10.0111.11 ) Segundo Convertendo de binário para octal (0011.10.0111.11) = (001.111.000.111.11) = (36173) 8.5. Aritmética em Binário A adição em binário é muito simples. São poucas regras: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = (a unidade, a esquerda, "vai 1" para o dígito de ordem superior) 1 + 1 + 1 = 11 (a unidade, a esquerda, "vai 1" para o dígito de ordem superior) 9

Exemplo: 0001 (6 ) 000010 (1 38 11 (vai um) 0001 000010 0001 Vamos ver agora a subtração em binário: ) 0001 0-0 = 0-1 = 1 ("e empresta () do próximo bit mais significante") 1-0 = 1 1-1 = 0 Exemplo: 0001 (37 ) (17 "" 0001 000001 0000 000001 ) 0000 (0 ) (lembrando que equivale a, símbolo usado no exemplo acima, para facilidade de compreensão) Exercícios 1) Escreva na forma fatorada os numerais abaixo. a) (58) = b) (64) 8 = c) (6B4) 16 = d) (01) = e) (7814) = f) (1111) = g) (B03F) 16 = h) (11111) 8 = ) Converta para base dez os numerais abaixo. a) (1011) = b) (1011) 8 = c) (11) 16 = d) (537) 8 =

e) (46D3) 16 = f) (00111) = 3) Converta da base dez para a base indicada os numerais abaixo. a) (69) = (?) b) (69) = (?) 8 c) (69) = (?) 16 d) (78) = (? ) e) (59) = (? ) f) (59) = (? ) 8 g) (59) = (? ) 16 h) (3553) =(? ) 8 i) (3553) =(? ) 16 j) (703168) = (?) 16 4) Converta da base para base 8 a) (1001) b) (11111111) c) (0110111) = d) (11111) = 5) Converta da base para base 16 a) (1001) b) (11111111) c) (0110111) = d) (11111) = 6) Converta da base 8 para base 16. a) (531) 8 = b) (1301) 8 = c) (6011) 8 = 7) Converta da base 16 para base 8. a) (3987) 16 = b) (4B3F) 16 = c) (A73E) 16 = 8) Realizar as conversões entre bases numéricas que se pedem. Resultados obtidos utilizando apenas calculadora não serão aceitos. Justifiquem sempre as conversões. (Sugestão: se quiserem, utilizem a calculadora apenas para conferir o resultado final). a) (0) = (?) 16 b) (55) = (?) 16 c) (531) = (?) 16 d) (37) = (?) 16 e) (3156) = (?) 16 11

f) (FACADA) 16 = (?) g) (0B0CA) 16 = (?) h) (1000001011) = (?) 16 i) (11100010) = (?) 16 j) (5C3) 16 = (?) k) (D0E) 16 = (?) l) (CA0) 16 = (?) m) (1) = (?) 8 n) (51) 8 = (?) o) (365) = (?) 8 p) (57) 8 = (?) q) (FACADAD0E) 16 = (?) 8 r) (305614) 8 = (?) 16 9) Fornecer, na base Hexadecimal, 0 números na ordem crescente, a partir de (50). (Nota: Tentem entender a ordem crescente de formação dos números hexadecimais). ) Efetue as seguintes operações aritméticas: a)01 b) 0011 c)01 1101 111 111 d)110 e)1000 f )110 001111 0 1